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(共34张PPT)
二、 双曲线
练习2　双曲线及其标准方程(二)
圆锥曲线的方程
第三章
必备知识练
1. (2025·天津滨海新高二期中)设双曲线x2－y2＝4的焦点为
F1，F2，点P在双曲线右支上，且∠F1PF2＝90°，则点P的横
坐标为(　　)
A. B. 2
C. D. 6
【解析】 由题意可得F1(2，0)，F2(－2，0)，设P(m，n)(m＞0)，由题意可得m2－n2＝4且·＝－1，两方程联立解得m2＝6，∴m＝.
C
2. (2025·江苏泰州高二期中)已知双曲线C：y2＝1的左、右焦点为F1，F2，过点F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B
两点，若|AB|＝2，则△ABF1的周长为(　　)
A. 12 B. 14
C. 10 D. 8
A
【解析】 由题意可得a2＝4 2a＝4，△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝|BF1|－|BF2|＝4，又|AF2|＋|BF2|＝|AB|＝2，∴|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|－|AF2|＋|BF1|－|BF2|＋2|AB|＝4＋4＋4＝12，∴△ABF1的周长为12.
3. 设椭圆＝1和双曲线y2＝1的公共焦点为F1，F2，
P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2为(　　)
A. B. C. D.
【解析】 设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，则d1＋d2＝2①，|d1－d2|＝2②，①2＋②2得＝18.①2－②2得2d1d2＝6.而c＝＝2，∴cos∠F1PF2＝.
B
4. (2025·四川成都高二期末)相距1 400 m的A，B两个哨所，
听到炮弹爆炸声的时间相差3 s，已知声速是340 m/s，则炮弹
爆炸点所在的曲线方程为(　　)
A. ＝1(x≤－510)
B. ＝1(x≥510)
C. y＝0(x≤－700，或x≥700)
D. ＝1
D
【解析】 设炮弹爆炸点为P，由题意可知||PA|－|PB||＝3×340＝1 020＜1 400，显然点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，因此有2a＝1 020，2c＝1 400，可得a＝510，c＝700，于是有b＝，根据四个选项可知，只有D符合.
5. 如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线＝1(m＞0)的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为4
米，则当水面宽度为4米时，拱顶M到水面的距离为(　　)
A. 4米
B. (84)米
C. (24)米
D. (44)米
D
【解析】 根据题意得M(0，－4)，A(－2，－8)，故＝1，解得m＝4，∴双曲线的方程为＝1.当水面宽度为4米时，取x＝－2，则y＝－4，∴拱顶M到水面的距离为(44)米.
6. (2025·河北石家庄模拟)已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两
点，若|F1A|＝2|F1B |，则|AB|等于(　　)
A. 4 B. 2
C. 4 D. 4
A
【解析】 如图所示，∵双曲线C：＝1，
∴a＝2，b＝2，c＝＝2，由双曲线
的对称性知|F1B|＝|AF2|，
∴|F1A|＝2|F1B|＝2|AF2|，由双曲线定义可得|F1A|－|AF2|＝2|AF2|－|AF2|＝|AF2|＝2a＝4，∴|F1A|＝8，又|F1F2|＝2c＝4，∴|F1A|2＝|AF2|2＋|F1F2|2，即AF2⊥F1F2，∴|OA|＝＝2.∴|AB|＝2|OA|＝4.
7. (2025·上海高二检测)过椭圆＝1(m＞9)右焦点F的圆与圆O：x2＋y2＝4外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程
为(　　)
A. ＝1 B. ＝1(x≤－2)
C. ＝1(x≥2) D. ＝1
C
【解析】 由椭圆＝1(m＞9)，得椭圆半焦距c＝＝3，即有F(3，0)，则椭圆的左焦点为F1(－3，0)，设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图所示，
由圆O与圆C外切，得|OC|－|CF|＝2，又|QF1|＝2|OC|，|QF|＝2|CF|，则|QF1|－|QF|＝2(|OC|－|CF|)＝4＜|F1F|，∴Q的轨迹是以F1，F为焦点，实轴长2a＝4的双曲线的右支，即a＝2，b＝，∴双曲线方程：＝1(x≥2).
