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2.5 练习1　直线与圆的位置关系
1. 已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则( 　)
A. l与C相交
B. l与C相切
C. l与C相离
D. 以上三个选项均有可能
2. 已知直线ax＋by＋c＝0(ab≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是( 　)
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不存在
3. 直线l：＝1与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系为( 　)
A. 相切 B. 相交
C. 相离 D. 无法确定
4. 若点P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为( 　)
A. x＋y－1＝0 B. 2x＋y－3＝0
C. 2x－y－5＝0 D. x－y－3＝0
5. 经过点M(2，1)作圆x2＋y2＝5的切线，则该切线方程为( 　)
A. x＋y－5＝0
B. x＋y＋5＝0
C. 2x＋y－5＝0
D. 2x＋y＋5＝0
6. 若圆C：(x－1)2＋(y－3)2＝8上存在四个点到直线l：x＋y＋m＝0的距离为，则实数m的取值范围是( 　)
A. m＜－6
B. m＞－2
C. －6＜m＜－2
D. m＜－6，或m＞－2
7. 过点P(0，－2)且与圆C：x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则cos α等于( 　)
A. B.
C. D.
8. (多选)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程可能为( 　)
A. x＋y＝0 B. x－y＝0
C. x＝0 D. x＋y＝4
9. (多选)(2024·江西抚州临川一中高二期中)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，直线l：y＝kx(k∈R)，则下列结论中，正确的是( 　)
A. 存在实数k，使得直线l与圆C相切
B. 若直线l与圆C交于A，B两点，则|AB|的最大值是4
C. 当k＝－1时，圆C上存在4个点到直线l的距离为
D. 当k＝1时，对任意λ∈R，曲线E：x2＋y2－(λ＋4)x＋λy＝0恒过直线l与圆C的交点
10. 若直线y＝x＋b与圆(x－1)2＋y2＝2有公共点，则b的取值范围是 .
11. 过圆x2＋y2＝8内的点P(－1，2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为 .
12. (2024·黑龙江大庆东风中学高二期中)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为或.
13. 已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，则是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点O？
14. 已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长.
15. 直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足( 　)
A. |b|＝
B. －1＜b≤1，或b＝
C. －1≤b＜1
D. 非以上答案
16. (2024·衡水中学检测)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为2.
(1)求圆C的方程；
(2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标.2.5 练习1　直线与圆的位置关系
1. 已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　A　)
A. l与C相交
B. l与C相切
C. l与C相离
D. 以上三个选项均有可能
【解析】 将点P(3，0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3＜0，∴点P(3，0)在圆内，∴过点P的直线l必与圆C相交.
2. 已知直线ax＋by＋c＝0(ab≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是(　B　)
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不存在
【解析】 由题意知，＝1，∴a2＋b2＝c2，∴三角形为直角三角形.
3. 直线l：＝1与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系为(　A　)
A. 相切 B. 相交
C. 相离 D. 无法确定
【解析】 圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(1，1)，半径r＝1，直线l的一般方程为3x＋4y－12＝0，则圆心C到直线l的距离d＝＝1＝r，∴直线l与圆C相切.
4. 若点P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为(　D　)
A. x＋y－1＝0 B. 2x＋y－3＝0
C. 2x－y－5＝0 D. x－y－3＝0
【解析】 圆心是点C(1，0)，由CP⊥AB，得kAB＝1，又直线AB过点P，∴直线AB的方程为x－y－3＝0.
5. 经过点M(2，1)作圆x2＋y2＝5的切线，则该切线方程为(　C　)
A. x＋y－5＝0
B. x＋y＋5＝0
C. 2x＋y－5＝0
D. 2x＋y＋5＝0
【解析】 设过点M的圆的切线上除点M的任一点的坐标为(x，y)，∵点M(2，1)在圆x2＋y2＝5上，∴·＝－1，即2x＋y－5＝0.
