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2.2 练习2　直线的两点式方程
1. (2025·上海高二检测)直线2x－y＋2＝0在x轴上的截距是(　A　)
A. －1 B. 1
C. －2 D. 2
【解析】 令y＝0得x＝－1，故直线2x－y＋2＝0在x轴上的截距是－1.
2. 直线x－2y－2＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则(　B　)
A. a＝2，b＝1 B. a＝2，b＝－1
C. a＝－2，b＝1 D. a＝－2，b＝－1
【解析】 令x＝0，解得y＝－1，故b＝－1；令y＝0，解得x＝2，故a＝2.
3. 直线＝1与直线＝1在同一平面直角坐标系中的位置可能是(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】 直线＝1在x轴上的截距为m，在y轴上的截距为－n；直线＝1在x轴上的截距为n，在y轴上的截距为－m.
4. (2025·河南高二期中)过点(2，1)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程是(　C　)
A. x＋y－3＝0
B. x－2y＝0
C. x＋y－3＝0，或x－2y＝0
D. x＋y－3＝0，或x－y－1＝0
【解析】 当直线l过原点时，其方程是x－2y＝0，符合题意；当直线l不过原点时，设直线方程为＝1，代入(2，1)，可得＝1，解得a＝3，∴方程是x＋y－3＝0.
5. 已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为(　A　)
A. 2x＋y－8＝0
B. 2x－y＋8＝0
C. 2x＋y－12＝0
D. 2x－y－12＝0
【解析】 由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)，再由两点式可得直线MN的方程为，即2x＋y－8＝0.
6. (2025·黑龙江牡丹江高二检测)若直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1，1)，则直线l2在x轴上的截距为(　C　)
A. 3 B.
C. D. －3
【解析】 由题意直线l1的斜率为2，l1∥l2，则l2的斜率为2，得直线l2的方程为y－1＝2(x＋1)，即为y＝2x＋3.令y＝0，得x＝，即直线l2在x轴上的截距为.
7. (2024·大连八中高二月考)过点P(1，3)作直线l，若l经过点A(a，0)和B(0，b)，且a，b∈N*，则这样的直线l可以作出(　B　)
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 无数条
【解析】 ∵a，b∈N*，∴可设直线l：＝1，将P(1，3)的坐标代入直线l的方程，得＝1.当b＝3时，＝0，方程无解，∴a＝＝1(b≠3)，∵a∈N*，≠0，∴∈N*，∴b－3＝1，或b－3＝3，∴或∴符合题意的直线l可以作出2条.
8. (多选)下列说法中，正确的是(　BD　)
A. 在x轴和在y轴上截距相等的直线都可以用方程＝1表示
B. 方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C. 经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
【解析】 对于A，若直线过原点，则直线在x轴和在y轴上的截距都为零，但此时直线不可以用方程＝1表示，A错误；对于B，当m＝0时，方程为x－2＝0，此时所表示的直线与y轴平行，B正确；对于C，当θ＝90°时，tan θ不存在，此时直线方程为x＝1，C错误；对于D，设点P(x，y)是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据∥可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，D正确.
9. (多选)经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是(　AC　)
A. x＋y－3＝0
B. x＋y＋3＝0
C. x－y－1＝0
D. x－y＋1＝0
【解析】 由题意设直线方程为＝1，或＝1，把点(2，1)代入直线方程得＝1，或＝1，解得a＝3，或a＝1，∴所求直线的方程为＝1，或＝1，即x＋y－3＝0，或x－y－1＝0.
10. 过点(1，3)且在x轴上的截距为2的直线方程是　3x＋y－6＝0　.
【解析】 由题意知直线过点(2，0)和点(1，3)，由两点式可得，整理得3x＋y－6＝0.
11. (2025·江苏淮安高二期中)已知直线l过点(3，1)，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为　x＋y－4＝0　.
【解析】 由题意设直线方程为＝1，且a＞0，又直线过点(3，1)，则＝1，a＝4，∴直线方程为＝1，即x＋y－4＝0.
12. 直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是　(－∞，－1)∪　.　
