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广东省广州市天河区2026年九年级中考数学二模测试卷
1．的相反数是（　　）
A． B．2026 C． D．
2．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
4．如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛在平面镜里的虚像，点与点到平面镜的距离相等，且它们的连线与平面镜垂直，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．下列运算中，结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
7．如图，有3张背面相同的卡片，正面分别印有下列几种几何图形．现将这3张卡片正面朝下摆放，从中任意抽取一张后放回，再从中任意抽取一张，则两次抽到的卡片的正面图形都是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点是的中点，连接，．以点为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．已知抛物线与轴交于，两点，且．若点在该抛物线上，则下列判断正确的是（　　）
A．当时，
B．当时，
C．当时，该抛物线的顶点到达最高处
D．该抛物线与没有交点
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
12．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为　 　．
13．分式方程=的解是　 　　．
14．已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则反比例函数的图象经过的象限是　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知点，，平分交轴于点，则　 　．
16．如图，在菱形中，，，点是边上的动点，连接，，过点作于点．
（1）若时，则　 　．
（2）设，，则与之间的函数解析式为　 　．
17．解不等式：．
18．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，求的长．
19．已知，．
（1）化简；
（2）若，求的值．
20．某班级拟开展主题班会活动，现通过投票从“与科技”“与生活”“与学习”“安全”“故事”中挑选一个最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如图所示．
根据以上信息，完成下列问题：
（1）补全条形统计图并填空：参与本次投票的人数是 ▲ 人；
（2）由于“与科技”“故事”两个主题得票并列最高，为确定活动主题，从该班随机选择8名学生代表对这两个主题评分，评分结果及汇总信息如表：
主题 评分 平均数 中位数 众数
与科技 10 9 8 3 6 4 10 10 8.5 10
故事 9 10 7 8 5 5 8 8 7.5 8
结合表中的数据，求出，的值，并判断选择哪个活动主题最合理？说明理由．
21．某班准备购买“国风书签”和“校徽钥匙扣”作为校园文化节奖品．已知购买1枚国风书签和2个校徽钥匙扣需要8元，购买2枚国风书签和3个校徽钥匙扣需要13元．
（1）求每枚国风书签和每个校徽钥匙扣的价格；
（2）班委准备用33元全部购买这两种奖品，每种奖品至少买一件．
①写出枚国风书签和个校徽钥匙扣的数量满足的等量关系，并直接写出可能购买方案的个数；
②若从所有可能的购买方案中随机选取一种，直接写出买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率．
22．已知中，，平分交于点，其中．
（1）求的度数；
（2）将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：．
23．问题背景：小天在整理储物柜时，发现纸杯的不同叠放方式会导致高度与数量的关系发生变化，他运用学过的函数知识分析其中的变化规律．
叠法1：小天以图1的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度（）与纸杯的个数（个）之间是一次函数关系，相关数据如表．
纸杯个数（个） 1 2 3 4 …
纸杯高度（） 9 9.5 10 10.5 …
叠法2：“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图3所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．小天发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化，并在平面直角坐标系中描点，，，等，由此猜想这些点在某一条过原点的抛物线上（图4）：
（1）求与之间的函数表达式；
（2）小天把杯子按叠法1叠成如图1的一摞，竖着一次性放入内高为的柜子里（图2）．求一摞最多能叠的杯子总数；
（3）小天将储物柜里竖着的一摞杯子（总数为）全部拿出来，刚好能按叠法2进行叠放，用含的代数式表示杯子叠放后的层数．
24．已知抛物线与轴交于两点，（在的左边，），与轴交于点，设的外接圆圆心为，与轴相切，圆心在反比例函数图象上．
（1）求点的纵坐标；
（2）求的值；
（3）当时，设直线与函数图象的另一交点为，若该抛物线对称轴上一点满足，证明点在上，并直接写出点的纵坐标的取值范围．
25．如图，点是边长为2的正方形的边上一动点（不与，重合），和关于直线对称，连接交射线于点．
（1）当点在对角线上时，求的度数；
（2）求证：；
（3）若点在上，且，当最大时，求的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2026，
故选：B．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义求解即可．
2．【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意可得：
这个几何体可能是
故答案为：D
【分析】根据几何体三视图即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ，
故答案为：A.
