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2.2 练习3　直线的一般式方程
1. (2025·山西太原高二检测)直线x－3y－1＝0的倾斜角为( 　)
A. 30° B. 60°
C. 135° D. 150°
2. (2025·河北沧州高二检测)已知直线x＋y＋m－1＝0与直线x＋(m＋2)y＋3＝0平行，则m等于( 　)
A. －1 B. 3
C. －3 D. 1
3. (2025·湖南永州高二检测)已知两条直线l1：3x－2y＋1＝0和l2：ax＋2y＋1＝0相互垂直，则a等于( 　)
A. 2 B. 3
C. D.
4. 已知直线l：kx－y＋1＝3k，当k变化时，直线l恒过的定点的坐标为( 　)
A. (0，0)
B. (0，1)
C. (3，1)
D. (2，1)
5. 已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为( 　)
A. －4 B. 20
C. 0 D. 24
6. 已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＋c＝0经过( 　)
A. 第一、 二、 三象限
B. 第一、 二、 四象限
C. 第一、 三、 四象限
D. 第二、 三、 四象限
7. (2025·江苏南通高二期中)若直线l的方程为x－my＝0(|m|≤1)，则l的倾斜角的取值范围是( 　)
A. ∪ B.
C. ∪ D.
8. (多选)(2025·山东泰安高二期中)已知直线l1：(a－1)x＋2y－1＝0，直线l2：6x＋ay＋2－a＝0，若l1∥l2或l1⊥l2，则a的值可能为( 　)
A. 4 B. －3
C. D. 1
9. (多选)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)，下列说法中，正确的是( 　)
A. 当a≤－1时，l不经过第二象限
B. 直线恒过定点(1，3)
C. 不论a为何值，直线恒过第四象限
D. 直线的倾斜角不可能是90°
10. 若方程(6a2－a－2)x＋(3a2－5a＋2)y＋a＋1＝0表示平行于y轴的直线，则a＝ .
11. (2025·山东临沂高二期中)若点A(0，4)和点B(－1，3)关于直线l：mx＋y＋n＝0对称，则m＋n＝ .
12. (2025·辽宁沈阳高二检测)已知直线l：x＋my＝0与射线：x＋y－1＝0(x≤0)相交，则l的倾斜角α的取值范围是 .
13. 求满足下列条件的直线方程.
(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0的斜率的2倍；
(2)过点M(0，4)，且与两坐标轴围成的三角形的周长为12.
14. 已知Rt△ABC的顶点A(－3，0)，直角顶点B(－1，－2)，顶点C在x轴上.
(1)求点C的坐标；
(2)求斜边上的中线的方程.
15. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(0，0)，B(8，0)，C(0，6)，则△ABC的“欧拉线”方程为( 　)
A. 3x＋4y－3＝0
B. 3x－4y＝0
C. 3x－4y＋3＝0
D. 3x＋4y＝0
16. 如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(0，2)，B(－2，0)，C(1，0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为 . 2.2 练习3　直线的一般式方程
1. (2025·山西太原高二检测)直线x－3y－1＝0的倾斜角为(　A　)
A. 30° B. 60°
C. 135° D. 150°
【解析】 ∵直线x－3y－1＝0的斜率为k＝，∴该直线的倾斜角为30°.
2. (2025·河北沧州高二检测)已知直线x＋y＋m－1＝0与直线x＋(m＋2)y＋3＝0平行，则m等于(　A　)
A. －1 B. 3
C. －3 D. 1
【解析】 ∵直线x＋y＋m－1＝0与直线x＋(m＋2)y＋3＝0平行，∴1×(m＋2)＝1×1，解得m＝－1.此时两直线为x＋y－2＝0与x＋y＋3＝0，满足题意.
3. (2025·湖南永州高二检测)已知两条直线l1：3x－2y＋1＝0和l2：ax＋2y＋1＝0相互垂直，则a等于(　C　)
A. 2 B. 3
C. D.
【解析】 ∵直线l1：3x－2y＋1＝0和l2：ax＋2y＋1＝0相互垂直，∴3a＋(－2)×2＝0，解得a＝.
4. 已知直线l：kx－y＋1＝3k，当k变化时，直线l恒过的定点的坐标为(　C　)
A. (0，0)
B. (0，1)
C. (3，1)
D. (2，1)
【解析】 直线l的方程可化为k(x－3)－y＋1＝0，令得∴当k变化时，直线l恒过的定点的坐标为(3，1).
5. 已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　A　)
A. －4 B. 20
C. 0 D. 24
【解析】 ∵直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，∴2a－20＝0，解得a＝10.将(1，c)分别代入两直线的方程得c＝－2，b＝－12，∴a＋b＋c＝－4.
