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2.4 练习1　圆的标准方程
1. (2024·四川南充一中高二期中)已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝4的半径为r，则(　D　)
A. C(1，－1)，r＝4 B. C(－1，1)，r＝4
C. C(1，－1)，r＝2 D. C(－1，1)，r＝2
2. 若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(　A　)
A. (x－2)2＋(y＋1)2＝1
B. (x－2)2＋(y－1)2＝1
C. (x－1)2＋(y＋2)2＝1
D. (x＋1)2＋(y－2)2＝1
【解析】 由两圆关于原点对称可知圆C的圆心为(2，－1)，半径为1，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
3. 已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为(　B　)
A. (x＋2)2＋(y－3)2＝13
B. (x－2)2＋(y＋3)2＝13
C. (x－2)2＋(y＋3)2＝52
D. (x＋2)2＋(y－3)2＝52
【解析】 如图所示，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为r＝，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
4. 已知a，b是方程x2－x＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　A　)
A. 点P在圆内 B. 点P在圆上
C. 点P在圆外 D. 无法确定
【解析】 ∵a，b是方程x2－x＝0的两个不相等的实数根，∴∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2＜8，由此可知，点P(a，b)在圆C：x2＋y2＝8内.
5. (2025·江苏南京高二检测)已知圆C的圆心在x轴上且经过A(1，1)，B(2，－2)两点，则圆C的标准方程是(　A　)
A. (x－3)2＋y2＝5 B. (x－3)2＋y2＝17
C. (x＋3)2＋y2＝17 D. x2＋(y＋1)2＝5
【解析】 由题意设圆C的标准方程是(x－a)2＋y2＝r2，∵圆C经过A(1，1)，B(2，－2)两点，∴解得∴圆C的标准方程是(x－3)2＋y2＝5.
6. 以A(1，2)为圆心，两平行线x－y＋1＝0与2x－2y＋7＝0之间的距离为半径的圆的方程为(　B　)
A. (x＋1)2＋(y＋2)2＝
B. (x－1)2＋(y－2)2＝
C. (x＋1)2＋(y＋2)2＝
D. (x－1)2＋(y－2)2＝
【解析】 直线2x－2y＋7＝0对应方程可化为x－y＝0，则两条平行线之间距离d＝，即圆的半径r＝，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝.
7. 已知圆C经过原点，且其圆心C在直线x－y－2＝0上，则半径取得最小值时圆C的方程为(　B　)
A. x2＋y2＝2
B. (x－1)2＋(y＋1)2＝2
C. (x－1)2＋(y＋1)2＝4
D. x2＋y2＝4
【解析】 ∵原点到直线x－y－2＝0的距离为半径的最小值，∴半径的最小值是，此时半径所在直线的方程为x＋y＝0，由解得∴C(1，－1)，∴此时圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
8. (多选)若圆上的点(2，1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是(　AD　)
A. x2＋y2＝5
B. (x－1)2＋y2＝5
C. x2＋(y＋1)2＝5
D. (x－1)2＋(y＋1)2＝5
【解析】 ∵圆上的点(2，1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，∴圆心在直线x＋y＝0上.设圆心坐标为(a，－a)，则由(2－a)2＋(1＋a)2＝5，解得a＝0，或a＝1，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5，或x2＋y2＝5.
9. (多选)过点A(1，－1)与点B(－1，1)，且半径为2的圆的标准方程可能为(　BC　)
A. (x－3)2＋(y＋1)2＝4
B. (x－1)2＋(y－1)2＝4
C. (x＋1)2＋(y＋1)2＝4
D. (x＋3)2＋(y－1)2＝4
【解析】 连接AB，∵圆过点A(1，－1)与点B(－1，1)，∴圆心在线段AB的垂直平分线上，kAB＝＝－1.设圆心所在的直线为l，则kAB·kl＝－1，解得kl＝1.∵线段AB的中点坐标为(0，0)，∴直线l的方程为y＝x.设圆心坐标为(m，m)，∵半径为2，∴圆的方程为(x－m)2＋(y－m)2＝4，将点A(1，－1)的坐标代入，得(1－m)2＋(－1－m)2＝4，解得m＝±1.综上，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，或(x＋1)2＋(y＋1)2＝4.
10. 与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圆心，且过点P(－1，1)的圆的标准方程是　(x－2)2＋(y＋3)2＝25　.
【解析】 圆心为(2，－3)，设所求圆的半径为r，则r2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
11. 已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，且圆C过(0，2)，(－4，0)两点，则圆C的方程是　(x＋3)2＋(y－3)2＝10　.　
