资源简介

2.4 练习2　圆的一般方程
1. (2025·湖南永州高二检测)圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心坐标为(　D　)
A. (1，2) B. (1，－2)
C. (－1，－2) D. (－1，2)
【解析】 由x2＋y2＋2x－4y＋1＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，故圆心坐标为(－1，2).
2. 若方程x2＋y2＋2y＋m＝0表示圆，则m的取值范围是(　B　)
A. (1，＋∞) B. (－∞，1)
C. [1，＋∞) D. (－∞，1]
【解析】 由x2＋y2＋2y＋m＝0得x2＋(y＋1)2＝1－m，∴1－m＞0，解得m＜1.
3. 若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是(　C　)
A. (0，＋∞) B.
C. D.
【解析】 x2＋y2－x＋y＋m＝0可化为m，则m＞0，解得m＜.∵点(1，－1)在圆外，∴1＋1－1－1＋m＞0，即m＞0，∴0＜m＜.
4. 经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)的圆的方程是(　A　)
A. x2＋y2－7x－3y＋2＝0
B. x2＋y2＋7x－3y＋2＝0
C. x2＋y2＋7x＋3y＋2＝0
D. x2＋y2－7x＋3y＋2＝0
【解析】 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)三点的坐标分别代入，得解得故圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
5. (2025·江苏宿迁高二期中)如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的曲线关于y＝x对称，则必有(　A　)
A. D＝E B. D＋E＝0
C. D＝F D. F＝E
【解析】 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示圆心为的圆，由题意可知，圆心在直线y＝x上，则，即D＝E.
6. (2025·云南文山高二期末)点P(1，0)，Q是圆x2＋y2＝4上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是(　A　)
A. y2＝1
B. x2＝4
C. x2＝1
D. y2＝0
【解析】 设Q(x0，y0)，PQ中点M(x，y)，∴x＝，y＝，即x0＝2x－1，y0＝2y，又Q是圆x2＋y2＝4上的一个动点，∴＝(2x－1)2＋(2y)2＝4，化简得y2＝1，∴点M的轨迹方程为y2＝1.
7. (2025·吉林延边高二检测)若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足＝2，则△PAB面积的最大值是(　D　)
A. 2 B.
C. 4 D. 3
【解析】 令A，B且P(x，y)，则＝4，整理得y2＝4，
∴P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，要使△PAB面积最大，只需P到直线AB的距离最大，故最大值是×2×3＝3.
8. (多选)(2024·重庆江津二中高二期中)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中，正确的是(　AC　)
A. 圆M的圆心为(4，－3)
B. x轴被圆M截得的弦长为10
C. 圆M的半径为5
D. y轴被圆M截得的弦长为8
【解析】 由圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，得圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝52，圆心为(4，－3)，半径为5，A，C正确；在x2＋y2－8x＋6y＝0中，令x＝0，得y＝0，或y＝－6，令y＝0，得x＝0，或x＝8，∴y轴被圆M截得的弦长为6，x轴被圆M截得的弦长为8，B，D错误.
9. (多选)已知x，y满足x2＋y2－6x＋2y＋1＝0，则(　BCD　)
A. x2＋y2的最小值是3
B. 的最大值是
C. x＋2y的最小值是1－3
D. 的最小值是5
【解析】 由x2＋y2－6x＋2y＋1＝0可得(x－3)2＋(y＋1)2＝9，则方程x2＋y2－6x＋2y＋1＝0表示以C(3，－1)为圆心，3为半径的圆.对于A，设P(x，y)为圆C上的点，则x2＋y2表示点P到原点O的距离的平方，∵(0－3)2＋(0＋1)2＞9，∴原点O在圆C外，∴|OP|min＝|OC|－3＝3＝3，∴x2＋y2的最小值是(3)2＝19－6，A错误；对于B，设＝k，则kx－y＋k＝0，由题意知直线kx－y＋k＝0与圆C有公共点，则≤3，即7k2＋8k－8≤0，解得≤k≤，∴的最大值是，B正确；对于C，设x＋2y＝t，即x＋2y－t＝0，由题意知直线x＋2y－t＝0与圆C有公共点，∴≤3，解得1－3≤t≤1＋3，故x＋2y的最小值是1－3，C正确；对于D，∵(x－3)2＋(y＋1)2＝9，∴＝3表示圆C上的点P到点M(0，3)的距离，∵(0－3)2＋(3＋1)2＞9，∴点M在圆C外，∴|MP|min＝|MC|－3＝3＝5－3＝2，∴的最小值是3＋2＝5，D正确.
