资源简介

3.2 练习1　双曲线及其标准方程(一)
1. 双曲线＝1的焦距为(　A　)
A. 6 B. 3
C. 2 D. 1
【解析】 c＝＝3，故焦距为2c＝6.
2. 已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|－|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的(　B　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】 动点M的轨迹是双曲线能推出||MF1|－|MF2||为定值，反之不成立，若定值大于或等于两个定点的距离，则动点的轨迹不是双曲线.因此“||MF1|－|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的必要不充分条件.
3. 设k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　D　)
A. 长轴在x轴上的椭圆
B. 长轴在y轴上的椭圆
C. 实轴在x轴上的双曲线
D. 实轴在y轴上的双曲线
【解析】 ∵k＞1，∴1－k＜0，k2－1＞0，∴方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是实轴在y轴上的双曲线.
4. 焦点分别为(－2，0)，(2，0)，且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为(　A　)
A. x2＝1
B. y2＝1
C. y2＝1
D. ＝1
【解析】 由双曲线的定义知，2a＝＝5－3＝2，∴a＝1.又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，∴所求双曲线的标准方程为x2＝1.
5. (2025·天津高二检测)若椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则m的值为(　C　)
A. 1 B.
C. ±1 D. ±
【解析】 椭圆＝1与双曲线＝1的焦点都在x轴，∵椭圆和双曲线有相同的焦点，∴4－m2＝m2＋2，解得m＝±1.
6. (2025·北京高二阶段练习)化简方程||＝8的结果是(　D　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
【解析】 设动点P(x，y)，A(－5，0)，B(5，0)，则由题意可得||PA|－|PB||＝8，∴动点P到两个定点A，B的距离的差的绝对值等于常数8，又|AB|＝10＞8，∴由双曲线定义可知P点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2a＝8的双曲线，∴2c＝10，b2＝c2－a2＝52－42＝9，∴双曲线的方程为＝1.
7. (2025·四川绵阳高二期中)与椭圆＝1共焦点且过P(2，1)的双曲线方程为(　C　)
A. y2＝1
B. x2＝1
C. y2＝1
D. y2＝1
【解析】 由椭圆＝1方程可知c＝，即焦点坐标为(，0)，(，0)，设双曲线方程为＝1，则解得，∴双曲线方程为y2＝1.
8. (多选)双曲线＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　AD　)
A. 2 B. 7
C. 17 D. 22
【解析】 ∵a2＝25，∴a＝5.由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝10.由题意知|PF1|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝22或2.
9. (多选)(2025·河北高二阶段练习)已知曲线C的方程为＝1，则(　ACD　)
A. 当m＝1时，曲线C表示一个圆
B. 当0＜m＜2时，曲线C表示椭圆
C. 当m＞2时，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线
D. 当m＜0时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线
【解析】 当m＝1时，曲线C是x2＋y2＝1，A正确；当m＝1时，曲线C表示一个圆，B错误；当m＞2时，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，C正确；当m＜0时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，D正确.
10. 已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为 ＝1，或＝1　.
【解析】 ∵a＝5，c＝7，∴b2＝c2－a2＝24.当焦点在x轴上时，双曲线方程为＝1；当焦点在y轴上时，双曲线方程为＝1.
11. P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝　－8　.
【解析】 双曲线的标准方程为＝1，故a2＝16，a＝4，2a＝8.∵点P在双曲线的左支上，|PF1|＜|PF2|，∴|PF1|－|PF2|＝－2a＝－8.
12. (2025·重庆高二期中)如图所示，椭圆＝1和双曲线y2＝1的公共焦点分别为F1，F2，A是椭圆与双曲线的一个交点，则|AF1|·|AF2|＝　3　.
【解析】 由椭圆定义可知|AF1|＋|AF2|＝2，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2，解得|AF1|＝，|AF2|＝，∴|AF1|·|AF2|＝6－3＝3.
13. 根据下列条件，求双曲线的标准方程.
(1)半焦距为，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上；
(2)两个焦点的坐标分别为F1(0，－5)，F2(0，5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6；
(3)与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2).
解： (1)∵半焦距为，且焦点在x轴上，∴可设双曲线的标准方程为＝1(0＜a2＜6)，∵双曲线经过点(－5，2)，∴＝1，解得a2＝5，或a2＝30(舍去)，∴双曲线的标准方程为y2＝1.
(2)∵双曲线的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)，∵2a＝6，c＝5，∴a＝3，b2＝c2－a2＝16，∴双曲线的标准方程为＝1.
(3)方法一　设双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)，点(3，2)在双曲线上，故＝1.又a2＋b2＝16＋4＝20，∴a2＝12，b2＝8，则双曲线的标准方程为＝1.
方法二　设双曲线的标准方程为＝1(－4＜k＜16，且k≠0)，将点(3，2)代入方程，解得k＝4，或k＝－14(舍去)，则双曲线的标准方程为＝1.
14. 已知双曲线的焦点在坐标轴上，且一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，两焦点关于原点对称，且，求双曲线的方程.