8. (多选)(2025·广东阶段练习)已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，CA，CB所在直线的斜率之积是
m，下列说法中，正确的是(　 　)
A. 若m＝1，则顶点C的轨迹是圆(除去与x轴的交点)
B. 若m＝－1，则顶点C的轨迹是圆(除去与x轴的交点)
C. 若m＜0，则顶点C的轨迹是椭圆(除去与x轴的交点)
D. 若m＞0，则顶点C的轨迹是双曲线(除去与x轴的交点)
BD
【解析】 设点C(x，y)，∵CA，CB所在直线的斜率之积是m，∴kAC·kBC＝·＝m(x≠±1)，整理可得x2＝1(x≠±1).对于A，当m＝1时，方程为x2－y2＝1(x≠±1)，则顶点C的轨迹是双曲线(除去与x轴的交点)，A错误；对于B，当m＝－1时，方程为x2＋y2＝1(x≠±1)，则顶点C的轨迹是圆(除去与x轴的交点)，B正确；对于C，当m＜0，且m≠－1时，顶点C的轨迹是椭圆(除去与x轴的交点)，C错误；对于D，当m＞0时，顶点C的轨迹是双曲线(除去与x轴的交点)，D正确.
9. (多选)已知A，B两监测点间的距离为800 m，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2 s，若声速为340 m/s，则下列说法
中，正确的是(　 　)
A. 爆炸点在以A，B为焦点的椭圆上
B. 爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上
C. 若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B监测点的距离为 m
D. 若B监测点的声强是A监测点的4倍，则爆炸点到B监测点的距离为680 m
BD
【解析】 依题意，设爆炸点为C，则|CA|－|CB|＝340×2＝680＜800，∴爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上，A错误，B正确；由B监测点的声强是A监测点的4倍，则＝4，即|CA|＝2|CB|，结合|CA|－|CB|＝680，可得|CB|＝680，C错误，D正确.
10. (2025·上海高二检测)在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且·＝2，则点P的轨迹方程为__________.
【解析】 设P(x，y)，则Q(x，－y)，由·＝2可得(x，y)·(x，－y)＝x2－y2＝2，则点P的轨迹方程为x2－y2＝2.
x2－y2＝2
11. 已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则|PF1|＝_______，
△PF1F2的面积等于__________.
16
48
【解析】 在＝1中，a＝3，b＝4，c2＝a2＋b2＝25，∴c＝5，∴ |PF2|＝|F1F2|＝2c＝10.又P为双曲线C的右支上一点，∴|PF1|－|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝16.过点F2作F2T⊥PF1于点T，则T为PF1的中点，∴|PT|＝8，∴|F2T|＝6，∴×16×6＝48.
12. 如图所示，B地在A地的正东方向4 km处，
C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的
沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B
的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是_______________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，
那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是__________km.
x2＝1(x≥1)
22
【解析】 如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
则A(－2，0)，B(2，0)，|DA|－|DB|＝2，
根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支，
故2c＝4，c＝2，2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，故轨迹方程为x2＝1(x≥1).根据题意知C(3，)，|MB|＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝22，当且仅当A，M，C三点共线时，等号成立.
关键能力练
13. (2024·安徽芜湖一中高二月考)已知点A(－2，0)与点B(2，0)，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若O为原点，P在第二象限，当|OP|＝时，求点P的坐标.
解： 设点P的坐标为(x，y)(x≠±2).
(1)由题意得·，化简得＝1，故动点P的轨迹方程为＝1(x≠±2).
(2)∵|OP|＝，∴x2＋y2＝①，
又由(1)知＝1②，∴由①②得
∴
又点P在第二象限，∴点P的坐标为.
14. 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
解： 如图所示，动圆M与圆C1及圆C2分别
外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得
|MC1|＝|AC1|＋|MA|，|MC2|＝|BC2|＋|MB|.
∵|MA|＝|MB|，∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－
|AC1|＝3－1＝2.这表明动点M与两定点C2，
C1的距离的差是常数2，且2＜| C1C2|.根据
双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的
左支，则2a＝2，a＝1，c＝3，∴b2＝c2－
a2＝8，∴所求动点M的轨迹方程为x2＝1(x≤－1).
拓展突破练
15. 已知F1，F2分别是双曲线C：＝1的左，右焦点，动点A在双曲线的左支上，B为圆E：x2＋(y＋3)2＝1上一动点，
则|AB|＋|AF2|的最小值是__________.
7
【解析】 双曲线＝1中a＝2，b＝，c＝，F1(，0)，F2(，0)，
圆E半径为r＝1，E(0，－3)，∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝
|AF1|＋4，|AB|≥|AE|－|BE|＝|AE|－1
(当且仅当A，E，B共线且B在A，E之间时取等号)，
|AB|＋|AF2|≥|AE|－1＋|AF1|＋4＝|AF1|＋|AE|＋
3≥|EF1|＋3＝3＝7，当且仅当A是线段EF1与双曲线的交点时取等号，∴|AB|＋|AF2|的最小值是7.