【分析】根据平移规律“上加下减，左加右减”解答即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
∠B=∠CAB=22°
∴∠ACD=∠B+∠CAB=44°
故答案为：D
【分析】由题意可得∠B=∠CAB=22°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得，
解得：．
故选：C．
【分析】将x=1代入方程可得关于m的一次方程，再解方程即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中心对称图形
【解析】【解答】解：设A是等腰三角形，B是平行四边形，C是圆，
画树状图得，
∴一共有9种情况，
∵B与C是中心对称图形，
∴摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌有4种；
∴适应摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率为
故答案为：C
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的结果，再根据概率公式即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D
由题意可得，AD=60
在Rt△ABD中，∠BAD=30°
∴
在Rt△ACD中，∠DAC=60°
∴
∴
故答案为：B
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，解直角三角形可得BD，CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E
∵是边长为的等边三角形的外接圆
∴∠A=60°，
∴∠BDC=180°-60°=120°
∵点是的中点
∴
∴BD=CD
∵DE⊥BC
∴
∴
∴阴影部分的面积为
故答案为：B
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，根据等边三角形性质可得∠A=60°，，根据圆内接四边形性质可得∠BDC，根据垂径定理可得BE，∠BDE，再根据扇形面积即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为
∵抛物线与轴交于，两点，且．若点在该抛物线上
∴当时，点在抛物线x轴上方的图象上，此时，A正确，符合题意；
当时，或，错误，不符合题意；
当时，k2+1取得最小值，此时抛物线的顶点到达最低点，C错误，不符合题意；
该抛物线与有交点，D错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】将抛物线解析式转换为顶点式可得抛物线的开口向下，顶点坐标为，再根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】x≥4
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-4≥0，
解得：x≥4.
故答案为：x≥4.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．【答案】
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，依题意，，
∴，
∵，，
∴
∴．
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
13．【答案】x=2
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】去分母得：3x=2x+2，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
故答案为：x=2．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
14．【答案】第二、四象限
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限
∴k>0，b<0
∴kb<0
∴反比例函数的图象经过的象限是第二、四象限
故答案为：第二、四象限
【分析】根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：∵，
∴OA=3，OB=4
∴
∵平分交轴于点
∴点M到AB和AO的距离相等
∴，则
解得：OM=
故答案为：
【分析】根据两点间距离可得OA=3，OB=4，根据勾股定理可得AB，再根据角平分线性质可得点M到AB和AO的距离相等，再根据割补法，结合三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】（1）
（2）
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：当时，∠B=30°，AB=4
∴AE=2
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD=4
∴
故答案为：
（2）过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H
在菱形ABCD中，AB=4，AB∥CD，AB=CD=AD=4，AD∥BC
∴∠DCH=∠B=30°，∠ADF=∠DEH
∴
∵AF⊥DE
∴∠AFD=∠EHD=90°
∴△ADF∽△DEH
∴
∴
故答案为：
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形性质可得AE，根据菱形性质可得AD，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，根据菱形性质可得AB=4，AB∥CD，AB=CD=AD=4，AD∥BC，则∠DCH=∠B=30°，∠ADF=∠DEH，根据含30°角的直角三角形性质可得DH，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
17．【答案】解：
去括号可得，2x-2移项可得，2x-x<3+2
合并同类项可得，x<5
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】去括号，移项，合并同类项即可求出答案.
18．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=90°，BD=2OD=10
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形性质可得∠BAD=90°，BD=2OD=10，再根据勾股定理即可求出答案.
19．【答案】（1）解：
（2）解：由（1）可得
∴
∵
∴原式=
【知识点】平方差公式及应用；分式的化简求值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据分式的减法即可求出答案.
（2）根据分式的除法，结合平方差公式化简，再代入即可求出答案.
20．【答案】（1）解：补全条形统计图为：
48
（2）解：
将AI故事的数据按从小到大的顺序排列为：5，5，7，8，8，8，9，10
处在最中间的两位数为8，8
∴
应该选择“与科技”， 理由：
因为“与科技”的评分的中位数和众数都比“故事”的高，
所以应该选择“与科技”（答案不唯一）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）总人数为：6÷12.5%=48
∴AI与学习的人数有：48-13-8-6-13=8
故答案为：48
【分析】（1）根据AI与安全的人数与占比可得总人数，再求出AI与学习的人数，再补全图形即可.
（2）根据平均数，中位数的定义即可求出答案.
