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广东省深圳市南山外国语学校（集团）高新中学2026年九年级数学中考三模试卷
1．下面几何体中，主视图是矩形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图为等腰三角形，不符合题意；
B、主视图为圆，不符合题意；
C、主视图为等腰梯形，不符合题意；
D、主视图为矩形，符合题意；
故选：D．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
2．某速冻元宵的储藏温度是-18±2℃，下列四个冷冻室的温度中，不适合储藏此种元宵的是（　　）
A．-22℃ B．-20℃ C．-18℃ D．-16℃
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：-18-2=-22，-18+2=-16
∴储藏温度在-22°到-16°之间
-22°<-22°<-18°<-16°
故答案为：A
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量，比较大小即可求出答案.
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 与不是同类项不能合并，故错误，不合题意；
B.，故正确，符合题意；
C.，故错误，不合题意；
D.，故错误，不合题意；
故选：B．
【分析】本题考查整式的基本运算，只有同类项才能合并，同底数幂相乘底数不变指数相加，幂的乘方底数不变指数相乘，完全平方公式为，根据这些规则逐一判断选项。
4．将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
能恰好插上的概率是
故答案为：A
【分析】根据概率公式即可求出答案.
5．如图，某停车场入口的栏杆 AB，从水平位置绕点 O旋转到 A'B'的位置，已知AO的长为 4米.若栏杆的旋转角∠AOA'=α，则栏杆 A端升高的高度为 （　　）
A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系；正弦的概念
【解析】【解答】解：如图，过A'作
在直角三角形中：
∴A'H= 4sinα米
故答案为：B.
【分析】如图，过A'作，根据正弦的定义，计算可得A'H的值，解答即可.
6．用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，∠CAD=∠EBF=90°，∠C=45°，∠F=30°，点A，E，D，F在同一条直线上，当CD∥AB时，则∠ABE的度数为（　　）
A．45° B．35° C．25° D．15°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-三角尺问题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵∠CAD=∠EBF=90°，∠C=45°，∠F=30°，CD∥AB
∴∠CDA=45°，∠BEF=60°
∴∠DAB=∠CDA=45°，∠AEB=180°-∠BEF=120°
∴∠ABE=180°-∠DAB-∠AEB=15°
故答案为：D
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠CDA=45°，∠BEF=60°，根据直线平行性质可得∠DAB=∠CDA=45°，根据补角可得∠AEB，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
7．2026年4月26日，“骑跑中国”2026骑跑两项全民系列赛在黄岩顺利开赛.小华参加了其中的“骑跑全程组”，需先跑步3km，再骑行60km，最后跑步3km.已知小华全程共花了3h，骑行的平均速度是跑步的平均速度的2倍，求小华跑步的平均速度.设小华跑步的平均速度为 xkm/h，根据题意，可列方程为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意得：
即
故选： C.
【分析】根据先跑步3km，再骑行60km，最后跑步3km，小华全程共花了3h，骑行的平均速度是跑步的平均速度的2倍，列出分式方程即可.
8．如图1，在矩形中，E是的中点，动点P从点E出发，沿直线运动到矩形边上一点，再从该点沿直线运动到顶点C．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则矩形的对角线AC的长是（　　）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由图2得，当时，，即
当时，点P在线段的垂直平分线上运动
如图，作的垂直平分线，交边于点F，连接
由题意可知，动点P沿运动到点F后，再沿运动到顶点C
，，
，
故选C．
【分析】由图可得当时，，即，当时，点P在线段的垂直平分线上运动，作的垂直平分线，交边于点F，连接，由题意可知，动点P沿运动到点F后，再沿运动到顶点C，根据边之间的关系可得AB，BC，再根据勾股定理即可求出答案.
9．已知，则代数式的值为　 　．
【答案】3
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
故答案为：3.
【分析】原式化为，整体代入计算解答即可.
10．如图，五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A'的坐标分别为（2，0），（3，0）.若DE的长为3，则D'E'的长为　 　.
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】 【解答】解：∵五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形
∴△ODE∽△OD'E'
∴
∵DE=3
∴
故答案为：
【分析】根据位似图形性质即可求出答案.
