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(共26张PPT)
五、 直线与圆、圆与圆的位置关系
练习3　圆与圆的位置关系
直线和圆的方程
第二章
必备知识练
1. (2024·福建龙岩名校高二期中)圆O：x2＋y2＝1与圆M：(x＋1)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A. 相交 B. 内切
C. 内含 D. 外离
【解析】 由题意得|OM|＝，圆M的半径为3，圆O的半径为1，∵3－1＝2＞，∴圆O与圆M的位置关系为内含.
C
2. 圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线
的方程为(　　)
A. x－2y－1＝0 B. x－y＋2＝0
C. x－y－2＝0 D. x－2y＋1＝0
【解析】 由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.
B
3. 若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值
为(　　)
A. ±3 B. ±5
C. 3或5 D. ±3或±5
【解析】 圆C1与圆C2的圆心距为d＝＝|a|.当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5；当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.
D
4. 若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满
足的条件是(　　)
A. r＜1 B. r＞1
C. |r|≤1 D. |r|＜1
【解析】 圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其圆心为(－1，2)，半径为1，故两圆圆心之间的距离为.∵两圆有公共点，∴|r－1|≤≤r＋1，∴1≤r≤1，即－1≤r≤1，∴|r|≤1.
C
5. 已知圆C1：x2＋(y－2)2＝5和C2：(x＋2)2＋y2＝5交于A，B两点，则|AB|等于(　　)
A. B. 2
C. D. 2
【解析】 由x2＋(y－2)2＝5和(x＋2)2＋y2＝5两式相减得弦AB所在直线的方程为x＋y＝0，点(0，2)到直线x＋y＝0的距离d＝，∴|AB|＝2×＝2.
B
6. 已知两圆相交于两点(1，3)和(m，－1)，两圆的圆心都在直
线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为(　　)
A. －1 B. 2
C. 3 D. 0
【解析】 由已知两圆的交点与两圆的圆心的所在的直线垂直，＝－1，∴m＝5，又两圆的交点所连线段的中点在两圆的圆心所在的直线x－y＋c＝0上，∴c＝0，解得c＝－2，∴m＋c＝5＋(－2)＝3.
C
7. 已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直线恒过点P，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则
m2＋n2的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
C
【解析】 x2＋y2－kx＋2y＝0与x2＋y2＋ky－4＝0两式相减，得圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为k(x＋y)－2y－4＝0，由解得故P(2，－2).又点P在直线mx－ny－2＝0上，∴2m＋2n－2＝0，即m＋n＝1，则1＝(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2≤2(m2＋n2)，故m2＋n2≥，当且仅当m＝n＝时，等号成立，∴m2＋n2的取值范围是.
8. (多选)圆C1：x2＋y2－2x＋2y＋1＝0与圆C2：x2＋y2－2＝0相交于A，B两点，则方程x2＋y2－2x＋2y＋1＋λ(x2＋y2－2)＝0
(λ为常数)可以表示(　 　)
A. 直线AB
B. 过A，B两点的所有圆
C. 过A，B两点的圆(不包括圆C2)
D. 圆C1
【解析】 当λ＝－1时，方程表示直线AB；当λ≠－1时，方程表示过A，B两点的圆(C2除外)；λ＝0时，方程为x2＋y2－2x＋2y＋1＝0表示圆C1.
ACD
9. (多选)在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(0，2)，圆
C：(x－a)2＋y2＝1.若圆C上存在点M，使得|MA|2＋|MB|2＝
12，则实数a的值可能是(　 　)
A. －1 B. 0
C. 1＋2 D. －2
ABC
【解析】 设M(x，y)，∵|MA|2＋|MB|2＝12，∴(x－2)2＋y2＋x2＋(y－2)2＝12，∴(x－1)2＋(y－1)2＝4.∵圆C：(x－a)2＋y2＝1上存在点M，使得|MA|2＋|MB|2＝12，∴圆C与圆(x－1)2＋(y－1)2＝4相交或相切，∴1≤≤3，∴1－2≤a≤1＋2，A，B，C正确.
10. 若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，
b满足的条件是_________________.
【解析】 由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a，0)，和(0，b)，1，∵两圆相离，∴1，即a2＋b2＞3＋2.
a2＋b2＞3＋2
11. 两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r＞0)在一个交点处
的切线互相垂直，则r＝__________.
【解析】 设一个交点为P(x0，y0)，则＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴·＝－1，∴3y0－4x0＝－16，∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.
3
12. 已知圆C1：x2＋y2＝m2(m＞0)与圆C2：x2＋y2－2x－4y－15＝0恰有两条公切线，则实数m的取值范围是______________.