21．【答案】（1）解： 设每枚国风书签的价格为x元，每个校徽钥匙扣的价格为y元
由题意可得：
解得：
∴每枚国风书签的价格为2元，每个校徽钥匙扣的价格为3元；
（2）解： ①由（1）可知，国风书签单价2元，校徽钥匙扣单价3元，总费用33元
由题意可得：2m+3n=33
∴
∵m、n都是正整数，
∴33-3n必须是正偶数
∴n＝1时，m=15
n=3时，m=12
n =5时，m＝9
n=7时，m=6
n=9时，m=3
n=11时，m=0（舍去，因为每种奖品至少买一件)
∴符合条件的方案有5个
②买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率为．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的其他应用；概率公式
【解析】【解答】解：（2）②校徽钥匙扣数量多于国风书签数量，即n>m，
∴n＝7，m＝6和n=9，m=3，
∵满足条件的方案有2个，总方案数为5个，
∴概率为：
【分析】（1）设每枚国风书签的价格为x元，每个校徽钥匙扣的价格为y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）①由题意可得：2m+3n=33，则，再根据m，n为正整数，求出整数解即可.
②根据①中结论，结合概率公式即可求出答案.
22．【答案】（1）解：∵，
∴∠ACB=∠B=72°
∵平分
∴
∴
（2）解：如图，即为所求；
证明：∵旋转，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；作图﹣旋转；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】 【分析】（1）根据等边对等角可得∠ACB=∠B=72°，根据角平分线定义可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）根据旋转性质作图即可；根据旋转性质可得，，根据等边对等角可得，根据三角形内角和定理可得∠BDE，∠CEG，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
23．【答案】（1）解：设n=dm2+bm
将(1，1)，(2，3)代入可得：
，解得：
∴与之间的函数表达式为：；
（2）解：∵高度（）与纸杯的个数（个）之间是一次函数关系
∴设y=kx+b
将(1，9)，(2，9.5)代入可得：
，解得：
∴y=0.5x+8.5
将y=31代入可得，x=45
∴一摞最多能叠的杯子总数为45个
（3）解：将n=a代入，则
解得：m=
∵m>0
∴杯子叠放后的层数为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设n=dm2+bm，根据待定系数法将(1，1)，(2，3)代入解析式即可求出答案.
（2）设y=kx+b，根据待定系数法将(1，9)，(2，9.5)代入解析式可得y=0.5x+8.5，再将y=31代入解析式即可求出答案.
（3）将n=a代入函数关系式，解方程即可求出答案.
24．【答案】（1）解：如图
∵点P与y轴相切
∴yP=yc=1
∴点P的纵坐标为1
（2）解：作PH⊥x轴于点H，连接PA，PB，PC
∴四边形OCPH为矩形
当y=0时，即
解得：x1=m，x2=n
∴A(m，0)，B(n，0)
∴
∴，PH=1，
在Rt△APH中，AH2+PH2=AP2
即，整理得：mn=1
将点C(0，1)代入，可得
解得：a=1
（3）解：或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）如图，记Q1，Q2为抛物线对称轴与的两个交点
∵CA∥BP，PC∥AB
∴四边形ABPC为平行四边形
∴CP=AB
由（1）（2）可得，A(m，0)，B(n，0)
∴，且m解得：
∴
设直线BP的解析式为y=k1x+b
∴，解得：
∴直线BP的解析式为
将代入可得，
∴反比例函数的解析式为：
联立，解得：
当时，
∴
∴
∵
∴
∴点E在上，△CPE是等边三角形
∴∠CPE=60°
∴
∴点Q在Q1上方或Q2下方
∴
∵yP=yC=1
∴
解得：或【分析】（1）根据切线性质即可求出答案.
（2）作PH⊥x轴于点H，连接PA，PB，PC，根据矩形判定定理可得四边形OCPH为矩形，根据x轴上点的坐标特征可得A(m，0)，B(n，0)，根据垂径定理可得，再根据两点间距离可得，PH=1，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）记Q1，Q2为抛物线对称轴与的两个交点，根据平行四边形判定定理可得四边形ABPC为平行四边形，则CP=AB，建立方程组，解方程组可得，则，设直线BP的解析式为y=k1x+b，根据待定系数法将点B，P坐标代入解析式可得直线BP的解析式为，再根据待定系数法将点P坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析式为：，联立一次函数解析式可得，根据两点间距离可得CE，PE，再根据等边三角形判定定理可得△CPE是等边三角形，则∠CPE=60°，，即点Q在Q1上方或Q2下方，，建立不等式，解不等式即可求出答案.
