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(共29张PPT)
三、 直线的交点坐标与距离公式
练习1　两条直线的交点坐标
直线和圆的方程
第二章
必备知识练
1. 直线x－2y－6＝0与直线2x＋y－2＝0的交点坐标为(　　)
A. (0，－3) B. (1，0)
C. (3，－4) D. (2，－2)
【解析】 由解得则交点坐标为(2，－2).
D
2. 直线x－y＝0与x＋y＝0的位置关系是(　　)
A. 相交但不垂直 B. 平行
C. 重合 D. 垂直
【解析】 易知A1＝，B1＝－1，A2＝1，B2＝1，则A1B2－A2B1＝×1－1×(－1)＝1≠0，又A1A2＋B1B2＝×1＋(－1)×1＝1≠0，则这两条直线相交但不垂直.
A
3. 经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经
过原点的直线的方程是(　　)
A. 19x－9y＝0 B. 9x＋19y＝0
C. 3x＋19y＝0 D. 19x－3y＝0
【解析】 由解得故过点和原点的直线方程为y＝x，即3x＋19y＝0.
C
4. 已知直线l的方程是(3a－1)x－(a－2)y－1＝0，则对任意的
实数a，直线l一定经过(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】 (3a－1)x－(a－2)y－1＝0 a(3x－y)－x＋2y－1＝0，得定点在第一象限，则直线一定经过第一象限.
A
5. 已知直线l1过点A(2，4)，与x轴交于点B(3，0)，直线l1与l2
关于y轴对称，则直线l2的方程为(　　)
A. 4x＋y－12＝0 B. 4x－y＋12＝0
C. 4x＋5y－12＝0 D. 4x－5y＋12＝0
【解析】 由题得点A，B关于y轴的对称点分别为A'(－2，4)，B'(－3，0)，直线l2经过B'，A'两点，故直线l2的方程为，即4x－y＋12＝0.
B
6. 三条直线4x＋y－4＝0，mx＋y＝0，2x－3my－4＝0不能围
成三角形，则实数m的值最多有(　　)
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
B
【解析】 要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，若4x＋y－4＝0，mx＋y＝0平行，则，即m＝4；若mx＋y＝0，2x－3my－4＝0平行，则，即无解；若4x＋y－4＝0，2x－3my－4＝0平行，则，即m＝；若三条直线交于一点，
可得m＝，或m＝－1；经检验知，m∈均满足三条直线不能围成三角形，故m的值最多有4个.
7. (2025·广东东莞高二检测)若直线l1：x＋2y－4＝0与直线l2：kx－y＋2k＋1＝0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是
(　　)
A. B.
C. ∪ D. ∪
A
【解析】 由题意联立解得即直线l1：x＋2y－4＝0与直线l2：kx－y＋2k＋1＝0的交点为，由题意可得解得＜k＜，即实数k的取值范围是.
8. (多选)(2025·江苏常州高二期中)已知三条直线l1：ax＋2y＋20＝0，l2：4x＋3y－10＝0，l3：2x－2y－10＝0，则下列结论
中，正确的有(　 　)
A. l1经过定点(0，－10)
B. l2，l3的交点坐标为(4，2)
C. 若l1∥l2，则a＝－4
D. 若a＝，则l1⊥l2
AD
【解析】 对于A，l1：ax＋2y＋20＝0，即ax＋2(y＋10)＝0，令解得即直线l1过点(0，－10)，A正确；对于B，联立直线方程解得即直线l2，l3的交点坐标为(4，－2)，B错误；对于C，由l1∥l2，可得3a－4×2＝0，解得a＝，C错误；对于D，a＝时，直线l1：x＋2y＋20＝0，满足×4＋2×3＝0，即l1⊥l2，D正确.
9. (多选)已知平面上三条直线：x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0，若这三条直线将平面分为六部分，则实数k的值可以是
(　 　)
A. 0 B. 2
C. －1 D. －2
ACD
【解析】 ∵平面上三条直线：x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0将平面分为六部分，∴三条直线交于一点，或三条直线中有两条互相平行且另一条直线与这两条相交.当三条直线交于一点时，∵直线x－2y＋1＝0和直线x－1＝0的交点坐标是(1，1)，∴直线x＋ky＝0过点(1，1)，解得k＝－1；当三条直线中有两条互相平行且另一条直线与这两条相交时，直线x＋ky＝0与直线x－1＝0平行或与直线x－2y＋1＝0平行，可得k＝0，或k＝－2，∴实数k的取值集合是{0，－1，－2}.
