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(共29张PPT)
一、 椭圆
练习2　椭圆及其标准方程(二)
圆锥曲线的方程
第三章
必备知识练
1. (2025·山东菏泽高二期末)点M与定点F(2，0)的距离和它到
定直线x＝8的距离的比为1∶2，则点M的轨迹方程为(　　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
【解析】 设M(x，y)，∵点M与定点F(2，0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比为1∶2，∴，即4(x－2)2＋4y2＝(x－8)2，整理得＝1.
C
2. (2025·吉林高二期末)已知椭圆方程为C：＝1，P为椭圆上一点，若∠F1PF2＝90°，r为△F1PF2的内切圆，则r等于
(　　)
A. B. 2
C. 2 D.
【解析】 由椭圆定义及圆切线性质知
r＝＝a－c＝2.
B
3. 设F1，F2为椭圆C：y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|等于(　　)
A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
B
【解析】 方法一　∵·＝0，∴∠F1PF2＝90°，从而＝b2tan 45°＝1＝×|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝2.
方法二　∵·＝0，∴∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4，故c＝2，∴＝42＝16，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，两边平方得2|PF1|·|PF2|＝16＋2|PF1|·|PF2|＝20，∴|PF1|·|PF2|＝2.
4. 已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0，2)，则顶点A的
轨迹方程为(　　)
A. ＝1(x≠0) B. ＝1(y≠0)
C. ＝1(x≠0) D. ＝1(y≠0)
【解析】 ∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0，2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值.又8＞4，∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，∴b2＝12，∴椭圆的方程为＝1(x≠0).
A
5. 设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且
|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)
A. 5 B. 4 C. 3 D. 1
【解析】 由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4.
B
6. 已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点A到F1的距离是2，线
段AF2的垂直平分线交AF1于点P，则点P的轨迹方程是(　　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
【解析】 依题意有|AP|＝|PF2|，|AF1|＝|AP|＋|PF1|＝|PF1|＋|PF2|＝2＞|F1F2|＝2，∴点P的轨迹是以F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点的椭圆.∵2a＝2，2c＝2，∴a＝，b＝，故所求点P的轨迹方程是＝1.
C
7. 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，
F2，M为C上一点，若MF1的中点为(0，1)，且△MF1F2的周长
为8＋4，则C的标准方程为(　　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
A
【解析】 ∵△MF1F2的周长为8＋4，∴2a＋2c＝8＋4，则a＋c＝4＋2.又F1(－c，0)，MF1的中点为(0，1)，∴M的坐标为(c，2)，故＝1，则＝2，结合a2＝b2＋c2，a＋c＝4＋2，解得a＝4，b＝c＝2，∴椭圆C的标准方程为＝1.
8. (多选)(2025·山东潍坊高二期中)设椭圆C：＝1的
左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则(　 　)
A. |PF1|＋|PF2|＝8
B. |PF1|的最大值是9
C. △PF1F2的面积的最大值是12
D. 存在点P，使得PF1⊥PF2
BCD
【解析】 椭圆C：＝1的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，半焦距c＝＝4.对于A，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，A错误；对于B，＝a＋c＝9，B正确；对于C，设△PF1F2的顶点P(x0，y0)，则|y0|≤3，|F1F2|·|y0|＝c·|y0|≤4×3＝12，C正确；对于D，由c＞b知，以线段F1F2为直径的圆与椭圆C有4个交点，当点P为此交点之一时，PF1⊥PF2，D正确.
9. (多选)设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上一
点，且|PF1|－|PF2|＝2.下列说法中，正确的是(　 　)
A. |PF1|＝5，|PF2|＝3
B. △PF1F2为直角三角形
C. △PF1F2的面积为6
D. △PF1F2的面积为12
ABC
【解析】 由＝1，得a2＝16，b2＝12，则a＝4，b＝2，c＝＝2，
∵P是椭圆上一点，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，
∵|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，∴A正确；
对于B，∵|F1F2|＝2c＝4，∴，
∴△PF1F2为直角三角形，∴B正确；对于C，D，∵△PF1F2为直角三角形，PF2⊥F1F2，∴×3×4＝6，
∴C正确，D错误.
10. 椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点.现从椭圆＝1的左焦点F发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F，
则光线所经过的总路程为__________.
【解析】 依题意可知光线经两次椭圆壁反射后回到点F，故根据椭圆的定义可知所走的路程正好是4a＝4×3＝12.