10. (2024·厦门一中检测)已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0，1)，则点B的坐标为　(2，－3)　.
【解析】 由x2＋y2－2x＋2y－3＝0，得(x－1)2＋(y＋1)2＝5，∴圆心C(1，－1).设B(x0，y0)，又A(0，1)，由中点坐标公式得解得∴点B的坐标为(2，－3).
11. 设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是　(x－1)2＋y2＝2　.
【解析】 由题意知，圆心(1，0)到P点的距离为，∴点P在以(1，0)为圆心，以为半径的圆上，∴点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2.
12. 若圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，且∠ACB＝90°(其中C为已知圆的圆心)，则实数m＝　－3　.
【解析】 设A(0，y1)，B(0，y2)，在圆方程中令x＝0得y2＋2y＋m＝0，y1，y2即为该方程的两根，由根与系数的关系及判别式得又由∠ACB＝90°，C(2，－1)，知kAC·kBC＝－1，即·＝－1，
即y1y2＋(y1＋y2)＋1＝－4，代入上面的结果得m－2＋1＝－4，∴m＝－3，符合m＜1的条件.
13. 已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程.
解： 圆心C，
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴1＝0，即D＋E＝－2 ①.又半径长r＝，
∴D2＋E2＝20 ②.
由①②可得或
又圆心在第二象限，∴＜0，即D＞0，则
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
14. 已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示圆.
(1)求t的取值范围；
(2)求圆的圆心和半径；
(3)求圆的半径的最大值及此时圆的标准方程.
解： (1)若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示圆，则[－2(t＋3)]2＋4(1－4t2)2－4 (16t4＋9)＞0，即－7t2＋6t＋1＞0，解得＜t＜1.
(2)圆的圆心为，即(t＋3，4t2－1)，半径为.
(3)圆的半径r＝，∴当t＝ 时，r取得最大值，
此时圆的标准方程为.
15. 已知实数x1，x2，y1，y2满足：＝1，＝1，x1x2＋y1y2＝，则的最大值是　2　.
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，由＝1，＝1，x1x2＋y1y2＝，可得A，B两点在圆x2＋y2＝1上，且·＝1×1×cos∠AOB＝，则∠AOB＝60°，∴三角形OAB为等边三角形，|AB|＝1.的几何意义为A，B两点到直线x＋y－2＝0的距离|AA1|与|BB1|之和，记线段AB，A1B1的中点分别是C，C1，O到直线x＋y－2＝0的距离为|OO1|，则|AA1|＋|BB1|＝2|CC1|，且|CC1|≤|OC|＋|OO1|＝，∴|AA1|＋|BB1|≤2，∴的最大值是2.
16. 已知方程x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋6k2＋21k＋19＝0表示一个圆，其圆心为C.
(1)求圆C的半径r的取值范围；
(2)求圆心C的轨迹方程；
(3)若k＝－2，线段AB的端点A的坐标为(0，4)，端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解： (1)方程x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋6k2＋21k＋19＝0可变形为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝－k2－k＋6，若该方程表示一个圆，则－k2－k＋6＞0，解得－3＜k＜2，∴r＝∈.