10. 若集合{(x，y)|x＋y－2＝0，且x－2y＋4＝0} {(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝__________.
【解析】 解方程组得代入直线方程y＝3x＋b，得b＝2.
2
11. 若直线l：y＝kx与直线l1：2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是_______________ .
(30°，90°)
【解析】 直线l1：2x＋3y－6＝0过点A(3，0)，B(0，2)，而l过定点C(0，)，由图象可知∴l倾斜角α的取值范围是(30°，90°).
12. (2024·富阳一中检测)已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2，3)，则过两点Q(a1，b1)，P(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为__________________.
【解析】 ∵两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2，3)，∴2a1＋3b1＋1＝0，且2a2＋3b2＋1＝0，∴Q(a1，b1)，P(a2，b2)(a1≠a2)在直线2x＋3y＋1＝0上，∴过两点Q(a1，b1)，P(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为2x＋3y＋1＝0.
2x＋3y＋1＝0
关键能力练
13. 分别求满足下列条件的直线方程.
(1)经过直线2x＋y＋2＝0和3x＋y＋1＝0的交点且与直线2x＋3y＋5＝0平行；
(2)与直线l：3x＋4y－12＝0垂直且与坐标轴围成的三角形面积为6.
解： (1)将2x＋y＋2＝0与3x＋y＋1＝0联立方程组解得交点坐标为(1，－4).由所求直线与直线2x＋3y＋5＝0平行，则所求直线斜率为，从而所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
(2)设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，令y＝0得x＝，令x＝0得y＝，则S＝＝6，解得m＝±12，从而所求直线方程为4x－3y±12＝0.
14. 已知△ABC的顶点A(5，1)，边AB上的中线CM所在直线方程为y＝2x－5，边AC上的高BH所在直线方程为y＝x.求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程.
解： (1)由题意可得边AC上的高BH所在直线方程为y＝x，即k＝，∴直线AC边所在的直线的斜率为－2，则设它的方程为y＝－2x＋b，代入A(5，1)，可得b＝11，即2x＋y－11＝0，点C在中线CM所在直线方程为y＝2x－5上，∴联立方程组并求解解得
故点C坐标为(4，3).
(2)设B(m，n)，则M，把M的坐标代入直线方程为y＝2x－5，把点B的坐标代入y＝x，可得解得故点B(－1，－3)，故直线BC斜率为，设直线BC的方程为y＝x＋p，代入B(－1，－3)，可得p＝，整理得y＝x.
拓展突破练
15. 经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为__________________________.
【解析】 得①若所求直线在两坐标轴上的截距都为0，设直线方程为y＝kx，代入点(－4，3)，得k＝，∴3x＋4y＝0；②若所求直线在两坐标轴上的截距不为0，设直线方程为＝1，代入(－4，3)，得a＝－1，∴x＋y＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x＋y＋1＝0，或3x＋4y＝0.
x＋y＋1＝0，或3x＋4y＝0
16. (2024·长沙中学检测)如图所示，已知在△ABC中，A(－8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程.
解： 设B(x0，y0)，则AB的中点E的坐标为，
由条件可得得解得即B(6，4).同理可求得C点的坐标为(5，0).故所求直线BC的方程为，即4x－y－20＝0.2.3 练习1　两条直线的交点坐标
1. 直线x－2y－6＝0与直线2x＋y－2＝0的交点坐标为(　D　)
A. (0，－3) B. (1，0)
C. (3，－4) D. (2，－2)
【解析】 由解得则交点坐标为(2，－2).
2. 直线x－y＝0与x＋y＝0的位置关系是(　A　)
A. 相交但不垂直 B. 平行
C. 重合 D. 垂直
【解析】 易知A1＝，B1＝－1，A2＝1，B2＝1，则A1B2－A2B1＝×1－1×(－1)＝1≠0，又A1A2＋B1B2＝×1＋(－1)×1＝1≠0，则这两条直线相交但不垂直.
3. 经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是(　C　)
A. 19x－9y＝0
B. 9x＋19y＝0
C. 3x＋19y＝0
D. 19x－3y＝0
【解析】 由解得故过点和原点的直线方程为y＝x，即3x＋19y＝0.
4. 已知直线l的方程是(3a－1)x－(a－2)y－1＝0，则对任意的实数a，直线l一定经过(　A　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】 (3a－1)x－(a－2)y－1＝0 a(3x－y)－x＋2y－1＝0，得定点在第一象限，则直线一定经过第一象限.
