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2025-2026学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
2.已知为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.，，则( )
A. B. C. D.
4.如图所示，中，，点是线段的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为，体积为，则该球的表面积是( )
A. B. C. D.
6.函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
7.“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.已知向量，若，若向量与向量互相垂直，则是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设、是空间中的两条直线，、是空间中的两个平面，下列说法错误的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则与相交
C. 若，，，则
D. 若，，，则与没有公共点
10.的内角、、的对边分别为、、则下列说法正确的是( )
A. 若，，，则有两解
B. 若，则为直角三角形
C. 若，则
D. 若，，则面积的最大值为
11.已知向量，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是( )
A. 图像关于直线对称 B. 图像关于点对称
C. 最小正周期为 D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则______．
13.如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，若，，则边的实际长度为______．
14.已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，直三棱柱所有的棱长都为，，分别为和的中点．
证明：平面；
求三棱锥的体积．
16.本小题分
设内角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
若，求的面积．
17.本小题分
某变异病毒感染的治疗过程中，需要用到某医药公司生产的类药品该公司每年生产此类药品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入成本为万元，每千件药品售价为万元，此类药品年生产量不超过千件，假设在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完．
求公司生产类药品当年所获利润万元的最大值；
当年产量为多少千件时，每千件药品的平均利润最大？并求最大平均利润．
18.本小题分
已知函数．
求函数的单调减区间；
将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．
19.本小题分
已知定义域为的函数是奇函数．
求，的值；
判断单调性并证明；
若，不等式恒成立，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：证明：，分别为和的中点，
，又平面，平面，
平面；
根据题意可得三棱锥的体积为：
．
16.【答案】
17.【答案】解：由题可得，
所以，
当时，，
所以当年产量为千件时，在这一药品的生产中所获利润最大为万元；
可知平均利润为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当年产量为千件时，每千件药品的平均利润最大为万元．
18.【答案】解：函数，
：，
因此，函数的单调减区间为；
将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，
再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，
，，
的值域为．
19.【答案】解：由于定义域为的函数是奇函数，
则即，解得，
即有，经检验成立；
在上是减函数．
证明：设任意，
，
由于，则，即有，
则有，
故在上是减函数；
不等式，
由奇函数得到，
，
再由在上是减函数，
则，即有对恒成立，
当时，，显然成立；
当时，，
，当且仅当时，取得等号，
则；
当时，，
又，
当且仅当时，取得等号，
则；
综上可得的范围是
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