6. 若圆C：(x－1)2＋(y－3)2＝8上存在四个点到直线l：x＋y＋m＝0的距离为，则实数m的取值范围是(　C　)
A. m＜－6
B. m＞－2
C. －6＜m＜－2
D. m＜－6，或m＞－2
【解析】 由题意可知圆C的圆心为C(1，3)且半径r＝2.∵圆上存在四个点到直线l：x＋y＋m＝0的距离为，∴点C到直线l：x＋y＋m＝0的距离d＝，解得－6＜m＜－2.
7. 过点P(0，－2)且与圆C：x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则cos α等于(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】 由x2＋y2－4x－1＝0可得(x－2)2＋y2＝5，则圆心为C(2，0)，半径r＝.设两条切线分别为PA，PB，连接PC，AC，BC，则|PC|＝＝2，|AC|＝|BC|＝.在△PAC中，sin，∴cos α＝1－2sin2＝1－2×.
8. (多选)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程可能为(　ABD　)
A. x＋y＝0 B. x－y＝0
C. x＝0 D. x＋y＝4
【解析】 圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：①直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则，解得k＝±1；②直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则，解得a＝4(a＝0舍去).综上所述，所求直线方程可能为y＝±x，或x＋y－4＝0.
9. (多选)(2024·江西抚州临川一中高二期中)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，直线l：y＝kx(k∈R)，则下列结论中，正确的是(　BCD　)
A. 存在实数k，使得直线l与圆C相切
B. 若直线l与圆C交于A，B两点，则|AB|的最大值是4
C. 当k＝－1时，圆C上存在4个点到直线l的距离为
D. 当k＝1时，对任意λ∈R，曲线E：x2＋y2－(λ＋4)x＋λy＝0恒过直线l与圆C的交点
【解析】 由圆C：(x－2)2＋y2＝4，得圆心C(2，0)，半径r＝2.∵直线l：y＝kx过定点O(0，0)，且点O在圆C上，∴若直线l与圆C相切，则直线l的斜率不存在，A错误；当直线l经过圆心时，|AB|取得最大值，且最大值为圆的直径2r＝2×2＝4，B正确；当k＝－1时，直线l的方程为x＋y＝0，∵圆心C到直线l的距离d＝，∴r－d＝2，∴圆C上有4个点到直线的距离为，C正确；当k＝1时，直线l的方程为x－y＝0，曲线E：x2＋y2－(λ＋4)x＋λy＝0，即x2＋y2－4x－λ(x－y)＝0一定过直线l：x－y＝0与圆C：x2＋y2－4x＝0的交点，D正确.
10. 若直线y＝x＋b与圆(x－1)2＋y2＝2有公共点，则b的取值范围是　[－3，1]　.
【解析】 由y＝x＋b得x－y＋b＝0，圆(x－1)2＋y2＝2的圆心为(1，0)，半径为，若直线与圆有公共点，则≤，解得－3≤b≤1，故实数b的取值范围是[－3，1].
11. 过圆x2＋y2＝8内的点P(－1，2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为 　.
【解析】 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，圆心O(0，0)到直线l的距离d＝，则有|AB|＝2＝2.
12. (2024·黑龙江大庆东风中学高二期中)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为或.
【解析】 根据反射定律，反射光线所在直线就是过点(2，－3)所作圆的切线，设其斜率为k，反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，则＝1，解得k＝或.
13. 已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，则是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点O？
解： 假设存在，设l为y＝x＋m，圆C化为标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心C(1，－2).
解方程组得AB的中点N的坐标为N.
由于以AB为直径的圆过原点，∴|AN|＝|ON|.
又|AN|＝，|ON|＝，
∴9，解得m＝1，或m＝－4，∴存在直线l，方程为x－y＋1＝0和x－y－4＝0，并可以检验，这时l与圆C是相交于两点的.
14. 已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长.
解： (1)由题意知，圆C的圆心为(2，3)，半径r＝2.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时直线l与圆C相切；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，若直线l与圆C相切，则＝2，解得k＝，
此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.
综上，直线l的方程为x＝4，或3x＋4y－8＝0.
(2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为y＋1＝－(x－4)，即x＋y－3＝0，圆心到直线l的距离d＝，故所求弦长为2＝2×＝2.
15. 直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足(　B　)
A. |b|＝
B. －1＜b≤1，或b＝
C. －1≤b＜1
D. 非以上答案
【解析】 曲线x＝含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示.
