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江苏泰州市2025-2026学年高二下学期期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，若向量，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.若随机变量的概率分布如下：
则( )
A. B. C. D.
4.已知，的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果经验回归方程为，那么( )
A. B. C. D.
5.甲、乙、丙、丁、戊名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，丙不站在两端，则不同的排列方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.若，其中，，，，，，均为实数，则( )
A. B. C. D.
7.某电商随机调查名消费者的月消费金额与满意度评分，整理统计数据得到关于的经验回归方程为，与的相关系数，若月消费金额的标准差为，则满意度评分的方差为( )附：经验回归方程中回归系数；相关系数．
A. B. C. D.
8.小明从楼梯底部开始往上走，每一步走级台阶或级台阶，走级台阶的概率为，走级台阶的概率为，则在小明走到第级台阶的条件下，小明恰走了步的概率为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若随机变量，的取值落在内的概率约为，落在内的概率约为已知随机变量，则( )
A. B.
C. D.
10.下列说法正确的有( )
A. 若分布，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若随机变量，满足，，则
11.我国北宋数学家贾宪有一部著作黄帝九章算法细草，其中有“开方作法本源”图，杨辉在详解九章算法一书中征引了贾宪的材料，“开方作法本源”图现称为“杨辉三角”如图所示，则( )
第行
第行
第行
第行
第行
第行
第行
A. 第行第个数为
B. 第行所有数的和为
C. 第行共有个偶数
D. 若第行存在连续三项成等差数列，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，从甲地到乙地有条公路，从乙地到丙地有条公路，从甲地不经过乙地到丙地有条水路，则从甲地到丙地共有 种不同的走法．
13.在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则 ．
14.口袋中有个大小、形状相同的球，其中有个红球、个黑球．规定“从口袋中随机摸出一个球，若摸到红球，则将其换成黑球后放回口袋；若摸到黑球，则将其换成红球后放回口袋”为一次操作，每次操作后口袋中始终有个大小、形状相同的球．经过次操作后，口袋中所有的球的颜色都相同的概率为 ；若恰好经过，次操作后，口袋中所有的球首次颜色都相同的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在的展开式中，求：
第项的二项式系数；
含的项的系数．
16.本小题分
随着人工智能技术的飞速发展与广泛普及，产品深度融入大学生的生活和学习．为调查学生性别与是否使用产品的关系，研究人员采用简单随机抽样的方法在全校范围内抽取了男生和女生各名．整理统计数据得到如图所示的列联表．
是否有的把握认为该校学生性别与是否使用产品有关联？
性别 是否使用产品 总计
是 否
男生
女生
总计
为了比较使用产品的男生和女生在使用内容上的差异，研究人员从使用产品的学生中，采用简单随机抽样的方法抽取了名男生和名女生组成“访谈组”现从“访谈组”中随机抽取名学生进行深度访谈，设抽取的男生人数为随机变量，求的概率分布和数学期望．
附：，其中．
17.本小题分
在长方体中，已知，，点在平面上的射影为．
设，求，的值；
已知，，其中若平面，求的值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，分别为，的中点．
求证：平面；
若，，．
求直线与平面所成的角的大小；
求二面角的正弦值．
19.本小题分
在分制乒乓球比赛中，每赢一球得分，输一球得分，当比分为之后，双方每球需交换发球，先多得分的一方获胜，该局比赛结束．现在甲、乙两名运动员的比分为，已知每次交手中甲得分的概率为，乙得分的概率为，各次交手的结果相互独立．现从比分为开始记录交手次数，记随机变量为该局比赛结束时的交手次数，记“该局甲获胜”为事件，“”为事件．
当时，求，；
求用含的式子表示；
证明：，独立．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：第四项的二项式系数为；
在的展开式中，
含的项为，
所以含的项的系数．
16.【答案】解：列联表如下图：
性别 是否使用产品 总计
是 否
男生
女生
总计
由题意：，
，
所以有的把握认为该校学生性别与是否使用产品有关联；
易知名“访谈组”有名男生和名女生，现从“访谈组”中随机抽取名学生进行深度访谈，
所以的所有可能取值为，，，
且服从超几何分布：
，，，
故所求分布列为
可得．

17.【答案】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
设，则，
点在平面上的射影为，所以平面，
因为平面，所以，，
，
由得
，
即
，
由得，
故，则
将其代入中，可得
整理得，解得
，
设，，
因为，，所以，
所以，，
所以，，
所以，
则，
设平面的法向量为，
则
令，则，，其中．
故，
若平面，则，即，
故，
其中，故，
上式可化简得，
若，此时，故，即两点重合，不合要求，舍去，
故，解得

18.【答案】解：证明：因底面为正方形，，分别为，的中点，
则，又因，则，因平面，
故平面．
在平面中，过点作于点，
由得平面，因平面，则，
又因平面，故平面．
过点作的平行线，交于点，则，
故可以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
因，，，
则，
则，
故，
设平面的法向量为，
则，故可取；
设与平面所成的角为，则，
因，则，即直线与平面所成的角为．
设平面的法向量为，
则，故可取．
设二面角的平面角为，因，
则，
即二面角的正弦值为．

19.【答案】解：表示球结束比赛，即甲连赢球或乙连赢球，
则 代入得：；
表示前球未分胜负，后球分出胜负，前球未分胜负即甲乙各赢球，概率为，
则 代入得：．
事件为且甲获胜，分为两种情况：
甲胜概率为，甲胜前球打平，后球甲连赢，概率为，
则
为，即或，
则，
故
证明：设甲最终获胜的概率，
开局后：甲要么前两球取胜概率，要么前两球打平概率，回到平局后甲获胜概率仍为，
故 整理得：
即，即得，因此相互独立，得证．

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