资源简介

(共28张PPT)
三、 直线的交点坐标与距离公式
练习2　两点间的距离公式
直线和圆的方程
第二章
必备知识练
1. 已知点A(1，2)，B(3，1)，则到A，B两点距离相等的点的坐
标满足的条件是(　　)
A. 4x＋2y＝5 B. 4x－2y＝5
C. x＋2y＝5 D. x－2y＝5
【解析】 设所求点为P(x，y)，则|AP|＝|BP|，即，化简得4x－2y＝5.
B
2. 已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为，则|MN|
等于(　　)
A. 10 B. 180 C. 6 D. 6
【解析】 ∵过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率k＝，解得a＝10，∴|MN|＝＝6.　
D
3. 过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则线
段AB的长为 (　　)
A. 6 B. 2
C. D. 不能确定
【解析】 由题意知kAB＝1，即＝1，则b－a＝1，故|AB|＝.
C
4. 已知x，y∈R，S＝，则S的最
小值是(　　)
A. 0 B. 2
C. 4 D.
【解析】 S＝ 可以看作是点(x，y)到点(－1，0)与点(1，0)的距离之和，易知最小值是2.
B
5. 两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，
B，则|AB|的值为(　　)
A. B. C. D.
【解析】 直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B，由两点间的距离公式，得|AB|＝.
C
6. 直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m
是实数，O为坐标原点，则|OQ|的最大值是(　　)
A. 2 B. 2
C. 2 D. 3
【解析】 ∵l1：x－my－2＝0与l2：mx＋y＋2＝0的交点坐标为Q，∴|OQ|＝，当m＝0时，|OQ|max＝2，∴|OQ|的最大值是2.
B
7. 若一束光线从点A(－3，5)射到直线l：3x－4y＋4＝0上，反射后经过点B(2，15)，则光线从点A经反射后到点B所经过的
路程为(　　)
A. 5 B. 5
C. 5 D. 5
B
【解析】 设A(－3，5)关于直线l：3x－4y＋4＝0的对称点为A'(x'，y')，连接A'B，则根据题意有解得易知所求的路程即为|A'B|，∴由两点间的距离公式得所求路程为|A'B|＝＝5.
8. (多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点
的坐标是(　 　)
A. (－4，5) B. (－1，2)
C. (－3，4) D. (1，－5)
【解析】 设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且，两式联立解得或
BC
9. (多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A的
坐标为(0，4)，则点B的坐标可能是(　 　)
A. (2，0) B. (0，2)
C. (4，6) D. (6，4)
AC
【解析】 设B(x，y)，根据题意可得
即
解得或∴B(2，0)或B(4，6).
10. 已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为 _____.
【解析】 设点A(a，2a－1)，点B(b，2b－1)，∵|a－b|＝，∴|AB|＝|a－b|＝.
11. 已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(2，－1)，则线段AB的长是__________.
【解析】 设A(x，0)，B(0，y)，∵线段AB的中点M(2，－1)，∴∴x＝4，y＝－2，∴A(4，0)，B(0，－2).∴|AB|＝＝2.
2
12. (2024·绍兴一中检测)已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，
当|AB|取最小值时，实数a的值为_____.
【解析】 ∵A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，
∴|AB|＝
＝＝＝，
∴当a＝时，|AB|取得最小值.

关键能力练
13. 已知等腰梯形ABCD.证明：AC＝BD，即等腰梯形的对角线相等.
证明： 以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系.
设A(－a，0)，D(b，c)，由等腰梯形的性质知B(a，0)，C(－b，c)，则|AC|＝，|BD|＝，
∴|AC|＝|BD|，即等腰梯形的对角线相等.
14. 用坐标法证明：
(1)在直角三角形中，斜边中点到三个顶点的距离相等；
(2)若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角.
证明： (1)如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝，D为斜边BC的中点，
∴以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设B(a，0)，C(0，b)，则D，
∴|DA|＝，|DC|＝，
|DB|＝，
∴|DA|＝|DC|＝|DB|，即在直角三角形中，斜边中点到三个顶点的距离相等.