25．【答案】（1）解：连接BD
∵正方形ABCD中，∠C=∠ABC=90°
∴
由题意可得，∠BFE=∠C=90°
∴∠CEF=360°-∠DBC-∠BFE-∠C=135°
（2）解：证明：连接，与交于点，如图，
∵折叠，
∴，，
∵正方形，边长为2，
∴，，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
（3）解：过点A作AQ⊥BG于点Q，连接CF交BG于点P'
由（2）可得∠G=45°
∴
∵C和F关于直线BE对称
∴CP'⊥BG
∵∠BAQ+∠ABQ=90°，∠P'BC+∠ABQ=90°
∴∠BAQ=∠P'BC
∵BC=AB，∠BP'C=∠AQB
∴△BCP'≌△ABQ(AAS)
∴
∴
∵
∴BP'=BP
∵∠BPC=90°
设BC的中点为M
∴点P在以M为圆心，半径为1的圆上
当∠BAP最大值，AP与圆M相切，即AP1切圆M于P1点
∵AB⊥MB于点，MB为圆M半径
∴AB与圆M相切
∴AP1=AB=2
∴AP的长度为2
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接BD，根据正方形性质可得∠DBC，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）连接，与交于点，根据折叠性质可得，，根据正方形性质可得，，，根据等边对等角可得，设，则，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠BAF，根据角之间的关系可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，根边之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过点A作AQ⊥BG于点Q，连接CF交BG于点P'，根据等腰直角三角形性质可得，根据对称性质可得CP'⊥BG，根据角之间的关系可得∠BAQ=∠P'BC，再根据全等三角形判定定理可得△BCP'≌△ABQ(AAS)，则，根据边之间的关系可得BP'=BP，设BC的中点为M，则点P在以M为圆心，半径为1的圆上，当∠BAP最大值，AP与圆M相切，即AP1切圆M于P1点，再根据切线性质即可求出答案.
1 / 1广东省广州市天河区2026年九年级中考数学二模测试卷
1．的相反数是（　　）
A． B．2026 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2026，
故选：B．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义求解即可．
2．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意可得：
这个几何体可能是
故答案为：D
【分析】根据几何体三视图即可求出答案.
3．将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ，
故答案为：A.
【分析】根据平移规律“上加下减，左加右减”解答即可.
4．如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛在平面镜里的虚像，点与点到平面镜的距离相等，且它们的连线与平面镜垂直，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
∠B=∠CAB=22°
∴∠ACD=∠B+∠CAB=44°
故答案为：D
【分析】由题意可得∠B=∠CAB=22°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
5．下列运算中，结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方逐项进行判断即可求出答案.
6．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入方程得，
解得：．
故选：C．
【分析】将x=1代入方程可得关于m的一次方程，再解方程即可求出答案.
7．如图，有3张背面相同的卡片，正面分别印有下列几种几何图形．现将这3张卡片正面朝下摆放，从中任意抽取一张后放回，再从中任意抽取一张，则两次抽到的卡片的正面图形都是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中心对称图形
【解析】【解答】解：设A是等腰三角形，B是平行四边形，C是圆，
画树状图得，
∴一共有9种情况，
∵B与C是中心对称图形，
∴摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌有4种；
∴适应摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率为
故答案为：C
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的结果，再根据概率公式即可求出答案.
8．如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D
由题意可得，AD=60
在Rt△ABD中，∠BAD=30°
∴
在Rt△ACD中，∠DAC=60°
∴
∴
故答案为：B
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，解直角三角形可得BD，CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点是的中点，连接，．以点为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E
∵是边长为的等边三角形的外接圆
∴∠A=60°，
∴∠BDC=180°-60°=120°
∵点是的中点
∴
∴BD=CD
∵DE⊥BC
∴
∴
∴阴影部分的面积为
故答案为：B
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，根据等边三角形性质可得∠A=60°，，根据圆内接四边形性质可得∠BDC，根据垂径定理可得BE，∠BDE，再根据扇形面积即可求出答案.