【解析】 ∵圆心在直线x＋y＝0上，∴可设圆心坐标为(a，－a).又圆C过已知两点(0，2)，(－4，0)，∴a2＋(－a－2)2＝(a＋4)2＋(－a)2，解得a＝－3，∴半径为r＝，∴圆C的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.
12. 已知x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝1，则x2＋y2的最小值是　3－2　.
【解析】 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(1，1)，半径r＝1，x2＋y2表示圆M上的点与原点O(0，0)间的距离的平方.连接OM，可得|OM|＝，则x2＋y2的最小值是(|OM|－r)2＝(1)2＝3－2.
13. 已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0).
(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围.
解： (1)∵点M在圆上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，又由a＞0，可得a＝.
(2)由两点间距离公式可得|PN|＝，|QN|＝＝3，
∵线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆内，另一个在圆外，由于3＜，∴3＜a＜，即a的取值范围是(3，).
14. (2024·安徽淮北高二联考)在△ABC中，A(0，1)，B(4，－1)，C(2，1).
(1)求边AB的垂直平分线的方程；
(2)求△ABC的外接圆的方程.
解： (1)设边AB的中点为E，则E(2，0)，∵A(0，1)，B(4，－1)，∴kAB＝，∴边AB的垂直平分线的斜率为2，∴边AB的垂直平分线的方程为y＝2(x－2)，整理得2x－y－4＝0.
(2)∵A(0，1)，C(2，1)，∴边AC的垂直平分线的方程为x＝1.由解得∴△ABC的外接圆的圆心为(1，－2)，∴外接圆的半径r＝，∴△ABC的外接圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝10.
15. (多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题中，正确的是(　ABD　)
A. 不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B. 所有圆Ck均不经过点(3，0)
C. 经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D. 所有圆的面积均为4π
【解析】 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两个不等实根，∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.
16. 已知点A(－1，－3)，B(0，0)，C(1，1)，D(4，2).
(1)证明：AD∥BC，并且四边形ABCD是等腰梯形；
证明： 由已知A(－1，－3)，D(4，2)，有kAD＝＝1，B(0，0)，C(1，1)有kBC＝＝1，∴kAD＝kBC，∴AD∥BC，|AD|＝＝5，|BC|＝，
|AB|＝，|CD|＝，
∴|AD|≠|BC|，|AB|＝|CD|，综上，四边形ABCD是等腰梯形.
(2)若☉M过点A，B，C，D，求☉M的标准方程.
解： 设圆心M(a，b)，半径为r，则☉M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由已知条件知圆心在线段AD的垂直平分线l上，
直线l过AD中点，且斜率kl·kAD＝－1，∴kl＝－1，∴直线l方程为y，即y＝－x＋1，点M(a，b)在直线l上满足a＋b＝1①，且|MC|＝|MD|，即，解得3a＋b＝9②，联立①②有解得
半径r＝|MC|＝＝5，
∴☉M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25.2.4 练习1　圆的标准方程
1. (2024·四川南充一中高二期中)已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝4的半径为r，则( 　)
A. C(1，－1)，r＝4 B. C(－1，1)，r＝4
C. C(1，－1)，r＝2 D. C(－1，1)，r＝2
2. 若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是( 　)
A. (x－2)2＋(y＋1)2＝1
B. (x－2)2＋(y－1)2＝1
C. (x－1)2＋(y＋2)2＝1
D. (x＋1)2＋(y－2)2＝1
3. 已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为( 　)
A. (x＋2)2＋(y－3)2＝13
B. (x－2)2＋(y＋3)2＝13
C. (x－2)2＋(y＋3)2＝52
D. (x＋2)2＋(y－3)2＝52
4. 已知a，b是方程x2－x＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是( 　)
A. 点P在圆内 B. 点P在圆上
C. 点P在圆外 D. 无法确定
5. (2025·江苏南京高二检测)已知圆C的圆心在x轴上且经过A(1，1)，B(2，－2)两点，则圆C的标准方程是( 　)
A. (x－3)2＋y2＝5 B. (x－3)2＋y2＝17
C. (x＋3)2＋y2＝17 D. x2＋(y＋1)2＝5
6. 以A(1，2)为圆心，两平行线x－y＋1＝0与2x－2y＋7＝0之间的距离为半径的圆的方程为( 　)
A. (x＋1)2＋(y＋2)2＝
B. (x－1)2＋(y－2)2＝
C. (x＋1)2＋(y＋2)2＝
D. (x－1)2＋(y－2)2＝
7. 已知圆C经过原点，且其圆心C在直线x－y－2＝0上，则半径取得最小值时圆C的方程为( 　)
A. x2＋y2＝2
B. (x－1)2＋(y＋1)2＝2
C. (x－1)2＋(y＋1)2＝4
D. x2＋y2＝4
8. (多选)若圆上的点(2，1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是( 　)
A. x2＋y2＝5
B. (x－1)2＋y2＝5
C. x2＋(y＋1)2＝5
D. (x－1)2＋(y＋1)2＝5
9. (多选)过点A(1，－1)与点B(－1，1)，且半径为2的圆的标准方程可能为( 　)
A. (x－3)2＋(y＋1)2＝4
B. (x－1)2＋(y－1)2＝4
C. (x＋1)2＋(y＋1)2＝4
D. (x＋3)2＋(y－1)2＝4
10. 与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圆心，且过点P(－1，1)的圆的标准方程是 .
