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3.1 练习1　椭圆及其标准方程(一)
1. 椭圆5x2＋6y2＝30的焦点坐标为(　C　)
A. (－3，0)，(3，0)
B. (0，－3)，(0，3)
C. (－1，0)，(1，0)
D. (0，－1)，(0，1)
【解析】 根据题意，椭圆5x2＋6y2＝30的标准方程为＝1，其中a2＝6，b2＝5，且其焦点在x轴上，则c2＝6－5＝1，则椭圆的焦点坐标为(－1，0)，(1，0).
2. 设P是椭圆＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　B　)
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
【解析】 由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.不妨设|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.又|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形.
3. 已知椭圆y2＝1的一个焦点是(2，0)，那么实数k为(　D　)
A. B.
C. 3 D. 5
【解析】 ∵椭圆y2＝1的一个焦点是(2，0)，∴k＞1，∵k－1＝4，∴k＝5.
4. (2024·广东肇庆高二期中)已知椭圆＝1的焦距等于2，则实数m的值为(　A　)
A. 3或5 B. 8
C. 2或2 D. 或
【解析】 若椭圆的焦点在x轴上，则a2＝m，b2＝4，则2c＝2＝2＝2，可得m＝5；若椭圆的焦点在y轴上，则a2＝4，b2＝m，则2c＝2＝2＝2，可得m＝3.综上，m＝3或5.
5. 化简方程＝10为不含根式的形式为(　C　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
【解析】 由题意可知方程表示点(x，y)与两个定点(0，3)和(0，－3)之间的距离之和为10，又两定点之间的距离为6，且6＜10，符合椭圆的定义，即2a＝10，2c＝6，从而可求得b2＝16，相应椭圆方程为＝1.
6. 设椭圆C：y2＝1的左焦点为F，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|＋|BF|的值是(　C　)
A. 2 B. 2
C. 4 D. 4
【解析】 设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2，∵|OA|＝|OB|，|OF|＝|OF2|，O为坐标原点，
∴四边形AFBF2是平行四边形，∴|BF|＝|AF2|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF2|＝2a＝4.
7. 若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1，则称该椭圆为“倍径椭圆”，则下列椭圆中，为“倍径椭圆”的是(　B　)
A. ＝1
B. ＝5
C. ＝1
D. ＝1
【解析】 设椭圆的两个焦点为F1，F2，由题意可得，|PF1|＋|PF2|＝2a，即|PF1|＝2a－|PF2|，不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|＝2a－|PF2|＝2|PF2|，解得|PF2|＝，可得a－c≤，又a2＝b2＋c2，∴∈.对于A，可知a2＝16，b2＝15，则 ，A错误；对于B，∵＝5，即＝1，可知a2＝45，b2＝40，则∈，B正确；对于C，可知a2＝25，b2＝24，则 ，C错误；对于D，可知a2＝36，b2＝33，则 ，D错误.
8. (多选)若方程＝1表示椭圆C，则下列结论中，正确的是(　CD　)
A. k∈(1，9)
B. 椭圆C的焦距为2
C. 若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈(1，5)
D. 若椭圆C的焦点在y轴上，则k∈(5，9)
【解析】 由题可知又椭圆中a2≠b2，故k－1≠9－k，可得k∈(1，5)∪(5，9)，A错误.当9－k＞k－1＞0，即k∈(1，5)时，焦点在x轴上，c2＝a2－b2＝9－k－(k－1)＝10－2k；当k－1＞9－k＞0，即k∈(5，9)时，焦点在y轴上，c2＝a2－b2＝k－1－(9－k)＝2k－10，B错误，C，D正确.
9. (多选)已知P是椭圆＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则(　BCD　)
A. △F1PF2的周长为12
B. ＝2
C. 点P到x轴的距离为
D. ·＝2
【解析】 △F1PF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6＋2×＝6＋2，A错误；∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，∴4×(9－4)＝36－2|PF1|·|PF2||PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝6，∴|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×6×＝2，B正确；设点P到x轴的距离为d，则|F1F2|·d＝2，∴d＝，C正确；·＝||·||cos∠F1PF2＝6×＝2，D正确.
10. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为 ＝1　，其焦点坐标为　(±1，0)　.