10．已知抛物线与轴交于，两点，且．若点在该抛物线上，则下列判断正确的是（　　）
A．当时，
B．当时，
C．当时，该抛物线的顶点到达最高处
D．该抛物线与没有交点
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为
∵抛物线与轴交于，两点，且．若点在该抛物线上
∴当时，点在抛物线x轴上方的图象上，此时，A正确，符合题意；
当时，或，错误，不符合题意；
当时，k2+1取得最小值，此时抛物线的顶点到达最低点，C错误，不符合题意；
该抛物线与有交点，D错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】将抛物线解析式转换为顶点式可得抛物线的开口向下，顶点坐标为，再根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥4
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-4≥0，
解得：x≥4.
故答案为：x≥4.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，依题意，，
∴，
∵，，
∴
∴．
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
13．分式方程=的解是　 　　．
【答案】x=2
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】去分母得：3x=2x+2，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
故答案为：x=2．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
14．已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则反比例函数的图象经过的象限是　 　．
【答案】第二、四象限
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限
∴k>0，b<0
∴kb<0
∴反比例函数的图象经过的象限是第二、四象限
故答案为：第二、四象限
【分析】根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即可求出答案.
15．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知点，，平分交轴于点，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：∵，
∴OA=3，OB=4
∴
∵平分交轴于点
∴点M到AB和AO的距离相等
∴，则
解得：OM=
故答案为：
【分析】根据两点间距离可得OA=3，OB=4，根据勾股定理可得AB，再根据角平分线性质可得点M到AB和AO的距离相等，再根据割补法，结合三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
16．如图，在菱形中，，，点是边上的动点，连接，，过点作于点．
（1）若时，则　 　．
（2）设，，则与之间的函数解析式为　 　．
【答案】（1）
（2）
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：当时，∠B=30°，AB=4
∴AE=2
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD=4
∴
故答案为：
（2）过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H
在菱形ABCD中，AB=4，AB∥CD，AB=CD=AD=4，AD∥BC
∴∠DCH=∠B=30°，∠ADF=∠DEH
∴
∵AF⊥DE
∴∠AFD=∠EHD=90°
∴△ADF∽△DEH
∴
∴
故答案为：
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形性质可得AE，根据菱形性质可得AD，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，根据菱形性质可得AB=4，AB∥CD，AB=CD=AD=4，AD∥BC，则∠DCH=∠B=30°，∠ADF=∠DEH，根据含30°角的直角三角形性质可得DH，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
17．解不等式：．
【答案】解：
去括号可得，2x-2移项可得，2x-x<3+2
合并同类项可得，x<5
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】去括号，移项，合并同类项即可求出答案.
18．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，求的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=90°，BD=2OD=10
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形性质可得∠BAD=90°，BD=2OD=10，再根据勾股定理即可求出答案.
19．已知，．
（1）化简；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：
（2）解：由（1）可得
∴
∵
∴原式=
【知识点】平方差公式及应用；分式的化简求值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据分式的减法即可求出答案.
（2）根据分式的除法，结合平方差公式化简，再代入即可求出答案.
20．某班级拟开展主题班会活动，现通过投票从“与科技”“与生活”“与学习”“安全”“故事”中挑选一个最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如图所示．
根据以上信息，完成下列问题：
（1）补全条形统计图并填空：参与本次投票的人数是 ▲ 人；
（2）由于“与科技”“故事”两个主题得票并列最高，为确定活动主题，从该班随机选择8名学生代表对这两个主题评分，评分结果及汇总信息如表：
主题 评分 平均数 中位数 众数
与科技 10 9 8 3 6 4 10 10 8.5 10
故事 9 10 7 8 5 5 8 8 7.5 8
结合表中的数据，求出，的值，并判断选择哪个活动主题最合理？说明理由．
【答案】（1）解：补全条形统计图为：
48
（2）解：
将AI故事的数据按从小到大的顺序排列为：5，5，7，8，8，8，9，10
处在最中间的两位数为8，8
∴
应该选择“与科技”， 理由：
因为“与科技”的评分的中位数和众数都比“故事”的高，
所以应该选择“与科技”（答案不唯一）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）总人数为：6÷12.5%=48
∴AI与学习的人数有：48-13-8-6-13=8
故答案为：48
【分析】（1）根据AI与安全的人数与占比可得总人数，再求出AI与学习的人数，再补全图形即可.
（2）根据平均数，中位数的定义即可求出答案.
