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2.3 练习4　两条平行直线间的距离
1. P，Q分别为直线3x＋4y－4＝0与6x＋8y＋10＝0上任意一点，则|PQ|的最小值是(　A　)
A. B.
C. D.
【解析】 易知直线3x＋4y－4＝0与6x＋8y＋10＝0平行，故|PQ|的最小值即两平行直线间的距离d＝.
2. (2024·河南信阳高二期中)若直线l1：x＋ay－2＝0与l2：2x＋(a2＋1)y－2＝0平行，则两直线之间的距离为(　C　)
A. B. 1
C. D. 2
【解析】 由两直线平行可知2a＝a2＋1，解得a＝1，∴l1：x＋y－2＝0，l2：x＋y－1＝0，可得两直线之间的距离为.
3. 到直线3x－4y－1＝0的距离为2的点的轨迹方程是(　D　)
A. 3x－4y－11＝0
B. 3x－4y＋9＝0
C. 3x－4y＋11＝0，或3x－4y－9＝0
D. 3x－4y－11＝0，或3x－4y＋9＝0
【解析】 根据题意可设所求轨迹方程为3x－4y＋C＝0(C≠－1)，根据两条平行直线间的距离公式得＝2，解得C＝－11，或C＝9，∴所求轨迹方程为3x－4y－11＝0，或3x－4y＋9＝0.
4. l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为(　A　)
A. x＋2y－3＝0 B. x－2y－3＝0
C. 2x－y－1＝0 D. 2x－y－3＝0
【解析】 当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线间的距离最大，又kAB＝＝2，∴，∴l1的方程为y－1＝(x－1)，即x＋2y－3＝0.
5. 若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是(　A　)
A. 3 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】 由题意知，点M的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，其方程为x＋y－6＝0，
∴点M到原点的距离的最小值是d＝＝3.
6. 已知点A(1，0)，B(3，1)，C为直线l：x－2y＋4＝0上的一个动点，则△ABC的面积为(　D　)
A. 5 B.
C. D.
【解析】 ∵直线AB的方程为，即x－2y－1＝0，∴l∥AB，∴△ABC的边AB上的高为两平行线之间的距离d＝，又|AB|＝，∴S△ABC＝|AB|·d＝.
7. 已知两条直线l1：(λ＋2)x＋(1－λ)y＋2λ－5＝0，l2：(k＋1)x＋(1－2k)y＋k－5＝0，且l1∥l2，当两条直线距离最大时，λ＋k为(　C　)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
【解析】 l1：λ(x－y＋2)＋2x＋y－5＝0，由解得故l1过定点A(1，3).l2：k(x－2y＋1)＋x＋y－5＝0，由解得故l2过定点B(3，2)，故l1，l2距离的最大值是|AB|＝.此时＝2，则λ＝4，＝2，解得k＝1，故λ＋k＝5.
8. (多选)(2024·安徽滁州九校高二期中)已知直线l1与直线l：y＝x＋2平行，且l与l1间的距离为2，则l1的方程可能是(　AD　)
A. x－y＋6＝0
B. x－y＋3＝0
C. x－y＋1＝0
D. x－y－2＝0
【解析】 由y＝x＋2，得x－y＋2＝0，设直线l1的方程为x－y＋a＝0(a≠2)，由题意可得＝2，解得a＝6或－2，故直线l1的方程为x－y＋6＝0，或x－y－2＝0.
9. (多选) (2024·富阳一中检测)下列说法中，正确的是(　ACD　)
A. 直线x－y－1＝0与两坐标轴交于A，B两点，则|AB|＝
B. 直线2x－y＝0与直线2x－y＝0之间的距离为
C. 直线x＋y－2＝0上的点到原点的距离最小值为1
D. 点A(－1，1)与点B(2，0)到直线x－y＝0的距离相等
【解析】 对于A，直线x－y－1＝0与两坐标轴的交点A(0，－1)，B(1，0)，则|AB|＝，A正确；对于B，直线2x－y＝0与直线2x－y＝0之间的距离d＝＝1，B错误；对于C，直线x＋y－2＝0上的点到原点的最小距离为原点到直线x＋y－2＝0的距离，即d1＝＝1，C正确；对于D，点A(－1，1)到直线x－y＝0的距离为，点B(2，0)到直线x－y＝0的距离为，∴点A(－1，1)与点B(2，0)到直线x－y＝0的距离相等，D正确.