16. 已知椭圆＝1(a＞b＞0)与双曲线＝1(m＞0，
n＞0)的一个交点为P，且有公共的焦点F1，F2，若∠F1PF2＝2α，证明：tan α＝.
证明： 如图所示，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c.
根据双曲线的定义得|r2－r1|＝2m，∴cos 2α＝
1，
∴1－cos 2α＝，即1－(1－2sin2α)
＝，∴sin α＝.
另一方面，根据椭圆的定义得r1＋r2＝2a，
∴cos 2α＝
1，∴1＋cos 2α＝，即1＋(2cos2α－1)＝，
∴cos α＝，∴tan α＝.3.2 练习2　双曲线及其标准方程(二)
1. (2025·天津滨海新高二期中)设双曲线x2－y2＝4的焦点为F1，F2，点P在双曲线右支上，且∠F1PF2＝90°，则点P的横坐标为(　C　)
A. B. 2
C. D. 6
【解析】 由题意可得F1(2，0)，F2(－2，0)，设P(m，n)(m＞0)，由题意可得m2－n2＝4且·＝－1，两方程联立解得m2＝6，∴m＝.
2. (2025·江苏泰州高二期中)已知双曲线C：y2＝1的左、右焦点为F1，F2，过点F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若|AB|＝2，则△ABF1的周长为(　A　)
A. 12 B. 14
C. 10 D. 8
【解析】 由题意可得a2＝4 2a＝4，△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝|BF1|－|BF2|＝4，又|AF2|＋|BF2|＝|AB|＝2，
∴|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|－|AF2|＋|BF1|－|BF2|＋2|AB|＝4＋4＋4＝12，∴△ABF1的周长为12.
3. 设椭圆＝1和双曲线y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2为(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】 设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，则d1＋d2＝2①，|d1－d2|＝2②，①2＋②2得＝18.①2－②2得2d1d2＝6.而c＝＝2，∴cos∠F1PF2＝.
4. (2025·四川成都高二期末)相距1 400 m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3 s，已知声速是340 m/s，则炮弹爆炸点所在的曲线方程为(　D　)
A. ＝1(x≤－510)
B. ＝1(x≥510)
C. y＝0(x≤－700，或x≥700)
D. ＝1
【解析】 设炮弹爆炸点为P，由题意可知||PA|－|PB||＝3×340＝1 020＜1 400，显然点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，因此有2a＝1 020，2c＝1 400，可得a＝510，c＝700，于是有b＝，根据四个选项可知，只有D符合.
5. 如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线＝1(m＞0)的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为4米，则当水面宽度为4米时，拱顶M到水面的距离为(　D　)
A. 4米 B. (84)米
C. (24)米 D. (44)米
【解析】 根据题意得M(0，－4)，A(－2，－8)，故＝1，解得m＝4，∴双曲线的方程为＝1.当水面宽度为4米时，取x＝－2，则y＝－4，∴拱顶M到水面的距离为(44)米.
6. (2025·河北石家庄模拟)已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两点，若|F1A|＝2|F1B |，则|AB|等于(　A　)
A. 4 B. 2
C. 4 D. 4
【解析】 如图所示，∵双曲线C：＝1，∴a＝2，b＝2，c＝＝2，由双曲线的对称性知|F1B|＝|AF2|，
∴|F1A|＝2|F1B|＝2|AF2|，由双曲线定义可得|F1A|－|AF2|＝2|AF2|－|AF2|＝|AF2|＝2a＝4，∴|F1A|＝8，又|F1F2|＝2c＝4，∴|F1A|2＝|AF2|2＋|F1F2|2，即AF2⊥F1F2，∴|OA|＝＝2.∴|AB|＝2|OA|＝4.
7. (2025·上海高二检测)过椭圆＝1(m＞9)右焦点F的圆与圆O：x2＋y2＝4外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为(　C　)
A. ＝1
B. ＝1(x≤－2)
C. ＝1(x≥2)
D. ＝1
【解析】 由椭圆＝1(m＞9)，得椭圆半焦距c＝＝3，即有F(3，0)，则椭圆的左焦点为F1(－3，0)，设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图所示，
由圆O与圆C外切，得|OC|－|CF|＝2，又|QF1|＝2|OC|，|QF|＝2|CF|，则|QF1|－|QF|＝2(|OC|－|CF|)＝4＜|F1F|，∴Q的轨迹是以F1，F为焦点，实轴长2a＝4的双曲线的右支，即a＝2，b＝，∴双曲线方程：＝1(x≥2).