6. 已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＋c＝0经过(　A　)
A. 第一、 二、 三象限
B. 第一、 二、 四象限
C. 第一、 三、 四象限
D. 第二、 三、 四象限
【解析】 由ax＋by＋c＝0得y＝x，∵ab＜0，bc＜0，∴＞0，＞0，∴直线经过第一、 二、 三象限.
7. (2025·江苏南通高二期中)若直线l的方程为x－my＝0(|m|≤1)，则l的倾斜角的取值范围是(　D　)
A. ∪ B.
C. ∪ D.
【解析】 当m＝0时，直线的倾斜角为；当m≠0时，直线l的斜率k＝，∵|m|≤1，∴k≥1，或k≤－1，根据正切函数的图象性质可知，倾斜角的取值范围是≤α＜或＜α≤.综上≤α≤.
8. (多选)(2025·山东泰安高二期中)已知直线l1：(a－1)x＋2y－1＝0，直线l2：6x＋ay＋2－a＝0，若l1∥l2或l1⊥l2，则a的值可能为(　BC　)
A. 4 B. －3
C. D. 1
【解析】 对于直线l1：(a－1)x＋2y－1＝0，直线l2：6x＋ay＋2－a＝0，若l1∥l2，则a≠0，∴≠，解得a＝－3，B正确；若l1⊥l2，则6(a－1)＋2a＝0，解得a＝，经检验，满足要求，C正确；由上述解析可知A，D错误.
9. (多选)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)，下列说法中，正确的是(　ACD　)
A. 当a≤－1时，l不经过第二象限
B. 直线恒过定点(1，3)
C. 不论a为何值，直线恒过第四象限
D. 直线的倾斜角不可能是90°
【解析】 对于A，将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使l不经过第二象限，当且仅当或成立，∴a≤－1，A正确；对于B，点(1，3)代入直线方程不成立，B错误；对于C，∵直线恒过第四象限内的点(1，－3)，∴不论a为何值，直线恒过第四象限，C正确；对于D，直线的斜率始终存在，为－(a＋1)，∴倾斜角不可能等于90°，D正确.
10. 若方程(6a2－a－2)x＋(3a2－5a＋2)y＋a＋1＝0表示平行于y轴的直线，则a＝　1　.
【解析】 依题意得解得a＝1.
11. (2025·山东临沂高二期中)若点A(0，4)和点B(－1，3)关于直线l：mx＋y＋n＝0对称，则m＋n＝　－2　.
【解析】 ∵点A(0，4)和点B(－1，3)关于直线l：mx＋y＋n＝0对称，∴l是线段AB的垂直平分线，由AB⊥l，可得·(－m)＝－1，解得m＝1.又AB的中点坐标为，∴n＝0，解得n＝－3，故m＋n＝－2.
12. (2025·辽宁沈阳高二检测)已知直线l：x＋my＝0与射线：x＋y－1＝0(x≤0)相交，则l的倾斜角α的取值范围是　30°≤α＜135°　.
【解析】 直线l：x＋my＝0过定点A(，0)，射线x＋y－1＝0(x≤0)端点为B(0，1)，倾斜角为135°，如图所示，
当直线l与射线交点为点B时，此时直线l斜率为kAB＝，倾斜角为30°，当直线l与射线平行时，直线l倾斜角为135°，此时没有交点，当30°≤α＜135°时，直线与射线相交.
13. 求满足下列条件的直线方程.
(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0的斜率的2倍；
(2)过点M(0，4)，且与两坐标轴围成的三角形的周长为12.
解： (1)∵3x＋8y－1＝0可化为y＝x，∴直线3x＋8y－1＝0的斜率为，则所求直线的斜率k＝2×.又直线经过点(－1，－3)，∴所求直线的方程为y＋3＝(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.
(2)设直线与x轴的交点为(a，0)，∵点M(0，4)在y轴上，∴由题意得4|a|＝12，解得a＝±3，∴所求直线的方程为＝1，或＝1，即4x＋3y－12＝0，或4x－3y＋12＝0.
14. 已知Rt△ABC的顶点A(－3，0)，直角顶点B(－1，－2)，顶点C在x轴上.
(1)求点C的坐标；
(2)求斜边上的中线的方程.
解： (1)∵Rt△ABC的直角顶点B(－1，－2)，∴AB⊥BC，故kAB·kBC＝－1.又A(－3，0)，∴kAB＝，∴kBC＝，∴直线BC的方程为y＋2(x＋1)，即xy－3＝0.∵点C在x轴上，∴由y＝0得x＝3，即C(3，0).