【解析】 设直线的斜率为k，如图所示，
过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴上的截距为－3，此时k＝，满足条件的直线l的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪.
13. (2024·鄞州一中检测)已知直线l过点P(4，1).
(1)若直线l过点Q(－1，6)，求直线l的方程；
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程.
解： (1)∵直线l过点P(4，1)，Q(－1，6)，∴直线l的方程为，即x＋y－5＝0.
(2)若直线在坐标轴上的截距都是0，则由点P(4，1)在l上，得其方程为x－4y＝0；若直线在坐标轴上的截距不为0，可设其方程为＝1，将点P(4，1)代入可得a＝，∴l的方程是2x＋y－9＝0.综上，直线l的方程为2x＋y－9＝0，或x－4y＝0.
14. (2025·辽宁大连高二检测)在平面直角坐标系xOy中，过点P(1，2)的直线l与坐标轴正半轴交于A，B两点，△OAB的面积记为S.
(1)当直线l在x轴上的截距为4时，求S的值；
(2)当S＝6时，求直线l在x轴上的截距.
解： (1)当直线l在x轴上截距为4时，直线l过点(4，0)，又直线l过点P(1，2)，根据两点式，得，即2x＋3y－8＝0.令x＝0，得y＝，∴△OAB的面积S＝×4×.
(2)由题知，截距一定大于0，不妨设直线l：＝1.
则得或
∴直线l在x轴上的截距为3±.
15. 过点P(4，1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为　x＋2y－6＝0　.
【解析】 设直线l的方程为＝1(a＞0，b＞0).由点P在直线l上，得＝1，∴|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝5≥5＋2＝9，当且仅当，即a＝6，b＝3时，等号成立，∴直线l的方程为＝1，即x＋2y－6＝0.
16. 在四边形OABC中，O是坐标原点，A(2，0)，点C在y轴上，B是直线x－y＝3上的动点，kBC＝.
(1)当点B的横坐标为5时，求边AB，BC及对角线AC所在直线的方程；
(2)若四边形OABC为直角梯形，求点C的坐标.
解： 设点C(0，t).
(1)当点B的横坐标为5时，点B的坐标是(5，2)，则kBC＝，得t＝1，∴C(0，1)，∴直线AB的方程为，即2x－3y－4＝0，
直线BC的方程为y＝x＋1，即x－5y＋5＝0，
直线AC的方程为＝1，即x＋2y－2＝0.
(2)∵kBC＝，∴直线BC与y轴不垂直.若四边形OABC为直角梯形，则有AB⊥x轴，∴点B的横坐标为2，则B(2，－1).由kBC＝，得，得t＝，即C.(共26张PPT)
二、 直线的方程
练习2　直线的两点式方程
直线和圆的方程
第二章
必备知识练
1. (2025·上海高二检测)直线2x－y＋2＝0在x轴上的截距是
(　　)
A. －1 B. 1
C. －2 D. 2
【解析】 令y＝0得x＝－1，故直线2x－y＋2＝0在x轴上的截距是－1.
A
2. 直线x－2y－2＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，
则(　　)
A. a＝2，b＝1 B. a＝2，b＝－1
C. a＝－2，b＝1 D. a＝－2，b＝－1
【解析】 令x＝0，解得y＝－1，故b＝－1；令y＝0，解得x＝2，故a＝2.
B
3. 直线＝1与直线＝1在同一平面直角坐标系中的位
置可能是(　　)
B
A. B.
C. D.
【解析】 直线＝1在x轴上的截距为m，在y轴上的截距为－n；直线＝1在x轴上的截距为n，在y轴上的截距为－m.
4. (2025·河南高二期中)过点(2，1)且在两坐标轴上截距相等
的直线l的方程是(　　)
A. x＋y－3＝0
B. x－2y＝0
C. x＋y－3＝0，或x－2y＝0
D. x＋y－3＝0，或x－y－1＝0
【解析】 当直线l过原点时，其方程是x－2y＝0，符合题意；当直线l不过原点时，设直线方程为＝1，代入(2，1)，可得＝1，解得a＝3，∴方程是x＋y－3＝0.
