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2.2 练习1　直线的点斜式方程
1. (2025·湖南永州高二期中)直线y＝x＋2的倾斜角是(　C　)
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
【解析】 由题得直线的斜率k＝，设直线的倾斜角为α，则tan α＝，又α∈[0，π)，则α＝120°.
2. 过点P(0，1)，且以a＝(－1，2)为方向向量的直线方程为(　A　)
A. y＝－2x＋1 B. y＝2x＋1
C. y＝x＋1 D. y＝x＋1
【解析】 根据直线的方向向量的概念可知，以a＝(－1，2)为方向向量的直线的斜率等于－2，又直线过点P(0，1)，∴直线的方程为y－1＝－2(x－0)，即y＝－2x＋1.
3. 倾斜角为45°，且在y轴上的截距为－2 025的直线的方程是(　C　)
A. y＝－x－2 025 B. y＝－x＋2 025
C. y＝x－2 025 D. y＝x＋2 025
【解析】 ∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率k＝tan 45°＝1，又直线在y轴上的截距为－2 025，故所求直线的方程为y＝x－2 025.
4. (2025·浙江衢州高二期中)已知直线l：y＝kx－2的一个方向向量为(，1)，则直线l的倾斜角为(　A　)
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
【解析】 已知直线l的一个方向向量为(，1)，根据直线方向向量与斜率的关系，直线的斜率k＝.∵直线的斜率k＝tan α＝，且0≤α＜π，∴α＝.
5. 直线y＋2＝k(x＋1)所过定点的坐标为(　C　)
A. (2，1) B. (－2，－1)
C. (－1，－2) D. (1，2)
【解析】 ∵直线方程为y＋2＝k(x＋1)，∴由直线的点斜式方程可得直线恒过点(－1，－2).
6. (2025·湖北高二期中)已知定点M(5，0)，若直线l1过定点M且方向向量是n1＝(－5，5)，直线l2过定点M且方向向量是n2＝(5，－3)，直线l1在y轴上的截距是a，直线l2在y轴上的截距是b，则a－b等于(　A　)
A. 2 B. －2
C. 1 D. －1
【解析】 ∵l1：y＝(x－5)，即l1：y＝－x＋5，∴a＝5，∵l2：y＝(x－5)，即l2：y＝x＋3，∴b＝3，
∴a－b＝5－3＝2.
7. (2025·湖北武汉高二期中)一束光线从点A(，3)处射出，沿倾斜角为150°的直线射到x轴上，经x轴反射后，反射光线所在的直线方程为(　D　)
A. y＝x－2 B. y＝x＋2
C. y＝x＋2 D. y＝x－2
【解析】 倾斜角为150°的直线，斜率为，∴入射光线为y－3＝(x)＝x－1，y＝x＋2，令y＝0，解得x＝2，∴入射光线与x轴的交点为(2，0)，反射光线的斜率为，则反射光线的方程为y－0＝(x－2)，y＝x－2.
8. (多选)(2025·海南高二期中)已知两条不同的直线l1：y＝ax－a与l2：y＝x＋a，则l1与l2的位置关系可以是图中的(　AC　)
A. B.
C. D.
【解析】 对于A，由l1，l2图象判断a＝1，符合，A正确；对于B，l1：y＝ax－a，在x轴上的截距为1，图象不符合，B错误；对于C，由于l1：y＝ax－a，在x轴上的截距为1，l2：y＝x＋a在x轴上的截距为－a，结合图象可得a＝－1，图象符合，C正确；对于D，由于l1：y＝ax－a，在x轴上的截距为1，l2：y＝x＋a在x轴上的截距为－a，结合图象可知－a＞1，即a＜－1，此时l1：y＝ax－a的图象矛盾，D错误.