8. (多选)(2025·广东阶段练习)已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，CA，CB所在直线的斜率之积是m，下列说法中，正确的是(　BD　)
A. 若m＝1，则顶点C的轨迹是圆(除去与x轴的交点)
B. 若m＝－1，则顶点C的轨迹是圆(除去与x轴的交点)
C. 若m＜0，则顶点C的轨迹是椭圆(除去与x轴的交点)
D. 若m＞0，则顶点C的轨迹是双曲线(除去与x轴的交点)
【解析】 设点C(x，y)，∵CA，CB所在直线的斜率之积是m，∴kAC·kBC＝·＝m(x≠±1)，整理可得x2＝1(x≠±1).对于A，当m＝1时，方程为x2－y2＝1(x≠±1)，则顶点C的轨迹是双曲线(除去与x轴的交点)，A错误；对于B，当m＝－1时，方程为x2＋y2＝1(x≠±1)，则顶点C的轨迹是圆(除去与x轴的交点)，B正确；对于C，当m＜0，且m≠－1时，顶点C的轨迹是椭圆(除去与x轴的交点)，C错误；对于D，当m＞0时，顶点C的轨迹是双曲线(除去与x轴的交点)，D正确.
9. (多选)已知A，B两监测点间的距离为800 m，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2 s，若声速为340 m/s，则下列说法中，正确的是(　BD　)
A. 爆炸点在以A，B为焦点的椭圆上
B. 爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上
C. 若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B监测点的距离为 m
D. 若B监测点的声强是A监测点的4倍，则爆炸点到B监测点的距离为680 m
【解析】 依题意，设爆炸点为C，则|CA|－|CB|＝340×2＝680＜800，∴爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上，A错误，B正确；由B监测点的声强是A监测点的4倍，则＝4，即|CA|＝2|CB|，结合|CA|－|CB|＝680，可得|CB|＝680，C错误，D正确.
10. (2025·上海高二检测)在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且·＝2，则点P的轨迹方程为　x2－y2＝2　.
【解析】 设P(x，y)，则Q(x，－y)，由·＝2可得(x，y)·(x，－y)＝x2－y2＝2，则点P的轨迹方程为x2－y2＝2.
11. 已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则|PF1|＝　16　，△PF1F2的面积等于　48　.
【解析】 在＝1中，a＝3，b＝4，c2＝a2＋b2＝25，∴c＝5，∴ |PF2|＝|F1F2|＝2c＝10.又P为双曲线C的右支上一点，∴|PF1|－|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝16.过点F2作F2T⊥PF1于点T，则T为PF1的中点，∴|PT|＝8，∴|F2T|＝6，∴×16×6＝48.
12. 如图所示，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是　x2＝1(x≥1)　；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是　22　km.
【解析】 如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
则A(－2，0)，B(2，0)，|DA|－|DB|＝2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支，故2c＝4，c＝2，2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，故轨迹方程为x2＝1(x≥1).根据题意知C(3，)，|MB|＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝22，当且仅当A，M，C三点共线时，等号成立.
13. (2024·安徽芜湖一中高二月考)已知点A(－2，0)与点B(2，0)，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若O为原点，P在第二象限，当|OP|＝时，求点P的坐标.
解： 设点P的坐标为(x，y)(x≠±2).
(1)由题意得·，化简得＝1，故动点P的轨迹方程为＝1(x≠±2).
(2)∵|OP|＝，∴x2＋y2＝①，
又由(1)知＝1②，∴由①②得
∴
又点P在第二象限，∴点P的坐标为.
14. 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
解： 如图所示，
动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得|MC1|＝|AC1|＋|MA|，|MC2|＝|BC2|＋|MB|.∵|MA|＝|MB|，∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2，且2＜| C1C2|.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支，则2a＝2，a＝1，c＝3，∴b2＝c2－a2＝8，∴所求动点M的轨迹方程为x2＝1(x≤－1).
15. 已知F1，F2分别是双曲线C：＝1的左，右焦点，动点A在双曲线的左支上，B为圆E：x2＋(y＋3)2＝1上一动点，则|AB|＋|AF2|的最小值是　7　.
