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3.1 练习4　直线与椭圆的位置关系
1. 直线y＝2kx－3k与椭圆y2＝1的位置关系为( 　)
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不确定
2. 直线y＝kx＋2与椭圆＝1有且只有一个交点，则k的值是( 　)
A. B.
C. ± D. ±
3. 椭圆＝1与直线x＋2y－4＝0相交所得的弦被点M平分，则点M的坐标为( 　)
A. (2，4) B. (2，2)
C. (3，1) D. (2，1)
4. 已知椭圆y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为 ( 　)
A. ±1 B. ±
C. D. ±
5. 已知F1，F2分别为椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，若＝4，则弦长|AB|等于( 　)
A. 8 B. 6
C. 5 D.
6. 已知两定点M(－1，0)，N(1，0)，直线 l：y＝x，在l上且满足|PM|＋|PN|＝2的点 P的个数为( 　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 0或1或2
7. 已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的面积为( 　)
A. B.
C. D.
8. (多选)设椭圆的方程为y2＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论中，正确的是( 　)
A. 直线AB与OM垂直
B. 若点M坐标为(1，－1)，则直线l的方程为x－4y－5＝0
C. 若直线l的方程为y＝x＋1，则点M坐标为
D. 若直线l过椭圆焦点，则1＜|AB|＜4
9. (多选)已知椭圆C：＝1(m＞0)的焦点分别为F1(0，2)，F2(0，－2)，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点P为线段MN的中点，则下列说法中，正确的是( 　)
A. m2＝6
B. 椭圆C的离心率为
C. 直线l的方程为3x＋y－2＝0
D. △F2MN的周长为4
10. 如图所示，某公园的一个窗户的形状为长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户最短的竖直窗棂的长度为 米.
11. 已知椭圆y2＝1，则所有与椭圆相交且斜率为2的弦的中点的轨迹方程为 .
12. 已知椭圆＝1，直线y＝x与椭圆交于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的点，且直线PA，PB的斜率存在，则kPA·kPB＝ .
13. 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程.
14. 已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y＝x＋m相交于不同的两点M，N，问：是否存在实数m使|AM|＝|AN|？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
15. 椭圆的两个焦点坐标分别为F1(，0)和F2(，0)，且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由.(共30张PPT)
一、 椭圆
练习4　直线与椭圆的位置关系
圆锥曲线的方程
第三章
必备知识练
1. 直线y＝2kx－3k与椭圆y2＝1的位置关系为(　　)
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不确定
【解析】 直线y＝2kx－3k＝2k恒过定点，又点在椭圆内部，故直线与椭圆相交.
A
2. 直线y＝kx＋2与椭圆＝1有且只有一个交点，则k的值
是(　　)
A. B.
C. ± D. ±
【解析】 由消去y得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，解得k＝±.
C
3. 椭圆＝1与直线x＋2y－4＝0相交所得的弦被点M平
分，则点M的坐标为(　　)
A. (2，4) B. (2，2)
C. (3，1) D. (2，1)
【解析】 设直线与椭圆的两个交点为(x1，y1)，(x2，y2)，由得y2－2y＝0，∴y1＋y2＝2，∴x1＋x2＝4， ∴点M的坐标为(2，1).
D
4. 已知椭圆y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为 (　　)
A. ±1 B. ±
C. D. ±
D
【解析】 由消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.由题意，得|AB|＝，解得m＝±.
5. 已知F1，F2分别为椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两
点，若＝4，则弦长|AB|等于(　　)
A. 8 B. 6
C. 5 D.
【解析】 ∵S△ABF2＝4，c＝1，∴×2c×|yA－yB|＝4，∴|yA－yB|＝4.∵直线过椭圆左焦点且斜率为，∴|AB|＝|yA－yB|＝8.
