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2026年贵州省黔东南州中考二模考试数学试题
1．在实数，，0，6中，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．计算的结果为（ ）
A．1 B． C．5 D．
3．下列数学符号是中心对称图形的是（ ）
A．＞ B．△ C． D．＝
4．如图，点在直线外，点在直线上，且，，，，则点到直线的距离是（　　）
A．3 B．3.2 C．3.6 D．3.8
5．油纸伞是中国传统手工艺品，也是国家级非物质文化遗产，其制作工艺精巧，伞骨结构蕴含着丰富的几何智慧．如图是某款油纸伞撑开后倒置在地面上的示意图，已知，则的依据是（　　）
A． B． C． D．
6．在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球，乒乓球，羽毛球”三项球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能随机选择参加一种运动项目，则小星在一个大课间选中“篮球”这类球类运动的概率是（　　）
A． B． C． D．1
7．如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　）
A． B． C． D．
8．将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，点O是边的中点，以O为圆心，长为半径作弧交斜边于点D，若，，则图中的长为（ ）
A． B． C． D．
10．阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．如图，兴趣小组通过实验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板上的运动速度与运动时间之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（　　）
运动时间 1 2 3 4 …
运动速度 11 10 9 8 …
A． B． C． D．
11．根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（　　）
x 0 1 2
5
A． B． C． D．
12．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
13．化简：　 　．
14．分解因式： －9=　 　．
15．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O作的垂线交于点E，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是　 　．
16．如图，在正方形中，点E为正方形内一点，且，，若，则的长为　 　．
17．按要求完成下面各小题．
（1）请在①，②，③，④中任选3个代数式求和．
（2）下面是某同学解不等式：的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得．第三步 系数化为1，得．第四步
①上面的解答过程第______步开始出错；
②请写出你认为正确的解答过程．
18．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴，交轴于点，连接，点为的中点，过点的反比例函数与相交于点．
（1）点的坐标是　 　；
（2）求反比例的函数表达式；
（3）求点的坐标．
19．为传承中华优秀传统文化，引导学生理解中华文化的独特性与延续性，树立“何以中国”的文化自觉，某校开展了中华知识国学大赛，从A，B两个校区各随机抽取30名学生参赛，并对学生的成绩（满分10分）进行整理分析，得到如下所示的统计图与统计表（不完整）．
两校区被抽取的学生成绩条形统计图
两校区被抽取的学生成绩统计表
校区 平均数 中位数 众数
A 8
B 7.2 7.5 8
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：_____，_____；
（2）B校区所抽取的学生中，成绩为7分的有_____人，8分的有_____人，并补全如图所示的条形统计图；
（3）根据以上数据分析，你认为哪个校区的学生成绩更好？请说明理由（写出两条即可）．
20．小星、小红学习三角形证明后，对三角形的性质进行了探究：如图，是直角三角形，．求证：
（1）请你选择其中一人的证法进行证明．
（2）过点B作平分，与相交于点N，若，求三角形的面积．
21．某超市准备购进A，B两种商品进行销售，通过市场调研发现，A种商品的进货单价比B种商品的进货单价贵20元，且用400元购进A种商品的数量与用300元购进B种商品的数量相同．
（1）求A，B两种商品的进货单价分别是多少元？
（2）若该超市购进A，B两种商品共40件，且A商品的数量不低于B商品数量的，如果A商品的销售单价定为每件100元，B商品的销售单价定为每件90元，那么应该怎样进货才能使售完这40件商品获利最大？最大利润是多少？
22．小星想测量某景区内一尊孔子雕像的高度，如图1是雕像的实景图，图2为小星设计的测量示意图，在C处测得雕像顶A的仰角为，在综合楼门前的台阶D处测得雕像顶A的仰角为，C，D两处的水平距离为0.45米，台阶的高度为0.18米，已知B，C，E三点在同一直线上，点A，B，C，D，E在同一平面内．
（1）设孔子雕像的高为x米，请用x的代数式表示的长，即_________米；
（2）求雕像的高．（精确到0.1米，参考数据：，，）
23．如图，是的外接圆，，过点A作交的延长线于点E，交于点D．
（1）在不添加字母或辅助线的情况下，写出一个与相等的角：_______，与的数量关系是________；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若，，求的长．
24．截至2025年底，我国新能源汽车保有量已超4300万辆，在此背景下，充电遮阳棚作为提升充电体验与设备安全的重要设施，正快速普及．如图1是某电动汽车弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点A为该抛物线的最高点，点A到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点B到地面的距离为2.36米，且点A和点B的水平距离为8米，以地面为x轴，以过点B垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求图1中抛物线的函数关系式；
