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3.1 练习3　椭圆的简单几何性质
1. 已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12，则该椭圆的短轴长为(　A　)
A. 8 B. 6
C. 5 D. 4
【解析】 由题知e＝，2a＝12，可得a＝6，c＝2，∴b＝＝4，故椭圆的短轴长为2×4＝8.
2. 已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m＞0)，则椭圆的离心率为(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵2x2＋3y2＝m(m＞0)，∴＝1，∴c2＝，故e2＝，解得e＝.
3. (2024·安徽合肥模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，焦距为2，则该椭圆的方程为(　C　)
A. y2＝1 B. y2＝1
C. ＝1 D. ＝1
【解析】 由题意可知可得则b2＝9－2＝7，∴该椭圆的方程为＝1.
4. 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　C　)
A. (0，1) B.
C. D.
【解析】 依题意得，c＜b，即c2＜b2，∴c2＜a2－c2，2c2＜a2，故离心率e＝，又0＜e＜1，∴0＜e＜.
5. 如图所示，把椭圆＝1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P9F|等于(　B　)
A. 16
B. 18
C. 20
D. 22
【解析】 设椭圆的右焦点为F'，由a2＝4，可得a＝2，由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得|P1F|＝|P9F'|，|P2F|＝|P8F'|，|P3F|＝|P7F'|，…，∴|P1F|＋|P2F|＋…＋|P9F|＝(|P9F'|＋|P9F|)＋(|P8F'|＋|P8F|)＋(|P7F'|＋|P7F|)＋(|P6F'|＋|P6F|)(|P5F'|＋|P5F|)＝9a＝18.
6. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12π，则椭圆C的标准方程为(　D　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
【解析】 由题意可得解得a＝4，b＝3，∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为＝1.
7. 椭圆＝1的焦点在x轴上，则它的离心率的取值范围是(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵椭圆的焦点在x轴上，∴5a＞4a2＋1，解得＜a＜1，又e＝≤，当且仅当a＝时，等号成立，∴椭圆的离心率的取值范围是.
8. (多选)已知椭圆C以坐标轴为对称轴，经过点(4，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆C的标准方程可以是(　BC　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
【解析】 当椭圆C的焦点在x轴上时，已知椭圆C过点(4，0)，故a＝4，∵长轴长是短轴长的2倍，∴2a＝2×2b，即b＝2，∴椭圆C的标准方程为＝1；当椭圆C的焦点在y轴上时，已知椭圆C过点(4，0)，故b＝4，∵长轴长是短轴长的2倍，∴2a＝2×2b，即a＝8，∴椭圆C的标准方程为＝1.综上，椭圆C的标准方程为＝1，或＝1.
9. (多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则(　ABD　)
A. a－c＝m＋R
B. a＋c＝n＋R
C. 2a＝m＋n
D. b＝
【解析】 ∵地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图形可得(*)∴a－c＝m＋R，a＋c＝n＋R，A，B正确；(*)两式相加m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，C错误；由(*)可得两式相乘可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2，∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R) b＝，D正确.
10. (2024·河南周口高二期中)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，过点B且与椭圆＝1有相同的焦点，则E的离心率为 　.
【解析】 椭圆＝1的焦点是F1(0，－1)，F2(0，1).设椭圆E的标准方程为＝1(a＞b＞0)，∵|BF1|＋|BF2|＝＝4，则2a＝4，即a＝2，∴椭圆E的离心率e＝.
11. 与椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为 x2＝1　.
【解析】 9x2＋4y2＝36可化为＝1，可知椭圆焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，则c＝，又由2b＝2，得b＝1，∴a2＝b2＋c2＝6，则椭圆的标准方程为x2＝1.
12. 椭圆＝1(a＞b＞0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是 　.
【解析】 由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝5|PF2|，则|PF1|＝，|PF2|＝，∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，∴≤2c，e≥.又e＜1，∴椭圆离心率的取值范围是.
13. 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)一个顶点为(0，2)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.
解： (1)①当椭圆焦点在x轴上时，由已知得b＝2，
e＝，∵a2－b2＝c2，∴a2＝，b2＝4，∴方程为＝1.②当椭圆焦点在y轴上时，由已知得a＝2，e＝，∵a2－b2＝c2，∴a2＝4，b2＝3，∴方程为＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＝1，a＞b＞0，∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，
∴△A1FA2为等腰三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且OF＝c，A1A2＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为＝1.
14. 已知F1，F2是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)若存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
【解析】 (1)连接PF1，由△POF2为等边三角形可知，在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝cc，椭圆C的离心率e＝1.
(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，
则|y|·2c＝16，·＝－1，＝1，即c|y|＝16①，x2＋y2＝c2②，＝1③.由②③及a2＝b2＋c2得y2＝，又由①知y2＝，故b＝4.