A
6. 已知两定点M(－1，0)，N(1，0)，直线 l：y＝x，在l上
且满足|PM|＋|PN|＝2的点 P的个数为(　　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 0或1或2
B
【解析】 ∵|PM|＋|PN|＝2，|MN|＝2，∴P在以M，N为焦点，2为长轴长的椭圆上，由于2a＝2，a＝，又c＝1，∴b＝＝1，椭圆方程为y2＝1，由解得 ∴点P只有一个.
7. 已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的面积为
(　　)
A. B.
C. D.
C
【解析】 由题意知直线AB的方程为y＝x－1，联立椭圆方程
＝1，整理可得7x2－8x－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，故弦长|AB|＝·.又点F1(－1，0)，点F1到直线AB的距离d＝，故|AB|·d＝.
8. (多选)设椭圆的方程为y2＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则
下列结论中，正确的是(　 　)
A. 直线AB与OM垂直
B. 若点M坐标为(1，－1)，则直线l的方程为x－4y－5＝0
C. 若直线l的方程为y＝x＋1，则点M坐标为
D. 若直线l过椭圆焦点，则1＜|AB|＜4
BD
【解析】 对于A，在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质，kAB·kOM＝≠－1，A错误；对于B，kAB＝，∴直线方程为y＋1＝(x－1)，即x－4y－5＝0，B正确；对于C，若直线方程为y＝x＋1，点M，则kAB·kOM＝1×≠，C错误；对于D，椭圆的通径最短，为＝1，最长为长轴长4，又直线l有斜率且不经过原点O，故等号取不到，D正确.
9. (多选)已知椭圆C：＝1(m＞0)的焦点分别为F1(0，2)，F2(0，－2)，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点P为线
段MN的中点，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. m2＝6
B. 椭圆C的离心率为
C. 直线l的方程为3x＋y－2＝0
D. △F2MN的周长为4
AC
【解析】 根据题意，∵焦点在y轴上，∴m2－2＝4，则m2＝6，A正确；椭圆C的离心率e＝，B错误；不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝1，＝1，两式相减得，变形得＝－3×，又点P为线段MN的中点，
∴＝1，∴直线l的斜率kl＝＝
－3×＝－3×1＝－3，∴直线l的方程为y＝
－3，即3x＋y－2＝0，C正确；易知直线l过点F1，∴△F2MN的周长为|F2M|＋|F2N|＋|MN|＝(|F2M|＋|F1M|)＋(|F2N|＋|F1N|)＝2a＋2a＝4a＝4，D错误.
10. 如图所示，某公园的一个窗户的形状为长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，
则该窗户最短的竖直窗棂的长度为 _______米.
【解析】 根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，∵窗户的形状为长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆，∴椭圆的标准方程为y2＝1.∵三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，∴当
x＝1时，y＝±，∴最短的竖直窗棂的长度为米.
11. 已知椭圆y2＝1，则所有与椭圆相交且斜率为2的弦的
中点的轨迹方程为________________________.
【解析】 设斜率为2的直线与椭圆y2＝1交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为M(x，y)，由点差法可知，k＝2＝，即x＋4y＝0.又椭圆的弦的中点只能在椭圆内，∴＜1，解得＜x＜，∴所求的轨迹方程为x＋4y＝0.
x＋4y＝0
12. 已知椭圆＝1，直线y＝x与椭圆交于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的点，且直线PA，PB的斜率存在，则kPA·kPB＝__________.
【解析】 直线y＝x代入椭圆＝1，得A，B，设点P(x，y)，则直线PA，PB斜率分别为kPA＝，kPB＝，∴kPA·kPB＝.
关键能力练
13. 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程.
解： 把直线方程y＝x＋m代入椭圆方程4x2＋y2＝1，得4x2＋(x＋m)2＝1，即5x2＋2mx＋m2－1＝0，则Δ＝(2m)2－4×5×(m2－1)＝－16m2＋20＞0，解得＜m＜.设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2.则x1＋x2＝，x1x2＝.根据弦长公式，得·，解得m＝0，故所求直线的方程为y＝x.