（2）现有一辆电动汽车需在遮阳棚下躲避暴晒，如图2是汽车的截面图，已知汽车的车身长约6米，车厢最高点与遮阳棚接触点P离地面高约2.5米，请通过计算说明这辆汽车是否可以完全停进遮阳棚内；
（3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚两端侧面安装钢架．如图3所示，钢架由两段钢梁组成，其中一段连接点O与点A，然后在棚顶上某处取点C，在钢梁和棚顶之间竖直安装第二段钢梁．当第二段钢梁的长度为1.89米时，请通过计算说明应将钢梁安装在距离立柱水平距离是多少米的位置上？
25．如图，在正方形中，点E是线段上的动点，连接，将绕点E顺时针方向旋转得到线段，交于点K，连接交于点H．
（1）【问题解决】如图，______度，写出图中一对相似三角形：________；
（2）【问题探究】连接，试探究线段与的数量关系；
（3）【深入研究】当点E为的中点时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：四个实数中，-3、-1是负数，即有2个负数。
故答案为：B。
【分析】负数是小于的实数，本题根据负数的定义逐个进行分析，得出只有-3、-1是负数，从而得出答案。
2．【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：C。【分析】两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘。本题中，遵循“同号得正，再把绝对值相乘”，即-1的绝对值是1，-5的绝对值是5，然后计算1×5即可。
3．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有D选项对应的数学符号是中心对称图形，其余三个选项对应的数学符号均不是中心对称图形。
故答案为：D。
【分析】绕某点旋转旋转后的图形能与原图形重合的图形是中心对称图形。本题根据中心对称图形的定义，逐个选项进行数学符号分析发现，只有D选项对应的数学符号“=”满足中心对称图形的定义，从而得出答案。
4．【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：根据点到直线的距离为垂线段的长度，
∴点到直线的距离是线段的长度，
所以，点到直线的距离是3，
故答案为：A。
【分析】根据点到直线的距离的定义：点到直线的距离为垂线段的长度，据此即可求解。
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：D。
【分析】从图中可知，AD为△ADM和△ADN重合的边，即，然后结合条件发现，，此时用SSS即可证明。
6．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有“篮球，乒乓球，羽毛球”三项球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能随机选择参加一种运动项目，则选中“篮球”这类球类运动的结果有1种，
∴选中“篮球”这类球类运动的概率是；
故答案为：B。
【分析】根据概率的公式：，代入数据即可求解。
7．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由图象得小手盖住的点在第四象限，
∴这个点可能是．
故选：C
【分析】根据各象限内点的坐标特征即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC，根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；弧长的计算；线段的中点
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵在中，，
，
，
∵点是边的中点，
，
∵以点为圆心，长为半径作弧，交斜边于点，
，
，
，
，
∴图中的长为．
故答案为：B，
【分析】依据“30°锐角对应的直角边是斜边的一半”可以求出AB=4，然后利用勾股定理求出，结合线段中点的定义以及圆的半径相等，得出，再根据等腰三角形的性质并进行角度计算求出，最后利用弧长公式，将n=60、r=代入计算即可得．
10．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；列一次函数关系式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题表中数据可知，运动时间每增加，运动速度减小，因此t与v满足一次函数关系，设与之间的函数关系式为，将，代入，
得，解得，
与之间的函数关系式为．
故答案为：B。
【分析】本题结合数据分析发现，每增加，对应因变量的值减小，此时分析得出t与v满足一次函数关系，然后假设出函数关系式，并用待定系数法代入计算即可得出答案。
11．【答案】A
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：由表格数据可知当时，的值大于0，
当时，的值小于0，
因此的一个解的取值范围是．
故答案为：A．
【分析】根据表格数据先求出当时，的值大于0，再求出当时，的值小于0，最后求取值范围即可.
12．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：如图所示：
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
当时，；
当时，；
当直线与抛物线在时有公共点时，，
如图：关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，m的取值范围为．
故答案为：C．
【分析】利用对称轴求出n的值可得函数解析式，再求出抛物线的顶点坐标，再求出x=2和x=7的y的值，从而可得y的取值范围.
13．【答案】
【知识点】分式的基本性质；分式的约分；最简分式的概念
【解析】【解答】解：．
故答案为：。
【分析】本题结合分式的性质，即“分子分母同时乘以或者除以同一个不为0的数，分式大小不变”，式中分子和分母同时除以a，即可完成分式化简。
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 －9= ．
15．【答案】18
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在平行四边形中，对角线，交于点O，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴的周长，
∴平行四边形的周长.
故答案为：18.