相切时，b＝，其他位置符合条件时需满足－1＜b≤1.
16. (2024·衡水中学检测)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为2.
(1)求圆C的方程；
解： 设圆心(a，0)(a＞0)，则圆心到直线l：4x－3y－3＝0的距离d＝，由题意可得，d2＋()2＝22，即3＝4，解得a＝2，或a＝(舍去)，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标.
证明： ∵P是直线x＋y＋4＝0上一点，∴设P(m，－m－4)，∵PA为圆C的切线，∴PA⊥AC，即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆.设圆上任一点Q(x，y)，则·＝0，∵＝(x－m，y＋m＋4)，＝(x－2，y)，∴·＝(x－m)(x－2)＋y(y＋m＋4)＝0，即x2＋y2－2x＋4y＋m(－x＋y＋2)＝0，
令解得或
∴经过A，P，C三点的圆必过定点(－1，－3)和(2，0).(共26张PPT)
五、 直线与圆、圆与圆的位置关系
练习1　直线与圆的位置关系
直线和圆的方程
第二章
必备知识练
1. 已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　)
A. l与C相交
B. l与C相切
C. l与C相离
D. 以上三个选项均有可能
【解析】 将点P(3，0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3＜0，∴点P(3，0)在圆内，∴过点P的直线l必与圆C相交.
A
2. 已知直线ax＋by＋c＝0(ab≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是(　　)
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不存在
【解析】 由题意知，＝1，∴a2＋b2＝c2，∴三角形为直角三角形.
B
3. 直线l：＝1与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系为
(　　)
A. 相切 B. 相交
C. 相离 D. 无法确定
【解析】 圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(1，1)，半径r＝1，直线l的一般方程为3x＋4y－12＝0，则圆心C到直线l的距离d＝＝1＝r，∴直线l与圆C相切.
A
4. 若点P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为(　　)
A. x＋y－1＝0 B. 2x＋y－3＝0
C. 2x－y－5＝0 D. x－y－3＝0
【解析】 圆心是点C(1，0)，由CP⊥AB，得kAB＝1，又直线AB过点P，∴直线AB的方程为x－y－3＝0.
D
5. 经过点M(2，1)作圆x2＋y2＝5的切线，则该切线方程为
(　　)
A. x＋y－5＝0 B. x＋y＋5＝0
C. 2x＋y－5＝0 D. 2x＋y＋5＝0
【解析】 设过点M的圆的切线上除点M的任一点的坐标为(x，y)，∵点M(2，1)在圆x2＋y2＝5上，∴·＝－1，即2x＋y－5＝0.
C
6. 若圆C：(x－1)2＋(y－3)2＝8上存在四个点到直线l：x＋y＋m＝0的距离为，则实数m的取值范围是(　　)
A. m＜－6 B. m＞－2
C. －6＜m＜－2 D. m＜－6，或m＞－2
【解析】 由题意可知圆C的圆心为C(1，3)且半径r＝2.∵圆上存在四个点到直线l：x＋y＋m＝0的距离为，∴点C到直线l：x＋y＋m＝0的距离d＝，解得－6＜m＜－2.
C
7. 过点P(0，－2)且与圆C：x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的
夹角为α，则cos α等于(　　)
A. B.
C. D.
【解析】 由x2＋y2－4x－1＝0可得(x－2)2＋y2＝5，则圆心为C(2，0)，半径r＝.设两条切线分别为PA，PB，连接PC，AC，BC，则|PC|＝＝2，|AC|＝|BC|＝.在△PAC中，sin，∴cos α＝1－2sin2＝1－2×.
C
8. (多选)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距
相等的直线方程可能为(　 　)
A. x＋y＝0 B. x－y＝0
C. x＝0 D. x＋y＝4
ABD
【解析】 圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：①直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则，解得k＝±1；②直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则，解得a＝4(a＝0舍去).综上所述，所求直线方程可能为y＝±x，或x＋y－4＝0.