12
11. 椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若
△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为______________.
【解析】 ∵当点P在y轴上时△PF1F2的面积最大，∴×8b＝12，∴b＝3.又c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25，∴椭圆的标准方程为＝1.
＝1
12. 已知F1，F2是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的两个焦点，
P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b
＝__________.
【解析】 由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，又PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴2|PF1|·|PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－4c2＝4a2－4c2＝4b2，∴|PF1|·|PF2|＝2b2，∴|PF1|·|PF2|＝b2＝9，∴b＝3.
3
关键能力练
13. 已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)，(4，0)，
C为动点，且满足sin B＋sin A＝sin C，求点C的轨迹方程.
解： 由sin B＋sin A＝sin C，可知b＋a＝c＝10(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，即|AC|＋|BC|＝10，满足椭圆的定义.令椭圆方程为＝1，则a'＝5，c'＝4 b'＝3，则点C的轨迹方程为＝1(x≠±5).
14. 已知P是椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的上、下焦点，△F1PF2有一个内角为，求△F1PF2的面积.
解： 由题可知，a2＝45，b2＝9，∴a＝3，b＝3，c＝＝6，∴|PF1|＋|PF2|＝6，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝180 ①.若∠F1PF2＝，则|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos＝|F1F2|2＝122＝144 ②，①－②得|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|·|PF2|sin×36×＝9；当∠PF1F2＝时，由余弦定理可得cos∠PF1F2＝＝，∴|PF1|＝，此时|PF1|·|F1F2|sin；当∠PF2F1＝时，同理可得.综上，△F1PF2的面积为或9.
拓展突破练
15. (2025·云南昆明高二期中)在△ABC中，sin B＋sin C＝
2sin A，已知点B(－3，0)，C(3，0)，设点C到直线AB的最大
距离为d1，点A到直线BC的最大距离为d2，则等于(　　)
A. B.
C. D.
D
【解析】 由已知B(－3，0)，C(3，0)，得|BC|＝6，∵sin B＋sin C＝2sin A，则由正弦定理可知|AC|＋|AB|＝2|BC|＝12＞6＝|BC|，∴动点A的轨迹是以B，C为焦点，长轴长为12的椭圆，不含左、右顶点，
∴当且仅当A是椭圆的上、下顶点时，点A到直线BC的距离最大为d2＝＝3，
当AB⊥BC时，点C到直线AB的距离最大为d1＝|BC|＝6，∴.
16. (2024·荆州中学高二月考)已知F1，F2分别为椭圆W：y2＝1的左、右焦点，M为椭圆W上的一点.
(1)若点M的坐标为(1，m)(m＞0)，求△F1MF2的面积；
(2)若点M的坐标为(x0，y0)，且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的取值范围.
解： (1)∵点M(1，m)在椭圆W上，∴m2＝1，∵m＞0，∴m＝.∵a＝2，b＝1，∴c＝，∴F1(，0)，F2(，0)，∴|F1F2|·m＝×2.
(2)∵点M在椭圆W上，∴－2＜x0＜2，
在△F1MF2中，由余弦定理得cos∠F1MF2＝＝，∵∠F1MF2是钝角，∴(x0)2(x0)212＜0，又＝1，∴，解得＜x0＜，故横坐标x0的取值范围是.3.1 练习2　椭圆及其标准方程(二)
1. (2025·山东菏泽高二期末)点M与定点F(2，0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比为1∶2，则点M的轨迹方程为( 　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
2. (2025·吉林高二期末)已知椭圆方程为C：＝1，P为椭圆上一点，若∠F1PF2＝90°，r为△F1PF2的内切圆，则r等于( 　)
A. B. 2
C. 2 D.
3. 设F1，F2为椭圆C：y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|等于( 　)
A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
4. 已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0，2)，则顶点A的轨迹方程为( 　)
A. ＝1(x≠0) B. ＝1(y≠0)
C. ＝1(x≠0) D. ＝1(y≠0)
5. 设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( 　)
A. 5 B. 4
C. 3 D. 1
6. 已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点A到F1的距离是2，线段AF2的垂直平分线交AF1于点P，则点P的轨迹方程是( 　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
7. 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C上一点，若MF1的中点为(0，1)，且△MF1F2的周长为8＋4，则C的标准方程为( 　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
8. (多选)(2025·山东潍坊高二期中)设椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则( 　)
A. |PF1|＋|PF2|＝8
B. |PF1|的最大值是9
C. △PF1F2的面积的最大值是12
D. 存在点P，使得PF1⊥PF2
9. (多选)设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝2.下列说法中，正确的是( 　)
A. |PF1|＝5，|PF2|＝3
B. △PF1F2为直角三角形
C. △PF1F2的面积为6
D. △PF1F2的面积为12
10. 椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点.现从椭圆＝1的左焦点F发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F，则光线所经过的总路程为 .