【分析】根据平行四边形的性质，即“平行四边形对边相等、对角线互相平分”得出，然后根据垂线的定义得出垂直平分，此时根据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得出，最后将的周长展开并替换得出，从而得出的周长=9cm，最后根据平行四边形的周长公式进行计算即可。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，过点A作的垂线，交的延长线于点F，
∵四边形为正方形，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，
设，则，
，
在中，，
，
在中，由勾股定理，得，
，
解得（负值已舍去），
．
故答案为：。
【分析】做辅助线后，结合正方形的性质、角度以及直角三角形锐角互余，综合推出，然后利用AAS证明，从而得出AF=BE；接着放到中，利用勾股定理得出=7x，再在中，利用勾股定理列式，求出x取正值即可。
17．【答案】（1）解： ①，②，③，④，
选①②③，和；
选①②④，和；
选①③④，和；
选②③④，和；
（2）①一；
解：①上面的解答过程第一步开始出错；
②，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式；求有理数的绝对值的方法；求正切值
【解析】【分析】（1）先结合平方、正切、绝对值以及负整数指数幂，分别化简并计算出每一个代数式，再任选3个代数式并结合有理数的加法计算即可；
（2）①从解题步骤发现，第一步去分母后分子没加括号，因此开始出错；
②根据解一元一次不等式的步骤以及性质，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。
（1）解：①，②，③，④，
选①②③，和；
选①②④，和；
选①③④，和；
选②③④，和；
（2）解：①上面的解答过程第一步开始出错；
②，
去分母，得，
去括号得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
18．【答案】（1）
（2）解：将点代入得，
，
反比例的函数表达式为。
（3）解：设直线的函数解析式为，
点的坐标为，
则，
，
直线的函数解析式为，
联立，解得，
点的坐标为。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（1）解：点的坐标为，轴，点为的中点，
点的坐标为，
故答案为：
【分析】（1）因为轴，所以B点的横坐标和C点的横坐标相同，又因为点为的中点，所以，用B的纵坐标除以2，即可求出C点的纵坐标，据此即可求出C点的坐标。
（2）根据（1）中求出的点的坐标，然后再将C的坐标代入反比例函数，即可求出K的值，即可求出反比例函数的解析式。
（3）设直线的函数解析式为，然后再将B点的坐标代入该一次函数中，求出直线的解析式，然后再结合（2）中反比例函数的解析式，组成方程组，即可求解。
（1）解：点的坐标为，轴，点为的中点，
点的坐标为，
故答案为：；
（2）将点代入得，
，
反比例的函数表达式为；
（3）令直线的函数解析式为，
点的坐标为，
则，
，
直线的函数解析式为，
联立，解得，
点的坐标为．
19．【答案】（1）7.6，8
（2）5，8，
（3）解：A校区的学生成绩更好。
理由：A校区学生成绩的平均分为7.6分，高于B校区的7.2分，故A校区学生整体成绩更好一点，A校区学生成绩的中位数为8分，B校区学生成绩的中位数为7.5分，故A校区学生高分段的人数更多．
综上所述，A校区的学生成绩更好．
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：，
由条形统计图可知，A校区成绩为分有人，人数最多，
∴b=8．
（2）解：成绩为10分和9分的共有（人），B校区所抽取的30名学生成绩的中位数为7.5分，
这30名学生的成绩按从大到小排列，第15，16位的成绩之和为（分），
第15，16位的成绩分别为8分，7分，
∴成绩为8分的有（人），成绩为7分的有（人）．
补全条形统计图，如图所示：
【分析】（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字(或两个数字的平均值)；众数是一组数据中出现次数最多的数。结合A校区的数据以及平均数、众数的定义，计算分析即可求出a和b；
（2）结合中位数的定义，计算求出第15，16位的成绩分别为8分，7分，而成绩为10分和9分的共有人，据此即可求出B校区成绩为7分的人数和8分的人数；
（3）从平均数和中位数的角度进行分析，说出理由即可．
（1）解： 平均数，
由条形统计图可知，A校区成绩为分有人，人数最多，
∴A校区所抽取的30名学生成绩的众数为8．
（2）解：成绩为10分和9分的共有（人），B校区所抽取的30名学生成绩的中位数为7.5分，
这30名学生的成绩按从大到小排列，第15，16位的成绩之和为（分），
第15，16位的成绩分别为8分，7分，
∴成绩为8分的有（人），成绩为7分的有（人）．
补全条形统计图，如图所示：
（3）解：A校区的学生成绩更好
理由：A校区学生成绩的平均分为7.6分，高于B校区的7.2分，故A校区学生整体成绩更好一点，A校区学生成绩的中位数为8分，B校区学生成绩的中位数为7.5分，故A校区学生高分段的人数更多．
综上所述，A校区的学生成绩更好．（理由不唯一，合理即可）
20．【答案】（1）证明：小星，
由题意得，，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
小红：
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形
【解析】【分析】（1）小星：由题意得，，则，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
小红：由题意得，，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据含30°角的直角三角形性质可得BC，根据角平分线定义可得∠NBC，再根据正切定义可得CN，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）证明：小星，
由题意得，，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
小红：
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：设B种商品的进货单价为元，则A种商品的进货单价为元，
根据题意得，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：A种商品的进货单价是80元，B种商品的进货单价是60元；
（2）解：设购进A商品件，总利润为元，则购进B商品件，
A商品单件利润为（元），B商品单件利润为（元），
因此总利润，
根据题意得，
解得：，
，
随的增大而减小，
因此当取最小值时，取得最大值，
此时，，
答：购进A商品10件，B商品30件时，售完获利最大，最大利润是1100元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）用400元购进A种商品的数量为，用300元购进B种商品的数量为，而“用400元购进A种商品的数量与用300元购进B种商品的数量相同”，因此列式，求解x后进行检验即可得出B种商品的进货单价，然后再计算出A种商品的进货单价即可；
