资源简介

2.3 练习3　点到直线的距离公式
1. (2025·黑龙江牡丹江高二期中)在平面直角坐标系中，原点(0，0)到直线x＋y－2＝0的距离为(　A　)
A. B.
C. 2 D. 3
【解析】 原点(0，0)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝.
2. 已知点(3，m)到直线xy－4＝0的距离等于1，则m等于(　D　)
A. B.
C. D. 或
【解析】 由＝1，解得m＝或.
3. 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，6)，B(－4，3)，C(2，－3)，则点A到BC边的距离为(　B　)
A. B.
C. D. 4
【解析】 BC边所在直线的方程为，即x＋y＋1＝0，则d＝.
4. (2025·湖南高二阶段练习)已知点(x0，y0)为直线x＋2y＋6＝0上任意一点，则的最小值是(　C　)
A. B. 2
C. D.
【解析】 ∵(x0，y0)为直线x＋2y＋6＝0上任意一点，且的几何意义为直线上的点到(－1，0)的距离，∴最小值是(－1，0)到直线的距离，即最小值是.
5. 当点P(2，3)到直线l：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为(　C　)
A. 3，－3 B. 5，2
C. 5，1 D. 7，1
【解析】 直线l恒过点A(－3，3)，根据已知条件可知，当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值是5，此时a＝1.
6. (2025·江西九江模拟)与点M(2，1)之间的距离为2，且在x轴上的截距为4的直线是(　C　)
A. x＝4
B. 3x－4y－12＝0
C. x＝4，或3x－4y－12＝0
D. y＝4，或3x－4y－12＝0
【解析】 x＝4与M(2，1)的距离为2，在x轴上的截距为4，x＝4符合要求；对于直线3x－4y－12＝0，有d＝＝2，且y＝0时x＝4，也符合要求；y＝4与M(2，1)的距离为3且x轴无交点，不符合要求，∴x＝4，3x－4y－12＝0都是与点M(2，1)距离为2且在x轴上的截距为4的直线.
7. 直线l：y＝2x＋3关于点P(2，3)对称的直线l'的方程是(　A　)
A. 2x－y－5＝0
B. 2x＋y－5＝0
C. 2x－y＋5＝0
D. 2x＋y＋5＝0
【解析】 ∵l和l'关于点P对称，∴两条直线平行，故可设l'的方程为2x－y＋b＝0(b≠3).由题意知点P到两条直线的距离相等，则，解得b＝－5，或b＝3(舍去)，∴直线l'的方程是2x－y－5＝0.
8. (多选)若点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离是，则点P的坐标为(　AC　)
A. (1，2) B. (2，1)
C. (2，－1) D. (－1，2)
【解析】 设P点坐标为(a，5－3a)，点P到直线x－y－1＝0的距离为，解得a＝1，或a＝2，∴点P坐标为(1，2)或(2，－1).
9. (多选)(2025·安徽合肥高二检测)已知直线l经过点(0，－1)，且一个法向量为u＝(m，1)，若点A(－3，－4)，B(6，3)到l的距离相等，则实数m的值可能为(　AC　)
A. B.
C. D.
【解析】 由直线l经过点(0，－1)，且一个法向量为u＝(m，1)，可得l：mx＋y＋1＝0.当直线AB∥l时，－m＝，即m＝；当直线AB与直线l相交时，A，B在直线l的两侧，则，解得m＝，或m＝.
10. 已知点P(2，m)到直线2x－y＋3＝0的距离不小于2，则实数m的取值范围是　(－∞，－3]∪[17，＋∞)　.　
【解析】 由题意可得，≥2，化为|7－m|≥10，解得m≤－3，或m≥17.
11. (2025·上海高二检测)过点P(2，2)且和原点距离是2的直线方程是　x＝2，或y＝x　.
【解析】 依题意，当斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时原点到直线的距离为2，满足题意；当斜率存在时，设直线方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y－2k＋2＝0，又原点到直线的距离等于2，
∴＝2，解得k＝，∴直线方程为x＝2，或y＝x.