【解析】 由题意知解得则b2＝a2－c2＝3，故椭圆的标准方程为＝1，焦点坐标为(±1，0).
11. 焦距等于4，且经过点P的椭圆的标准方程为 ＝1，或＝1　.
【解析】 ∵椭圆的焦距为4，∴c＝2，设椭圆的标准方程为＝1，或＝1，∵椭圆过点P，∴＝1，可得a2＝8，∴椭圆的标准方程为＝1，或＝1.
12. 椭圆＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为　4　.
【解析】 由椭圆方程可知，a2＝25，∴a＝5，∵|MF1|＝2，∴|MF2|＝2a－|MF1|＝8，连接|MF2|，在△MF1F2中，N是MF1的中点，O为F1F2的中点，∴ON是△MF1F2的中位线，∴|ON|＝|MF2|＝4.
13. 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)经过点(2，3)，且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点；
(2)经过P(－2，1)，Q(，－2) 两点.
解： (1)椭圆9x2＋4y2＝36，即＝1，故c＝，焦点为(0，)，(0，).设所求椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，则可得
∴所求椭圆的标准方程为＝1.
(2)设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，将P(－2，1)，Q(，－2)的坐标代入方程得解得
∴所求椭圆的标准方程为＝1.
14. 设P(x，y)是椭圆＝1上的点且P的纵坐标y≠0，点A(－5，0)，B(5，0)，试判断kPA·kPB是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
解： ∵点P在椭圆＝1上，∴y2＝16×＝16×　①.∵点P的纵坐标y≠0，∴x≠±5，∴kPA＝，kPB＝，
∴kPA·kPB＝·　②.
把①代入②，得kPA·kPB＝.
∴kPA·kPB为定值，这个定值是.
15. (多选)若椭圆＝1上的一点P到椭圆焦点的距离之积为a，当a取得最大值时，点P的坐标可能为(　CD　)
A. (－4，0)
B. (4，0)
C. (0，3)
D. (0，－3)
【解析】 记椭圆＝1的两个焦点分别为F1，F2，则|PF1|＋|PF2|＝8，可得|PF1|·|PF2|≤＝16，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时取等号，此时点P的坐标为(0，3)或(0，－3).
16. (2024·湖南常德部分学校高二联考)已知P是椭圆C：＝1上一点，点P在直线l：4x＋3y－21＝0上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则|PQ|－|PF|的最小值是(　A　)
A. 1 B. －1
C. D. 2
【解析】 椭圆C的左焦点为F1(－1，0)，则|PF1|＋|PF|＝4，故|PQ|－|PF|＝|PQ|＋|PF1|－4，当且仅当Q，P，F1三点共线，且P在线段QF1上时，|PQ|＋|PF1|取得最小值，最小值为点F1到直线l的距离＝5，∴|PQ|－|PF|的最小值是1.3.1 练习1　椭圆及其标准方程(一)
1. 椭圆5x2＋6y2＝30的焦点坐标为( 　)
A. (－3，0)，(3，0)
B. (0，－3)，(0，3)
C. (－1，0)，(1，0)
D. (0，－1)，(0，1)
2. 设P是椭圆＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是( 　)
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
3. 已知椭圆y2＝1的一个焦点是(2，0)，那么实数k为( 　)
A. B.
C. 3 D. 5
4. (2024·广东肇庆高二期中)已知椭圆＝1的焦距等于2，则实数m的值为( 　)
A. 3或5 B. 8
C. 2或2 D. 或
5. 化简方程＝10为不含根式的形式为( 　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
6. 设椭圆C：y2＝1的左焦点为F，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|＋|BF|的值是( 　)
A. 2 B. 2
C. 4 D. 4
7. 若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1，则称该椭圆为“倍径椭圆”，则下列椭圆中，为“倍径椭圆”的是( 　)
A. ＝1
B. ＝5
C. ＝1
D. ＝1
8. (多选)若方程＝1表示椭圆C，则下列结论中，正确的是( 　)
A. k∈(1，9)
B. 椭圆C的焦距为2
C. 若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈(1，5)
D. 若椭圆C的焦点在y轴上，则k∈(5，9)
9. (多选)已知P是椭圆＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则( 　)
A. △F1PF2的周长为12
B. ＝2
C. 点P到x轴的距离为
D. ·＝2
10. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为 ，其焦点坐标为 .