(2)如图所示，在△ABC中，D为边BC的中点，∴以顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设B(a，0)，a≠0，C(b，c)，则D，
∵|CD|＝|DB|＝|DA|，∴
，即ab＝0.∵a≠0，∴b＝0，∴C(0，c)，∴AC⊥AB，∴若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角.
拓展突破练
15. 如图所示，已知A(4，0)，B(0，4)两点，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后射到P点，则图中光线所经过的路程|PM|＋|MN|＋|NP|等于(　　)
A. 2
B. 6
C. 3
D. 2
A
【解析】 作出点P关于直线OB的对称点C，作出点P关于直线AB的对称点D，则N，M，D三点共线，N，M，C三点共线，即N，M，D，C四点共线，得|PM|＋|NM|＋|NP|＝|CD|，易得C(－2，0)，P(2，0)，直线AB的方程是x＋y－4＝0，设D(m，n)，则得即D(4，2)，∴|CD|＝＝2.
16. 对任意实数a，b，c，d，证明： ≥.
证明： 在平面直角坐标系中，设点A(a，c)，B(b，d)，则有|AB|＝，|OA|＝，|OB|＝，若O，A，B三点不共线，则构成△AOB，有|OA|＋|OB|＞|AB|；若O，A，B三点共线，且O在线段AB之间，有
|OA|＋|OB|＝|AB|.综上所述，|OA|＋|OB|≥|AB|，
即≥，∴原不等式成立.2.3 练习2　两点间的距离公式
1. 已知点A(1，2)，B(3，1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是(　B　)
A. 4x＋2y＝5
B. 4x－2y＝5
C. x＋2y＝5
D. x－2y＝5
【解析】 设所求点为P(x，y)，则|AP|＝|BP|，即，化简得4x－2y＝5.
2. 已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为，则|MN|等于(　D　)
A. 10 B. 180
C. 6 D. 6
【解析】 ∵过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率k＝，解得a＝10，
∴|MN|＝＝6.　
3. 过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则线段AB的长为 (　C　)
A. 6 B. 2
C. D. 不能确定
【解析】 由题意知kAB＝1，即＝1，则b－a＝1，故|AB|＝.
4. 已知x，y∈R，S＝，则S的最小值是(　B　)
A. 0 B. 2
C. 4 D.
【解析】 S＝ 可以看作是点(x，y)到点(－1，0)与点(1，0)的距离之和，易知最小值是2.
5. 两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】 直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B，由两点间的距离公式，得|AB|＝.
6. 直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则|OQ|的最大值是(　B　)
A. 2 B. 2
C. 2 D. 3
【解析】 ∵l1：x－my－2＝0与l2：mx＋y＋2＝0的交点坐标为Q，∴|OQ|＝，当m＝0时，|OQ|max＝2，∴|OQ|的最大值是2.
7. 若一束光线从点A(－3，5)射到直线l：3x－4y＋4＝0上，反射后经过点B(2，15)，则光线从点A经反射后到点B所经过的路程为(　B　)
A. 5 B. 5
C. 5 D. 5
【解析】 设A(－3，5)关于直线l：3x－4y＋4＝0的对称点为A'(x'，y')，连接A'B，则根据题意有解得易知所求的路程即为|A'B|，∴由两点间的距离公式得所求路程为|A'B|＝＝5.
8. (多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是(　BC　)
A. (－4，5)
B. (－1，2)
C. (－3，4)
D. (1，－5)
【解析】 设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且，两式联立解得或
9. (多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A的坐标为(0，4)，则点B的坐标可能是(　AC　)
A. (2，0) B. (0，2)
C. (4，6) D. (6，4)
【解析】 设B(x，y)，根据题意可得
即
解得或∴B(2，0)或B(4，6).
10. 已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为 　.
【解析】 设点A(a，2a－1)，点B(b，2b－1)，∵|a－b|＝，∴|AB|＝|a－b|＝.
11. 已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(2，－1)，则线段AB的长是　2　.
【解析】 设A(x，0)，B(0，y)，∵线段AB的中点M(2，－1)，∴∴x＝4，y＝－2，∴A(4，0)，B(0，－2).∴|AB|＝＝2.
12. (2024·绍兴一中检测)已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值为 　.