(2)由(1)知C(－k，－2k－5)，令消去k可得y＝2x－5，又－3＜k＜2，∴－2＜x＜3，故圆心C的轨迹方程为y＝2x－5(－2＜x＜3).
(3)当k＝－2时，圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.设M(x0，y0)，∵M为线段AB的中点，端点A的坐标为(0，4)，∴B(2x0，2y0－4)，又端点B在圆C上运动，∴(2x0－2)2＋(2y0－3)2＝4，即(x0－1)2＝1，∴线段AB的中点M的轨迹方程为(x－1)2＝1.(共33张PPT)
四、 圆的方程
练习2　圆的一般方程
直线和圆的方程
第二章
必备知识练
1. (2025·湖南永州高二检测)圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心坐标为(　　)
A. (1，2) B. (1，－2)
C. (－1，－2) D. (－1，2)
【解析】 由x2＋y2＋2x－4y＋1＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，故圆心坐标为(－1，2).
D
2. 若方程x2＋y2＋2y＋m＝0表示圆，则m的取值范围是(　　)
A. (1，＋∞) B. (－∞，1)
C. [1，＋∞) D. (－∞，1]
【解析】 由x2＋y2＋2y＋m＝0得x2＋(y＋1)2＝1－m，∴1－m＞0，解得m＜1.
B
3. 若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围
是(　　)
A. (0，＋∞) B.
C. D.
【解析】 x2＋y2－x＋y＋m＝0可化为m，则m＞0，解得m＜.∵点(1，－1)在圆外，∴1＋1－1－1＋m＞0，即m＞0，∴0＜m＜.
C
4. 经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)的圆的方程是
(　　)
A. x2＋y2－7x－3y＋2＝0
B. x2＋y2＋7x－3y＋2＝0
C. x2＋y2＋7x＋3y＋2＝0
D. x2＋y2－7x＋3y＋2＝0
A
【解析】 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)三点的坐标分别代入，得解得故圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
5. (2025·江苏宿迁高二期中)如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝
0(D2＋E2－4F＞0)表示的曲线关于y＝x对称，则必有(　　)
A. D＝E B. D＋E＝0
C. D＝F D. F＝E
【解析】 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示圆心为的圆，由题意可知，圆心在直线y＝x上，则，即D＝E.
A
6. (2025·云南文山高二期末)点P(1，0)，Q是圆x2＋y2＝4上的
一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是(　　)
A. y2＝1 B. x2＝4
C. x2＝1 D. y2＝0
A
【解析】 设Q(x0，y0)，PQ中点M(x，y)，∴x＝，y＝，即x0＝2x－1，y0＝2y，又Q是圆x2＋y2＝4上的一个动点，∴＝(2x－1)2＋(2y)2＝4，化简得y2＝1，∴点M的轨迹方程为y2＝1.
7. (2025·吉林延边高二检测)若平面内两定点A，B间的距离
为3，动点P满足＝2，则△PAB面积的最大值是(　　)
A. 2 B.
C. 4 D. 3
D
【解析】 令A，B且
P(x，y)，则＝4，整理得
y2＝4， ∴P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，要使△PAB面积最大，只需P到直线AB的距离最大，故最大值是×2×3＝3.
8. (多选)(2024·重庆江津二中高二期中)已知圆M的一般方程
为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. 圆M的圆心为(4，－3)
B. x轴被圆M截得的弦长为10
C. 圆M的半径为5
D. y轴被圆M截得的弦长为8
AC
【解析】 由圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，得圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝52，圆心为(4，－3)，半径为5，
A，C正确；在x2＋y2－8x＋6y＝0中，令x＝0，得y＝0，或y＝－6，令y＝0，得x＝0，或x＝8，∴y轴被圆M截得的弦长为6，x轴被圆M截得的弦长为8，B，D错误.
