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参考答案
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14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】树高为．
17.【答案】解：根据题意得海里海里，海里．
，，
．
．
甲轮船向南偏西方向航行，
乙轮船向南偏东方向航行．
18.【答案】
水深为尺，芦苇的长为尺．
19.【答案】【小题】
【小题】
由勾股定理得，，，解得．
【小题】
．．
20.【答案】【小题】
【小题】
因为大正方形的面积可以表示为，又可以表示为，所以，所以，所以，即直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方．
21.【答案】【小题】
解：由题意，得，设，则由勾股定理，得，即，解得答：的长为．
【小题】
由题意，得，，．
由可得，．
在中，，．
．
答：物体上升的高度为．
22.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，连接交于点，易知为最短路程作，交的延长线于点．
易得，在中，由勾股定理得，即蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程为．
23.【答案】解：梯形的面积为，
也可以表示为，
，
即；
，
，
在中，，
即，
解得：，
即，
千米，
答：新路比原路少千米；
设，则，
在中，，
在中，，
，
即，
解得：． 2026-2027八年级上册第一章勾股定理
单元检测
题号 一 二 三 总分
得分
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组数中，是勾股数的是( )
A. ，， B. C. ，， D.
2.如图，中，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能验证勾股定理的是( )
A. B. C. D.
4.如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形，，的面积依次为，，，则正方形的面积为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，有一个长、宽各，高为且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点要沿外表面爬到顶点，那么这只昆虫爬行的最短路程为 ( )
A. B. C. D.
6.如图，在正方形网格中有线段，，点，，在网格的格点上，则( )
A. B. C. D.
7.如图，将长方形沿着对角线折叠，点落在点处，交边于点若，，则的长为( )
A. B. C. D.
8.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计范围是( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，分别以这个三角形的三边长为边长作正方形，面积分别记为，，，若，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
10.中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心如图，每根雕龙木柱高为米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为 ．
12.如图，在中，，的面积为，在同侧分别以，，为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 ．
13.勾股定理最早出现在商高的周髀算经：“勾广三，股修四，经隅五”观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，股与弦相差为柏拉图研究了勾为偶数，股与弦相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若此类勾股数的勾为为正整数，则其股是 ，弦是 结果均用含的式子表示．
14.在一块长为，宽为的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，从正面看木块是边长的等边三角形，一只蚂蚁从点处到点处需要走的最短路程是
15.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在中，，，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，并按如图所示作长方形，延长交于点，则长方形的面积为 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分如图，在一棵树的高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树的池塘处，另一只爬到树顶后直接一跃，跳到池塘的处若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树有多高
17.本小题分如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度向南偏西方向航行，乙轮船以海里时的速度航行，小时后，两艘轮船分别到达，处，此时相距海里，求乙轮船航行的方向．
18.本小题分我国经典数学著作九章算术中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺丈尺
19.本小题分如图，在中，，，，求的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作于点，设，用含的代数式表示 ；
根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值；
利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积．
20.本小题分
如图是由两直角边长分别为，，斜边长为的四个全等的直角三角形拼成的一个边长为的正方形，根据图验证勾股定理．
解：因为大正方形的面积可以表示为 ，
又可以表示为，
所以 ，
所以 ，
整理，得 ，
即直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方．
仿照的验证过程根据图验证勾股定理．
21.本小题分物理课上，老师带着科技小组进行物理实验同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点
求的长．
如图，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度．
22.本小题分如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝．
现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是___________．
A. B. C. D.
金属丝的长为 ．
如图，圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？杯壁厚度不计
23.本小题分著名的赵爽弦图如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．
图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理；
如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上，并新修一条路，且测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
在第问中若时，，，，，设，求的值．

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