(2)由(1)得C(3，0)，∴AC的中点为(0，0)，
∴斜边上的中线为直线OB(O为坐标原点)，直线OB的斜率k＝2，∴直线OB的方程为y＝2x.
15. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(0，0)，B(8，0)，C(0，6)，则△ABC的“欧拉线”方程为(　B　)
A. 3x＋4y－3＝0
B. 3x－4y＝0
C. 3x－4y＋3＝0
D. 3x＋4y＝0
【解析】 ∵直线AB的斜率为＝0，直线AC的斜率不存在，∴∠CAB为直角，即△ABC是直角三角形，则垂心为直角顶点A(0，0)，外心为斜边BC的中点M(4，3).∵点A，M所在直线的斜率为，∴△ABC的“欧拉线”方程为y＝x，即3x－4y＝0.
16. 如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(0，2)，B(－2，0)，C(1，0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为　x＋4y－14＝0　.
【解析】 过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略).∵四边形ACGH为正方形，∴Rt△AMH≌Rt△COA，∴AM＝OC＝1，MH＝OA＝2，∴OM＝OA＋AM＝3，∴点H的坐标为(2，3)，同理得到F(－2，4)，∴直线FH的方程为，化为一般式方程为x＋4y－14＝0.(共26张PPT)
二、 直线的方程
练习3　直线的一般式方程
直线和圆的方程
第二章
必备知识练
1. (2025·山西太原高二检测)直线x－3y－1＝0的倾斜角为
(　　)
A. 30° B. 60°
C. 135° D. 150°
【解析】 ∵直线x－3y－1＝0的斜率为k＝，∴该直线的倾斜角为30°.
A
2. (2025·河北沧州高二检测)已知直线x＋y＋m－1＝0与直线
x＋(m＋2)y＋3＝0平行，则m等于(　　)
A. －1 B. 3
C. －3 D. 1
【解析】 ∵直线x＋y＋m－1＝0与直线x＋(m＋2)y＋3＝0平行，∴1×(m＋2)＝1×1，解得m＝－1.此时两直线为x＋y－2＝0与x＋y＋3＝0，满足题意.
A
3. (2025·湖南永州高二检测)已知两条直线l1：3x－2y＋1＝0
和l2：ax＋2y＋1＝0相互垂直，则a等于(　　)
A. 2 B. 3
C. D.
【解析】 ∵直线l1：3x－2y＋1＝0和l2：ax＋2y＋1＝0相互垂直，∴3a＋(－2)×2＝0，解得a＝.
C
4. 已知直线l：kx－y＋1＝3k，当k变化时，直线l恒过的定点的
坐标为(　　)
A. (0，0) B. (0，1)
C. (3，1) D. (2，1)
【解析】 直线l的方程可化为k(x－3)－y＋1＝0，令得∴当k变化时，直线l恒过的定点的坐标为(3，1).
C
5. 已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为
(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　)
A. －4 B. 20
C. 0 D. 24
【解析】 ∵直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，∴2a－20＝0，解得a＝10.将(1，c)分别代入两直线的方程得c＝－2，b＝－12，∴a＋b＋c＝－4.
A
6. 已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＋c＝0经过(　　)
A. 第一、 二、 三象限
B. 第一、 二、 四象限
C. 第一、 三、 四象限
D. 第二、 三、 四象限
【解析】 由ax＋by＋c＝0得y＝x，∵ab＜0，bc＜0，∴＞0，＞0，∴直线经过第一、 二、 三象限.
A
7. (2025·江苏南通高二期中)若直线l的方程为x－my＝
0(|m|≤1)，则l的倾斜角的取值范围是(　　)
A. ∪ B.
C. ∪ D.
【解析】 当m＝0时，直线的倾斜角为；当m≠0时，直线l的斜率k＝，∵|m|≤1，∴k≥1，或k≤－1，根据正切函数的图象性质可知，倾斜角的取值范围是≤α＜或＜α≤.综上≤α≤.
D
8. (多选)(2025·山东泰安高二期中)已知直线l1：(a－1)x＋2y－1＝0，直线l2：6x＋ay＋2－a＝0，若l1∥l2或l1⊥l2，则a的值可能为(　 　)
A. 4 B. －3
C. D. 1
【解析】 对于直线l1：(a－1)x＋2y－1＝0，直线l2：6x＋ay＋2－a＝0，若l1∥l2，则a≠0，∴≠，解得a＝－3，B正确；若l1⊥l2，则6(a－1)＋2a＝0，解得a＝，经检验，满足要求，C正确；由上述解析可知A，D错误.