【解析】 ∵A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，
∴|AB|＝
＝
＝
＝，
∴当a＝时，|AB|取得最小值.
13. 已知等腰梯形ABCD.证明：AC＝BD，即等腰梯形的对角线相等.
证明： 以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系.
设A(－a，0)，D(b，c)，由等腰梯形的性质知B(a，0)，C(－b，c)，则|AC|＝，|BD|＝，
∴|AC|＝|BD|，即等腰梯形的对角线相等.
14. 用坐标法证明：
(1)在直角三角形中，斜边中点到三个顶点的距离相等；
(2)若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角.
证明： (1)如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝，D为斜边BC的中点，
∴以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设B(a，0)，C(0，b)，则D，
∴|DA|＝，|DC|＝，
|DB|＝，
∴|DA|＝|DC|＝|DB|，即在直角三角形中，斜边中点到三个顶点的距离相等.
(2)如图所示，在△ABC中，D为边BC的中点，∴以顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设B(a，0)，a≠0，C(b，c)，则D，
∵|CD|＝|DB|＝|DA|，∴，即ab＝0.∵a≠0，∴b＝0，∴C(0，c)，∴AC⊥AB，∴若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角.
15. 如图所示，已知A(4，0)，B(0，4)两点，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后射到P点，则图中光线所经过的路程|PM|＋|MN|＋|NP|等于(　A　)
A. 2 B. 6
C. 3 D. 2
【解析】 作出点P关于直线OB的对称点C，作出点P关于直线AB的对称点D，则N，M，D三点共线，N，M，C三点共线，即N，M，D，C四点共线，得|PM|＋|NM|＋|NP|＝|CD|，易得C(－2，0)，P(2，0)，直线AB的方程是x＋y－4＝0，设D(m，n)，则得即D(4，2)，∴|CD|＝＝2.
16. 对任意实数a，b，c，d，证明：≥.
证明： 在平面直角坐标系中，设点A(a，c)，B(b，d)，则有|AB|＝，|OA|＝，|OB|＝，若O，A，B三点不共线，则构成△AOB，有|OA|＋|OB|＞|AB|；若O，A，B三点共线，且O在线段AB之间，有
|OA|＋|OB|＝|AB|.综上所述，|OA|＋|OB|≥|AB|，
即≥，∴原不等式成立.2.3 练习2　两点间的距离公式
1. 已知点A(1，2)，B(3，1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是( 　)
A. 4x＋2y＝5
B. 4x－2y＝5
C. x＋2y＝5
D. x－2y＝5
2. 已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为，则|MN|等于( 　)
A. 10 B. 180
C. 6 D. 6
3. 过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则线段AB的长为 ( 　)
A. 6 B. 2
C. D. 不能确定
4. 已知x，y∈R，S＝，则S的最小值是( 　)
A. 0 B. 2
C. 4 D.
5. 两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为( 　)
A. B.
C. D.
6. 直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则|OQ|的最大值是( 　)
A. 2 B. 2
C. 2 D. 3
7. 若一束光线从点A(－3，5)射到直线l：3x－4y＋4＝0上，反射后经过点B(2，15)，则光线从点A经反射后到点B所经过的路程为( 　)
A. 5 B. 5
C. 5 D. 5
8. (多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是( 　)
A. (－4，5)
B. (－1，2)
C. (－3，4)
D. (1，－5)
9. (多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A的坐标为(0，4)，则点B的坐标可能是( 　)
A. (2，0) B. (0，2)
C. (4，6) D. (6，4)
10. 已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为 .
11. 已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(2，－1)，则线段AB的长是 .
12. (2024·绍兴一中检测)已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值为 .
13. 已知等腰梯形ABCD.证明：AC＝BD，即等腰梯形的对角线相等.
14. 用坐标法证明：
(1)在直角三角形中，斜边中点到三个顶点的距离相等；
(2)若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角.
15. 如图所示，已知A(4，0)，B(0，4)两点，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后射到P点，则图中光线所经过的路程|PM|＋|MN|＋|NP|等于( 　)
A. 2 B. 6
C. 3 D. 2
16. 对任意实数a，b，c，d，证明：≥.

展开更多......

收起↑