【解析】 双曲线＝1中a＝2，b＝，c＝，F1(，0)，F2(，0)，
圆E半径为r＝1，E(0，－3)，∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝
|AF1|＋4，|AB|≥|AE|－|BE|＝|AE|－1
(当且仅当A，E，B共线且B在A，E之间时取等号)，
|AB|＋|AF2|≥|AE|－1＋|AF1|＋4＝|AF1|＋|AE|＋
3≥|EF1|＋3＝3＝7，当且仅当A是线段EF1与双曲线的交点时取等号，∴|AB|＋|AF2|的最小值是7.
16. 已知椭圆＝1(a＞b＞0)与双曲线＝1(m＞0，n＞0)的一个交点为P，且有公共的焦点F1，F2，若∠F1PF2＝2α，证明：tan α＝.
证明： 如图所示，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c.
根据双曲线的定义得|r2－r1|＝2m，
∴cos 2α＝1，∴1－cos 2α＝，即1－(1－2sin2α)＝，∴sin α＝.
另一方面，根据椭圆的定义得r1＋r2＝2a，
∴cos 2α＝1，∴1＋cos 2α＝，即1＋(2cos2α－1)＝，∴cos α＝，∴tan α＝.3.2 练习2　双曲线及其标准方程(二)
1. (2025·天津滨海新高二期中)设双曲线x2－y2＝4的焦点为F1，F2，点P在双曲线右支上，且∠F1PF2＝90°，则点P的横坐标为( 　)
A. B. 2
C. D. 6
2. (2025·江苏泰州高二期中)已知双曲线C：y2＝1的左、右焦点为F1，F2，过点F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若|AB|＝2，则△ABF1的周长为( 　)
A. 12 B. 14
C. 10 D. 8
3. 设椭圆＝1和双曲线y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2为( 　)
A. B.
C. D.
4. (2025·四川成都高二期末)相距1 400 m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3 s，已知声速是340 m/s，则炮弹爆炸点所在的曲线方程为( 　)
A. ＝1(x≤－510)
B. ＝1(x≥510)
C. y＝0(x≤－700，或x≥700)
D. ＝1
5. 如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线＝1(m＞0)的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为4米，则当水面宽度为4米时，拱顶M到水面的距离为( 　)
A. 4米 B. (84)米
C. (24)米 D. (44)米
6. (2025·河北石家庄模拟)已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两点，若|F1A|＝2|F1B |，则|AB|等于( 　)
A. 4 B. 2
C. 4 D. 4
7. (2025·上海高二检测)过椭圆＝1(m＞9)右焦点F的圆与圆O：x2＋y2＝4外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为( 　)
A. ＝1
B. ＝1(x≤－2)
C. ＝1(x≥2)
D. ＝1
8. (多选)(2025·广东阶段练习)已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，CA，CB所在直线的斜率之积是m，下列说法中，正确的是( 　)
A. 若m＝1，则顶点C的轨迹是圆(除去与x轴的交点)
B. 若m＝－1，则顶点C的轨迹是圆(除去与x轴的交点)
C. 若m＜0，则顶点C的轨迹是椭圆(除去与x轴的交点)
D. 若m＞0，则顶点C的轨迹是双曲线(除去与x轴的交点)
9. (多选)已知A，B两监测点间的距离为800 m，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2 s，若声速为340 m/s，则下列说法中，正确的是( 　)
A. 爆炸点在以A，B为焦点的椭圆上
B. 爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上
C. 若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B监测点的距离为 m
D. 若B监测点的声强是A监测点的4倍，则爆炸点到B监测点的距离为680 m
10. (2025·上海高二检测)在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且·＝2，则点P的轨迹方程为 .
11. 已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则|PF1|＝ ，△PF1F2的面积等于 .
12. 如图所示，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是 ；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是 km.
13. (2024·安徽芜湖一中高二月考)已知点A(－2，0)与点B(2，0)，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若O为原点，P在第二象限，当|OP|＝时，求点P的坐标.
14. 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
15. 已知F1，F2分别是双曲线C：＝1的左，右焦点，动点A在双曲线的左支上，B为圆E：x2＋(y＋3)2＝1上一动点，则|AB|＋|AF2|的最小值是 .
16. 已知椭圆＝1(a＞b＞0)与双曲线＝1(m＞0，n＞0)的一个交点为P，且有公共的焦点F1，F2，若∠F1PF2＝2α，证明：tan α＝.

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