9. (多选)(2024·安徽合肥六校联盟高二期中)下列说法中，正确的是(　AC　)
A. 直线y＝ax－2a＋1必过定点(2，1)
B. 直线3x－2y＋4＝0在y轴上的截距为－2
C. 直线x＋y＋1＝0的倾斜角为
D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为
【解析】 对于A，由y＝ax－2a＋1整理得y－1＝a(x－2)，∴该直线经过定点(2，1)，A正确；对于B，对于3x－2y＋4＝0，令x＝0，解得y＝2，故该直线在y轴上的截距为2，B错误；对于C，直线x＋y＋1＝0的斜率k＝，设该直线的倾斜角为θ，则k＝tan θ＝，由于θ∈[0，π)，故θ＝，C正确；对于D，直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的一个方向向量为v＝(－3，1)，∴直线l的斜率为，D错误.
10. (2025·广东佛山高二阶段练习)直线l1的倾斜角是直线l：y＝x＋1的倾斜角的，则直线l1的斜率为 　.
【解析】 直线l：y＝x＋1的斜率为k＝，其倾斜角为120°，依题意，直线l1的倾斜角为30°，其斜率为tan 30°＝.
11. 已知直线l与直线y＝x＋4互相垂直，直线l与直线y＝x＋6在y轴上的截距相等，则直线l的方程为　y＝－2x＋6　.
【解析】 ∵直线l与直线y＝x＋4垂直，∴直线l的斜率k＝－2.又直线y＝x＋6在y轴上的截距为6，∴直线l在y轴上的截距为6，∴直线l的方程为y＝－2x＋6.
12. (2025·上海高二练习)已知直线y＝(3－2t)x－5不过第一象限，则实数t的取值范围是 　.
【解析】 当x＝0时，y＝－5，故直线y＝(3－2t)x－5不过原点，∵直线y＝(3－2t)x－5不过第一象限，∴3－2t≤0，解得t∈.
13. (1)已知直线l过点(1，0)，且与直线y＝(x－1)的夹角为30°，求直线l的方程；
(2)已知在△ABC中，A(1，－4)，B(2，6)，C(－2，0)，AD⊥BC于点D，求直线AD的方程.
解： (1)∵直线y＝(x－1)的斜率为，
∴其倾斜角为60°，且过点(1，0).
又直线l与直线y＝(x－1)的夹角为30°，且过点(1，0)，如图所示，
易知直线l的倾斜角为30°或90°.
故直线l的方程为y＝(x－1)，或x＝1.
(2)由题意知，kBC＝.
∵AD⊥BC，∴直线AD的斜率存在，且kAD＝，
故直线AD的方程为y＋4＝(x－1).
14. (1)求斜率为，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l的方程；
(2)求与直线y＝x垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线l的方程.
解： (1)设直线l的方程为y＝x＋b，易求直线与x，y轴的交点分别为A，B(0，b)，
∴|AB|＝|b|，∴|b||b|＋|b|＝12，∴b＝±3，∴直线l的方程为y＝x＋3，或y＝x－3.
(2)由直线l与直线y＝x垂直，可设直线l的方程为y＝x＋b，则直线l在x轴、y轴上的截距分别为x0＝b，y0＝b.又直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，
∴S＝|x0||y0|＝24，即·|b|＝24，b2＝36，解得b＝6，或b＝－6，故所求的直线方程为y＝x＋6，或y＝x－6.
15. 直线l：y＝2x－1绕着点A(1，1)逆时针旋转与直线l1重合，则l1的斜截式方程是　y＝－3x＋4　.　
【解析】 设直线l的倾斜角为α，则tan α＝2，则直线l1的斜率为tan＝－3，∴直线l1的方程为y－1＝－3(x－1)，故直线l1的斜截式方程为y＝－3x＋4.
16. 已知直线l：y＝k(x－2)＋3与x轴、y轴分别交于A，B两点，若使△AOB(O为坐标原点)的面积为m的直线l共有四条，求正实数m的取值范围.
解： 由题意知k≠0，∵直线l：y＝k(x－2)＋3与x轴、y轴的交点分别是A，B(0，3－2k)，
∴S△AOB＝×|3－2k|＝.
当k＞0时，S△AOB＝，∵4k≥2＝12，当且仅当k＝时取等号，∴当m＞0时，存在两个k(k＞0)满足S△AOB＝m.