解： 易得直线5x－2y＋20＝0与两坐标轴交点为(－4，0)和(0，10).若(－4，0)为焦点，则c＝4，而，∴a＝，b2＝16.故双曲线方程为＝1.
若(0，10)为焦点，则c＝10，故a＝6，b2＝100－36＝64.
故双曲线的方程为＝1.
综上，双曲线的方程为＝1，或 ＝1.
15. (2025·黑龙江鸡西高二期中)已知O为坐标原点，M在双曲线C：＝1的左支上，F是该双曲线的左焦点.|MF|＝2，N为MF的中点，则|ON|＝　5　.
【解析】 设F'是双曲线C：＝1的右焦点，连接MF'，
又M在双曲线C：＝1的左支上，∴|MF'|－|MF|＝2a＝8，又|MF|＝2，∴|MF'|＝10，又N为MF的中点，O为FF'的中点，∴|ON|＝|MF'|＝5.
16. 已知双曲线的方程为x2＝1，如图所示，点A的坐标为(，0)，B是圆x2＋(y)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值.
解： 设点D的坐标为(，0)，则A，D是双曲线的焦点，
由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2，∴|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，
又B是圆x2＋(y)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥1，当点M，B在线段CD上时不等式取等号，即|MA|＋|MB|的最小值是1.3.2 练习1　双曲线及其标准方程(一)
1. 双曲线＝1的焦距为( 　)
A. 6 B. 3
C. 2 D. 1
2. 已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|－|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的( 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 设k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( 　)
A. 长轴在x轴上的椭圆
B. 长轴在y轴上的椭圆
C. 实轴在x轴上的双曲线
D. 实轴在y轴上的双曲线
4. 焦点分别为(－2，0)，(2，0)，且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为( 　)
A. x2＝1
B. y2＝1
C. y2＝1
D. ＝1
5. (2025·天津高二检测)若椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则m的值为( 　)
A. 1 B.
C. ±1 D. ±
6. (2025·北京高二阶段练习)化简方程||＝8的结果是( 　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
7. (2025·四川绵阳高二期中)与椭圆＝1共焦点且过P(2，1)的双曲线方程为( 　)
A. y2＝1
B. x2＝1
C. y2＝1
D. y2＝1
8. (多选)双曲线＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( 　)
A. 2 B. 7
C. 17 D. 22
9. (多选)(2025·河北高二阶段练习)已知曲线C的方程为＝1，则( 　)
A. 当m＝1时，曲线C表示一个圆
B. 当0＜m＜2时，曲线C表示椭圆
C. 当m＞2时，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线
D. 当m＜0时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线
10. 已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为 .
11. P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝ .
12. (2025·重庆高二期中)如图所示，椭圆＝1和双曲线y2＝1的公共焦点分别为F1，F2，A是椭圆与双曲线的一个交点，则|AF1|·|AF2|＝ .
13. 根据下列条件，求双曲线的标准方程.
(1)半焦距为，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上；
(2)两个焦点的坐标分别为F1(0，－5)，F2(0，5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6；
(3)与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2).
14. 已知双曲线的焦点在坐标轴上，且一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，两焦点关于原点对称，且，求双曲线的方程.
15. (2025·黑龙江鸡西高二期中)已知O为坐标原点，M在双曲线C：＝1的左支上，F是该双曲线的左焦点.|MF|＝2，N为MF的中点，则|ON|＝ .
16. 已知双曲线的方程为x2＝1，如图所示，点A的坐标为(，0)，B是圆x2＋(y)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值.(共26张PPT)
二、 双曲线
练习1　双曲线及其标准方程(一)
圆锥曲线的方程
第三章
必备知识练
1. 双曲线＝1的焦距为(　　)
A. 6 B. 3
C. 2 D. 1
【解析】 c＝＝3，故焦距为2c＝6.
A
2. 已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|－|MF2||
为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】 动点M的轨迹是双曲线能推出||MF1|－|MF2||为定值，反之不成立，若定值大于或等于两个定点的距离，则动点的轨迹不是双曲线.因此“||MF1|－|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的必要不充分条件.
B
3. 设k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲
线是(　　)
A. 长轴在x轴上的椭圆
B. 长轴在y轴上的椭圆
C. 实轴在x轴上的双曲线
D. 实轴在y轴上的双曲线
【解析】 ∵k＞1，∴1－k＜0，k2－1＞0，∴方程(1－k)x2＋
y2＝k2－1所表示的曲线是实轴在y轴上的双曲线.
D
4. 焦点分别为(－2，0)，(2，0)，且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为(　　)
A. x2＝1 B. y2＝1
C. y2＝1 D. ＝1
【解析】 由双曲线的定义知，2a＝
＝5－3＝2，∴a＝1.又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，∴所求双曲线的标准方程为x2＝1.
A
5. (2025·天津高二检测)若椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则m的值为(　　)
A. 1 B.
C. ±1 D. ±
【解析】 椭圆＝1与双曲线＝1的焦点都在x轴，∵椭圆和双曲线有相同的焦点，∴4－m2＝m2＋2，解得m＝±1.