C
5. 已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程
为(　　)
A. 2x＋y－8＝0 B. 2x－y＋8＝0
C. 2x＋y－12＝0 D. 2x－y－12＝0
【解析】 由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)，再由两点式可得直线MN的方程为，即2x＋y－8＝0.
A
6. (2025·黑龙江牡丹江高二检测)若直线l1的斜率为2，l1∥l2，
直线l2过点(－1，1)，则直线l2在x轴上的截距为(　　)
A. 3 B.
C. D. －3
【解析】 由题意直线l1的斜率为2，l1∥l2，则l2的斜率为2，得直线l2的方程为y－1＝2(x＋1)，即为y＝2x＋3.令y＝0，得x＝，即直线l2在x轴上的截距为.
C
7. (2024·大连八中高二月考)过点P(1，3)作直线l，若l经过点A(a，0)和B(0，b)，且a，b∈N*，则这样的直线l可以作出
(　　)
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 无数条
B
【解析】 ∵a，b∈N*，∴可设直线l：＝1，将P(1，3)的坐标代入直线l的方程，得＝1.当b＝3时，＝0，方程无解，∴a＝＝1(b≠3)，∵a∈N*，≠0，∴∈N*，∴b－3＝1，或b－3＝3，∴或∴符合题意的直线l可以作出2条.
8. (多选)下列说法中，正确的是(　 　)
A. 在x轴和在y轴上截距相等的直线都可以用方程＝1表示
B. 方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C. 经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
BD
【解析】 对于A，若直线过原点，则直线在x轴和在y轴上的截距都为零，但此时直线不可以用方程＝1表示，A错误；对于B，当m＝0时，方程为x－2＝0，此时所表示的直线与y轴平行，B正确；对于C，当θ＝90°时，tan θ不存在，此时直线方程为x＝1，C错误；对于D，设点P(x，y)是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据∥可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，D正确.
9. (多选)经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的
直线方程可以是(　 　)
A. x＋y－3＝0 B. x＋y＋3＝0
C. x－y－1＝0 D. x－y＋1＝0
【解析】 由题意设直线方程为＝1，或＝1，把点(2，1)代入直线方程得＝1，或＝1，解得a＝3，或a＝1，∴所求直线的方程为＝1，或＝1，即x＋y－3＝0，或x－y－1＝0.
AC
10. 过点(1，3)且在x轴上的截距为2的直线方程是________________.
【解析】 由题意知直线过点(2，0)和点(1，3)，由两点式可得，整理得3x＋y－6＝0.
3x＋y－6＝0
11. (2025·江苏淮安高二期中)已知直线l过点(3，1)，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为_____________.
【解析】 由题意设直线方程为＝1，且a＞0，又直线过点(3，1)，则＝1，a＝4，∴直线方程为＝1，即x＋y－4＝0.
x＋y－4＝0
12. 直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，
则其斜率的取值范围是____________________________.　
【解析】 设直线的斜率为k，如图所示，
过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上
的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线
经过点C时，直线l在x轴上的截距为－3，此时k＝，满足条件的直线l的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪.
(－∞，－1)∪
关键能力练
13. (2024·鄞州一中检测)已知直线l过点P(4，1).
(1)若直线l过点Q(－1，6)，求直线l的方程；
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程.
解： (1)∵直线l过点P(4，1)，Q(－1，6)，∴直线l的方程为，即x＋y－5＝0.
(2)若直线在坐标轴上的截距都是0，则由点P(4，1)在l上，得其方程为x－4y＝0；若直线在坐标轴上的截距不为0，可设其方程为＝1，将点P(4，1)代入可得a＝，∴l的方程是2x＋y－9＝0.综上，直线l的方程为2x＋y－9＝0，或x－4y＝0.
14. (2025·辽宁大连高二检测)在平面直角坐标系xOy中，过点P(1，2)的直线l与坐标轴正半轴交于A，B两点，△OAB的面积记为S.
(1)当直线l在x轴上的截距为4时，求S的值；
(2)当S＝6时，求直线l在x轴上的截距.