当k＜0时，S△AOB＝，∵－4k≥2＝12，当且仅当k＝时取等号，∴当0＜m＜12时，不存在k(k＜0)满足S△AOB＝m；
当m＝12时，存在唯一一个k(k＜0)满足S△AOB＝m；
当m＞12时，存在两个k(k＜0)满足S△AOB＝m.
综上，若使△AOB(O为坐标原点)的面积为m的直线l共有四条，则正实数m的取值范围是(12，＋∞).2.2 练习1　直线的点斜式方程
1. (2025·湖南永州高二期中)直线y＝x＋2的倾斜角是( 　)
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
2. 过点P(0，1)，且以a＝(－1，2)为方向向量的直线方程为( 　)
A. y＝－2x＋1 B. y＝2x＋1
C. y＝x＋1 D. y＝x＋1
3. 倾斜角为45°，且在y轴上的截距为－2 025的直线的方程是( 　)
A. y＝－x－2 025 B. y＝－x＋2 025
C. y＝x－2 025 D. y＝x＋2 025
4. (2025·浙江衢州高二期中)已知直线l：y＝kx－2的一个方向向量为(，1)，则直线l的倾斜角为( 　)
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
5. 直线y＋2＝k(x＋1)所过定点的坐标为( 　)
A. (2，1) B. (－2，－1)
C. (－1，－2) D. (1，2)
6. (2025·湖北高二期中)已知定点M(5，0)，若直线l1过定点M且方向向量是n1＝(－5，5)，直线l2过定点M且方向向量是n2＝(5，－3)，直线l1在y轴上的截距是a，直线l2在y轴上的截距是b，则a－b等于( 　)
A. 2 B. －2
C. 1 D. －1
7. (2025·湖北武汉高二期中)一束光线从点A(，3)处射出，沿倾斜角为150°的直线射到x轴上，经x轴反射后，反射光线所在的直线方程为( 　)
A. y＝x－2 B. y＝x＋2
C. y＝x＋2 D. y＝x－2
8. (多选)(2025·海南高二期中)已知两条不同的直线l1：y＝ax－a与l2：y＝x＋a，则l1与l2的位置关系可以是图中的( 　)
A. B.
C. D.
9. (多选)(2024·安徽合肥六校联盟高二期中)下列说法中，正确的是( 　)
A. 直线y＝ax－2a＋1必过定点(2，1)
B. 直线3x－2y＋4＝0在y轴上的截距为－2
C. 直线x＋y＋1＝0的倾斜角为
D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为
10. (2025·广东佛山高二阶段练习)直线l1的倾斜角是直线l：y＝x＋1的倾斜角的，则直线l1的斜率为 .
11. 已知直线l与直线y＝x＋4互相垂直，直线l与直线y＝x＋6在y轴上的截距相等，则直线l的方程为 .
12. (2025·上海高二练习)已知直线y＝(3－2t)x－5不过第一象限，则实数t的取值范围是 .
13. (1)已知直线l过点(1，0)，且与直线y＝(x－1)的夹角为30°，求直线l的方程；
(2)已知在△ABC中，A(1，－4)，B(2，6)，C(－2，0)，AD⊥BC于点D，求直线AD的方程.
14. (1)求斜率为，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l的方程；
(2)求与直线y＝x垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线l的方程.
15. 直线l：y＝2x－1绕着点A(1，1)逆时针旋转与直线l1重合，则l1的斜截式方程是 .　
16. 已知直线l：y＝k(x－2)＋3与x轴、y轴分别交于A，B两点，若使△AOB(O为坐标原点)的面积为m的直线l共有四条，求正实数m的取值范围.(共28张PPT)
二、 直线的方程
练习1　直线的点斜式方程
直线和圆的方程
第二章
必备知识练
1. (2025·湖南永州高二期中)直线y＝x＋2的倾斜角是
(　　)
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
【解析】 由题得直线的斜率k＝，设直线的倾斜角为α，则tan α＝，又α∈[0，π)，则α＝120°.