11. 已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，且圆C过(0，2)，(－4，0)两点，则圆C的方程是 .　
12. 已知x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝1，则x2＋y2的最小值是 .
13. 已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0).
(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围.
14. (2024·安徽淮北高二联考)在△ABC中，A(0，1)，B(4，－1)，C(2，1).
(1)求边AB的垂直平分线的方程；
(2)求△ABC的外接圆的方程.
15. (多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题中，正确的是( 　)
A. 不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B. 所有圆Ck均不经过点(3，0)
C. 经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D. 所有圆的面积均为4π
16. 已知点A(－1，－3)，B(0，0)，C(1，1)，D(4，2).
(1)证明：AD∥BC，并且四边形ABCD是等腰梯形；
(2)若☉M过点A，B，C，D，求☉M的标准方程.(共28张PPT)
四、 圆的方程
练习1　圆的标准方程
直线和圆的方程
第二章
必备知识练
1. (2024·四川南充一中高二期中)已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2
＝4的半径为r，则(　　)
A. C(1，－1)，r＝4 B. C(－1，1)，r＝4
C. C(1，－1)，r＝2 D. C(－1，1)，r＝2
D
2. 若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程
是(　　)
A. (x－2)2＋(y＋1)2＝1
B. (x－2)2＋(y－1)2＝1
C. (x－1)2＋(y＋2)2＝1
D. (x＋1)2＋(y－2)2＝1
【解析】 由两圆关于原点对称可知圆C的圆心为(2，－1)，半径为1，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
A
3. 已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴
和y轴上，则圆的标准方程为(　　)
A. (x＋2)2＋(y－3)2＝13 B. (x－2)2＋(y＋3)2＝13
C. (x－2)2＋(y＋3)2＝52 D. (x＋2)2＋(y－3)2＝52
【解析】 如图所示，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为r＝，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
B
4. 已知a，b是方程x2－x＝0的两个不相等的实数根，则
点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　)
A. 点P在圆内 B. 点P在圆上
C. 点P在圆外 D. 无法确定
【解析】 ∵a，b是方程x2－x＝0的两个不相等的实数根，∴∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2＜8，由此可知，点P(a，b)在圆C：x2＋y2＝8内.
A
5. (2025·江苏南京高二检测)已知圆C的圆心在x轴上且经过
A(1，1)，B(2，－2)两点，则圆C的标准方程是(　　)
A. (x－3)2＋y2＝5 B. (x－3)2＋y2＝17
C. (x＋3)2＋y2＝17 D. x2＋(y＋1)2＝5
【解析】 由题意设圆C的标准方程是(x－a)2＋y2＝r2，∵圆C经过A(1，1)，B(2，－2)两点，∴解得∴圆C的标准方程是(x－3)2＋y2＝5.
A
6. 以A(1，2)为圆心，两平行线x－y＋1＝0与2x－2y＋7＝0之
间的距离为半径的圆的方程为(　　)
A. (x＋1)2＋(y＋2)2＝ B. (x－1)2＋(y－2)2＝
C. (x＋1)2＋(y＋2)2＝ D. (x－1)2＋(y－2)2＝
【解析】 直线2x－2y＋7＝0对应方程可化为x－y＝0，则两条平行线之间距离d＝，即圆的半径r＝，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝.
B
7. 已知圆C经过原点，且其圆心C在直线x－y－2＝0上，则半
径取得最小值时圆C的方程为(　　)
A. x2＋y2＝2
B. (x－1)2＋(y＋1)2＝2
C. (x－1)2＋(y＋1)2＝4
D. x2＋y2＝4
B
【解析】 ∵原点到直线x－y－2＝0的距离为半径的最小值，
∴半径的最小值是，此时半径所在直线的方程为x＋y＝0，由解得∴C(1，－1)，∴此时圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
8. (多选)若圆上的点(2，1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆
上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是(　 　)
A. x2＋y2＝5 B. (x－1)2＋y2＝5
C. x2＋(y＋1)2＝5 D. (x－1)2＋(y＋1)2＝5
【解析】 ∵圆上的点(2，1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，∴圆心在直线x＋y＝0上.设圆心坐标为(a，－a)，则由(2－a)2＋(1＋a)2＝5，解得a＝0，或a＝1，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5，或x2＋y2＝5.