10. 若直线12x－5y＋c＝0与直线y＝x＋1间的距离不小于3，则c的取值范围是　(－∞，－34]∪[44，＋∞)　.
【解析】 y＝x＋1可化为12x－5y＋5＝0，依题意得≥3，即|c－5|≥3×13，解得c≥44，或c≤－34.
11. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在直线的方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在直线的方程分别为3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，则|c1－c2|＝　2　.
【解析】 由菱形的性质可知直线x＋2y＋1＝0和直线x＋2y＋3＝0之间的距离等于直线3x－4y＋c1＝0和直线3x－4y＋c2＝0间的距离，即 ＝，解得|c1－c2|＝2.
12. 若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为　15°或75°　.
【解析】 由两平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离d＝，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°.
13. (2024·镇海中学检测)(1)求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程；
(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1，0)的距离是的直线方程.
解： (1)设所求直线方程为3x＋4y＋m＝0.由题意知＝1，解得m＝3或－7，
∴所求直线方程为3x＋4y＋3＝0，或3x＋4y－7＝0.
(2)设所求直线方程为3x－y＋c＝0，由题意，可得点P到直线的距离等于，即d＝，
解得c＝9，或c＝－3，
∴所求直线方程为3x－y＋9＝0，或3x－y－3＝0.
14. 已知直线l1经过点P(0，1)，直线l2经过点Q(5，0)，且l1∥l2.
(1)求l1与l2之间的最大距离，并求此时两直线的方程；
(2)若l1与l2间的距离为5，求两直线的方程.
解： (1)连接PQ，则当直线l1，l2均与直线PQ垂直时，l1与l2之间的距离最大.∵直线PQ的斜率为，∴此时直线l1与l2的斜率均为5，l1与l2之间的最大距离为，直线l1的方程为y＝5x＋1，即5x－y＋1＝0，
直线l2的方程为y＝5(x－5)，即5x－y－25＝0.
(2)①若l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k，则l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.由题意得＝5，解得k＝，∴直线l1的方程为y＝x＋1，即12x－5y＋5＝0，直线l2的方程为y＝(x－5)，即12x－5y－60＝0.
②若l1，l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，符合题意.
综上所述，两直线的方程为l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5.
15. 已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，6a＋8b＝1，则的最小值是 　.
【解析】 设A(m，n)，B(a，b)，直线l1：3x＋4y－6＝0，直线l2：3x＋4y＝0，则由题意可知点A(m，n)在直线l1：3x＋4y－6＝0上，点B(a，b)在直线l2：3x＋4y＝0上，表示A，B之间的距离.∵l1与l2平行，∴A，B之间的最小距离即为两平行线之间的距离，∴的最小值是.
16. 已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上.若P是直线l1上某一点，求点P到直线l3的距离.
解： 如图所示，
结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离.由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3.
由两平行直线间的距离公式，得l1与l3间的距离d＝，即点P到直线l3的距离为.2.3 练习4　两条平行直线间的距离
1. P，Q分别为直线3x＋4y－4＝0与6x＋8y＋10＝0上任意一点，则|PQ|的最小值是( 　)
A. B.
C. D.
2. (2024·河南信阳高二期中)若直线l1：x＋ay－2＝0与l2：2x＋(a2＋1)y－2＝0平行，则两直线之间的距离为( 　)
A. B. 1
C. D. 2
3. 到直线3x－4y－1＝0的距离为2的点的轨迹方程是( 　)
A. 3x－4y－11＝0
B. 3x－4y＋9＝0
C. 3x－4y＋11＝0，或3x－4y－9＝0
D. 3x－4y－11＝0，或3x－4y＋9＝0
4. l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为( 　)
A. x＋2y－3＝0 B. x－2y－3＝0
C. 2x－y－1＝0 D. 2x－y－3＝0
5. 若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是( 　)
A. 3 B. 2
C. 3 D. 4
6. 已知点A(1，0)，B(3，1)，C为直线l：x－2y＋4＝0上的一个动点，则△ABC的面积为( 　)