21．某班准备购买“国风书签”和“校徽钥匙扣”作为校园文化节奖品．已知购买1枚国风书签和2个校徽钥匙扣需要8元，购买2枚国风书签和3个校徽钥匙扣需要13元．
（1）求每枚国风书签和每个校徽钥匙扣的价格；
（2）班委准备用33元全部购买这两种奖品，每种奖品至少买一件．
①写出枚国风书签和个校徽钥匙扣的数量满足的等量关系，并直接写出可能购买方案的个数；
②若从所有可能的购买方案中随机选取一种，直接写出买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率．
【答案】（1）解： 设每枚国风书签的价格为x元，每个校徽钥匙扣的价格为y元
由题意可得：
解得：
∴每枚国风书签的价格为2元，每个校徽钥匙扣的价格为3元；
（2）解： ①由（1）可知，国风书签单价2元，校徽钥匙扣单价3元，总费用33元
由题意可得：2m+3n=33
∴
∵m、n都是正整数，
∴33-3n必须是正偶数
∴n＝1时，m=15
n=3时，m=12
n =5时，m＝9
n=7时，m=6
n=9时，m=3
n=11时，m=0（舍去，因为每种奖品至少买一件)
∴符合条件的方案有5个
②买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率为．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的其他应用；概率公式
【解析】【解答】解：（2）②校徽钥匙扣数量多于国风书签数量，即n>m，
∴n＝7，m＝6和n=9，m=3，
∵满足条件的方案有2个，总方案数为5个，
∴概率为：
【分析】（1）设每枚国风书签的价格为x元，每个校徽钥匙扣的价格为y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）①由题意可得：2m+3n=33，则，再根据m，n为正整数，求出整数解即可.
②根据①中结论，结合概率公式即可求出答案.
22．已知中，，平分交于点，其中．
（1）求的度数；
（2）将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：．
【答案】（1）解：∵，
∴∠ACB=∠B=72°
∵平分
∴
∴
（2）解：如图，即为所求；
证明：∵旋转，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；作图﹣旋转；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】 【分析】（1）根据等边对等角可得∠ACB=∠B=72°，根据角平分线定义可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）根据旋转性质作图即可；根据旋转性质可得，，根据等边对等角可得，根据三角形内角和定理可得∠BDE，∠CEG，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
23．问题背景：小天在整理储物柜时，发现纸杯的不同叠放方式会导致高度与数量的关系发生变化，他运用学过的函数知识分析其中的变化规律．
叠法1：小天以图1的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度（）与纸杯的个数（个）之间是一次函数关系，相关数据如表．
纸杯个数（个） 1 2 3 4 …
纸杯高度（） 9 9.5 10 10.5 …
叠法2：“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图3所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．小天发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化，并在平面直角坐标系中描点，，，等，由此猜想这些点在某一条过原点的抛物线上（图4）：
（1）求与之间的函数表达式；
（2）小天把杯子按叠法1叠成如图1的一摞，竖着一次性放入内高为的柜子里（图2）．求一摞最多能叠的杯子总数；
（3）小天将储物柜里竖着的一摞杯子（总数为）全部拿出来，刚好能按叠法2进行叠放，用含的代数式表示杯子叠放后的层数．
【答案】（1）解：设n=dm2+bm
将(1，1)，(2，3)代入可得：
，解得：
∴与之间的函数表达式为：；
（2）解：∵高度（）与纸杯的个数（个）之间是一次函数关系
∴设y=kx+b
将(1，9)，(2，9.5)代入可得：
，解得：
∴y=0.5x+8.5
将y=31代入可得，x=45
∴一摞最多能叠的杯子总数为45个
（3）解：将n=a代入，则
解得：m=
∵m>0
∴杯子叠放后的层数为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设n=dm2+bm，根据待定系数法将(1，1)，(2，3)代入解析式即可求出答案.
（2）设y=kx+b，根据待定系数法将(1，9)，(2，9.5)代入解析式可得y=0.5x+8.5，再将y=31代入解析式即可求出答案.
（3）将n=a代入函数关系式，解方程即可求出答案.
