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云南红河哈尼族彝族自治州2025-2026学年高一下学期期末学业水平质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．现有一个上、下底面面积分别是，高为的圆台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
6.某中学为了解本校学生课外阅读情况，随机抽取名学生进行调查，统计学生平均每日课外阅读时长单位：分钟，且时长均在范围内，得到如图所示频率分布直方图．该校将阅读时间较长者评为“阅读达人”，且获得“阅读达人”称号的学生人数占总人数的以样本估计总体，若某学生获得“阅读达人”称号，则他平均每日课外阅读时长至少达到( )
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
7.( )
A. B. C. D.
8.已知点是边长为的等边边上一动点，为的重心，则的范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，定义如下事件：“掷出的点数为偶数”，“掷出的点数小于”，“掷出点数为”，则下列说法正确的是( )
A. B. 事件包含于事件
C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数关于直线对称
C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到的函数是奇函数
D. 不等式的解集为
11.如图，在正方体中，，点为线段上的动点，点为线段上的中点，则下列说法正确的是( )
A. 无论点在线段上如何运动，总有
B. 与平面所成角的正弦值为
C. 的最小值为
D. 若，过三点作该正方体的截面，该截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则 用坐标表示
13.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点是角终边上一点，则 ．
14.已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某学校的羽毛球社团有，两个训练小组，其中组人，组人，期末学校对羽毛球训练成效进行考核，满分为分．为了解两个小组的训练成效，现采用按比例分层抽样的方法从该社团成员中抽取容量为的样本，记录样本中每名成员的考核成绩单位：分，统计结果如下：
抽取的名组成员考核成绩为：，，，；
抽取的名组成员考核成绩为：，，，，，．
规定：考核成绩不低于分为“优秀”．
根据个样本数据，从考核成绩为“优秀”的成员中任取两人，求这两人来自同一组的概率；
以样本估计总体，分别估计，两组考核成绩的平均数与方差，判断哪组的成绩更稳定？请说明理由．
16.本小题分
某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完．
求年利润万元与年产量万件的函数解析式利润销售收入固定成本可变成本；
当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
17.本小题分
在中，角所对的边分别为，且满足．
求证：；
若，平分且交于点，且，求的周长．
18.本小题分
如图，在四面体中，是边长为的等边三角形，是线段的中点，是的中点，点在上且满足，，．

求证：平面；
求证：平面；
若，求四面体的体积．
19.本小题分
已知是定义在上的奇函数，当时，．
求在时的解析式；
判断函数在上的单调性，并证明；
对，恒成立，且，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由题意知，抽取的样本数据中考核成绩为优秀的成员共有人，
其中组有人，分别记为，；组有人，分别记为，，；
从上述人中随机抽取人的样本空间为：
，共包含个样本点，
其中，这两人来自同一组包含个样本点，
则，
所以考核成绩“优秀”的人中任取两人，两人来自同一组的概率为．
记抽取的名组成员的考核成绩的平均数为，方差为，
记抽取的名组成员的考核成绩的平均数为，方差为，
则，
，
，
，
由于，，所以组的成绩更稳定．

16.【答案】解：由题意知，年利润
当时，
，
当且仅当，即时取等号，
此时，取得最大值为，
所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元．

17.【答案】解：证明：因为，
由正弦定理得，即，
得，所以，即
因为，，所以的面积为，
又因为平分且交于点，所以，又，
所以，
所以，即，，因为，根据余弦定理得
，故，所以周长．

18.【答案】解：证明：因为是线段的中点，是的中点，
所以，又因为，
所以，且平面；平面，
所以平面；
因为是边长为的等边三角形，是线段的中点，
所以，且，
又因为，，
所以，则，且，，
所以；
因为是线段的中点，，，
所以，得，
又因为，
所以，
设四面体的体积为，则．

19.【答案】解：
因为是奇函数，故有，且时，，
当时，，则，所以，
因此函数在时的解析式为；
函数在上单调递增，证明如下：
设，则，即，
所以函数在上单调递增；
因为，所以，
因为，代入得，
由得在上单调递增，则恒成立，
即恒成立，令，，
令，所以，则的最大值为，
因此，所以的取值范围为．

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