由②③得x2＝(c2－b2)，∴c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4，∴当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.
15. 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆C上存在一点M，使得△MF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是(　A　)
A. B.
C. D.
【解析】 △MF1F2的面积为|F1F2|·|yM|，∵△MF1F2的内切圆半径为，∴△MF1F2的面积可表示为(2a＋2c)×，∴×2c×|yM|＝(2a＋2c)×，解得|yM|＝.∵|yM|≤b，∴≤b，两边平方得≤b2，又b2＝a2－c2，∴5c2＋2ac－3a2≤0，∵e＝，∴不等式两边同时除以a2，得5e2＋2e－3≤0，可得0＜e≤.
16. 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率是，左、右焦点分别为F1，F2，点P(2，)，点F2在线段PF1的垂直平分线上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如果圆E：y2＝r2(r＞0)上的点均在椭圆C内部(包括边界)，求圆E的半径的最大值.
解： (1)由椭圆C的离心率e＝，得，其中c＝，椭圆C的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0).连接PF2，∵F2在线段PF1的垂直平分线上，∴|F1F2|＝|PF2|，∴(2c)2＝(2－c)2＋()2，可得c＝1，∴a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的标准方程为y2＝1.
(2)圆E：y2＝r2(r＞0)的圆心为E，设M(x0，y0)是椭圆C上任意一点，连接ME，
则＝1，|ME|＝，∴|ME|＝(≤x0≤)，当x0＝1时，|ME|min＝，∴圆E的半径的最大值是.(共30张PPT)
一、 椭圆
练习3　椭圆的简单几何性质
圆锥曲线的方程
第三章
必备知识练
1. 已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆上一点P
到两焦点的距离之和为12，则该椭圆的短轴长为(　　)
A. 8 B. 6
C. 5 D. 4
【解析】 由题知e＝，2a＝12，可得a＝6，c＝2，
∴b＝＝4，故椭圆的短轴长为2×4＝8.
A
2. 已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m＞0)，则椭圆的离心率为
(　　)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵2x2＋3y2＝m(m＞0)，∴＝1，∴c2＝，故e2＝，解得e＝.
B
3. (2024·安徽合肥模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为
，焦距为2，则该椭圆的方程为(　　)
A. y2＝1 B. y2＝1
C. ＝1 D. ＝1
【解析】 由题意可知可得则b2＝9－2＝7，∴该椭圆的方程为＝1.
C
4. 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M
总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. (0，1) B.
C. D.
【解析】 依题意得，c＜b，即c2＜b2，∴c2＜a2－c2，2c2＜a2，故离心率e＝，又0＜e＜1，∴0＜e＜.
C
5. 如图所示，把椭圆＝1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P9F|等于(　　)
A. 16
B. 18
C. 20
D. 22
B
【解析】 设椭圆的右焦点为F'，由a2＝4，可得a＝2，由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得|P1F|＝|P9F'|，|P2F|＝|P8F'|，|P3F|＝|P7F'|，…，∴|P1F|＋|P2F|＋…＋|P9F|＝(|P9F'|＋|P9F|)＋(|P8F'|＋|P8F|)＋(|P7F'|＋|P7F|)＋(|P6F'|＋|P6F|)(|P5F'|＋|P5F|)＝9a＝18.
6. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12π，则椭圆C的标准方程为(　　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
D
【解析】 由题意可得解得a＝4，b＝3，∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为＝1.
7. 椭圆＝1的焦点在x轴上，则它的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
C
【解析】 ∵椭圆的焦点在x轴上，∴5a＞4a2＋1，解得＜a＜1，又e＝≤，当且仅当a＝时，等号成立，∴椭圆的离心率的取值范围是.
8. (多选)已知椭圆C以坐标轴为对称轴，经过点(4，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆C的标准方程可以是(　　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
BC
【解析】 当椭圆C的焦点在x轴上时，已知椭圆C过点(4，0)，故a＝4，∵长轴长是短轴长的2倍，∴2a＝2×2b，即b＝2，
∴椭圆C的标准方程为＝1；当椭圆C的焦点在y轴上时，已知椭圆C过点(4，0)，故b＝4，∵长轴长是短轴长的2倍，∴2a＝2×2b，即a＝8，∴椭圆C的标准方程为＝1.综上，椭圆C的标准方程为＝1，或＝1.
9. (多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则(　 　)
A. a－c＝m＋R B. a＋c＝n＋R
C. 2a＝m＋n D. b＝
ABD
【解析】 ∵地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图形可得(*)∴a－c＝m＋R，a＋c＝n＋R，A，B正确；(*)两式相加m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，C错误；由(*)可得两式相乘可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2，∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R) b＝，D正确.
10. (2024·河南周口高二期中)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，过点B且与椭圆＝1有相
同的焦点，则E的离心率为_____.