【解析】 易知圆C1的圆心为C1(0，0)，半径为m，由x2＋y2－2x－4y－15＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝20，∴圆C2的圆心为C2(1，2)，半径为2.∵圆C1与圆C2恰有两条公切线，∴圆C1与圆C2相交，∴|2m|＜|C1C2|＜2m，又|C1C2|＝，∴可得＜m＜3，即m的取值范围是(，3).
(，3)
关键能力练
13. 已知圆C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.
(1)证明：圆C1与圆C2相交；
证明： 圆C1的圆心为C1(1，－5)，半径r1＝＝5，圆C2的圆心为C2(－1，－1)，半径r2＝，
∵5＜|C1C2|＝＝25，
∴C1与C2相交.
(2)若圆C3经过圆C1与圆C2的交点以及坐标原点，求圆C3的方程.
解：
②－①得x－2y＋4＝0，即x＝2y－4，
代入①得(2y－5)2＋(y＋5)2＝50，解得
∴圆C3过A(－4，0)，B(0，2)，C(0，0)，△ABC为直角三角形，∴r＝|AB|＝，圆心为AB的中点(－2，1)，∴圆C3的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
14. 已知线段AB的端点B的坐标是(6，5)，端点A在圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4上运动.
(1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程；
(2)设圆C1与曲线C2的两个交点为M，N，求线段MN的长.
解： (1)设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，
∵点B的坐标是(6，5)，且P是线段AB的中点，∴于是有①.
∵点A在圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4上运动，∴(x0－4)2＋(y0－3)2＝4②.
把①代入②，得(2x－6－4)2＋(2y－5－3)2＝4，整理得(x－5)2＋(y－4)2＝1，∴点P的轨迹C2的方程为(x－5)2＋(y－4)2＝1.
(2)将圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4与圆C2：(x－5)2＋(y－4)2＝1的方程相减得 2x＋2y－19＝0.
圆C2：(x－5)2＋(y－4)2＝1的圆心为(5，4)，半径r＝1，且圆心(5，4)到直线2x＋2y－19＝0的距离d＝，∴|MN|＝2＝2×.
拓展突破练
15. (2024·东莞东华高级中学高二期中)M是圆C：(x＋2)2＋y2＝1上任意一点，AB为圆C1：(x－2)2＋y2＝3的弦，且|AB|＝
2，N为AB的中点，则|MN|的最小值是(　　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
B
【解析】 圆C：(x＋2)2＋y2＝1的圆心为C(－2，0)，半径r＝1，圆C1：(x－2)2＋y2＝3的圆心为C1(2，0)，半径r1＝.由弦长公式知，|AB|＝2＝2，可得|C1N|＝1，∴点N在以C1(2，0)为圆心，1为半径的圆上，易知|MN|的最小值是|CC1|－r－1＝4－1－1＝2.
16. (2024·长沙一中检测)已知圆M与圆N：＝r2关于直线y＝x对称，且点D在圆M上.
(1)试判断圆M与圆N的位置关系；
解： N关于直线y＝x的对称点为M，∴圆M的半径r＝，∴圆M的方程为.又|MN|＝×2，故圆M与圆N相离.
(2)设P为圆M上任意一点，A，B，P，A，B三点不共线，PG为∠APB的角平分线，且交AB于点G，证明：△PBG与△APG的面积之比为定值.
证明： 设P(x0，y0)，则|PA|2＝(x0＋1)2＝(x0＋1)2x0，|PB|2＝(x0－1)2
＝(x0－1)2x0，∴，即.又PG为∠APB的角平分线，且交AB于点G，故＝2为定值.2.5 练习3　圆与圆的位置关系
1. (2024·福建龙岩名校高二期中)圆O：x2＋y2＝1与圆M：(x＋1)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( 　)
A. 相交 B. 内切
C. 内含 D. 外离
2. 圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线的方程为( 　)
A. x－2y－1＝0
B. x－y＋2＝0
C. x－y－2＝0
D. x－2y＋1＝0
3. 若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( 　)
A. ±3 B. ±5
C. 3或5 D. ±3或±5
4. 若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是( 　)
A. r＜1
B. r＞1
C. |r|≤1
D. |r|＜1
5. 已知圆C1：x2＋(y－2)2＝5和C2：(x＋2)2＋y2＝5交于A，B两点，则|AB|等于( 　)
A. B. 2
C. D. 2
6. 已知两圆相交于两点(1，3)和(m，－1)，两圆的圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为( 　)
A. －1 B. 2
C. 3 D. 0
7. 已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直线恒过点P，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则m2＋n2的取值范围是( 　)
A. B.
C. D.
8. (多选)圆C1：x2＋y2－2x＋2y＋1＝0与圆C2：x2＋y2－2＝0相交于A，B两点，则方程x2＋y2－2x＋2y＋1＋λ(x2＋y2－2)＝0(λ为常数)可以表示( 　)
A. 直线AB
B. 过A，B两点的所有圆
C. 过A，B两点的圆(不包括圆C2)
D. 圆C1
9. (多选)在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(0，2)，圆C：(x－a)2＋y2＝1.若圆C上存在点M，使得|MA|2＋|MB|2＝12，则实数a的值可能是( 　)
A. －1 B. 0
C. 1＋2 D. －2
10. 若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是 .