解： (1)当直线l在x轴上截距为4时，直线l过点(4，0)，又直线l过点P(1，2)，根据两点式，得，即2x＋3y－8＝0.令x＝0，得y＝，∴△OAB的面积S＝×4×.
(2)由题知，截距一定大于0，不妨设直线l：＝1.
则得或
∴直线l在x轴上的截距为3±.
拓展突破练
15. 过点P(4，1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A，B两点，
O为坐标原点.当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为__________________.
【解析】 设直线l的方程为＝1(a＞0，b＞0).由点P在直线l上，得＝1，∴|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝5≥5＋2＝9，当且仅当，即a＝6，b＝3时，等号成立，∴直线l的方程为＝1，即x＋2y－6＝0.
x＋2y－6＝0
16. 在四边形OABC中，O是坐标原点，A(2，0)，点C在y轴上，B是直线x－y＝3上的动点，kBC＝.
(1)当点B的横坐标为5时，求边AB，BC及对角线AC所在直线的方程；
(2)若四边形OABC为直角梯形，求点C的坐标.
解： 设点C(0，t).
(1)当点B的横坐标为5时，点B的坐标是(5，2)，则kBC＝，得t＝1，∴C(0，1)，∴直线AB的方程为，即2x－3y－4＝0，
直线BC的方程为y＝x＋1，即x－5y＋5＝0，
直线AC的方程为＝1，即x＋2y－2＝0.
(2)∵kBC＝，∴直线BC与y轴不垂直.若四边形OABC为直角梯形，则有AB⊥x轴，∴点B的横坐标为2，则B(2，－1).由kBC＝，得，得t＝，即C.2.2 练习2　直线的两点式方程
1. (2025·上海高二检测)直线2x－y＋2＝0在x轴上的截距是( 　)
A. －1 B. 1
C. －2 D. 2
2. 直线x－2y－2＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则( 　)
A. a＝2，b＝1 B. a＝2，b＝－1
C. a＝－2，b＝1 D. a＝－2，b＝－1
3. 直线＝1与直线＝1在同一平面直角坐标系中的位置可能是( 　)
A. B.
C. D.
4. (2025·河南高二期中)过点(2，1)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程是( 　)
A. x＋y－3＝0
B. x－2y＝0
C. x＋y－3＝0，或x－2y＝0
D. x＋y－3＝0，或x－y－1＝0
5. 已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为( 　)
A. 2x＋y－8＝0
B. 2x－y＋8＝0
C. 2x＋y－12＝0
D. 2x－y－12＝0
6. (2025·黑龙江牡丹江高二检测)若直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1，1)，则直线l2在x轴上的截距为( 　)
A. 3 B.
C. D. －3
7. (2024·大连八中高二月考)过点P(1，3)作直线l，若l经过点A(a，0)和B(0，b)，且a，b∈N*，则这样的直线l可以作出( 　)
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 无数条
8. (多选)下列说法中，正确的是( 　)
A. 在x轴和在y轴上截距相等的直线都可以用方程＝1表示
B. 方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C. 经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
9. (多选)经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是( 　)
A. x＋y－3＝0
B. x＋y＋3＝0
C. x－y－1＝0
D. x－y＋1＝0
10. 过点(1，3)且在x轴上的截距为2的直线方程是 .
11. (2025·江苏淮安高二期中)已知直线l过点(3，1)，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为 .
12. 直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是 .　
13. (2024·鄞州一中检测)已知直线l过点P(4，1).
(1)若直线l过点Q(－1，6)，求直线l的方程；
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程.
14. (2025·辽宁大连高二检测)在平面直角坐标系xOy中，过点P(1，2)的直线l与坐标轴正半轴交于A，B两点，△OAB的面积记为S.
(1)当直线l在x轴上的截距为4时，求S的值；
(2)当S＝6时，求直线l在x轴上的截距.
15. 过点P(4，1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为 .
16. 在四边形OABC中，O是坐标原点，A(2，0)，点C在y轴上，B是直线x－y＝3上的动点，kBC＝.
(1)当点B的横坐标为5时，求边AB，BC及对角线AC所在直线的方程；
(2)若四边形OABC为直角梯形，求点C的坐标.

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