9. (多选)已知x，y满足x2＋y2－6x＋2y＋1＝0，则(　 　)
A. x2＋y2的最小值是3
B. 的最大值是
C. x＋2y的最小值是1－3
D. 的最小值是5
BCD
【解析】 由x2＋y2－6x＋2y＋1＝0可得(x－3)2＋(y＋1)2＝9，则方程x2＋y2－6x＋2y＋1＝0表示以C(3，－1)为圆心，3为半径的圆.对于A，设P(x，y)为圆C上的点，则x2＋y2表示点P到原点O的距离的平方，∵(0－3)2＋(0＋1)2＞9，∴原点O在圆C外，∴|OP|min＝|OC|－3＝3＝3，∴x2＋y2的最小值是(3)2＝19－6，A错误；对于B，设＝k，则kx－y＋k＝0，由题意知直线kx－y＋k＝0与圆C有公共点，
则≤3，即7k2＋8k－8≤0，解得≤k≤，∴的最大值是，B正确；对于C，设x＋2y＝t，即x＋2y－t＝0，由题意知直线x＋2y－t＝0与圆C有公共点，∴≤3，解得1－3≤t≤1＋3，故x＋2y的最小值是1－3，C正确；对于D，
∵(x－3)2＋(y＋1)2＝9，∴＝3表示圆C上的点P到点
M(0，3)的距离，∵(0－3)2＋(3＋1)2＞9，∴点M在圆C外，∴|MP|min＝|MC|－3＝3＝5－3＝2，∴的最小值是3＋2＝5，
D正确.
10. (2024·厦门一中检测)已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0，1)，则点B的坐标为__________.
【解析】 由x2＋y2－2x＋2y－3＝0，得(x－1)2＋(y＋1)2＝5， ∴圆心C(1，－1).设B(x0，y0)，又A(0，1)，由中点坐标公式得解得∴点B的坐标为(2，－3).
(2，－3)
11. 设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|
＝1，则点P的轨迹方程是__________________.
【解析】 由题意知，圆心(1，0)到P点的距离为，∴点P在以(1，0)为圆心，以为半径的圆上，∴点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2.
(x－1)2＋y2＝2
12. 若圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，且∠ACB＝90°(其中C为已知圆的圆心)，则实数m＝__________.
【解析】 设A(0，y1)，B(0，y2)，在圆方程中令x＝0得y2＋2y＋m＝0，y1，y2即为该方程的两根，由根与系数的关系及判别式得又由∠ACB＝90°，C(2，－1)，知kAC·kBC＝－1，即·＝－1，即y1y2＋(y1＋y2)＋1＝－4，代入上面的结果得m－2＋1＝－4，∴m＝－3，符合m＜1的条件.
－3
关键能力练
13. 已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程.
解： 圆心C，
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴1＝0，即D＋E＝－2 ①.又半径长r＝，
∴D2＋E2＝20 ②.
由①②可得或
又圆心在第二象限，∴＜0，即D＞0，则
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
14. 已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示圆.
(1)求t的取值范围；
(2)求圆的圆心和半径；
(3)求圆的半径的最大值及此时圆的标准方程.
解： (1)若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示圆，则[－2(t＋3)]2＋4(1－4t2)2－4 (16t4＋9)＞0，即－7t2＋6t＋1＞0，解得＜t＜1.
(2)圆的圆心为，即(t＋3，4t2－1)，半径为.
(3)圆的半径r＝，∴当t＝ 时，r取得最大值，
此时圆的标准方程为.
拓展突破练
15. 已知实数x1，x2，y1，y2满足：＝1，＝1，x1x2＋y1y2＝，则的最大值是______________.
2
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则＝
(x1，y1)，＝(x2，y2)，由＝1，＝1，x1x2＋y1y2＝，可得A，B两点在圆x2＋y2＝1上，且·＝1×1×cos∠AOB＝，则∠AOB＝60°，∴三角形OAB为等边三角形，|AB|＝1.的几何意义为A，B两点到直线x＋y－2＝0的距离|AA1|与|BB1|之和，记线段AB，
A1B1的中点分别是C，C1，O到直线x＋y－2＝0的距离为|OO1|，则|AA1|＋|BB1|＝2|CC1|，且|CC1|≤|OC|＋|OO1|＝，
∴|AA1|＋|BB1|≤2，∴的最大值是2.