12. (2025·天津武清高二期中)已知A(3，1)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC的面积为　3　.
【解析】 由条件可得kAB＝＝－2，直线AB方程为y－3＝－2(x－2)，即2x＋y－7＝0，点C到AB的距离为，又|AB|＝，∴△ABC的面积为＝3.
13. (2024·深圳中学检测)已知两点A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在平面直角坐标系内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.求点P的坐标.
解： 设点P的坐标为(a，b).∵A(4，－3)，B(2，－1)，|PA|＝|PB|，∴(a－4)2＋(b＋3)2＝(a－2)2＋(b＋1)2，整理得a－b－5＝0 ①.
又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，
∴＝2，即|4a＋3b－2|＝10 ②.
由①②联立可得或解得或∴所求点P的坐标为(1，－4)或.
14. 已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0.
(1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；
(2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系.
解： (1)联立解得即m与n的交点为(－21，－9).当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0；
当直线l不过原点时，设l的方程为＝1，将(－21，－9)代入，得b＝－12，∴直线l的方程为x－y＋12＝0，故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0，或x－y＋12＝0.
(2)设原点O到直线m的距离为d，则d＝，解得a＝，或a＝，
当a＝时，直线m的方程为x－2y－5＝0，此时m∥n；
当a＝时，直线m的方程为2x＋y－5＝0，此时m⊥n.
15. (多选)已知平面上一点M(2，1)，若直线上存在点P使|PM|＝1，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中，为“切割型直线”的是(　AB　)
A. y＝x B. y＝
C. y＝x＋1 D. y＝2x＋1
【解析】 直线为“切割型直线”，则M到该直线的距离不大于1，否则不是“切割型直线”.对于A，直线方程整理为4x－3y＝0，点M到直线y＝x的距离为d＝＝1，A正确；对于B，点M到直线y＝的距离为＜1，B正确；对于C，点M到直线y＝x＋1的距离为d＝＞1，C错误；对于D，点M到直线y＝2x＋1的距离为d＝＞1，D错误.
16. (2024·金陵中学检测)在△ABC中，A(1，1)，B(m，)，C(4，2)(1＜m＜4)，当m为何值时，△ABC的面积S最大？
解： ∵A(1，1)，C(4，2)，
∴|AC|＝，直线AC的方程为x－3y＋2＝0.根据点到直线的距离公式，可得点B(m，)到直线AC的距离d＝，∴S＝|AC|·d＝|m－32|＝.∵1＜m＜4，∴1＜＜2 ，∴0≤，∴当m＝时，△ABC的面积S最大.2.3 练习3　点到直线的距离公式
1. (2025·黑龙江牡丹江高二期中)在平面直角坐标系中，原点(0，0)到直线x＋y－2＝0的距离为( 　)
A. B.
C. 2 D. 3
2. 已知点(3，m)到直线xy－4＝0的距离等于1，则m等于( 　)
A. B.
C. D. 或
3. 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，6)，B(－4，3)，C(2，－3)，则点A到BC边的距离为( 　)
A. B.
C. D. 4
4. (2025·湖南高二阶段练习)已知点(x0，y0)为直线x＋2y＋6＝0上任意一点，则的最小值是( 　)
A. B. 2
C. D.
5. 当点P(2，3)到直线l：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为( 　)
A. 3，－3 B. 5，2
C. 5，1 D. 7，1
6. (2025·江西九江模拟)与点M(2，1)之间的距离为2，且在x轴上的截距为4的直线是( 　)
A. x＝4
B. 3x－4y－12＝0
C. x＝4，或3x－4y－12＝0
D. y＝4，或3x－4y－12＝0
7. 直线l：y＝2x＋3关于点P(2，3)对称的直线l'的方程是( 　)
A. 2x－y－5＝0
B. 2x＋y－5＝0
C. 2x－y＋5＝0
D. 2x＋y＋5＝0
8. (多选)若点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离是，则点P的坐标为( 　)
A. (1，2) B. (2，1)
C. (2，－1) D. (－1，2)
9. (多选)(2025·安徽合肥高二检测)已知直线l经过点(0，－1)，且一个法向量为u＝(m，1)，若点A(－3，－4)，B(6，3)到l的距离相等，则实数m的值可能为( 　)
A. B.
C. D.
10. 已知点P(2，m)到直线2x－y＋3＝0的距离不小于2，则实数m的取值范围是 .　