11. 焦距等于4，且经过点P的椭圆的标准方程为 .
12. 椭圆＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为 .
13. 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)经过点(2，3)，且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点；
(2)经过P(－2，1)，Q(，－2) 两点.
14. 设P(x，y)是椭圆＝1上的点且P的纵坐标y≠0，点A(－5，0)，B(5，0)，试判断kPA·kPB是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
15. (多选)若椭圆＝1上的一点P到椭圆焦点的距离之积为a，当a取得最大值时，点P的坐标可能为( 　)
A. (－4，0)
B. (4，0)
C. (0，3)
D. (0，－3)
16. (2024·湖南常德部分学校高二联考)已知P是椭圆C：＝1上一点，点P在直线l：4x＋3y－21＝0上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则|PQ|－|PF|的最小值是( 　)
A. 1 B. －1
C. D. 2(共26张PPT)
一、 椭圆
练习1　椭圆及其标准方程(一)
圆锥曲线的方程
第三章
必备知识练
1. 椭圆5x2＋6y2＝30的焦点坐标为(　　)
A. (－3，0)，(3，0) B. (0，－3)，(0，3)
C. (－1，0)，(1，0) D. (0，－1)，(0，1)
【解析】 根据题意，椭圆5x2＋6y2＝30的标准方程为＝1，其中a2＝6，b2＝5，且其焦点在x轴上，则c2＝6－5＝1，则椭圆的焦点坐标为(－1，0)，(1，0).
C
2. 设P是椭圆＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差
为2，则△PF1F2是(　　)
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
【解析】 由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.不妨设|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.又|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形.
B
3. 已知椭圆y2＝1的一个焦点是(2，0)，那么实数k为(　　)
A. B.
C. 3 D. 5
【解析】 ∵椭圆y2＝1的一个焦点是(2，0)，∴k＞1，
∵k－1＝4，∴k＝5.
D
4. (2024·广东肇庆高二期中)已知椭圆＝1的焦距等
于2，则实数m的值为(　　)
A. 3或5 B. 8
C. 2或2 D. 或
【解析】 若椭圆的焦点在x轴上，则a2＝m，b2＝4，则2c＝2＝2＝2，可得m＝5；若椭圆的焦点在y轴上，则a2＝4，b2＝m，则2c＝2＝2＝2，可得m＝3.综上，m＝3或5.
A
5. 化简方程＝10为不含根式的
形式为(　　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
【解析】 由题意可知方程表示点(x，y)与两个定点(0，3)和(0，－3)之间的距离之和为10，又两定点之间的距离为6，且6＜10，符合椭圆的定义，即2a＝10，2c＝6，从而可求得b2＝16，相应椭圆方程为＝1.
C
6. 设椭圆C：y2＝1的左焦点为F，直线l：y＝kx(k≠0)与椭
圆C交于A，B两点，则|AF|＋|BF|的值是(　　)
A. 2 B. 2
C. 4 D. 4
【解析】 设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2，∵|OA|＝|OB|，|OF|＝|OF2|，O为坐标原点，∴四边形AFBF2是平行四边形，∴|BF|＝|AF2|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF2|＝2a＝4.
C
7. 若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1，则称该椭圆为“倍径椭圆”，则下列椭圆中，为“倍径椭圆”的是(　　)
A. ＝1 B. ＝5
C. ＝1 D. ＝1
B
【解析】 设椭圆的两个焦点为F1，F2，由题意可得，|PF1|＋|PF2|＝2a，即|PF1|＝2a－|PF2|，不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|＝2a－|PF2|＝2|PF2|，解得|PF2|＝，可得a－c≤，又a2＝b2＋c2，∴∈.对于A，可知a2＝16，b2＝15，则 ，A错误；对于B，∵＝5，即＝1，可知a2＝45，b2＝40，则∈，B正确；对于C，可知a2＝25，b2＝24，则 ，C错误；对于D，可知a2＝36，b2＝33，则 ，D错误.
