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2025-2026学年河北省秦皇岛市第三中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则在处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
2.的展开式中，系数最大的项为( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项和第项 D. 第项和第项
3.下列函数的导数正确的是( )
A. B. C. D.
4.下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是( )
A. 有个极值点
B. 在处取得极大值
C. 在上单调递增
D. 有极小值，没有极大值
6.二项式展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
7.甲盒中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球两盒中的球除颜色外没有其他区别先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，再从乙盒中随机取出两球，则取出的两球都是白球的概率为( )
A. B. C. D.
8.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 在单调递增
B. 有两个零点
C. 曲线在点处切线的斜率为
D. 是偶函数
10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种
B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种
C. 甲乙不相邻的排法种数为种
D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 是函数定义域内的极小值点
B. 的单调减区间是
C. 若方程有两个不同的实根，则
D. 在定义域内无最小值，无最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设是函数的导函数，若，则 ．
13.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱年月日：分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕年，中国空间站将正式进入运营阶段假设空间站要安排甲、乙等名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有 用数字作答
14.已知函数在时有极值，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
田忌赛马的故事出自史记中的孙子吴起列传齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序．
求在第一局比赛中田忌胜利的概率：
若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率．
16.本小题分
已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为．
求；
若过点的直线与的图象相切，求的方程．
17.本小题分
某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、．
求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率；
若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率．
18.本小题分
已知展开式中前三项的二项式系数和为．
求的值；
求展开式中含的项的系数；
求展开式中系数最大的项．
19.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
若有极值，且的最大值大于，求的取值范围；
若恒成立，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，
齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，
并且用马的记号表示该马上场比赛．
设事件“第一局双方参赛的马匹”，事件“在第一局比赛中田忌胜利”，
由题意得，
，则在第一局比赛中田忌胜利的概率是；
设事件“第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，
事件“田忌获得本场比赛胜利”，
由题意得，，，，
，，
则本场比赛田忌胜利的概率是．
16.【答案】解：因为，所以，
所以根据题意可得，解得；
由知，，
设切点坐标为，则，切线的方程为，
又点在曲线上，所以，代入得，
即，
整理可得，故的方程为，即．
17.解：事件表示“消费者给出好评”，事件表示“消费者未给出好评”，
设事件表示“抽到隐藏款”，表示“抽到稀有款”，表示“抽到普通款”，
根据题意，，两两互斥，且，
，，，，，．
由全概率公式得，
所以消费者给出好评的概率为；
根据题意，得，
由知，因此，
因为，，两两互斥，且，
由贝叶斯公式得，
所以若消费者未给出好评，其抽到普通款的概率为．
18.解：由题意，即，
解得或舍去，
所以；
展开式的通项为其中且，
令，解得，
所以，所以展开式中含的项的系数为；
设展开式中第项的系数最大，
所以，即，
解得，
又，所以，
所以，
所以展开式中系数最大的项为．
19.解：由题，
当时，恒成立，因此在上单调递增，
当时，令，解得，
当时，，当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增，
综上可得，当时在上单调递增，
当时在上单调递增，在上单调递减；
因为有极值，由知，，且在处取得极大值，即最大值，
故，即为，
令，则，因此在上单调递增，
且，因此当时，即，故的取值范围为；
由恒成立，，得恒成立，
令，，因此，
令，，则，因此在上单调递增，
又在上单调递增，
因此函数在上单调递增，
又，
故存在唯一的，使得，
当时，，，
当时，，，
因此当时，单调递减，
当时，单调递增，且，
由，则，因此，
设，，
因此在上单调递增，，
即，因此，，
故，
因此，即，
因此的取值范围是．
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