（2）根据“单件利润×数量=总利润”，列一次函数解析式，因为“A商品的数量不低于B商品数量的”，因此求出m≥10；接着利用一次函数的增减性求出当m=10，最大利润为1100元，从而得出对应进货方案。
（1）解：设B种商品的进货单价为元，则A种商品的进货单价为元，
根据题意得，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：A种商品的进货单价是80元，B种商品的进货单价是60元；
（2）解：设购进A商品件，总利润为元，则购进B商品件，
A商品单件利润为（元），B商品单件利润为（元），
因此总利润，
根据题意得，
解得：，
，
随的增大而减小，
因此当取最小值时，取得最大值，
此时，，
答：购进A商品10件，B商品30件时，售完获利最大，最大利润是1100元．
22．【答案】（1）
（2）解：∵米，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，
答：雕像的高为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；正切的概念；已知正切值求边长
【解析】【解答】（1）解：过点作于点，如图
由题意及图中信息得，，，AB=x米，
∴，
在中，，
∴，
∴。
故答案为：（1）；
【分析】（1）做辅助线后，结合条件和图片综合得出，然后利用正切值得出，从而得出；
（2）先表示出，然后利用正切定义与正切值，列式得出，求解x即可。
（1）解：过点作于点，则
由题意得，，
∴
在中，
∴
∴
（2）解：∵
∴
在中，
∴
∴
解得，
答：雕像的高为米．
23．【答案】（1）；
（2）解：与相切，理由如下：
延长交于点，
∵，是的外接圆，
∴，，
又∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线，
即与相切．
（3）解：由（2）知，
∴．
，
∴在中，，即，
，
，
设，则，则，
，
，
∵，
，
，
，
，即，
．
【知识点】垂径定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）解：∵、都是的半径，
∴，
∴ ；
∵，
∴．
故答案为：（1）；；
【分析】（1）根据圆的半径相等以及等腰三角形的判定和性质，得出 ； 而，此时利用同圆中，等弦对应的弧长相等，即可得出；
（2）做辅助线，根据垂径定理推论得出，，结合条件和，依据“垂直于同一条直线的两直线平行”，推出，最后依据切线的判定即可得出证明结果；
（3）由（2）知，利用正弦公式列式求出，再用勾股定理分别求得=9，=5，从而求出OF=4，结合“两直线平行、内错角相等”得出，再依据对顶角相等即可得出，从而对应边成比例，列式求出AE即可。
（1）解：∵、都是的半径，
∴，
∴ ；
∵，
∴．
（2）解：与相切，理由如下：
延长交于点，
∵，是的外接圆，
∴，，
又∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线，
即与相切．
（3）解：由（2）知，
∴．
，
∴在中，，即，
，
，
设，则，则，
，
，
∵，
，
，
，即，
．
24．【答案】（1）解：由题可得：抛物线的顶点的坐标为，
设抛物线的函数关系式为，
∵点的坐标为，
∴将点代入函数关系式中，得：，解得：．
∴y与的函数关系式为．
（2）解：根据题意：设点的坐标为，将代入中，得：，
解得：（舍去），．
，
∴这辆汽车可以完全停进遮阳棚内．
（3）解：设线段的函数关系式为，
将点代入中得：．
∴的函数关系式为．
∵抛物线的一般式为，点是抛物线上的点，
∴设点的坐标为，
∵轴，点的横坐标为，点在上，
∴点的坐标为．
，
将代入得：．
解得：（不符合题意，舍去）．
答：钢架安装在距离立柱水平距离是2米的位置上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；坐标系中的两点距离公式；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）结合抛物线的顶点坐标，此时利用与的函数关系式为，将顶点坐标代入，即可得抛物线的函数关系式为，然后运用待定系数法将B点坐标代入求出a，即可得出函数关系式；
（2）根据条件可以先假设点，然后利用（1）中计算出来的函数关系式，利用待定系数法将代入即可求出，最后考虑车身长6米以及“ 点A和点B的水平距离为8米 ”，计算分析进行比较即可；
（2）先利用待定系数法求得的函数关系式为，然后假设出点的坐标为，结合平行性质可以得出点的坐标为；此时利用两点之间的距离公式以及CD的实际长度，列式得出，求解x取正数即可。
（1）解：由题可得：抛物线的顶点的坐标为，
设抛物线的函数关系式为，
∵点的坐标为，
∴将点代入函数关系式中，得：，解得：．
∴y与的函数关系式为．
（2）解：根据题意：设点的坐标为，
将代入中，得：，
解得：（舍去），．
，
∴这辆汽车可以完全停进遮阳棚内．
（3）解：设线段的函数关系式为，
将点代入中得：．
∴的函数关系式为．
∵抛物线的一般式为，点是抛物线上的点，
∴设点的坐标为，
∵轴，点的横坐标为，点在上，
∴点的坐标为．
，
将代入得：．
解得：（不符合题意，舍去）．
答：钢架安装在距离立柱水平距离是2米的位置上．
25．【答案】（1），
（2）解：如图，过点作延长线于点，则，
由旋转得，，
∴，
∵在正方形中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵点是的中点，
∴设，则，
过点作延长线于点，过点作于点G，
则，
∴四边形是矩形，
由（2）知，，
∴四边形是正方形，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）解：由旋转性质得，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，又，
∴；
故答案为：（1），；
【分析】（1）由旋转性质得，，然后结合等腰直角三角形的判定及性质，进而可得，由正方形的性质和余角定义可得到，，最后利用AA即可得出；
（2）做辅助线后，结合旋转的性质即平角的特点，得出，结合正方形的性质、等角的余角相等，推出，此时利用AAS证明，从而得出，，再利用线段和差关系列式计算得出，最后利用勾股定理列示计算即可得出；
（3）做辅助线后，结合“三个角是直角的四边形是矩形”得出四边形是矩形，再结合“临边相等的矩形是正方形”即可得出四边形是正方形，从而根据正方形的性质综合推出，然后利用AAS证明，并得到；利用“内错角相等、两直线平行”得出，此时利用平行即可证明，接着利用相似边成比例列式得到，最后再将代入计算即可。
（1）解：由旋转性质得，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，又，
∴；
（2）解：如图，过点作延长线于点，则，
由旋转得，，
∴，
∵在正方形中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵点是的中点，
∴设，则，
过点作延长线于点，过点作于点G，
则，
∴四边形是矩形，
由（2）知，，
∴四边形是正方形，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
1 / 12026年贵州省黔东南州中考二模考试数学试题
1．在实数，，0，6中，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：四个实数中，-3、-1是负数，即有2个负数。
故答案为：B。