9. (多选)(2024·江西抚州临川一中高二期中)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，直线l：y＝kx(k∈R)，则下列结论中，正确的是
(　 　)
A. 存在实数k，使得直线l与圆C相切
B. 若直线l与圆C交于A，B两点，则|AB|的最大值是4
C. 当k＝－1时，圆C上存在4个点到直线l的距离为
D. 当k＝1时，对任意λ∈R，曲线E：x2＋y2－(λ＋4)x＋λy＝0恒过直线l与圆C的交点
BCD
【解析】 由圆C：(x－2)2＋y2＝4，得圆心C(2，0)，半径r＝2.∵直线l：y＝kx过定点O(0，0)，且点O在圆C上，∴若直线l与圆C相切，则直线l的斜率不存在，A错误；当直线l经过圆心时，|AB|取得最大值，且最大值为圆的直径2r＝2×2＝4，B正确；当k＝－1时，直线l的方程为x＋y＝0，∵圆心C到直线l的距离d＝，∴r－d＝2，∴圆C上有4个点到直线的距离为，C正确；当k＝1时，直线l的方程为x－y＝0，曲线E：x2＋y2－(λ＋4)x＋λy＝0，即x2＋y2－4x－λ(x－y)＝0一定过直线l：x－y＝0与圆C：x2＋y2－4x＝0的交点，D正确.
10. 若直线y＝x＋b与圆(x－1)2＋y2＝2有公共点，则b的取值范
围是__________.
【解析】 由y＝x＋b得x－y＋b＝0，圆(x－1)2＋y2＝2的圆心为(1，0)，半径为，若直线与圆有公共点，则≤，解得－3≤b≤1，故实数b的取值范围是[－3，1].
[－3，1]
11. 过圆x2＋y2＝8内的点P(－1，2)作直线l交圆于A，B两点.若
直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为_______.
【解析】 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，圆心O(0，0)到直线l的距离d＝，则有|AB|＝2＝2.

12. (2024·黑龙江大庆东风中学高二期中)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射
光线所在直线的斜率为____________.
【解析】 根据反射定律，反射光线所在直线就是过点(2，－3)所作圆的切线，设其斜率为k，反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，则＝1，解得k＝或.
或
关键能力练
13. 已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，则是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点O？
解： 假设存在，设l为y＝x＋m，圆C化为标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心C(1，－2).
解方程组得AB的中点N的坐标为
N.
由于以AB为直径的圆过原点，∴|AN|＝|ON|.
又|AN|＝，|ON|＝，∴9，解得m＝1，或m＝－4，∴存在直线l，方程为x－y＋1＝0和x－y－4＝0，并可以检验，这时l与圆C是相交于两点的.
14. 已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长.
解： (1)由题意知，圆C的圆心为(2，3)，半径r＝2.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时直线l与圆C相切；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，若直线l与圆C相切，则＝2，解得k＝，
此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.
综上，直线l的方程为x＝4，或3x＋4y－8＝0.
(2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为y＋1＝－(x－4)，即x＋y－3＝0，圆心到直线l的距离d＝，故所求弦长为2＝2×＝2.
拓展突破练
15. 直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满
足(　　)
A. |b|＝
B. －1＜b≤1，或b＝
C. －1≤b＜1
D. 非以上答案
B
【解析】 曲线x＝含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示.
相切时，b＝，其他位置符合条件时需满足－1＜b≤1.
16. (2024·衡水中学检测)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为2.
(1)求圆C的方程；
解： 设圆心(a，0)(a＞0)，则圆心到直线l：4x－3y－3＝0的距离d＝，由题意可得，d2＋()2＝22，即3＝4，解得a＝2，或a＝(舍去)，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标.
证明： ∵P是直线x＋y＋4＝0上一点，∴设P(m，－m－4)，∵PA为圆C的切线，∴PA⊥AC，即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆.设圆上任一点Q(x，y)，则·＝0，∵＝(x－m，y＋m＋4)，＝(x－2，y)，∴·＝(x－m)(x－2)＋y(y＋m＋4)＝0，即x2＋y2－2x＋4y＋m(－x＋y＋2)＝0，
令解得或
∴经过A，P，C三点的圆必过定点(－1，－3)和(2，0).

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