11. (2025·上海高二检测)过点P(2，2)且和原点距离是2的直线方程是 .
12. (2025·天津武清高二期中)已知A(3，1)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC的面积为 .
13. (2024·深圳中学检测)已知两点A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在平面直角坐标系内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.求点P的坐标.
14. 已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0.
(1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；
(2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系.
15. (多选)已知平面上一点M(2，1)，若直线上存在点P使|PM|＝1，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中，为“切割型直线”的是( 　)
A. y＝x B. y＝
C. y＝x＋1 D. y＝2x＋1
16. (2024·金陵中学检测)在△ABC中，A(1，1)，B(m，)，C(4，2)(1＜m＜4)，当m为何值时，△ABC的面积S最大？(共27张PPT)
三、 直线的交点坐标与距离公式
练习3　点到直线的距离公式
直线和圆的方程
第二章
必备知识练
1. (2025·黑龙江牡丹江高二期中)在平面直角坐标系中，原点
(0，0)到直线x＋y－2＝0的距离为(　　)
A. B.
C. 2 D. 3
【解析】 原点(0，0)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝.
A
2. 已知点(3，m)到直线xy－4＝0的距离等于1，则m等于
(　　)
A. B.
C. D. 或
【解析】 由＝1，解得m＝或.
D
3. 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，6)，B(－4，3)，
C(2，－3)，则点A到BC边的距离为(　　)
A. B.
C. D. 4
【解析】 BC边所在直线的方程为，即x＋y＋1＝0，则d＝.
B
4. (2025·湖南高二阶段练习)已知点(x0，y0)为直线x＋2y＋6
＝0上任意一点，则的最小值是(　　)
A. B. 2
C. D.
C
【解析】 ∵(x0，y0)为直线x＋2y＋6＝0上任意一点，且的几何意义为直线上的点到(－1，0)的距离，
∴最小值是(－1，0)到直线的距离，即最小值是.
5. 当点P(2，3)到直线l：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，
d与a的值依次为(　　)
A. 3，－3 B. 5，2
C. 5，1 D. 7，1
【解析】 直线l恒过点A(－3，3)，根据已知条件可知，当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值是5，此时a＝1.
C
6. (2025·江西九江模拟)与点M(2，1)之间的距离为2，且在x
轴上的截距为4的直线是(　　)
A. x＝4
B. 3x－4y－12＝0
C. x＝4，或3x－4y－12＝0
D. y＝4，或3x－4y－12＝0
C
【解析】 x＝4与M(2，1)的距离为2，在x轴上的截距为4，x＝4符合要求；对于直线3x－4y－12＝0，有d＝＝2，且y＝0时x＝4，也符合要求；y＝4与M(2，1)的距离为3且x轴无交点，不符合要求，∴x＝4，3x－4y－12＝0都是与点M(2，1)距离为2且在x轴上的截距为4的直线.
7. 直线l：y＝2x＋3关于点P(2，3)对称的直线l'的方程是(　　)
A. 2x－y－5＝0 B. 2x＋y－5＝0
C. 2x－y＋5＝0 D. 2x＋y＋5＝0
【解析】 ∵l和l'关于点P对称，∴两条直线平行，故可设l'的方程为2x－y＋b＝0(b≠3).由题意知点P到两条直线的距离相等，则，解得b＝－5，或b＝3(舍去)， ∴直线l'的方程是2x－y－5＝0.
A
8. (多选)若点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1
＝0的距离是，则点P的坐标为(　 　)
A. (1，2) B. (2，1)
C. (2，－1) D. (－1，2)
【解析】 设P点坐标为(a，5－3a)，点P到直线x－y－1＝0的距离为，解得a＝1，或a＝2，∴点P坐标为(1，2)或(2，－1).