【分析】负数是小于的实数，本题根据负数的定义逐个进行分析，得出只有-3、-1是负数，从而得出答案。
2．计算的结果为（ ）
A．1 B． C．5 D．
【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：C。【分析】两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘。本题中，遵循“同号得正，再把绝对值相乘”，即-1的绝对值是1，-5的绝对值是5，然后计算1×5即可。
3．下列数学符号是中心对称图形的是（ ）
A．＞ B．△ C． D．＝
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有D选项对应的数学符号是中心对称图形，其余三个选项对应的数学符号均不是中心对称图形。
故答案为：D。
【分析】绕某点旋转旋转后的图形能与原图形重合的图形是中心对称图形。本题根据中心对称图形的定义，逐个选项进行数学符号分析发现，只有D选项对应的数学符号“=”满足中心对称图形的定义，从而得出答案。
4．如图，点在直线外，点在直线上，且，，，，则点到直线的距离是（　　）
A．3 B．3.2 C．3.6 D．3.8
【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：根据点到直线的距离为垂线段的长度，
∴点到直线的距离是线段的长度，
所以，点到直线的距离是3，
故答案为：A。
【分析】根据点到直线的距离的定义：点到直线的距离为垂线段的长度，据此即可求解。
5．油纸伞是中国传统手工艺品，也是国家级非物质文化遗产，其制作工艺精巧，伞骨结构蕴含着丰富的几何智慧．如图是某款油纸伞撑开后倒置在地面上的示意图，已知，则的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：D。
【分析】从图中可知，AD为△ADM和△ADN重合的边，即，然后结合条件发现，，此时用SSS即可证明。
6．在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球，乒乓球，羽毛球”三项球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能随机选择参加一种运动项目，则小星在一个大课间选中“篮球”这类球类运动的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有“篮球，乒乓球，羽毛球”三项球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能随机选择参加一种运动项目，则选中“篮球”这类球类运动的结果有1种，
∴选中“篮球”这类球类运动的概率是；
故答案为：B。
【分析】根据概率的公式：，代入数据即可求解。
7．如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由图象得小手盖住的点在第四象限，
∴这个点可能是．
故选：C
【分析】根据各象限内点的坐标特征即可求出答案.
8．将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC，根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
9．如图，在中，，点O是边的中点，以O为圆心，长为半径作弧交斜边于点D，若，，则图中的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；弧长的计算；线段的中点
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵在中，，
，
，
∵点是边的中点，
，
∵以点为圆心，长为半径作弧，交斜边于点，
，
，
，
，
∴图中的长为．
故答案为：B，
【分析】依据“30°锐角对应的直角边是斜边的一半”可以求出AB=4，然后利用勾股定理求出，结合线段中点的定义以及圆的半径相等，得出，再根据等腰三角形的性质并进行角度计算求出，最后利用弧长公式，将n=60、r=代入计算即可得．
10．阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．如图，兴趣小组通过实验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板上的运动速度与运动时间之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（　　）
运动时间 1 2 3 4 …
运动速度 11 10 9 8 …
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；列一次函数关系式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题表中数据可知，运动时间每增加，运动速度减小，因此t与v满足一次函数关系，设与之间的函数关系式为，将，代入，
得，解得，
与之间的函数关系式为．
故答案为：B。
【分析】本题结合数据分析发现，每增加，对应因变量的值减小，此时分析得出t与v满足一次函数关系，然后假设出函数关系式，并用待定系数法代入计算即可得出答案。
11．根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（　　）
x 0 1 2
5
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：由表格数据可知当时，的值大于0，
当时，的值小于0，
因此的一个解的取值范围是．
故答案为：A．
【分析】根据表格数据先求出当时，的值大于0，再求出当时，的值小于0，最后求取值范围即可.
12．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：如图所示：
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
当时，；
当时，；
当直线与抛物线在时有公共点时，，
如图：关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，m的取值范围为．
故答案为：C．
【分析】利用对称轴求出n的值可得函数解析式，再求出抛物线的顶点坐标，再求出x=2和x=7的y的值，从而可得y的取值范围.
13．化简：　 　．
【答案】
【知识点】分式的基本性质；分式的约分；最简分式的概念
【解析】【解答】解：．
故答案为：。
【分析】本题结合分式的性质，即“分子分母同时乘以或者除以同一个不为0的数，分式大小不变”，式中分子和分母同时除以a，即可完成分式化简。
14．分解因式： －9=　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 －9= ．
15．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O作的垂线交于点E，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是　 　．
【答案】18
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在平行四边形中，对角线，交于点O，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴的周长，
∴平行四边形的周长.
故答案为：18.