11. 两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r＞0)在一个交点处的切线互相垂直，则r＝ .
12. 已知圆C1：x2＋y2＝m2(m＞0)与圆C2：x2＋y2－2x－4y－15＝0恰有两条公切线，则实数m的取值范围是 .
13. 已知圆C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.
(1)证明：圆C1与圆C2相交；
(2)若圆C3经过圆C1与圆C2的交点以及坐标原点，求圆C3的方程.
14. 已知线段AB的端点B的坐标是(6，5)，端点A在圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4上运动.
(1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程；
(2)设圆C1与曲线C2的两个交点为M，N，求线段MN的长.
15. (2024·东莞东华高级中学高二期中)M是圆C：(x＋2)2＋y2＝1上任意一点，AB为圆C1：(x－2)2＋y2＝3的弦，且|AB|＝2，N为AB的中点，则|MN|的最小值是( 　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
16. (2024·长沙一中检测)已知圆M与圆N：＝r2关于直线y＝x对称，且点D在圆M上.
(1)试判断圆M与圆N的位置关系；
(2)设P为圆M上任意一点，A，B，P，A，B三点不共线，PG为∠APB的角平分线，且交AB于点G，证明：△PBG与△APG的面积之比为定值.2.5 练习3　圆与圆的位置关系
1. (2024·福建龙岩名校高二期中)圆O：x2＋y2＝1与圆M：(x＋1)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　C　)
A. 相交 B. 内切
C. 内含 D. 外离
【解析】 由题意得|OM|＝，圆M的半径为3，圆O的半径为1，∵3－1＝2＞，∴圆O与圆M的位置关系为内含.
2. 圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线的方程为(　B　)
A. x－2y－1＝0
B. x－y＋2＝0
C. x－y－2＝0
D. x－2y＋1＝0
【解析】 由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.
3. 若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为(　D　)
A. ±3 B. ±5
C. 3或5 D. ±3或±5
【解析】 圆C1与圆C2的圆心距为d＝＝|a|.当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5；当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.
4. 若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是(　C　)
A. r＜1
B. r＞1
C. |r|≤1
D. |r|＜1
【解析】 圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其圆心为(－1，2)，半径为1，故两圆圆心之间的距离为.∵两圆有公共点，∴|r－1|≤≤r＋1，∴1≤r≤1，即－1≤r≤1，∴|r|≤1.
5. 已知圆C1：x2＋(y－2)2＝5和C2：(x＋2)2＋y2＝5交于A，B两点，则|AB|等于(　B　)
A. B. 2
C. D. 2
【解析】 由x2＋(y－2)2＝5和(x＋2)2＋y2＝5两式相减得弦AB所在直线的方程为x＋y＝0，点(0，2)到直线x＋y＝0的距离d＝，∴|AB|＝2×＝2.
6. 已知两圆相交于两点(1，3)和(m，－1)，两圆的圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为(　C　)
A. －1 B. 2
C. 3 D. 0
【解析】 由已知两圆的交点与两圆的圆心的所在的直线垂直，＝－1，∴m＝5，又两圆的交点所连线段的中点在两圆的圆心所在的直线x－y＋c＝0上，∴c＝0，解得c＝－2，∴m＋c＝5＋(－2)＝3.
7. 已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直线恒过点P，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则m2＋n2的取值范围是(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】 x2＋y2－kx＋2y＝0与x2＋y2＋ky－4＝0两式相减，得圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为k(x＋y)－2y－4＝0，由解得故P(2，－2).又点P在直线mx－ny－2＝0上，∴2m＋2n－2＝0，即m＋n＝1，则1＝(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2≤2(m2＋n2)，故m2＋n2≥，当且仅当m＝n＝时，等号成立，∴m2＋n2的取值范围是.
8. (多选)圆C1：x2＋y2－2x＋2y＋1＝0与圆C2：x2＋y2－2＝0相交于A，B两点，则方程x2＋y2－2x＋2y＋1＋λ(x2＋y2－2)＝0(λ为常数)可以表示(　ACD　)
A. 直线AB
B. 过A，B两点的所有圆
C. 过A，B两点的圆(不包括圆C2)
D. 圆C1
【解析】 当λ＝－1时，方程表示直线AB；当λ≠－1时，方程表示过A，B两点的圆(C2除外)；λ＝0时，方程为x2＋y2－2x＋2y＋1＝0表示圆C1.