5. 已知直线l1过点A(2，4)，与x轴交于点B(3，0)，直线l1与l2关于y轴对称，则直线l2的方程为(　B　)
A. 4x＋y－12＝0
B. 4x－y＋12＝0
C. 4x＋5y－12＝0
D. 4x－5y＋12＝0
【解析】 由题得点A，B关于y轴的对称点分别为A'(－2，4)，B'(－3，0)，直线l2经过B'，A'两点，故直线l2的方程为，即4x－y＋12＝0.
6. 三条直线4x＋y－4＝0，mx＋y＝0，2x－3my－4＝0不能围成三角形，则实数m的值最多有(　B　)
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
【解析】 要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，若4x＋y－4＝0，mx＋y＝0平行，则，即m＝4；若mx＋y＝0，2x－3my－4＝0平行，则，即无解；若4x＋y－4＝0，2x－3my－4＝0平行，则，即m＝；若三条直线交于一点，可得m＝，或m＝－1；经检验知，m∈均满足三条直线不能围成三角形，故m的值最多有4个.
7. (2025·广东东莞高二检测)若直线l1：x＋2y－4＝0与直线l2：kx－y＋2k＋1＝0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是(　A　)
A.
B.
C. ∪
D. ∪
【解析】 由题意联立解得即直线l1：x＋2y－4＝0与直线l2：kx－y＋2k＋1＝0的交点为，由题意可得解得＜k＜，即实数k的取值范围是.
8. (多选)(2025·江苏常州高二期中)已知三条直线l1：ax＋2y＋20＝0，l2：4x＋3y－10＝0，l3：2x－2y－10＝0，则下列结论中，正确的有(　AD　)
A. l1经过定点(0，－10)
B. l2，l3的交点坐标为(4，2)
C. 若l1∥l2，则a＝－4
D. 若a＝，则l1⊥l2
【解析】 对于A，l1：ax＋2y＋20＝0，即ax＋2(y＋10)＝0，令解得即直线l1过点(0，－10)，A正确；对于B，联立直线方程解得即直线l2，l3的交点坐标为(4，－2)，B错误；对于C，由l1∥l2，可得3a－4×2＝0，解得a＝，C错误；对于D，a＝时，直线l1：x＋2y＋20＝0，满足×4＋2×3＝0，即l1⊥l2，D正确.
9. (多选)已知平面上三条直线：x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0，若这三条直线将平面分为六部分，则实数k的值可以是 (　ACD　)
A. 0 B. 2
C. －1 D. －2
【解析】 ∵平面上三条直线：x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0将平面分为六部分，∴三条直线交于一点，或三条直线中有两条互相平行且另一条直线与这两条相交.当三条直线交于一点时，∵直线x－2y＋1＝0和直线x－1＝0的交点坐标是(1，1)，∴直线x＋ky＝0过点(1，1)，解得k＝－1；当三条直线中有两条互相平行且另一条直线与这两条相交时，直线x＋ky＝0与直线x－1＝0平行或与直线x－2y＋1＝0平行，可得k＝0，或k＝－2，∴实数k的取值集合是{0，－1，－2}.
10. 若集合{(x，y)|x＋y－2＝0，且x－2y＋4＝0} {(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝　2　.
【解析】 解方程组得代入直线方程y＝3x＋b，得b＝2.
11. 若直线l：y＝kx与直线l1：2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是　(30°，90°)　
【解析】 直线l1：2x＋3y－6＝0过点A(3，0)，B(0，2)，而l过定点C(0，)，由图象可知∴l倾斜角α的取值范围是(30°，90°).
12. (2024·富阳一中检测)已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2，3)，则过两点Q(a1，b1)，P(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为　2x＋3y＋1＝0　.
【解析】 ∵两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2，3)，∴2a1＋3b1＋1＝0，且2a2＋3b2＋1＝0，∴Q(a1，b1)，P(a2，b2)(a1≠a2)在直线2x＋3y＋1＝0上，∴过两点Q(a1，b1)，P(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为2x＋3y＋1＝0.
13. 分别求满足下列条件的直线方程.
(1)经过直线2x＋y＋2＝0和3x＋y＋1＝0的交点且与直线2x＋3y＋5＝0平行；
(2)与直线l：3x＋4y－12＝0垂直且与坐标轴围成的三角形面积为6.
解： (1)将2x＋y＋2＝0与3x＋y＋1＝0联立方程组解得交点坐标为(1，－4).由所求直线与直线2x＋3y＋5＝0平行，则所求直线斜率为，从而所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
(2)设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，令y＝0得x＝，令x＝0得y＝，则S＝＝6，解得m＝±12，从而所求直线方程为4x－3y±12＝0.