14. 已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y＝x＋m相交于不同的两点M，N，问：是否存在实数m使|AM|＝|AN|？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
解： (1)依题意可设椭圆方程为y2＝1(a＞1)，则右焦点F(，0).由题设得＝3，解得a2＝3，故所求椭圆的方程为y2＝1.
(2)设P为弦MN的中点，由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴Δ＞0，即－2＜m＜2，∴xP＝，从而yP＝xP＋m＝，∴kAP＝，又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，∴＝－1，解得m＝2，不满足Δ＞0，∴不存在实数m使|AM|＝|AN|.
拓展突破练
15. 椭圆的两个焦点坐标分别为F1(，0)和F2(，0)，且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由.
解： (1)由题意设椭圆方程＝1(a＞b＞0)，由c＝，a2＝b2＋c2，代入方程＝1，又椭圆过点，得＝1，解得b2＝1，∴椭圆的方程为y2＝1.
(2)设直线MN的方程为x＝ky，联立直线MN和曲线C的方程可得得(k2＋4)y2ky＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2，0)，y1y2＝，y1＋y2＝，则·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2k(y1＋y2)＝0，即可得∠MAN＝为定值.3.1 练习4　直线与椭圆的位置关系
1. 直线y＝2kx－3k与椭圆y2＝1的位置关系为(　A　)
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不确定
【解析】 直线y＝2kx－3k＝2k恒过定点，又点在椭圆内部，故直线与椭圆相交.
2. 直线y＝kx＋2与椭圆＝1有且只有一个交点，则k的值是(　C　)
A. B.
C. ± D. ±
【解析】 由消去y得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，解得k＝±.
3. 椭圆＝1与直线x＋2y－4＝0相交所得的弦被点M平分，则点M的坐标为(　D　)
A. (2，4) B. (2，2)
C. (3，1) D. (2，1)
【解析】 设直线与椭圆的两个交点为(x1，y1)，(x2，y2)，由得y2－2y＝0，∴y1＋y2＝2，∴x1＋x2＝4，∴点M的坐标为(2，1).
4. 已知椭圆y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为 (　D　)
A. ±1 B. ±
C. D. ±
【解析】 由消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.由题意，得|AB|＝，解得m＝±.
5. 已知F1，F2分别为椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，若＝4，则弦长|AB|等于(　A　)
A. 8 B. 6
C. 5 D.
【解析】 ∵S△ABF2＝4，c＝1，∴×2c×|yA－yB|＝4，∴|yA－yB|＝4.∵直线过椭圆左焦点且斜率为，∴|AB|＝|yA－yB|＝8.
6. 已知两定点M(－1，0)，N(1，0)，直线 l：y＝x，在l上且满足|PM|＋|PN|＝2的点 P的个数为(　B　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 0或1或2
【解析】 ∵|PM|＋|PN|＝2，|MN|＝2，∴P在以M，N为焦点，2为长轴长的椭圆上，由于2a＝2，a＝，又c＝1，∴b＝＝1，椭圆方程为y2＝1，由解得 ∴点P只有一个.
7. 已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的面积为(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】 由题意知直线AB的方程为y＝x－1，联立椭圆方程＝1，整理可得7x2－8x－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，故弦长|AB|＝·.又点F1(－1，0)，点F1到直线AB的距离d＝，故|AB|·d＝.
8. (多选)设椭圆的方程为y2＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论中，正确的是(　BD　)
A. 直线AB与OM垂直
B. 若点M坐标为(1，－1)，则直线l的方程为x－4y－5＝0
C. 若直线l的方程为y＝x＋1，则点M坐标为
D. 若直线l过椭圆焦点，则1＜|AB|＜4
【解析】 对于A，在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质，kAB·kOM＝≠－1，A错误；对于B，kAB＝，∴直线方程为y＋1＝(x－1)，即x－4y－5＝0，B正确；对于C，若直线方程为y＝x＋1，点M，则kAB·kOM＝1×≠，C错误；对于D，椭圆的通径最短，为＝1，最长为长轴长4，又直线l有斜率且不经过原点O，故等号取不到，D正确.