9. (多选)在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(0，2)，圆C：(x－a)2＋y2＝1.若圆C上存在点M，使得|MA|2＋|MB|2＝12，则实数a的值可能是(　ABC　)
A. －1 B. 0
C. 1＋2 D. －2
【解析】 设M(x，y)，∵|MA|2＋|MB|2＝12，∴(x－2)2＋y2＋x2＋(y－2)2＝12，∴(x－1)2＋(y－1)2＝4.∵圆C：(x－a)2＋y2＝1上存在点M，使得|MA|2＋|MB|2＝12，∴圆C与圆(x－1)2＋(y－1)2＝4相交或相切，∴1≤≤3，∴1－2≤a≤1＋2，A，B，C正确.
10. 若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是　a2＋b2＞3＋2　.
【解析】 由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a，0)，和(0，b)，1，∵两圆相离，∴1，即a2＋b2＞3＋2.
11. 两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r＞0)在一个交点处的切线互相垂直，则r＝　3　.
【解析】 设一个交点为P(x0，y0)，则＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴·＝－1，∴3y0－4x0＝－16，∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.
12. 已知圆C1：x2＋y2＝m2(m＞0)与圆C2：x2＋y2－2x－4y－15＝0恰有两条公切线，则实数m的取值范围是　(，3)　.
【解析】 易知圆C1的圆心为C1(0，0)，半径为m，由x2＋y2－2x－4y－15＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝20，∴圆C2的圆心为C2(1，2)，半径为2.∵圆C1与圆C2恰有两条公切线，∴圆C1与圆C2相交，∴|2m|＜|C1C2|＜2m，又|C1C2|＝，∴可得＜m＜3，即m的取值范围是(，3).
13. 已知圆C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.
(1)证明：圆C1与圆C2相交；
证明： 圆C1的圆心为C1(1，－5)，半径r1＝＝5，圆C2的圆心为C2(－1，－1)，半径r2＝，
∵5＜|C1C2|＝＝25，
∴C1与C2相交.
(2)若圆C3经过圆C1与圆C2的交点以及坐标原点，求圆C3的方程.
解：
②－①得x－2y＋4＝0，即x＝2y－4，
代入①得(2y－5)2＋(y＋5)2＝50，解得
∴圆C3过A(－4，0)，B(0，2)，C(0，0)，△ABC为直角三角形，∴r＝|AB|＝，圆心为AB的中点(－2，1)，∴圆C3的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
14. 已知线段AB的端点B的坐标是(6，5)，端点A在圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4上运动.
(1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程；
(2)设圆C1与曲线C2的两个交点为M，N，求线段MN的长.
解： (1)设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，
∵点B的坐标是(6，5)，且P是线段AB的中点，∴于是有①.
∵点A在圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4上运动，∴(x0－4)2＋(y0－3)2＝4②.
把①代入②，得(2x－6－4)2＋(2y－5－3)2＝4，整理得(x－5)2＋(y－4)2＝1，∴点P的轨迹C2的方程为(x－5)2＋(y－4)2＝1.
(2)将圆C1：(x－4)2＋(y－3)2＝4与圆C2：(x－5)2＋(y－4)2＝1的方程相减得 2x＋2y－19＝0.
圆C2：(x－5)2＋(y－4)2＝1的圆心为(5，4)，半径r＝1，且圆心(5，4)到直线2x＋2y－19＝0的距离d＝，∴|MN|＝2＝2×.
15. (2024·东莞东华高级中学高二期中)M是圆C：(x＋2)2＋y2＝1上任意一点，AB为圆C1：(x－2)2＋y2＝3的弦，且|AB|＝2，N为AB的中点，则|MN|的最小值是(　B　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】 圆C：(x＋2)2＋y2＝1的圆心为C(－2，0)，半径r＝1，圆C1：(x－2)2＋y2＝3的圆心为C1(2，0)，半径r1＝.由弦长公式知，|AB|＝2＝2，可得|C1N|＝1，∴点N在以C1(2，0)为圆心，1为半径的圆上，易知|MN|的最小值是|CC1|－r－1＝4－1－1＝2.
16. (2024·长沙一中检测)已知圆M与圆N：＝r2关于直线y＝x对称，且点D在圆M上.
(1)试判断圆M与圆N的位置关系；
解： N关于直线y＝x的对称点为M，∴圆M的半径r＝，∴圆M的方程为
.又|MN|＝×2，故圆M与圆N相离.
(2)设P为圆M上任意一点，A，B，P，A，B三点不共线，PG为∠APB的角平分线，且交AB于点G，证明：△PBG与△APG的面积之比为定值.
证明： 设P(x0，y0)，则|PA|2＝(x0＋1)2＝(x0＋1)2x0，
|PB|2＝(x0－1)2＝(x0－1)2x0，∴，即.又PG为∠APB的角平分线，且交AB于点G，故＝2为定值.

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