【分析】根据平行四边形的性质，即“平行四边形对边相等、对角线互相平分”得出，然后根据垂线的定义得出垂直平分，此时根据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得出，最后将的周长展开并替换得出，从而得出的周长=9cm，最后根据平行四边形的周长公式进行计算即可。
16．如图，在正方形中，点E为正方形内一点，且，，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，过点A作的垂线，交的延长线于点F，
∵四边形为正方形，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，
设，则，
，
在中，，
，
在中，由勾股定理，得，
，
解得（负值已舍去），
．
故答案为：。
【分析】做辅助线后，结合正方形的性质、角度以及直角三角形锐角互余，综合推出，然后利用AAS证明，从而得出AF=BE；接着放到中，利用勾股定理得出=7x，再在中，利用勾股定理列式，求出x取正值即可。
17．按要求完成下面各小题．
（1）请在①，②，③，④中任选3个代数式求和．
（2）下面是某同学解不等式：的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得．第三步 系数化为1，得．第四步
①上面的解答过程第______步开始出错；
②请写出你认为正确的解答过程．
【答案】（1）解： ①，②，③，④，
选①②③，和；
选①②④，和；
选①③④，和；
选②③④，和；
（2）①一；
解：①上面的解答过程第一步开始出错；
②，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式；求有理数的绝对值的方法；求正切值
【解析】【分析】（1）先结合平方、正切、绝对值以及负整数指数幂，分别化简并计算出每一个代数式，再任选3个代数式并结合有理数的加法计算即可；
（2）①从解题步骤发现，第一步去分母后分子没加括号，因此开始出错；
②根据解一元一次不等式的步骤以及性质，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。
（1）解：①，②，③，④，
选①②③，和；
选①②④，和；
选①③④，和；
选②③④，和；
（2）解：①上面的解答过程第一步开始出错；
②，
去分母，得，
去括号得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
18．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴，交轴于点，连接，点为的中点，过点的反比例函数与相交于点．
（1）点的坐标是　 　；
（2）求反比例的函数表达式；
（3）求点的坐标．
【答案】（1）
（2）解：将点代入得，
，
反比例的函数表达式为。
（3）解：设直线的函数解析式为，
点的坐标为，
则，
，
直线的函数解析式为，
联立，解得，
点的坐标为。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（1）解：点的坐标为，轴，点为的中点，
点的坐标为，
故答案为：
【分析】（1）因为轴，所以B点的横坐标和C点的横坐标相同，又因为点为的中点，所以，用B的纵坐标除以2，即可求出C点的纵坐标，据此即可求出C点的坐标。
（2）根据（1）中求出的点的坐标，然后再将C的坐标代入反比例函数，即可求出K的值，即可求出反比例函数的解析式。
（3）设直线的函数解析式为，然后再将B点的坐标代入该一次函数中，求出直线的解析式，然后再结合（2）中反比例函数的解析式，组成方程组，即可求解。
（1）解：点的坐标为，轴，点为的中点，
点的坐标为，
故答案为：；
（2）将点代入得，
，
反比例的函数表达式为；
（3）令直线的函数解析式为，
点的坐标为，
则，
，
直线的函数解析式为，
联立，解得，
点的坐标为．
19．为传承中华优秀传统文化，引导学生理解中华文化的独特性与延续性，树立“何以中国”的文化自觉，某校开展了中华知识国学大赛，从A，B两个校区各随机抽取30名学生参赛，并对学生的成绩（满分10分）进行整理分析，得到如下所示的统计图与统计表（不完整）．
两校区被抽取的学生成绩条形统计图
两校区被抽取的学生成绩统计表
校区 平均数 中位数 众数
A 8
B 7.2 7.5 8
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：_____，_____；
（2）B校区所抽取的学生中，成绩为7分的有_____人，8分的有_____人，并补全如图所示的条形统计图；
（3）根据以上数据分析，你认为哪个校区的学生成绩更好？请说明理由（写出两条即可）．
【答案】（1）7.6，8
（2）5，8，
（3）解：A校区的学生成绩更好。
理由：A校区学生成绩的平均分为7.6分，高于B校区的7.2分，故A校区学生整体成绩更好一点，A校区学生成绩的中位数为8分，B校区学生成绩的中位数为7.5分，故A校区学生高分段的人数更多．
综上所述，A校区的学生成绩更好．
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：，
由条形统计图可知，A校区成绩为分有人，人数最多，
∴b=8．
（2）解：成绩为10分和9分的共有（人），B校区所抽取的30名学生成绩的中位数为7.5分，
这30名学生的成绩按从大到小排列，第15，16位的成绩之和为（分），
第15，16位的成绩分别为8分，7分，
∴成绩为8分的有（人），成绩为7分的有（人）．
补全条形统计图，如图所示：
【分析】（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字(或两个数字的平均值)；众数是一组数据中出现次数最多的数。结合A校区的数据以及平均数、众数的定义，计算分析即可求出a和b；
（2）结合中位数的定义，计算求出第15，16位的成绩分别为8分，7分，而成绩为10分和9分的共有人，据此即可求出B校区成绩为7分的人数和8分的人数；
（3）从平均数和中位数的角度进行分析，说出理由即可．
（1）解： 平均数，
由条形统计图可知，A校区成绩为分有人，人数最多，
∴A校区所抽取的30名学生成绩的众数为8．
（2）解：成绩为10分和9分的共有（人），B校区所抽取的30名学生成绩的中位数为7.5分，
这30名学生的成绩按从大到小排列，第15，16位的成绩之和为（分），
第15，16位的成绩分别为8分，7分，
∴成绩为8分的有（人），成绩为7分的有（人）．