AD
9. (多选)过点A(1，－1)与点B(－1，1)，且半径为2的圆的标准
方程可能为(　 　)
A. (x－3)2＋(y＋1)2＝4
B. (x－1)2＋(y－1)2＝4
C. (x＋1)2＋(y＋1)2＝4
D. (x＋3)2＋(y－1)2＝4
BC
【解析】 连接AB，∵圆过点A(1，－1)与点B(－1，1)，∴圆心在线段AB的垂直平分线上，kAB＝＝－1.设圆心所在的直线为l，则kAB·kl＝－1，解得kl＝1.∵线段AB的中点坐标为(0，0)，∴直线l的方程为y＝x.设圆心坐标为(m，m)，∵半径为2，∴圆的方程为(x－m)2＋(y－m)2＝4，将点A(1，－1)的坐标代入，得(1－m)2＋(－1－m)2＝4，解得m＝±1.综上，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，或(x＋1)2＋(y＋1)2＝4.
10. 与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圆心，且过点P(－1，1)的
圆的标准方程是______________________.
【解析】 圆心为(2，－3)，设所求圆的半径为r，则r2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
(x－2)2＋(y＋3)2＝25
11. 已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，且圆C过(0，2)，(－4，0)
两点，则圆C的方程是____________________.　
【解析】 ∵圆心在直线x＋y＝0上，∴可设圆心坐标为(a，－a).又圆C过已知两点(0，2)，(－4，0)，∴a2＋(－a－2)2＝(a＋4)2＋(－a)2，解得a＝－3，∴半径为r＝， ∴圆C的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.
(x＋3)2＋(y－3)2＝10
12. 已知x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝1，则x2＋y2的最小值是__________.
【解析】 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(1，1)，半径r＝1，x2＋y2表示圆M上的点与原点O(0，0)间的距离的平方.连接OM，可得|OM|＝，则x2＋y2的最小值是(|OM|－r)2＝(1)2＝3－2.
3－2
关键能力练
13. 已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0).
(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围.
解： (1)∵点M在圆上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，又由a＞0，可得a＝.
(2)由两点间距离公式可得|PN|＝，|QN|＝＝3，
∵线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆内，另一个在圆外，由于3＜，∴3＜a＜，即a的取值范围是(3，).
14. (2024·安徽淮北高二联考)在△ABC中，A(0，1)，B(4，
－1)，C(2，1).
(1)求边AB的垂直平分线的方程；
(2)求△ABC的外接圆的方程.
解： (1)设边AB的中点为E，则E(2，0)，∵A(0，1)，B(4，－1)，∴kAB＝，∴边AB的垂直平分线的斜率为2，∴边AB的垂直平分线的方程为y＝2(x－2)，整理得2x－y－4＝0.
(2)∵A(0，1)，C(2，1)，∴边AC的垂直平分线的方程为x＝1.由解得∴△ABC的外接圆的圆心为(1，－2)，∴外接圆的半径r＝，∴△ABC的外接圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝10.
拓展突破练
15. (多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命
题中，正确的是(　 　)
A. 不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B. 所有圆Ck均不经过点(3，0)
C. 经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D. 所有圆的面积均为4π
ABD
【解析】 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两个不等实根，∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.
16. 已知点A(－1，－3)，B(0，0)，C(1，1)，D(4，2).
(1)证明：AD∥BC，并且四边形ABCD是等腰梯形；
证明： 由已知A(－1，－3)，D(4，2)，有kAD＝＝1，B(0，0)，C(1，1)有kBC＝＝1，∴kAD＝kBC，∴AD∥BC，|AD|＝＝5，|BC|＝，
|AB|＝，|CD|＝，
∴|AD|≠|BC|，|AB|＝|CD|，综上，四边形ABCD是等腰梯形.
(2)若☉M过点A，B，C，D，求☉M的标准方程.
解： 设圆心M(a，b)，半径为r，则☉M的方
程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知条件知圆心
在线段AD的垂直平分线l上，直线l过AD中点
，且斜率
kl·kAD＝－1，∴kl＝－1，∴直线l方程为y
，即y＝－x＋1，点M(a，b)在直线l上
满足a＋b＝1①，且|MC|＝|MD|，即，解得3a＋b＝9②，联立①②有解得
半径r＝|MC|＝＝5，
∴☉M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25.

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