14. 已知△ABC的顶点A(5，1)，边AB上的中线CM所在直线方程为y＝2x－5，边AC上的高BH所在直线方程为y＝x.求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程.
解： (1)由题意可得边AC上的高BH所在直线方程为y＝x，即k＝，∴直线AC边所在的直线的斜率为－2，则设它的方程为y＝－2x＋b，代入A(5，1)，可得b＝11，即2x＋y－11＝0，点C在中线CM所在直线方程为y＝2x－5上，∴联立方程组并求解解得
故点C坐标为(4，3).
(2)设B(m，n)，则M，把M的坐标代入直线方程为y＝2x－5，把点B的坐标代入y＝x，可得解得故点B(－1，－3)，故直线BC斜率为，设直线BC的方程为y＝x＋p，代入B(－1，－3)，可得p＝，整理得y＝x.
15. 经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　x＋y＋1＝0，或3x＋4y＝0　.
【解析】 得①若所求直线在两坐标轴上的截距都为0，设直线方程为y＝kx，代入点(－4，3)，得k＝，∴3x＋4y＝0；②若所求直线在两坐标轴上的截距不为0，设直线方程为＝1，代入(－4，3)，得a＝－1，∴x＋y＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x＋y＋1＝0，或3x＋4y＝0.
16. (2024·长沙中学检测)如图所示，已知在△ABC中，A(－8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程.
解： 设B(x0，y0)，则AB的中点E的坐标为，
由条件可得得解得即B(6，4).同理可求得C点的坐标为(5，0).故所求直线BC的方程为，即4x－y－20＝0.2.3 练习1　两条直线的交点坐标
1. 直线x－2y－6＝0与直线2x＋y－2＝0的交点坐标为( 　)
A. (0，－3) B. (1，0)
C. (3，－4) D. (2，－2)
2. 直线x－y＝0与x＋y＝0的位置关系是( 　)
A. 相交但不垂直 B. 平行
C. 重合 D. 垂直
3. 经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是( 　)
A. 19x－9y＝0
B. 9x＋19y＝0
C. 3x＋19y＝0
D. 19x－3y＝0
4. 已知直线l的方程是(3a－1)x－(a－2)y－1＝0，则对任意的实数a，直线l一定经过( 　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
5. 已知直线l1过点A(2，4)，与x轴交于点B(3，0)，直线l1与l2关于y轴对称，则直线l2的方程为( 　)
A. 4x＋y－12＝0
B. 4x－y＋12＝0
C. 4x＋5y－12＝0
D. 4x－5y＋12＝0
6. 三条直线4x＋y－4＝0，mx＋y＝0，2x－3my－4＝0不能围成三角形，则实数m的值最多有( 　)
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
.
7. (2025·广东东莞高二检测)若直线l1：x＋2y－4＝0与直线l2：kx－y＋2k＋1＝0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( 　)
A.
B.
C. ∪
D. ∪
8. (多选)(2025·江苏常州高二期中)已知三条直线l1：ax＋2y＋20＝0，l2：4x＋3y－10＝0，l3：2x－2y－10＝0，则下列结论中，正确的有( 　)
A. l1经过定点(0，－10)
B. l2，l3的交点坐标为(4，2)
C. 若l1∥l2，则a＝－4
D. 若a＝，则l1⊥l2
9. (多选)已知平面上三条直线：x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0，若这三条直线将平面分为六部分，则实数k的值可以是 ( 　)
A. 0 B. 2
C. －1 D. －2
10. 若集合{(x，y)|x＋y－2＝0，且x－2y＋4＝0} {(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝ .
11. 若直线l：y＝kx与直线l1：2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是
12. (2024·富阳一中检测)已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2，3)，则过两点Q(a1，b1)，P(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为 .
13. 分别求满足下列条件的直线方程.
(1)经过直线2x＋y＋2＝0和3x＋y＋1＝0的交点且与直线2x＋3y＋5＝0平行；
(2)与直线l：3x＋4y－12＝0垂直且与坐标轴围成的三角形面积为6.
14. 已知△ABC的顶点A(5，1)，边AB上的中线CM所在直线方程为y＝2x－5，边AC上的高BH所在直线方程为y＝x.求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程.
15. 经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 .
16. (2024·长沙中学检测)如图所示，已知在△ABC中，A(－8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程.

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