补全条形统计图，如图所示：
（3）解：A校区的学生成绩更好
理由：A校区学生成绩的平均分为7.6分，高于B校区的7.2分，故A校区学生整体成绩更好一点，A校区学生成绩的中位数为8分，B校区学生成绩的中位数为7.5分，故A校区学生高分段的人数更多．
综上所述，A校区的学生成绩更好．（理由不唯一，合理即可）
20．小星、小红学习三角形证明后，对三角形的性质进行了探究：如图，是直角三角形，．求证：
（1）请你选择其中一人的证法进行证明．
（2）过点B作平分，与相交于点N，若，求三角形的面积．
【答案】（1）证明：小星，
由题意得，，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
小红：
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形
【解析】【分析】（1）小星：由题意得，，则，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
小红：由题意得，，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据含30°角的直角三角形性质可得BC，根据角平分线定义可得∠NBC，再根据正切定义可得CN，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）证明：小星，
由题意得，，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
小红：
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
21．某超市准备购进A，B两种商品进行销售，通过市场调研发现，A种商品的进货单价比B种商品的进货单价贵20元，且用400元购进A种商品的数量与用300元购进B种商品的数量相同．
（1）求A，B两种商品的进货单价分别是多少元？
（2）若该超市购进A，B两种商品共40件，且A商品的数量不低于B商品数量的，如果A商品的销售单价定为每件100元，B商品的销售单价定为每件90元，那么应该怎样进货才能使售完这40件商品获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设B种商品的进货单价为元，则A种商品的进货单价为元，
根据题意得，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：A种商品的进货单价是80元，B种商品的进货单价是60元；
（2）解：设购进A商品件，总利润为元，则购进B商品件，
A商品单件利润为（元），B商品单件利润为（元），
因此总利润，
根据题意得，
解得：，
，
随的增大而减小，
因此当取最小值时，取得最大值，
此时，，
答：购进A商品10件，B商品30件时，售完获利最大，最大利润是1100元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）用400元购进A种商品的数量为，用300元购进B种商品的数量为，而“用400元购进A种商品的数量与用300元购进B种商品的数量相同”，因此列式，求解x后进行检验即可得出B种商品的进货单价，然后再计算出A种商品的进货单价即可；
（2）根据“单件利润×数量=总利润”，列一次函数解析式，因为“A商品的数量不低于B商品数量的”，因此求出m≥10；接着利用一次函数的增减性求出当m=10，最大利润为1100元，从而得出对应进货方案。
（1）解：设B种商品的进货单价为元，则A种商品的进货单价为元，
根据题意得，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：A种商品的进货单价是80元，B种商品的进货单价是60元；
（2）解：设购进A商品件，总利润为元，则购进B商品件，
A商品单件利润为（元），B商品单件利润为（元），
因此总利润，
根据题意得，
解得：，
，
随的增大而减小，
因此当取最小值时，取得最大值，
此时，，
答：购进A商品10件，B商品30件时，售完获利最大，最大利润是1100元．
22．小星想测量某景区内一尊孔子雕像的高度，如图1是雕像的实景图，图2为小星设计的测量示意图，在C处测得雕像顶A的仰角为，在综合楼门前的台阶D处测得雕像顶A的仰角为，C，D两处的水平距离为0.45米，台阶的高度为0.18米，已知B，C，E三点在同一直线上，点A，B，C，D，E在同一平面内．
（1）设孔子雕像的高为x米，请用x的代数式表示的长，即_________米；
（2）求雕像的高．（精确到0.1米，参考数据：，，）
【答案】（1）
（2）解：∵米，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，
答：雕像的高为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；正切的概念；已知正切值求边长
【解析】【解答】（1）解：过点作于点，如图
由题意及图中信息得，，，AB=x米，
∴，
在中，，
∴，
∴。
故答案为：（1）；
【分析】（1）做辅助线后，结合条件和图片综合得出，然后利用正切值得出，从而得出；
（2）先表示出，然后利用正切定义与正切值，列式得出，求解x即可。
（1）解：过点作于点，则
由题意得，，
∴
在中，
∴
∴
（2）解：∵
∴
在中，
∴
∴
解得，
答：雕像的高为米．
23．如图，是的外接圆，，过点A作交的延长线于点E，交于点D．
（1）在不添加字母或辅助线的情况下，写出一个与相等的角：_______，与的数量关系是________；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）；
（2）解：与相切，理由如下：
延长交于点，
∵，是的外接圆，
∴，，
又∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线，
即与相切．
（3）解：由（2）知，
∴．
，
∴在中，，即，
，
，
设，则，则，
，
，
∵，
，
，
，
，即，
．
【知识点】垂径定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）解：∵、都是的半径，
∴，
∴ ；
∵，
∴．
故答案为：（1）；；
【分析】（1）根据圆的半径相等以及等腰三角形的判定和性质，得出 ； 而，此时利用同圆中，等弦对应的弧长相等，即可得出；
（2）做辅助线，根据垂径定理推论得出，，结合条件和，依据“垂直于同一条直线的两直线平行”，推出，最后依据切线的判定即可得出证明结果；