A. 5 B.
C. D.
7. 已知两条直线l1：(λ＋2)x＋(1－λ)y＋2λ－5＝0，l2：(k＋1)x＋(1－2k)y＋k－5＝0，且l1∥l2，当两条直线距离最大时，λ＋k为( 　)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
8. (多选)(2024·安徽滁州九校高二期中)已知直线l1与直线l：y＝x＋2平行，且l与l1间的距离为2，则l1的方程可能是( 　)
A. x－y＋6＝0
B. x－y＋3＝0
C. x－y＋1＝0
D. x－y－2＝0
9. (多选) (2024·富阳一中检测)下列说法中，正确的是( 　)
A. 直线x－y－1＝0与两坐标轴交于A，B两点，则|AB|＝
B. 直线2x－y＝0与直线2x－y＝0之间的距离为
C. 直线x＋y－2＝0上的点到原点的距离最小值为1
D. 点A(－1，1)与点B(2，0)到直线x－y＝0的距离相等
10. 若直线12x－5y＋c＝0与直线y＝x＋1间的距离不小于3，则c的取值范围是 .
11. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在直线的方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在直线的方程分别为3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，则|c1－c2|＝ .
12. 若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为 .
13. (2024·镇海中学检测)(1)求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程；
(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1，0)的距离是的直线方程.
14. 已知直线l1经过点P(0，1)，直线l2经过点Q(5，0)，且l1∥l2.
(1)求l1与l2之间的最大距离，并求此时两直线的方程；
(2)若l1与l2间的距离为5，求两直线的方程.
15. 已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，6a＋8b＝1，则的最小值是 .
16. 已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上.若P是直线l1上某一点，求点P到直线l3的距离.(共25张PPT)
三、 直线的交点坐标与距离公式
练习4　两条平行直线间的距离
直线和圆的方程
第二章
必备知识练
1. P，Q分别为直线3x＋4y－4＝0与6x＋8y＋10＝0上任意一
点，则|PQ|的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】 易知直线3x＋4y－4＝0与6x＋8y＋10＝0平行，故|PQ|的最小值即两平行直线间的距离d＝.
A
2. (2024·河南信阳高二期中)若直线l1：x＋ay－2＝0与l2：2x
＋(a2＋1)y－2＝0平行，则两直线之间的距离为(　　)
A. B. 1
C. D. 2
【解析】 由两直线平行可知2a＝a2＋1，解得a＝1，∴l1：x＋y－2＝0，l2：x＋y－1＝0，可得两直线之间的距离为.
C
3. 到直线3x－4y－1＝0的距离为2的点的轨迹方程是(　　)
A. 3x－4y－11＝0
B. 3x－4y＋9＝0
C. 3x－4y＋11＝0，或3x－4y－9＝0
D. 3x－4y－11＝0，或3x－4y＋9＝0
【解析】 根据题意可设所求轨迹方程为3x－4y＋C＝0(C≠－1)，根据两条平行直线间的距离公式得＝2，解得C＝－11，或C＝9，∴所求轨迹方程为3x－4y－11＝0，或3x－4y＋9＝0.
D
4. l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，
当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为(　　)
A. x＋2y－3＝0 B. x－2y－3＝0
C. 2x－y－1＝0 D. 2x－y－3＝0
【解析】 当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线间的距离最大，又kAB＝＝2，∴，∴l1的方程为y－1＝(x－1)，即x＋2y－3＝0.
A
5. 若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是
(　　)
A. 3 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】 由题意知，点M的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，其方程为x＋y－6＝0，
∴点M到原点的距离的最小值是d＝＝3.
A
6. 已知点A(1，0)，B(3，1)，C为直线l：x－2y＋4＝0上的一个动点，则△ABC的面积为(　　)
A. 5 B.
C. D.
【解析】 ∵直线AB的方程为，即x－2y－1＝0，∴l∥AB，∴△ABC的边AB上的高为两平行线之间的距离d＝，又|AB|＝，∴S△ABC＝|AB|·d＝.
D
7. 已知两条直线l1：(λ＋2)x＋(1－λ)y＋2λ－5＝0，l2：(k＋1)x＋(1－2k)y＋k－5＝0，且l1∥l2，当两条直线距离最大时，λ＋
k为(　　)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
C
【解析】 l1：λ(x－y＋2)＋2x＋y－5＝0，由解得故l1过定点A(1，3).l2：k(x－2y＋1)＋x＋y－5＝0，由解得故l2过定点B(3，2)，故l1，l2距离的最大值是|AB|＝.此时＝2，则λ＝4，＝2，解得k＝1，故λ＋k＝5.