C
2. 过点P(0，1)，且以a＝(－1，2)为方向向量的直线方程为
(　　)
A. y＝－2x＋1 B. y＝2x＋1
C. y＝x＋1 D. y＝x＋1
【解析】 根据直线的方向向量的概念可知，以a＝(－1，2)为方向向量的直线的斜率等于－2，又直线过点P(0，1)，∴直线的方程为y－1＝－2(x－0)，即y＝－2x＋1.
A
3. 倾斜角为45°，且在y轴上的截距为－2 025的直线的方程是
(　　)
A. y＝－x－2 025 B. y＝－x＋2 025
C. y＝x－2 025 D. y＝x＋2 025
【解析】 ∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率k＝tan 45°＝1，又直线在y轴上的截距为－2 025，故所求直线的方程为y＝x－2 025.
C
4. (2025·浙江衢州高二期中)已知直线l：y＝kx－2的一个方向
向量为(，1)，则直线l的倾斜角为(　　)
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
【解析】 已知直线l的一个方向向量为(，1)，根据直线方向向量与斜率的关系，直线的斜率k＝.∵直线的斜率k＝tan α＝，且0≤α＜π，∴α＝.
A
5. 直线y＋2＝k(x＋1)所过定点的坐标为(　　)
A. (2，1) B. (－2，－1)
C. (－1，－2) D. (1，2)
【解析】 ∵直线方程为y＋2＝k(x＋1)，∴由直线的点斜式方程可得直线恒过点(－1，－2).
C
6. (2025·湖北高二期中)已知定点M(5，0)，若直线l1过定点M且方向向量是n1＝(－5，5)，直线l2过定点M且方向向量是n2＝(5，－3)，直线l1在y轴上的截距是a，直线l2在y轴上的截距是
b，则a－b等于(　　)
A. 2 B. －2
C. 1 D. －1
【解析】 ∵l1：y＝(x－5)，即l1：y＝－x＋5，∴a＝5，∵l2：y＝(x－5)，即l2：y＝x＋3，∴b＝3，
∴a－b＝5－3＝2.
A
7. (2025·湖北武汉高二期中)一束光线从点A(，3)处射
出，沿倾斜角为150°的直线射到x轴上，经x轴反射后，反射
光线所在的直线方程为(　　)
A. y＝x－2 B. y＝x＋2
C. y＝x＋2 D. y＝x－2
D
【解析】 倾斜角为150°的直线，斜率为，∴入射光线为
y－3＝(x)＝x－1，y＝x＋2，令y＝0，解得x＝2，∴入射光线与x轴的交点为(2，0)，反射光线的斜率为，则反射光线的方程为y－0＝(x－2)，y＝x－2.
8. (多选)(2025·海南高二期中)已知两条不同的直线l1：y＝ax－a与l2：y＝x＋a，则l1与l2的位置关系可以是图中的(　 　)
AC
A. B.
C. D.
【解析】 对于A，由l1，l2图象判断a＝1，符合，A正确；对于B，l1：y＝ax－a，在x轴上的截距为1，图象不符合，B错误；对于C，由于l1：y＝ax－a，在x轴上的截距为1，l2：y＝x＋a在x轴上的截距为－a，结合图象可得a＝－1，图象符合，C正确；对于D，由于l1：y＝ax－a，在x轴上的截距为1，l2：y＝x＋a在x轴上的截距为－a，结合图象可知－a＞1，即a＜－1，此时l1：y＝ax－a的图象矛盾，D错误.
9. (多选)(2024·安徽合肥六校联盟高二期中)下列说法中，正
确的是(　 　)
A. 直线y＝ax－2a＋1必过定点(2，1)
B. 直线3x－2y＋4＝0在y轴上的截距为－2
C. 直线x＋y＋1＝0的倾斜角为
D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为
AC
【解析】 对于A，由y＝ax－2a＋1整理得y－1＝a(x－2)，∴该直线经过定点(2，1)，A正确；对于B，对于3x－2y＋4＝0，令x＝0，解得y＝2，故该直线在y轴上的截距为2，B错误；对于C，直线x＋y＋1＝0的斜率k＝，设该直线的倾斜角为θ，则k＝ tan θ＝，由于θ∈[0，π)，故θ＝，C正确；对于D，直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的一个方向向量为v＝(－3，1)，∴直线l的斜率为，D错误.