16. 已知方程x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋6k2＋21k＋19＝0表示一个圆，其圆心为C.
(1)求圆C的半径r的取值范围；
(2)求圆心C的轨迹方程；
(3)若k＝－2，线段AB的端点A的坐标为(0，4)，端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解： (1)方程x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋6k2＋21k＋19＝0可变形为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝－k2－k＋6，若该方程表示一个圆，则－k2－k＋6＞0，解得－3＜k＜2，∴r＝
∈.
(2)由(1)知C(－k，－2k－5)，令消去k可得y＝2x－5，又－3＜k＜2，∴－2＜x＜3，故圆心C的轨迹方程为y＝2x－5(－2＜x＜3).
(3)当k＝－2时，圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.设M(x0，y0)，∵M为线段AB的中点，端点A的坐标为(0，4)，∴B(2x0，2y0－4)，又端点B在圆C上运动，∴(2x0－2)2＋(2y0－3)2＝4，即(x0－1)2＝1，∴线段AB的中点M的轨迹方程为(x－1)2＝1.2.4 练习2　圆的一般方程
1. (2025·湖南永州高二检测)圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心坐标为( 　)
A. (1，2) B. (1，－2)
C. (－1，－2) D. (－1，2)
2. 若方程x2＋y2＋2y＋m＝0表示圆，则m的取值范围是( 　)
A. (1，＋∞) B. (－∞，1)
C. [1，＋∞) D. (－∞，1]
3. 若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是( 　)
A. (0，＋∞) B.
C. D.
4. 经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)的圆的方程是( 　)
A. x2＋y2－7x－3y＋2＝0
B. x2＋y2＋7x－3y＋2＝0
C. x2＋y2＋7x＋3y＋2＝0
D. x2＋y2－7x＋3y＋2＝0
5. (2025·江苏宿迁高二期中)如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的曲线关于y＝x对称，则必有( 　)
A. D＝E B. D＋E＝0
C. D＝F D. F＝E
6. (2025·云南文山高二期末)点P(1，0)，Q是圆x2＋y2＝4上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是( 　)
A. y2＝1
B. x2＝4
C. x2＝1
D. y2＝0
7. (2025·吉林延边高二检测)若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足＝2，则△PAB面积的最大值是( 　)
A. 2 B.
C. 4 D. 3
8. (多选)(2024·重庆江津二中高二期中)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中，正确的是( 　)
A. 圆M的圆心为(4，－3)
B. x轴被圆M截得的弦长为10
C. 圆M的半径为5
D. y轴被圆M截得的弦长为8
9. (多选)已知x，y满足x2＋y2－6x＋2y＋1＝0，则( 　)
A. x2＋y2的最小值是3
B. 的最大值是
C. x＋2y的最小值是1－3
D. 的最小值是5
10. (2024·厦门一中检测)已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0，1)，则点B的坐标为 .
11. 设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是 .
12. 若圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，且∠ACB＝90°(其中C为已知圆的圆心)，则实数m＝ .
13. 已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程.
14. 已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示圆.
(1)求t的取值范围；
(2)求圆的圆心和半径；
(3)求圆的半径的最大值及此时圆的标准方程.
15. 已知实数x1，x2，y1，y2满足：＝1，＝1，x1x2＋y1y2＝，则的最大值是 .
16. 已知方程x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋6k2＋21k＋19＝0表示一个圆，其圆心为C.
(1)求圆C的半径r的取值范围；
(2)求圆心C的轨迹方程；
(3)若k＝－2，线段AB的端点A的坐标为(0，4)，端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.

展开更多......

收起↑