（3）由（2）知，利用正弦公式列式求出，再用勾股定理分别求得=9，=5，从而求出OF=4，结合“两直线平行、内错角相等”得出，再依据对顶角相等即可得出，从而对应边成比例，列式求出AE即可。
（1）解：∵、都是的半径，
∴，
∴ ；
∵，
∴．
（2）解：与相切，理由如下：
延长交于点，
∵，是的外接圆，
∴，，
又∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线，
即与相切．
（3）解：由（2）知，
∴．
，
∴在中，，即，
，
，
设，则，则，
，
，
∵，
，
，
，即，
．
24．截至2025年底，我国新能源汽车保有量已超4300万辆，在此背景下，充电遮阳棚作为提升充电体验与设备安全的重要设施，正快速普及．如图1是某电动汽车弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点A为该抛物线的最高点，点A到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点B到地面的距离为2.36米，且点A和点B的水平距离为8米，以地面为x轴，以过点B垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求图1中抛物线的函数关系式；
（2）现有一辆电动汽车需在遮阳棚下躲避暴晒，如图2是汽车的截面图，已知汽车的车身长约6米，车厢最高点与遮阳棚接触点P离地面高约2.5米，请通过计算说明这辆汽车是否可以完全停进遮阳棚内；
（3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚两端侧面安装钢架．如图3所示，钢架由两段钢梁组成，其中一段连接点O与点A，然后在棚顶上某处取点C，在钢梁和棚顶之间竖直安装第二段钢梁．当第二段钢梁的长度为1.89米时，请通过计算说明应将钢梁安装在距离立柱水平距离是多少米的位置上？
【答案】（1）解：由题可得：抛物线的顶点的坐标为，
设抛物线的函数关系式为，
∵点的坐标为，
∴将点代入函数关系式中，得：，解得：．
∴y与的函数关系式为．
（2）解：根据题意：设点的坐标为，将代入中，得：，
解得：（舍去），．
，
∴这辆汽车可以完全停进遮阳棚内．
（3）解：设线段的函数关系式为，
将点代入中得：．
∴的函数关系式为．
∵抛物线的一般式为，点是抛物线上的点，
∴设点的坐标为，
∵轴，点的横坐标为，点在上，
∴点的坐标为．
，
将代入得：．
解得：（不符合题意，舍去）．
答：钢架安装在距离立柱水平距离是2米的位置上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；坐标系中的两点距离公式；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）结合抛物线的顶点坐标，此时利用与的函数关系式为，将顶点坐标代入，即可得抛物线的函数关系式为，然后运用待定系数法将B点坐标代入求出a，即可得出函数关系式；
（2）根据条件可以先假设点，然后利用（1）中计算出来的函数关系式，利用待定系数法将代入即可求出，最后考虑车身长6米以及“ 点A和点B的水平距离为8米 ”，计算分析进行比较即可；
（2）先利用待定系数法求得的函数关系式为，然后假设出点的坐标为，结合平行性质可以得出点的坐标为；此时利用两点之间的距离公式以及CD的实际长度，列式得出，求解x取正数即可。
（1）解：由题可得：抛物线的顶点的坐标为，
设抛物线的函数关系式为，
∵点的坐标为，
∴将点代入函数关系式中，得：，解得：．
∴y与的函数关系式为．
（2）解：根据题意：设点的坐标为，
将代入中，得：，
解得：（舍去），．
，
∴这辆汽车可以完全停进遮阳棚内．
（3）解：设线段的函数关系式为，
将点代入中得：．
∴的函数关系式为．
∵抛物线的一般式为，点是抛物线上的点，
∴设点的坐标为，
∵轴，点的横坐标为，点在上，
∴点的坐标为．
，
将代入得：．
解得：（不符合题意，舍去）．
答：钢架安装在距离立柱水平距离是2米的位置上．
25．如图，在正方形中，点E是线段上的动点，连接，将绕点E顺时针方向旋转得到线段，交于点K，连接交于点H．
（1）【问题解决】如图，______度，写出图中一对相似三角形：________；
（2）【问题探究】连接，试探究线段与的数量关系；
（3）【深入研究】当点E为的中点时，求的值．
【答案】（1），
（2）解：如图，过点作延长线于点，则，
由旋转得，，
∴，
∵在正方形中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵点是的中点，
∴设，则，
过点作延长线于点，过点作于点G，
则，
∴四边形是矩形，
由（2）知，，
∴四边形是正方形，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）解：由旋转性质得，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，又，
∴；
故答案为：（1），；
【分析】（1）由旋转性质得，，然后结合等腰直角三角形的判定及性质，进而可得，由正方形的性质和余角定义可得到，，最后利用AA即可得出；
（2）做辅助线后，结合旋转的性质即平角的特点，得出，结合正方形的性质、等角的余角相等，推出，此时利用AAS证明，从而得出，，再利用线段和差关系列式计算得出，最后利用勾股定理列示计算即可得出；
（3）做辅助线后，结合“三个角是直角的四边形是矩形”得出四边形是矩形，再结合“临边相等的矩形是正方形”即可得出四边形是正方形，从而根据正方形的性质综合推出，然后利用AAS证明，并得到；利用“内错角相等、两直线平行”得出，此时利用平行即可证明，接着利用相似边成比例列式得到，最后再将代入计算即可。
（1）解：由旋转性质得，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，又，
∴；
（2）解：如图，过点作延长线于点，则，
由旋转得，，
∴，
∵在正方形中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵点是的中点，
∴设，则，
过点作延长线于点，过点作于点G，
则，
∴四边形是矩形，
由（2）知，，
∴四边形是正方形，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
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