11. 椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为 .
12. 已知F1，F2是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝ .
13. 已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)，(4，0)，C为动点，且满足sin B＋sin A＝sin C，求点C的轨迹方程.
14. 已知P是椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的上、下焦点，△F1PF2有一个内角为，求△F1PF2的面积.
15. (2025·云南昆明高二期中)在△ABC中，sin B＋sin C＝2sin A，已知点B(－3，0)，C(3，0)，设点C到直线AB的最大距离为d1，点A到直线BC的最大距离为d2，则等于( 　)
A. B.
C. D.
16. (2024·荆州中学高二月考)已知F1，F2分别为椭圆W：y2＝1的左、右焦点，M为椭圆W上的一点.
(1)若点M的坐标为(1，m)(m＞0)，求△F1MF2的面积；
(2)若点M的坐标为(x0，y0)，且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的取值范围.3.1 练习2　椭圆及其标准方程(二)
1. (2025·山东菏泽高二期末)点M与定点F(2，0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比为1∶2，则点M的轨迹方程为(　C　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
【解析】 设M(x，y)，∵点M与定点F(2，0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比为1∶2，∴，即4(x－2)2＋4y2＝(x－8)2，整理得＝1.
2. (2025·吉林高二期末)已知椭圆方程为C：＝1，P为椭圆上一点，若∠F1PF2＝90°，r为△F1PF2的内切圆，则r等于(　B　)
A. B. 2
C. 2 D.
【解析】 由椭圆定义及圆切线性质知r＝＝a－c＝2.
3. 设F1，F2为椭圆C：y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|等于(　B　)
A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
【解析】 方法一　∵·＝0，∴∠F1PF2＝90°，从而＝b2tan 45°＝1＝×|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝2.
方法二　∵·＝0，∴∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4，故c＝2，∴＝42＝16，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，两边平方得2|PF1|·|PF2|＝16＋2|PF1|·|PF2|＝20，∴|PF1|·|PF2|＝2.
4. 已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0，2)，则顶点A的轨迹方程为(　A　)
A. ＝1(x≠0) B. ＝1(y≠0)
C. ＝1(x≠0) D. ＝1(y≠0)
【解析】 ∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0，2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值.又8＞4，∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，∴b2＝12，∴椭圆的方程为＝1(x≠0).
5. 设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　B　)
A. 5 B. 4
C. 3 D. 1
【解析】 由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4.
6. 已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点A到F1的距离是2，线段AF2的垂直平分线交AF1于点P，则点P的轨迹方程是(　C　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
【解析】 依题意有|AP|＝|PF2|，|AF1|＝|AP|＋|PF1|＝|PF1|＋|PF2|＝2＞|F1F2|＝2，∴点P的轨迹是以F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点的椭圆.∵2a＝2，2c＝2，∴a＝，b＝，故所求点P的轨迹方程是＝1.
7. 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C上一点，若MF1的中点为(0，1)，且△MF1F2的周长为8＋4，则C的标准方程为(　A　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
【解析】 ∵△MF1F2的周长为8＋4，∴2a＋2c＝8＋4，则a＋c＝4＋2.又F1(－c，0)，MF1的中点为(0，1)，∴M的坐标为(c，2)，故＝1，则＝2，结合a2＝b2＋c2，a＋c＝4＋2，解得a＝4，b＝c＝2，∴椭圆C的标准方程为＝1.
8. (多选)(2025·山东潍坊高二期中)设椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则(　BCD　)
A. |PF1|＋|PF2|＝8
B. |PF1|的最大值是9
C. △PF1F2的面积的最大值是12
D. 存在点P，使得PF1⊥PF2
【解析】 椭圆C：＝1的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，半焦距c＝＝4.对于A，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，A错误；对于B，＝a＋c＝9，B正确；对于C，设△PF1F2的顶点P(x0，y0)，则|y0|≤3，|F1F2|·|y0|＝c·|y0|≤4×3＝12，C正确；对于D，由c＞b知，以线段F1F2为直径的圆与椭圆C有4个交点，当点P为此交点之一时，PF1⊥PF2，D正确.