9. (多选)已知椭圆C：＝1(m＞0)的焦点分别为F1(0，2)，F2(0，－2)，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点P为线段MN的中点，则下列说法中，正确的是(　AC　)
A. m2＝6
B. 椭圆C的离心率为
C. 直线l的方程为3x＋y－2＝0
D. △F2MN的周长为4
【解析】 根据题意，∵焦点在y轴上，∴m2－2＝4，则m2＝6，A正确；椭圆C的离心率e＝，B错误；不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝1，＝1，两式相减得，变形得＝－3×，又点P为线段MN的中点，∴＝1，∴直线l的斜率kl＝＝－3×＝－3×1＝－3，∴直线l的方程为y＝－3，即3x＋y－2＝0，C正确；易知直线l过点F1，∴△F2MN的周长为|F2M|＋|F2N|＋|MN|＝(|F2M|＋|F1M|)＋(|F2N|＋|F1N|)＝2a＋2a＝4a＝4，D错误.
10. 如图所示，某公园的一个窗户的形状为长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户最短的竖直窗棂的长度为 　米.
【解析】 根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，∵窗户的形状为长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆，∴椭圆的标准方程为y2＝1.∵三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，∴当x＝1时，y＝±，∴最短的竖直窗棂的长度为米.
11. 已知椭圆y2＝1，则所有与椭圆相交且斜率为2的弦的中点的轨迹方程为　x＋4y＝0　.
【解析】 设斜率为2的直线与椭圆y2＝1交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为M(x，y)，由点差法可知，k＝2＝，即x＋4y＝0.又椭圆的弦的中点只能在椭圆内，∴＜1，解得＜x＜，∴所求的轨迹方程为x＋4y＝0.
12. 已知椭圆＝1，直线y＝x与椭圆交于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的点，且直线PA，PB的斜率存在，则kPA·kPB＝　　.
【解析】 直线y＝x代入椭圆＝1，得A，B，设点P(x，y)，则直线PA，PB斜率分别为kPA＝，kPB＝，∴kPA·kPB＝.
13. 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程.
解： 把直线方程y＝x＋m代入椭圆方程4x2＋y2＝1，得4x2＋(x＋m)2＝1，即5x2＋2mx＋m2－1＝0，则Δ＝(2m)2－4×5×(m2－1)＝－16m2＋20＞0，解得＜m＜.设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2.则x1＋x2＝，x1x2＝.根据弦长公式，得·，解得m＝0，故所求直线的方程为y＝x.
14. 已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y＝x＋m相交于不同的两点M，N，问：是否存在实数m使|AM|＝|AN|？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
解： (1)依题意可设椭圆方程为y2＝1(a＞1)，则右焦点F(，0).由题设得＝3，解得a2＝3，故所求椭圆的方程为y2＝1.
(2)设P为弦MN的中点，由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴Δ＞0，即－2＜m＜2，∴xP＝，从而yP＝xP＋m＝，∴kAP＝，又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，∴＝－1，解得m＝2，不满足Δ＞0，∴不存在实数m使|AM|＝|AN|.
15. 椭圆的两个焦点坐标分别为F1(，0)和F2(，0)，且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由.
解： (1)由题意设椭圆方程＝1(a＞b＞0)，由c＝，a2＝b2＋c2，代入方程＝1，又椭圆过点，得＝1，解得b2＝1，∴椭圆的方程为y2＝1.
(2)设直线MN的方程为x＝ky，联立直线MN和曲线C的方程可得得(k2＋4)y2ky＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2，0)，y1y2＝，y1＋y2＝，则·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2k(y1＋y2)＝0，即可得∠MAN＝为定值.

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