8. (多选)若方程＝1表示椭圆C，则下列结论中，正
确的是(　　)
A. k∈(1，9)
B. 椭圆C的焦距为2
C. 若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈(1，5)
D. 若椭圆C的焦点在y轴上，则k∈(5，9)
CD
【解析】 由题可知又椭圆中a2≠b2，故k－1≠9－k，可得k∈(1，5)∪(5，9)，A错误.当9－k＞k－1＞0，即k∈(1，5)时，焦点在x轴上，c2＝a2－b2＝9－k－(k－1)＝10－2k；当k－1＞9－k＞0，即k∈(5，9)时，焦点在y轴上，c2＝a2－b2＝k－1－(9－k)＝2k－10，B错误，C，D正确.
9. (多选)已知P是椭圆＝1上一点，椭圆的左、右焦点分
别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则(　 　)
A. △F1PF2的周长为12
B. ＝2
C. 点P到x轴的距离为
D. ·＝2
BCD
【解析】 △F1PF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6＋2×＝6＋2，A错误；∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，∴4×(9－4)＝36－2|PF1|·|PF2||PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝6，∴|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×6×＝2，B正确；设点P到x轴的距离为d，则|F1F2|·d＝2，∴d＝，C正确；·＝||·||cos∠F1PF2＝6×＝2，D正确.
10. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为
_____________，其焦点坐标为__________.
【解析】 由题意知解得则b2＝a2－c2＝3，故椭圆的标准方程为＝1，焦点坐标为(±1，0).
＝1
(±1，0)
11. 焦距等于4，且经过点P的椭圆的标准方程为________________________.
【解析】 ∵椭圆的焦距为4，∴c＝2，设椭圆的标准方程为＝1，或＝1，∵椭圆过点P，∴＝1，可得a2＝8，∴椭圆的标准方程为＝1，或＝1.
＝1，或＝1
12. 椭圆＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为__________.
【解析】 由椭圆方程可知，a2＝25，∴a＝5，∵|MF1|＝2，∴|MF2|＝2a－|MF1|＝8，连接|MF2|，在△MF1F2中，N是MF1的中点，O为F1F2的中点，∴ON是△MF1F2的中位线，∴|ON|＝|MF2|＝4.
4
关键能力练
13. 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)经过点(2，3)，且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点；
(2)经过P(－2，1)，Q(，－2) 两点.
解： (1)椭圆9x2＋4y2＝36，即＝1，故c＝，焦点为(0，)，(0，).设所求椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，则可得
∴所求椭圆的标准方程为＝1.
(2)设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，将P(－2，1)，Q(，－2)的坐标代入方程得解得
∴所求椭圆的标准方程为＝1.
14. 设P(x，y)是椭圆＝1上的点且P的纵坐标y≠0，点A(－5，0)，B(5，0)，试判断kPA·kPB是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
解： ∵点P在椭圆＝1上，∴y2＝16×＝16×　①.∵点P的纵坐标y≠0，∴x≠±5，∴kPA＝，kPB＝，
∴kPA·kPB＝·　②.
把①代入②，得kPA·kPB＝.
∴kPA·kPB为定值，这个定值是.
拓展突破练
15. (多选)若椭圆＝1上的一点P到椭圆焦点的距离之积
为a，当a取得最大值时，点P的坐标可能为(　 　)
A. (－4，0) B. (4，0)
C. (0，3) D. (0，－3)
【解析】 记椭圆＝1的两个焦点分别为F1，F2，则|PF1|＋|PF2|＝8，可得|PF1|·|PF2|≤＝16，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时取等号，此时点P的坐标为(0，3)或(0，－3).
CD
16. (2024·湖南常德部分学校高二联考)已知P是椭圆C：＝1上一点，点P在直线l：4x＋3y－21＝0上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则|PQ|－|PF|的最小值是(　　)
A. 1 B. －1
C. D. 2
A
【解析】 椭圆C的左焦点为F1(－1，0)，则|PF1|＋|PF|＝4，故|PQ|－|PF|＝|PQ|＋|PF1|－4，当且仅当Q，P，F1三点共线，且P在线段QF1上时，|PQ|＋|PF1|取得最小值，最小值为点F1到直线l的距离＝5，∴|PQ|－|PF|的最小值是1.

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