BC
9. (多选)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)，下列说
法中，正确的是(　 　)
A. 当a≤－1时，l不经过第二象限
B. 直线恒过定点(1，3)
C. 不论a为何值，直线恒过第四象限
D. 直线的倾斜角不可能是90°
ACD
【解析】 对于A，将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使l不经过第二象限，当且仅当或成立，∴a≤－1，A正确；对于B，点(1，3)代入直线方程不成
立，B错误；对于C，∵直线恒过第四象限内的点(1，－3)，
∴不论a为何值，直线恒过第四象限，C正确；对于D，直线的斜率始终存在，为－(a＋1)，∴倾斜角不可能等于90°，D正确.
10. 若方程(6a2－a－2)x＋(3a2－5a＋2)y＋a＋1＝0表示平行于
y轴的直线，则a＝__________.
【解析】 依题意得解得a＝1.
1
11. (2025·山东临沂高二期中)若点A(0，4)和点B(－1，3)关于
直线l：mx＋y＋n＝0对称，则m＋n＝__________.
【解析】 ∵点A(0，4)和点B(－1，3)关于直线l：mx＋y＋n＝0对称，∴l是线段AB的垂直平分线，由AB⊥l，可得· (－m)＝－1，解得m＝1.又AB的中点坐标为，∴n＝0，解得n＝－3，故m＋n＝－2.
－2
12. (2025·辽宁沈阳高二检测)已知直线l：x＋my＝0与射线：x＋y－1＝0(x≤0)相交，则l的倾斜角α的取值范围是__________________.
30°≤α＜135°
【解析】 直线l：x＋my＝0过定点A(，0)，射线x＋y－1＝0(x≤0)端点为B(0，1)，倾斜角为135°，如图所示，
当直线l与射线交点为点B时，此时直线l斜率为kAB＝，倾斜角为30°，当直线l与射线平行时，直线l倾斜角为135°，此时没有交点，当30°≤α＜135°时，直线与射线相交.
关键能力练
13. 求满足下列条件的直线方程.
(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0的斜率的2倍；
(2)过点M(0，4)，且与两坐标轴围成的三角形的周长为12.
解： (1)∵3x＋8y－1＝0可化为y＝x，∴直线3x＋8y－1＝0的斜率为，则所求直线的斜率k＝2×.又直线经过点(－1，－3)，∴所求直线的方程为y＋3＝(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.
(2)设直线与x轴的交点为(a，0)，∵点M(0，4)在y轴上，∴由题意得4|a|＝12，解得a＝±3，∴所求直线的方程为＝1，或＝1，即4x＋3y－12＝0，或4x－3y＋12＝0.
14. 已知Rt△ABC的顶点A(－3，0)，直角顶点B(－1，－2)，顶点C在x轴上.
(1)求点C的坐标；
(2)求斜边上的中线的方程.
解： (1)∵Rt△ABC的直角顶点B(－1，－2)，∴AB⊥BC，故kAB·kBC＝－1.又A(－3，0)，∴kAB＝，∴kBC＝，∴直线BC的方程为y＋2(x＋1)，即xy－3＝0.∵点C在x轴上，∴由y＝0得x＝3，即C(3，0).
(2)由(1)得C(3，0)，∴AC的中点为(0，0)，
∴斜边上的中线为直线OB(O为坐标原点)，直线OB的斜率k＝2，∴直线OB的方程为y＝2x.
拓展突破练
15. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(0，0)，B(8，0)，C(0，6)，则△ABC的“欧拉线”方程为
(　　)
A. 3x＋4y－3＝0 B. 3x－4y＝0
C. 3x－4y＋3＝0 D. 3x＋4y＝0
B
【解析】 ∵直线AB的斜率为＝0，直线AC的斜率不存在，∴∠CAB为直角，即△ABC是直角三角形，则垂心为直角顶点A(0，0)，外心为斜边BC的中点M(4，3).∵点A，M所在直线的斜率为，∴△ABC的“欧拉线”方程为y＝x，即3x－4y＝0.
16. 如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(0，2)，B(－2，0)，C(1，0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为_________________.
x＋4y－14＝0
【解析】 过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略).∵四边形ACGH为正方形，∴Rt△AMH≌Rt△COA，∴AM＝OC＝1，MH＝OA＝2，∴OM＝OA＋AM＝3，∴点H的坐标为(2，3)，同理得到F(－2，4)，∴直线FH的方程为，化为一般式方程为x＋4y－14＝0.

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