【解析】 椭圆＝1的焦点是F1(0，－1)，F2(0，1).设椭圆E的标准方程为＝1(a＞b＞0)，∵|BF1|＋|BF2|＝＝4，则2a＝4，即a＝2，∴椭圆E的离心率
e＝.

11. 与椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的
标准方程为______________.
【解析】 9x2＋4y2＝36可化为＝1，可知椭圆焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，则c＝，又由2b＝2，得b＝1，∴a2＝b2＋c2＝6，则椭圆的标准方程为x2＝1.
x2＝1
12. 椭圆＝1(a＞b＞0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是
__________.
【解析】 由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝5|PF2|，则|PF1|＝，|PF2|＝，∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，∴≤2c，e≥.又e＜1，∴椭圆离心率的取值范围是.
关键能力练
13. 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)一个顶点为(0，2)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.
解： (1)①当椭圆焦点在x轴上时，由已知得b＝2，
e＝，∵a2－b2＝c2，∴a2＝，b2＝4，∴方程为＝1.②当椭圆焦点在y轴上时，由已知得a＝2，e＝，∵a2－b2＝c2，∴a2＝4，b2＝3，∴方程为＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＝1，a＞b＞0，
∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相
垂直，且焦距为6，如图所示，
∴△A1FA2为等腰三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且OF＝c，A1A2＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为＝1.
14. 已知F1，F2是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)若存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
解： (1)连接PF1，由△POF2为等边三角形可知，在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝cc，椭圆C的离心率e＝1.
(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，
则|y|·2c＝16，·＝－1，＝1，即c|y|＝16①，x2＋y2＝c2②，＝1③.由②③及a2＝b2＋c2得y2＝，又由①知y2＝，故b＝4.
由②③得x2＝(c2－b2)，∴c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4，∴当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.
拓展突破练
15. 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为
F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆C上存在一点M，使得△MF1F2
的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
A
【解析】 △MF1F2的面积为|F1F2|·|yM|，∵△MF1F2的内切圆半径为，∴△MF1F2的面积可表示为(2a＋2c)×，∴×2c×|yM|＝(2a＋2c)×，解得|yM|＝.∵|yM|≤b，∴≤b，两边平方得≤b2，又b2＝a2－c2，∴5c2＋2ac－3a2≤0，∵e＝，∴不等式两边同时除以a2，得5e2＋2e－3≤0，可得0＜e≤.
16. 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率是，左、右焦点分别为F1，F2，点P(2，)，点F2在线段PF1的垂直平分线上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如果圆E：y2＝r2(r＞0)上的点均在椭圆C内部(包括边界)，求圆E的半径的最大值.
解： (1)由椭圆C的离心率e＝，得，其中c＝，椭圆C的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0).连接PF2，∵F2在线段PF1的垂直平分线上，∴|F1F2|＝|PF2|，∴(2c)2＝(2－c)2＋()2，可得c＝1，∴a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的标准方程为y2＝1.
(2)圆E：y2＝r2(r＞0)的圆心为E，设M(x0，y0)是椭圆C上任意一点，连接ME，
则＝1，|ME|＝，∴|ME|＝(≤x0≤)，当x0＝1时，|ME|min＝，∴圆E的半径的最大值是.3.1 练习3　椭圆的简单几何性质
1. 已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12，则该椭圆的短轴长为( 　)
A. 8 B. 6
C. 5 D. 4
2. 已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m＞0)，则椭圆的离心率为( 　)
A. B.
C. D.
3. (2024·安徽合肥模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，焦距为2，则该椭圆的方程为( 　)
A. y2＝1 B. y2＝1
C. ＝1 D. ＝1
4. 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( 　)
A. (0，1) B.
C. D.
5. 如图所示，把椭圆＝1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P9F|等于( 　)
A. 16
B. 18
C. 20
D. 22
6. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12π，则椭圆C的标准方程为( 　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
7. 椭圆＝1的焦点在x轴上，则它的离心率的取值范围是( 　)
A. B.
C. D.
8. (多选)已知椭圆C以坐标轴为对称轴，经过点(4，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆C的标准方程可以是( 　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
9. (多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则( 　)
A. a－c＝m＋R
B. a＋c＝n＋R
C. 2a＝m＋n
D. b＝
10. (2024·河南周口高二期中)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，过点B且与椭圆＝1有相同的焦点，则E的离心率为 .
11. 与椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为 .
12. 椭圆＝1(a＞b＞0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是 .
13. 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)一个顶点为(0，2)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.
14. 已知F1，F2是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)若存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
15. 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆C上存在一点M，使得△MF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是( 　)
A. B.
C. D.
16. 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率是，左、右焦点分别为F1，F2，点P(2，)，点F2在线段PF1的垂直平分线上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如果圆E：y2＝r2(r＞0)上的点均在椭圆C内部(包括边界)，求圆E的半径的最大值.

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