9. (多选)设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝2.下列说法中，正确的是(　ABC　)
A. |PF1|＝5，|PF2|＝3
B. △PF1F2为直角三角形
C. △PF1F2的面积为6
D. △PF1F2的面积为12
【解析】 由＝1，得a2＝16，b2＝12，则a＝4，b＝2，c＝＝2，
∵P是椭圆上一点，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，
∵|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，∴A正确；
对于B，∵|F1F2|＝2c＝4，∴，
∴△PF1F2为直角三角形，∴B正确；对于C，D，∵△PF1F2为直角三角形，PF2⊥F1F2，∴×3×4＝6，
∴C正确，D错误.
10. 椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点.现从椭圆＝1的左焦点F发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F，则光线所经过的总路程为　12　.
【解析】 依题意可知光线经两次椭圆壁反射后回到点F，故根据椭圆的定义可知所走的路程正好是4a＝4×3＝12.
11. 椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为 ＝1　.
【解析】 ∵当点P在y轴上时△PF1F2的面积最大，∴×8b＝12，∴b＝3.又c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25，∴椭圆的标准方程为＝1.
12. 已知F1，F2是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝　3　.
【解析】 由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，又PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴2|PF1|·|PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－4c2＝4a2－4c2＝4b2，
∴|PF1|·|PF2|＝2b2，∴|PF1|·|PF2|＝b2＝9，∴b＝3.
13. 已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)，(4，0)，C为动点，且满足sin B＋sin A＝sin C，求点C的轨迹方程.
解： 由sin B＋sin A＝sin C，可知b＋a＝c＝10(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，即|AC|＋|BC|＝10，满足椭圆的定义.令椭圆方程为＝1，则a'＝5，c'＝4 b'＝3，则点C的轨迹方程为＝1(x≠±5).
14. 已知P是椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的上、下焦点，△F1PF2有一个内角为，求△F1PF2的面积.
解： 由题可知，a2＝45，b2＝9，∴a＝3，b＝3，c＝＝6，∴|PF1|＋|PF2|＝6，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝180 ①.若∠F1PF2＝，则|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos＝|F1F2|2＝122＝144 ②，①－②得|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|·|PF2|sin×36×＝9；当∠PF1F2＝时，由余弦定理可得cos∠PF1F2＝＝
，∴|PF1|＝，此时|PF1|·|F1F2|sin；当∠PF2F1＝时，同理可得.综上，△F1PF2的面积为或9.
15. (2025·云南昆明高二期中)在△ABC中，sin B＋sin C＝2sin A，已知点B(－3，0)，C(3，0)，设点C到直线AB的最大距离为d1，点A到直线BC的最大距离为d2，则等于(　D　)
A. B.
C. D.
【解析】 由已知B(－3，0)，C(3，0)，得|BC|＝6，∵sin B＋sin C＝2sin A，则由正弦定理可知|AC|＋|AB|＝2|BC|＝12＞6＝|BC|，∴动点A的轨迹是以B，C为焦点，长轴长为12的椭圆，不含左、右顶点，
∴当且仅当A是椭圆的上、下顶点时，点A到直线BC的距离最大为d2＝＝3，
当AB⊥BC时，点C到直线AB的距离最大为d1＝|BC|＝6，∴.
16. (2024·荆州中学高二月考)已知F1，F2分别为椭圆W：y2＝1的左、右焦点，M为椭圆W上的一点.
(1)若点M的坐标为(1，m)(m＞0)，求△F1MF2的面积；
(2)若点M的坐标为(x0，y0)，且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的取值范围.
解： (1)∵点M(1，m)在椭圆W上，∴m2＝1，∵m＞0，∴m＝.∵a＝2，b＝1，∴c＝，∴F1(，0)，F2(，0)，∴|F1F2|·m＝×2.
(2)∵点M在椭圆W上，∴－2＜x0＜2，
在△F1MF2中，由余弦定理得cos∠F1MF2＝＝
，
∵∠F1MF2是钝角，∴(x0)2(x0)212＜0，又＝1，∴，解得＜x0＜，故横坐标x0的取值范围是.

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