24．已知抛物线与轴交于两点，（在的左边，），与轴交于点，设的外接圆圆心为，与轴相切，圆心在反比例函数图象上．
（1）求点的纵坐标；
（2）求的值；
（3）当时，设直线与函数图象的另一交点为，若该抛物线对称轴上一点满足，证明点在上，并直接写出点的纵坐标的取值范围．
【答案】（1）解：如图
∵点P与y轴相切
∴yP=yc=1
∴点P的纵坐标为1
（2）解：作PH⊥x轴于点H，连接PA，PB，PC
∴四边形OCPH为矩形
当y=0时，即
解得：x1=m，x2=n
∴A(m，0)，B(n，0)
∴
∴，PH=1，
在Rt△APH中，AH2+PH2=AP2
即，整理得：mn=1
将点C(0，1)代入，可得
解得：a=1
（3）解：或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）如图，记Q1，Q2为抛物线对称轴与的两个交点
∵CA∥BP，PC∥AB
∴四边形ABPC为平行四边形
∴CP=AB
由（1）（2）可得，A(m，0)，B(n，0)
∴，且m解得：
∴
设直线BP的解析式为y=k1x+b
∴，解得：
∴直线BP的解析式为
将代入可得，
∴反比例函数的解析式为：
联立，解得：
当时，
∴
∴
∵
∴
∴点E在上，△CPE是等边三角形
∴∠CPE=60°
∴
∴点Q在Q1上方或Q2下方
∴
∵yP=yC=1
∴
解得：或【分析】（1）根据切线性质即可求出答案.
（2）作PH⊥x轴于点H，连接PA，PB，PC，根据矩形判定定理可得四边形OCPH为矩形，根据x轴上点的坐标特征可得A(m，0)，B(n，0)，根据垂径定理可得，再根据两点间距离可得，PH=1，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）记Q1，Q2为抛物线对称轴与的两个交点，根据平行四边形判定定理可得四边形ABPC为平行四边形，则CP=AB，建立方程组，解方程组可得，则，设直线BP的解析式为y=k1x+b，根据待定系数法将点B，P坐标代入解析式可得直线BP的解析式为，再根据待定系数法将点P坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析式为：，联立一次函数解析式可得，根据两点间距离可得CE，PE，再根据等边三角形判定定理可得△CPE是等边三角形，则∠CPE=60°，，即点Q在Q1上方或Q2下方，，建立不等式，解不等式即可求出答案.
25．如图，点是边长为2的正方形的边上一动点（不与，重合），和关于直线对称，连接交射线于点．
（1）当点在对角线上时，求的度数；
（2）求证：；
（3）若点在上，且，当最大时，求的长度．
【答案】（1）解：连接BD
∵正方形ABCD中，∠C=∠ABC=90°
∴
由题意可得，∠BFE=∠C=90°
∴∠CEF=360°-∠DBC-∠BFE-∠C=135°
（2）解：证明：连接，与交于点，如图，
∵折叠，
∴，，
∵正方形，边长为2，
∴，，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
（3）解：过点A作AQ⊥BG于点Q，连接CF交BG于点P'
由（2）可得∠G=45°
∴
∵C和F关于直线BE对称
∴CP'⊥BG
∵∠BAQ+∠ABQ=90°，∠P'BC+∠ABQ=90°
∴∠BAQ=∠P'BC
∵BC=AB，∠BP'C=∠AQB
∴△BCP'≌△ABQ(AAS)
∴
∴
∵
∴BP'=BP
∵∠BPC=90°
设BC的中点为M
∴点P在以M为圆心，半径为1的圆上
当∠BAP最大值，AP与圆M相切，即AP1切圆M于P1点
∵AB⊥MB于点，MB为圆M半径
∴AB与圆M相切
∴AP1=AB=2
∴AP的长度为2
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接BD，根据正方形性质可得∠DBC，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）连接，与交于点，根据折叠性质可得，，根据正方形性质可得，，，根据等边对等角可得，设，则，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠BAF，根据角之间的关系可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，根边之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过点A作AQ⊥BG于点Q，连接CF交BG于点P'，根据等腰直角三角形性质可得，根据对称性质可得CP'⊥BG，根据角之间的关系可得∠BAQ=∠P'BC，再根据全等三角形判定定理可得△BCP'≌△ABQ(AAS)，则，根据边之间的关系可得BP'=BP，设BC的中点为M，则点P在以M为圆心，半径为1的圆上，当∠BAP最大值，AP与圆M相切，即AP1切圆M于P1点，再根据切线性质即可求出答案.
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