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湖北武汉市江岸区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量，，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知单位向量，的夹角为，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.若，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.在中，若，，，则的大小为( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知圆台甲、乙的上底面半径均为，下底面半径均为，圆台的母线长分别为，，则圆台甲体积与乙体积( )
A. B. C. D.
6.直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为( )
A. B. C. D.
7.逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在三处测得道路一侧山顶的仰角分别为，其中，则此山的高度为( )
A. B. C. D.
8.若三棱锥的四个顶点在表面积为的球面上，，分别是边，的中点，两条边，的长度分别为和，则以为直径的球的体积取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.多选题某户居民今年上半年每月的用水量单位：如下：
月份 月 月 月 月 月 月
用水量
小明在录入数据时，不小心把一个数据录成，则这组数据中有变化的量是( )
A. 平均数 B. 极差 C. 中位数 D. 标准差
10.复数，，在复平面内对应的点分别为，，，其中为坐标原点，则下列选项正确的是
A.
B. 若，则
C.
D.
11.已知正方体的棱长为，，为体对角线上的点，且满足，动点在三角形内，且三角形的面积，则( )
A. 点在三角形内
B.
C. 直线，所成的角是定值且正切值是
D. 点轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用斜二测画法作出的水平放置的直观图如图所示，其中，，则绕所在直线旋转一周后所形成的几何体的侧面积为 ．
13.如图，在平面四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为 ．
14.已知个数，，，的平均数为，方差为，现从中剔除，，，，这个数，且剔除的这个数的平均数为，方差为，则剩余的个数，，，的方差为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．
若，设，，求向量与的夹角的余弦值；
若，设，，若，求实数的值．
16.本小题分
在三棱锥中，，底面，．
求到平面的距离；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
某学校为提升学生的体育健康素养，要求所有学生完成规定的体育锻炼任务，并获得相应过程性积分．现将某校名学生的体育健康测试成绩百分制，且均为整数及相应过程性积分数据，整理如下表：
体育健康测试成绩 体育过程性积分 人数
估计该名学生体育健康测试成绩的分位数结果保留整数；
从该校体育过程性积分不高于分的学生中随机抽取一名，其体育健康测试成绩记为，上述名学生体育健康测试成绩的平均值记为．
求的最小值，并用含的式子表示的最小值为各分数段分别取最小值时所求得的平均分；
若根据表中信息能推断恒成立，求的最小值．
18.本小题分
在四棱锥中，，．

证明：二面角是直二面角；
若，，．
当时，求与平面所成角的正弦值；
设，将二面角的正切值表示为关于的函数，并求的取值范围．
19.本小题分
在如图所示平面四边形中，，，，，将沿翻折至图，其中为动点，连接，令，点，，分别为，，的中点，点在上且满足，与交于，与交于，连接．

证明：平面；
当平面平面时，求的值；
求二面角的余弦值的最小值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：若，又，，
所以．
若，又，，
所以，，
所以
，
解得，所以实数的值为．

16.【答案】解：由得，，．
底面，平面，，
又，，，平面，
平面，故．
，．
，，
．
设到平面的距离为，
由得，解得；
过作于，连接．
底面，平面，，
又，，平面，平面，
故是在平面内的射影，
即为直线与平面所成的角．
在中，，
由面积关系，解得，
在中，．

17.【答案】解：由总人数为得，即．
成绩的有人，的有人，累计到的总人数为，
分位数位置为，可知分位数位于分数段内，
代入估算公式得分位数．
各分数段取最小值计算平均分，取，取，取，
取，取，将代入加权平均公式得．
过程性积分不高于分的学生成绩满足，且成绩均为整数，
故的最大值为，要使恒成立，只需的最大值不大于的最小值，
即，解得，
又为正整数，故的最小值为．
18.【答案】解：证明：在上取点，过作，交于，
过作，交于，连接，

则为二面角的平面角，
设，
因为，
所以，
所以，，
同理可得，，
在中，由余弦定理可得：
，
所以为直角三角形，且，
所以，
所以二面角是直二面角；
由可知平面平面，
又因为平面平面，平面，，
所以平面，平面，
所以，
又因为，，
所以四边形为矩形，
又因为，
所以，
在中，由余弦定理可得
，
所以且，
所以是直角三角形，，
从而得四边形为边长为的正方形，
设，连接，

则，
因为，所以，
又因为，平面，，
所以平面，
又平面，
所以，
平面，，
所以平面，
所以是与平面所成角，
又因为，所以，
在中，
由可知四边形中，，
且平面，
所以，
又因为平面，所以，
因为，所以，
在中，由余弦定理可得：
，
在中，由余弦定理同理可得：，
又因为．
所以．
即，
所以，
又因为，所以，
过作于，过作于，连接，

因为平面，平面，
所以平面平面，
又因为平面平面，
平面，
所以平面，
又因为平面，
所以
又因为，平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
所以是二面角的平面角，
在中，，
在中，，，
在中，，

所以，，
在中，，
所以，
所以；
因为，所以，
所以，所以
所以
所以
即．

19.【答案】解：证明：因为分别为边的中点，所以为的中线，且，
所以为的重心，则，
在中，，，
则，，即，
又因为，所以∽，则，
在中，，
则，故，
又因，则，即为的中点，
故为的中线，且，则为的重心，即，
则，所以在中，，
因为平面，平面，所以平面．
当平面平面时，因，
则平面或平面，
设，，，
则，，，
因为，所以，
在中，，，
则由余弦定理，，
所以，
设，在中，，，
则，
又，，
，，
情况一：若平面，
因为平面，则，即，
即，
即，
即，解得，
将其代入到，即，
解得负值舍去，满足，
情况二：若平面，
因为平面，则，即，
即，
即，
即，解得，
将其代入到，即，
解得负值舍去，不满足，
综上所述，当平面平面时，．
依题意，以点为坐标原点，以所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，
则，，
设，则，，
两式相减得，代回原式得，则，
则，将代入得，
即，由于，则，
易得平面的法向量为，
因，则，，
设平面的法向量为，
则有，故可取，
设二面角的平面角为，由图可知该二面角为锐二面角，
则，
将代入得，
设，因为，则，此时恒为负数，
则，则，
因为在上单调递减，则在上
单调递减，
所以，则，
即二面角的余弦值的最小值为．


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