AC
9. (多选)(2025·安徽合肥高二检测)已知直线l经过点(0，－1)，且一个法向量为u＝(m，1)，若点A(－3，－4)，B(6，3)到l的
距离相等，则实数m的值可能为(　 　)
A. B.
C. D.
AC
【解析】 由直线l经过点(0，－1)，且一个法向量为u＝(m，1)，可得l：mx＋y＋1＝0.当直线AB∥l时，－m＝，即m＝；当直线AB与直线l相交时，A，B在直线l的两侧，则，解得m＝，或m＝.
10. 已知点P(2，m)到直线2x－y＋3＝0的距离不小于2，则
实数m的取值范围是________________________.　
【解析】 由题意可得，≥2，化为|7－m|≥10，解得m≤－3，或m≥17.
(－∞，－3]∪[17，＋∞)
11. (2025·上海高二检测)过点P(2，2)且和原点距离是2的
直线方程是_______________________.
【解析】 依题意，当斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时原点到直线的距离为2，满足题意；当斜率存在时，设直线方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y－2k＋2＝0，又原点到直线的距离等于2，∴＝2，解得k＝，∴直线方程为x＝2，或y＝x.
x＝2，或y＝x
12. (2025·天津武清高二期中)已知A(3，1)，B(2，3)，
C(－2，5)，则△ABC的面积为__________.
【解析】 由条件可得kAB＝＝－2，直线AB方程为y－3＝ －2(x－2)，即2x＋y－7＝0，点C到AB的距离为，又|AB|＝，∴△ABC的面积为＝3.
3
关键能力练
13. (2024·深圳中学检测)已知两点A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在平面直角坐标系内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.求点P的坐标.
解： 设点P的坐标为(a，b).∵A(4，－3)，B(2，－1)，|PA|＝|PB|，∴(a－4)2＋(b＋3)2＝(a－2)2＋(b＋1)2，整理得a－b－5＝0 ①.
又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，
∴＝2，即|4a＋3b－2|＝10 ②.
由①②联立可得或解得或∴所求点P的坐标为(1，－4)或
.
14. 已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0.
(1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；
(2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系.
解： (1)联立解得即m与n的交点为(－21，－9).当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0；
当直线l不过原点时，设l的方程为＝1，将(－21，－9)代入，得b＝－12，∴直线l的方程为x－y＋12＝0，故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0，或x－y＋12＝0.
(2)设原点O到直线m的距离为d，则d＝，解得a＝，或a＝，
当a＝时，直线m的方程为x－2y－5＝0，此时m∥n；
当a＝时，直线m的方程为2x＋y－5＝0，此时m⊥n.
拓展突破练
15. (多选)已知平面上一点M(2，1)，若直线上存在点P使|PM|
＝1，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中，为“切割
型直线”的是(　 　)
A. y＝x B. y＝
C. y＝x＋1 D. y＝2x＋1
AB
【解析】 直线为“切割型直线”，则M到该直线的距离不大于1，否则不是“切割型直线”.对于A，直线方程整理为4x－3y＝0，点M到直线y＝x的距离为d＝＝1，A正确；对于B，点M到直线y＝的距离为＜1，B正确；对于C，点M到直线y＝x＋1的距离为d＝＞1，C错误；对于D，点M到直线y＝2x＋1的距离为d＝＞1，D错误.
16. (2024·金陵中学检测)在△ABC中，A(1，1)，B(m，)，C(4，2)(1＜m＜4)，当m为何值时，△ABC的面积S最大？
解： ∵A(1，1)，C(4，2)，∴|AC|＝，直线AC的方程为x－3y＋2＝0.根据点到直线的距离公式，可得点B(m，)到直线AC的距离d＝，∴S＝|AC|·d＝|m－32|＝.∵1＜m＜4，∴1＜＜2 ，∴0≤，∴当m＝时，△ABC的面积S最大.

展开更多......

收起↑