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云南红河州2025-2026学年高二下学期期末学业水平质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则的元素个数是( )
A. B. C. D.
3.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆台的下底面半径是上底面半径的倍，侧面积为，母线长为，则圆台的体积为( )
A. B. C. D.
6.某学校读书节活动中，甲、乙、丙、丁位同学获奖现将人排成一排照相，则甲、乙两人相邻的不同排法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.若是定义在上的奇函数，且，则的值为( )
A. B. C. D.
8.曲线：的对称中心是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正项等比数列的公比为，是其前项和，若，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 是与的等差中项
10.已知圆：，圆：，则下列说法正确的是( )
A. 圆的圆心坐标为
B. 当时，抛物线的焦点在圆上
C. 当时，圆和圆相交的公共弦所在直线方程为
D. 当时，若动圆与圆外切，与圆内切，则圆心的轨迹为双曲线的一支
11.正方体中，分别为棱的中点，为平面上一点，且平面，则下列说法正确的是( )
A. 平面截此正方体所得的截面为五边形
B. 的轨迹为线段
C. 三棱锥的体积为定值
D. 线段取最小值时，是线段的一个五等分点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，且，则实数的值是 ．
13.已知公差为的等差数列满足，则数列的前项和是 ．
14.对于函数，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点，简称不动点已知函数，若曲线为自然对数的底数上存在，使得是的不动点，则整数的值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某中学教师对该校高二年级学生期中考试的数学成绩总分分进行统计分析在整个年级中随机抽取了名学生的数学成绩，将数学成绩分为，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于分为优秀．
求这名学生中数学成绩为优秀的人数；
求这名学生的数学成绩的上四分位数；
在样本中，采取分层抽样的方法从数学成绩在内的学生中抽取名，再从这名学生中随机抽取名，记这名学生中数学成绩为优秀的人数为，求的分布列与数学期望．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别为的中点，．
求证：；
求平面与平面所成夹角的余弦值．
17.本小题分
在中，角的对边分别为，且满足．
求；
若，
求的外接圆的面积；
设，且为的中点，求的长．
18.本小题分
已知函数．
若，求在点处的切线方程；
讨论的单调性；
若在上恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知双曲线：经过点，．
求的方程；
过点且斜率为的直线与的右支相交于两点，
求斜率的取值范围；
在轴上是否存在定点，使得无论绕怎样旋转，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：依题意，不低于分的人数为，
所以这名学生中数学成绩为优秀的人数为；
由频率分布直方图知前组的频率之和为，
所以这名学生的数学成绩的上四分位数即分位数为分；
由频率分布直方图知数学成绩在内的有人，
数学成绩在内的有人，
故采取分层抽样的方法从数学成绩在内的学生中抽取名，
数学成绩在内的有人，在内的有人，
由题可知的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为
故．

16.【答案】解：连接，
因为分别为的中点，所以，
因为底面是正方形，所以，
所以，
因为底面，底面，
所以，
又平面，且，
所以平面，
又平面，
所以；
以为原点，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，
，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
因为平面，
所以是平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面所成夹角的余弦值为．

17.【答案】解：因为，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
即，，
因为，所以，
得，
即；
由正弦定理得，是的外接圆的半径
解得，
所以的外接圆的面积为；
由余弦定理，
即，
得，
解得或舍去，
因为为的中点，
则，
所以，
即，
则，
故的长为．

18.【答案】解：当时，，
因为，所以切点为，
又斜率，
故切线方程为：，
即；
，的定义域为，
当时，，，所以在上单调递增，
当时，
时，，，所以在上单调递减，
时，，，所以在上单调递增；
由题可知在上恒成立，
即在上恒成立，
则有在上恒成立，
令，由可得在上单调递增，
故可化为，
所以在上恒成立，
即，解得，
故的取值范围为．

19.【答案】解：由双曲线：经过点，，
得，解得．
所以曲线的方程为．
设直线的方程为：，联立
整理得．
因为直线与双曲线的右支相交于两点，设，，
所以，解得或．
故斜率的取值范围为．
由轴平分可知．
由可得．
又，，
则，．
假设在轴上存在定点，则，
因为，所以，
展开可得，
即．
因为或，所以．
即，
即，
即，得．
所以轴上存在定点符合条件，且．

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