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北京市北京中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题
一、选择题
1.已知向量，，且，则的值是( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
3.在平行四边形中，为的中点，若，则( )
A. B. C. D.
4.北中高中部有老师人，男学生人，女学生人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取人，则等于( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
7.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩
乙的成绩
丙的成绩
环数 环数 环数
频数 频数 频数
、、分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有
A. B. C. D.
8.三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为
A. B. C. D.
9.设非零平面向量，，两两不垂直，那么“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.已知向量，，满足，且向量与的夹角为，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.若复数在复平面对应的点为，的共轭复数为，则 ．
12.在一个盒子中有个红球和个黑球，这个球除颜色外没有其他差异．现从中依次不放回地随机抽取出个球．则两次取到的球颜色不同的概率为 ．
13.北中英才学生在某次抽样检测中，随机抽取个人的成绩频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，估计此次考试成绩的第百分位数为 ．
14.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的体积为 ．
15.已知，，设当时， ，当时，的取值范围为 ．
16.如图，正方体棱长为点为中点，为正方体侧面内包含边界的动点记、、三点所在的平面为给出下列四个结论：
直线与平面所成角的正切值为；
已知平面，若，则；
若点满足，则必有的面积为；
若点满足，则必有．
其中所有正确结论的序号为 ．
三、解答题
17.在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，分别为，的中点．
若平面平面，求证：；
若，求证：平面平面．
18.在中，为钝角，．
求角的大小；
若，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最小边上的高．
条件：的面积为；
条件：；
条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.年美加墨世界杯期间，罗与梅西均将开启个人第六次世界杯征程．两人是现役球员中职业生涯总进球数最高的两位，其自然年进球数与同龄进球数统计如图、图所示：

图 自然年总进球数对比

图 相同年龄总进球数对比
从图所示的年中随机选取年，求罗该年进球数多于梅西的概率；
已知年间，年度最佳射手全球自然年进球最多者的平均进球数为球．以频率估计概率，求罗与梅西中至少有一人当选年度最佳射手的概率；
记图中岁至岁连续三年内，罗与梅西的进球数方差分别为和，比较与的大小关系；并判断梅西从多少岁开始的连续三年进球数方差最大结论不要求证明．
20.如图，已知平面平面，四边形是正方形，，点，分别是，的中点．

若点为线段中点，点在线段上，求证：平面；
若点在线段上，在线段上是否存在点，使得，若存在，求线段与的比值，若不存在，请说明理由；
若，从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在，求二面角的余弦值．
条件：；条件：；条件：；
注：如果选择条件不能使四棱锥存在得零分．
21.设，若非空集合同时满足以下个条件，则称是“无和划分”：
；
；
，且中的最小元素大于中的最小元素；
，必有．
若，判断是否是“无和划分”，并说明理由．
已知是“无和划分”
证明：对于任意，都有；
若存在，使得，记，证明：中的所有奇数都属于．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：证明：如图，取的中点为，连接，，
因为为的中点，所以，，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
又为的中点，所以，，
所以，，则四边形是平行四边形，
所以，平面，平面，故平面，
由平面，平面平面，则；
因为平面平面，平面平面，
又四边形为正方形，所以，平面，
所以平面，平面，则，
因为，，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．

18.【答案】解：因为，所以，
由余弦定理，得，
则，即，
因为，所以．
由余弦定理，得，解得，
因为为钝角，所以，由余弦定理得，
由，可得，
选择，因为的面积为，所以，
解得，代入中，可得，
联立方程组，解得或
当时，不满足，排除，
当时，不满足，排除，
此时不存在符合题意的，故不能选择；
选择，由题意得，则角为锐角，则，
由正弦定理得，解得，代入中，得，
解得，此时满足符合题意，
设最小边边上的高为，由等面积得，
解得，则最小边上的高为；
选择，由已知得，化简变形得，
由题意得，则，解得，
联立方程组，解得或
当时，满足，符合题意，
当时，不满足，排除，
设最小边边上的高为，由等面积得，
解得，则最小边上的高为．

19.【答案】解：由图中的数据，可得在统计的年进球数据中，
其中罗该年进球数多于梅西的有年，所以概率为．
解：因为年度最佳射手平均进球，即单年进球才能当选，
其中满足条件：年，梅西，满足条件；
年，罗，满足条件；年，罗，梅西，都满足条件；
年，罗，满足条件；年，罗，满足条件；
年，罗，满足条件；年，罗，梅西，都满足条件；
年，梅西，满足条件；年，罗，满足条件，共有年，
所以罗与梅西中至少有一人当选年度最佳射手的概率为．
解：由图知：罗岁至岁连续三年内，进球数分别为；
梅西岁至岁连续三年内，进球数分别为，
可得罗的平均进球数为，
方差为；
梅西的平均进球数为，
方差为，
所以，
从梅西的进球数据，从岁开始，连续年进球数分别为，
其数据的波动性最大，所以从岁连续三年进球数方差最大
所以梅西从岁开始的连续三年进球数方差最大．

20.【答案】解：连接，
在正方形中，且，
因为是中点，是中点，所以且，
故四边形是平行四边形，因此，
又平面，平面，所以平面，
因为是中点，是中点，所以是的中位线，故，
又平面，平面，所以平面，
因为，且平面，
根据面面平行的判定定理，平面平面，
又点在线段上
则平面，因此平面；
因为平面平面，交线为，
四边形是正方形，平面，
根据面面垂直的性质定理，平面，
又平面，故，
取中点，由，为等腰三角形，则，
因为，且平面，
所以平面，
取中点，连接，
因为分别是中点，所以是的中位线，故，
又，因此，即四点共面，在平面内，
对任意在线段上，平面，
由平面，得，
因此线段上存在点中点满足条件，且；

条件，
由，为等边三角形，
取中点，连接，则，
由平面平面，得平面，且，
过作于，由正方形性质得，且，
连接，因为，，，平面，
所以平面，又平面，故，
因此为二面角的平面角，
在中，，
故；

条件，时，四棱锥不存在：
由平面平面，，得平面，
因为平面，故，
即为直角三角形，为斜边，不可能与直角边垂直，四棱锥不存在；
条件，
因为平面是正方形，则，
因为，则，
又平面平面，交线为，则平面，
又平面，则，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，所以，
因此为二面角的平面角，
在中，，，
故，．

21.【答案】解：不是．
理由如下：取 ，则，说明不是“无和划分”．
假设存在，使得，
记的最小值为，则；
设中最小的元素为，则，所以，
所以，否则与矛盾，
否则与矛盾，所以，
因为，所以不同属于，
所以这与矛盾，所以假设不成立．
因为是“无和划分”，且存在，使得记的最小值为，
所以，
由知，
因为，所以，所以，
设中最小的元素为，若，则，所以，
所以否则与矛盾，
所以否则与矛盾，
所以，又因为和不同属于，所以，
这与矛盾，所以，即，
所以，所以，所以，
所以否则与矛盾，所以，
若，则与和矛盾，
所以所以，否则与矛盾，
否则与矛盾，所以，
以此类推，对于任意奇数都有，
所以为偶数否则，与和矛盾，
所以均为奇数．
因为，所以否则与矛盾，所以，
所以，所以否则与矛盾，所以，
以此类推，对于任意大于，小于或等于的奇数都属于集合，
综上所述，中的所有奇数都属于集合．

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