C
6. (2025·北京高二阶段练习)化简方程||＝8的结果是(　　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
D
【解析】 设动点P(x，y)，A(－5，0)，B(5，0)，则由题意可得||PA|－|PB||＝8，∴动点P到两个定点A，B的距离的差的绝对值等于常数8，又|AB|＝10＞8，∴由双曲线定义可知P点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2a＝8的双曲线，∴2c＝10，b2＝c2－a2＝52－42＝9，∴双曲线的方程为＝1.
7. (2025·四川绵阳高二期中)与椭圆＝1共焦点且过
P(2，1)的双曲线方程为(　　)
A. y2＝1 B. x2＝1
C. y2＝1 D. y2＝1
【解析】 由椭圆＝1方程可知c＝，即焦点坐标为(，0)，(，0)，设双曲线方程为＝1，则解得，∴双曲线方程为y2＝1.
C
8. (多选)双曲线＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到
另一个焦点的距离为(　 　)
A. 2 B. 7
C. 17 D. 22
【解析】 ∵a2＝25，∴a＝5.由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝10.由题意知|PF1|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝22或2.
AD
9. (多选)(2025·河北高二阶段练习)已知曲线C的方程为
＝1，则(　 　)
A. 当m＝1时，曲线C表示一个圆
B. 当0＜m＜2时，曲线C表示椭圆
C. 当m＞2时，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线
D. 当m＜0时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线
ACD
【解析】 当m＝1时，曲线C是x2＋y2＝1，A正确；当m＝1时，曲线C表示一个圆，B错误；当m＞2时，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，C正确；当m＜0时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，D正确.
10. 已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为
___________________________.
【解析】 ∵a＝5，c＝7，∴b2＝c2－a2＝24.当焦点在x轴上时，双曲线方程为＝1；当焦点在y轴上时，双曲线方程为＝1.
＝1，或＝1
11. P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右
焦点，则|PF1|－|PF2|＝__________.
【解析】 双曲线的标准方程为＝1，故a2＝16，a＝4，2a＝8.∵点P在双曲线的左支上，|PF1|＜|PF2|，∴|PF1|－|PF2|＝－2a＝－8.
－8
12. (2025·重庆高二期中)如图所示，椭圆＝1和双曲线
y2＝1的公共焦点分别为F1，F2，A是椭圆与双曲线的一个交点，则|AF1|·|AF2|＝__________.
【解析】 由椭圆定义可知|AF1|＋|AF2|＝2，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2，解得|AF1|＝，|AF2|＝，∴|AF1|·|AF2|＝6－3＝3.
3
关键能力练
13. 根据下列条件，求双曲线的标准方程.
(1)半焦距为，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上；
(2)两个焦点的坐标分别为F1(0，－5)，F2(0，5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6；
(3)与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2).
解： (1)∵半焦距为，且焦点在x轴上，∴可设双曲线的标准方程为＝1(0＜a2＜6)，∵双曲线经过点(－5，2)，∴＝1，解得a2＝5，或a2＝30(舍去)，∴双曲线的标准方程为y2＝1.
(2)∵双曲线的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)，∵2a＝6，c＝5，∴a＝3，b2＝c2－a2＝16，∴双曲线的标准方程为＝1.
(3)方法一　设双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)，点(3，2)在双曲线上，故＝1.又a2＋b2＝16＋4＝20，∴a2＝12，b2＝8，则双曲线的标准方程为＝1.
方法二　设双曲线的标准方程为＝1(－4＜k＜16，且k≠0)，将点(3，2)代入方程，解得k＝4，或k＝－14(舍去)，则双曲线的标准方程为＝1.
14. 已知双曲线的焦点在坐标轴上，且一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，两焦点关于原点对称，且，求双曲线的方程.
解： 易得直线5x－2y＋20＝0与两坐标轴交点为(－4，0)和(0，10).若(－4，0)为焦点，则c＝4，而，∴a＝，b2＝16.故双曲线方程为＝1.
若(0，10)为焦点，则c＝10，故a＝6，b2＝100－36＝64.
故双曲线的方程为＝1.
综上，双曲线的方程为＝1，或 ＝1.
拓展突破练
15. (2025·黑龙江鸡西高二期中)已知O为坐标原点，M在双曲线C：＝1的左支上，F是该双曲线的左焦点.|MF|＝2，
N为MF的中点，则|ON|＝__________.
5
【解析】 设F'是双曲线C：＝1的右焦点，连接MF'，
又M在双曲线C：＝1的左支上，∴|MF'|－|MF|＝2a＝8，又|MF|＝2，∴|MF'|＝10，又N为MF的中点，O为FF'的中点，∴|ON|＝|MF'|＝5.
16. 已知双曲线的方程为x2＝1，如图所示，点A的坐标为(，0)，B是圆x2＋(y)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值.
解： 设点D的坐标为(，0)，则A，D是双曲线的焦点，
由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2，∴|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，
又B是圆x2＋(y)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥1，当点M，B在线段CD上时不等式取等号，即|MA|＋|MB|的最小值是1.

展开更多......

收起↑