8. (多选)(2024·安徽滁州九校高二期中)已知直线l1与直线l：y＝x＋2平行，且l与l1间的距离为2，则l1的方程可能是(　　)
A. x－y＋6＝0 B. x－y＋3＝0
C. x－y＋1＝0 D. x－y－2＝0
【解析】 由y＝x＋2，得x－y＋2＝0，设直线l1的方程为x－y＋a＝0(a≠2)，由题意可得＝2，解得a＝6或－2，故直线l1的方程为x－y＋6＝0，或x－y－2＝0.
AD
9. (多选) (2024·富阳一中检测)下列说法中，正确的是(　 　)
A. 直线x－y－1＝0与两坐标轴交于A，B两点，则|AB|＝
B. 直线2x－y＝0与直线2x－y＝0之间的距离为
C. 直线x＋y－2＝0上的点到原点的距离最小值为1
D. 点A(－1，1)与点B(2，0)到直线x－y＝0的距离相等
ACD
【解析】 对于A，直线x－y－1＝0与两坐标轴的交点A(0，－1)，B(1，0)，则|AB|＝，A正确；对于B，直线2x－y＝0与直线2x－y＝0之间的距离d＝＝1，B错误；对于C，直线x＋y－2＝0上的点到原点的最小距离为原点到直线x＋y－2＝0的距离，即d1＝＝1，C正确；对于D，点A(－1，1)到直线x－y＝0的距离为，点B(2，0)到直线x－y＝0的距离为，∴点A(－1，1)与点B(2，0)到直线x－y＝0的距离相等，D正确.
10. 若直线12x－5y＋c＝0与直线y＝x＋1间的距离不小于3，
则c的取值范围是__________________________.
【解析】 y＝x＋1可化为12x－5y＋5＝0，依题意得≥3，即|c－5|≥3×13，解得c≥44，或c≤－34.
(－∞，－34]∪[44，＋∞)
11. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在直线的方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在直线的方程分别为3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，则|c1－c2|＝__________.
【解析】 由菱形的性质可知直线x＋2y＋1＝0和直线x＋2y＋3＝0之间的距离等于直线3x－4y＋c1＝0和直线3x－4y＋c2＝0间的距离，即 ＝，解得|c1－c2|＝2.
2
12. 若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为_____________.
【解析】 由两平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离d＝，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°.
15°或75°
关键能力练
13. (2024·镇海中学检测)(1)求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程；
(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1，0)的距离是的直线方程.
解： (1)设所求直线方程为3x＋4y＋m＝0.由题意知＝1，解得m＝3或－7，
∴所求直线方程为3x＋4y＋3＝0，或3x＋4y－7＝0.
(2)设所求直线方程为3x－y＋c＝0，由题意，可得点P到直线的距离等于，即d＝，
解得c＝9，或c＝－3，
∴所求直线方程为3x－y＋9＝0，或3x－y－3＝0.
14. 已知直线l1经过点P(0，1)，直线l2经过点Q(5，0)，且l1∥l2.
(1)求l1与l2之间的最大距离，并求此时两直线的方程；
(2)若l1与l2间的距离为5，求两直线的方程.
解： (1)连接PQ，则当直线l1，l2均与直线PQ垂直时，l1与l2之间的距离最大.∵直线PQ的斜率为，∴此时直线l1与l2的斜率均为5，l1与l2之间的最大距离为，直线l1的方程为y＝5x＋1，即5x－y＋1＝0，
直线l2的方程为y＝5(x－5)，即5x－y－25＝0.
(2)①若l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k，则l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.由题意得＝5，解得k＝，∴直线l1的方程为y＝x＋1，即12x－5y＋5＝0，直线l2的方程为y＝(x－5)，即12x－5y－60＝0.
②若l1，l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，符合题意.
综上所述，两直线的方程为l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5.
拓展突破练
15. 已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，6a＋8b＝1，则
的最小值是_____.
【解析】 设A(m，n)，B(a，b)，直线l1：3x＋4y－6＝0，直线l2：3x＋4y＝0，则由题意可知点A(m，n)在直线l1：3x＋4y－6＝0上，点B(a，b)在直线l2：3x＋4y＝0上，表示A，B之间的距离.∵l1与l2平行，∴A，B之间的最小距离即为两平行线之间的距离，∴的最小值是.

16. 已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上.若P是直线l1上某一点，求点P到直线l3的距离.
解： 如图所示，结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离.由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3.
由两平行直线间的距离公式，得l1与l3间的距离d＝，即点P到直线l3的距离为.

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