10. (2025·广东佛山高二阶段练习)直线l1的倾斜角是直线l：
y＝x＋1的倾斜角的，则直线l1的斜率为_____.
【解析】 直线l：y＝x＋1的斜率为k＝，其倾斜角为120°，依题意，直线l1的倾斜角为30°，其斜率为tan 30°＝.

11. 已知直线l与直线y＝x＋4互相垂直，直线l与直线y＝x＋6
在y轴上的截距相等，则直线l的方程为________________.
【解析】 ∵直线l与直线y＝x＋4垂直，∴直线l的斜率k＝－2.又直线y＝x＋6在y轴上的截距为6，∴直线l在y轴上的截距为6，∴直线l的方程为y＝－2x＋6.
y＝－2x＋6
12. (2025·上海高二练习)已知直线y＝(3－2t)x－5不过第一象
限，则实数t的取值范围是_____________.
【解析】 当x＝0时，y＝－5，故直线y＝(3－2t)x－5不过原点，∵直线y＝(3－2t)x－5不过第一象限，∴3－2t≤0，解得t∈.

关键能力练
13. (1)已知直线l过点(1，0)，且与直线y＝(x－1)的夹角为30°，求直线l的方程；
(2)已知在△ABC中，A(1，－4)，B(2，6)，C(－2，0)，AD⊥BC于点D，求直线AD的方程.
解： (1)∵直线y＝(x－1)的斜率为，
∴其倾斜角为60°，且过点(1，0).
又直线l与直线y＝(x－1)的夹角为30°，且过点(1，0)，如图所示，
易知直线l的倾斜角为30°或90°.
故直线l的方程为y＝(x－1)，或x＝1.
(2)由题意知，kBC＝.
∵AD⊥BC，∴直线AD的斜率存在，且kAD＝，
故直线AD的方程为y＋4＝(x－1).
14. (1)求斜率为，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l的方程；
(2)求与直线y＝x垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线l的方程.
解： (1)设直线l的方程为y＝x＋b，易求直线与x，y轴的交点分别为A，B(0，b)，
∴|AB|＝|b|，∴|b||b|＋|b|＝12，∴b＝±3，∴直线l的方程为y＝x＋3，或y＝x－3.
(2)由直线l与直线y＝x垂直，可设直线l的方程为y＝x＋b，则直线l在x轴、y轴上的截距分别为x0＝b，y0＝b.又直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，
∴S＝|x0||y0|＝24，即·|b|＝24，b2＝36，解得b＝6，或b＝－6，故所求的直线方程为y＝x＋6，或y＝x－6.
拓展突破练
15. 直线l：y＝2x－1绕着点A(1，1)逆时针旋转与直线l1重合，
则l1的斜截式方程是_____________.　
【解析】 设直线l的倾斜角为α，则tan α＝2，则直线l1的斜率为tan＝－3，∴直线l1的方程为y－1＝－3(x－1)，故直线l1的斜截式方程为y＝－3x＋4.
y＝－3x＋4
16. 已知直线l：y＝k(x－2)＋3与x轴、y轴分别交于A，B两点，若使△AOB(O为坐标原点)的面积为m的直线l共有四条，求正实数m的取值范围.
解： 由题意知k≠0，∵直线l：y＝k(x－2)＋3与x轴、y轴的交点分别是A，B(0，3－2k)，
∴S△AOB＝×|3－2k|＝.
当k＞0时，S△AOB＝，∵4k≥2＝12，当且仅当k＝时取等号，∴当m＞0时，存在两个k(k＞0)满足S△AOB＝m.
当k＜0时，S△AOB＝，∵－4k≥2＝12，当且仅当k＝时取等号，∴当0＜m＜12时，不存在k(k＜0)满足S△AOB＝m；
当m＝12时，存在唯一一个k(k＜0)满足S△AOB＝m；
当m＞12时，存在两个k(k＜0)满足S△AOB＝m.
综上，若使△AOB(O为坐标原点)的面积为m的直线l共有四条，则正实数m的取值范围是(12，＋∞).

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