资源简介

2025-2026学年黑龙江省大庆中学高一（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知，是两个不共线的向量，若向量，共线，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，，，则原平面图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知向量，满足，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.如图，在梯形中，，，，，将梯形整绕着所在的直线旋转一周，得到的旋转体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
7.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，如图，设乘客眼睛离地面的距离为，若，，在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为( )
A. B. C. D.
8.如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则下列错误的是( )
A. 三棱锥体积的最大值为
B. 若点满足，则动点的轨迹长度为
C. 当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为
D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
9.已知向量，满足，，与的夹角为，若，则 ．
10.在中，点在线段上，点在线段上，且满足，若，则的值为 ．
11.在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.本小题分
已知向量与的夹角，且，．
求，；
求与的夹角的余弦值．
13.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点．
求证：平面；
求异面直线与所成角的余弦值．
14.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
15.本小题分
锐角中，角，，的对边分别为，，，且．
求角；
求的取值范围．
16.本小题分
如图，长方体中，，，点是棱的中点．
求异面直线与所成的角的大小；
是否存在实数，使得直线与平面垂直？说明理由；
设是线段上的一点不含端点，满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等．
四、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
17.已知、是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
18.如图，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是( )
A. B.
C. D.
19.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将棱长为的正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有( )
A. 该半正多面体的体积为
B. 该半正多面体过，，三点的截面面积为
C. 该半正多面体外接球的表面积为
D. 该半正多面体的顶点数、面数、棱数满足关系式
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】，
13.【答案】，分别为，的中点，，，
且，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面
14.【答案】证明：因为平面，平面，所以，
又四边形为直角梯形，且，，
则，所以，
因为，所以，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，即，
因为，，平面，
所以平面
15.【答案】
16.【答案】解：连接，由四边形为正方形，可得，
又为长方体，可得，
而，平面，平面，
平面，
而平面，，
即异面直线与所成的角的大小为；
存在实数，使得直线与平面垂直．
当时，，
，，则∽，
则，
，，即，
又平面，平面，
则，，平面，平面，
平面，
平面，，
同理可证，
又，平面，平面，
直线平面；
，
，
设与平面 的斜足为，则，
在线段上取一点，要使三棱锥与三棱锥的体积相等，
则为的中点，即．
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】
第1页，共1页

展开更多......

收起↑