11．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，∠AEC=74°，∠ABD=36°，则∠BOC的度数为　 　°.
【答案】140
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABD=36°
∴∠ACD=∠ABD=36°
∵∠AEC=74°
∴∠CAE=180°-∠ACD-∠AEC=70°
∴∠BOC=2∠CAE=140°
故答案为：140
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACD，再根据三角形内角和定理可得∠CAE，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
12．如图，点A是反比例函数 在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数 在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC=BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是　 　．
【答案】3
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵AC=CB，∴OD=OE，
设A（﹣a， ），则B（a， ），
故S△AOB=S梯形ADBE﹣S△AOD﹣S△BOE
= （ + ）×2a﹣ a× ﹣ a×
=3，
故答案为：3．
【分析】分别过A、B两点作x轴的垂线，构成直角梯形，根据AC=BC，判断OC为直角梯形的中位线，得出OD=OE=a，根据双曲线解析式确定A、B两点的坐标及AD、BE的长，根据S△AOB=S梯形ADBE﹣S△AOD﹣S△BOE求解．
13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过点C作CD⊥BC，连接DA，DB，过点A作AE⊥BD于点E，若∠EAD=2∠ADC，△ADC的面积为6，则BC的长为　 　.
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；勾股定理；正方形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥DC交DC的延长线于点H，作AF⊥BC于点F
∵∠BAC=90°，AB=AC，AF⊥BC
∴，∠BAF=∠CAF=45°
∵AF⊥BC，CD⊥BC
∴AF∥CD
∴∠FAD=∠ADC
∵∠EAD=2∠ADC
∴∠EAF=∠FAD=∠DAC
∴∠BAE=∠CAD
∵∠BAE+∠ABE=90°，∠CAD+∠BAD=90°
∴∠ABE=∠BAD
∴AD=BD
∵AF⊥BC，CD⊥BC，AH⊥DC，AF⊥CF
∴四边形AFCH为正方形
∴
∵AD2=HD2+AH2，BD2=BC2+CD2，AD2=BD2
∴
∴
∴
解得：
故答案为：
【分析】过点A作AH⊥DC交DC的延长线于点H，作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形三线合一性质可得，∠BAF=∠CAF=45°，根据直线平行判定定理可得AF∥CD，则∠FAD=∠ADC，根据角之间的关系可得∠ABE=∠BAD，根据等角对等边可得AD=BD，根据正方形判定定理可得四边形AFCH为正方形，则，根据勾股定理建立方程，化简可得，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
14．计算：
【答案】解：原式
=2.
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；求算术平方根
【解析】【分析】根据算术平方根，0指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
15．解不等式组并求出此不等式组的整数解.
【答案】解：
由①得：x≥-1，
由②得：x<3，
∴不等式组的解集为-1≤x<3，
则不等式组的整数解为-1，0，1，2.
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再求出整数解即可求出答案.
16．为了解某区城乡艺术教育质量发展情况，某调查小组从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下.
【收集与整理】
农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：64，74，78，82，84，86，86，92，96，98；城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：62，70，79，83，85，87，87，90，97，100.
【描述与分析】
城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如表：
统计量 平均数 中位数 众数 方差
农村 84 a 86 95.2
城区 84 86 b 118.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出表格中a、b的值，a=　 　，b=　 　；
（2）【迁移与应用】
若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率；
（3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议.
【答案】（1）85；87
（2）解：农村学校95分以上的学生分别记为A1，A2，城区学校95分以上的学生分别记为B1，B2，画树状图如下：
一共有12种等可能结果，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有2种，
∴P（所选两名学生恰好都是城区学生）
（3）解：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展；从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学；
从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平；
从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化程度.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）将农村学校10名学生的艺术成绩按从小到大的顺序，处在最中间的两位数为84，86
∴中位数
城区学校10名学生的艺术成绩中，出现次数最多的为87
∴众数b=87
故答案为：85；87
【分析】（2）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出所选两名学生恰好都是城区学生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（3）根据各统计量的定义进行分析判断即可求出答案.
17．排球是中考体育的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”.学校现决定购买A、B两种品牌的排球.据了解，购买2个A种品牌的排球和1个B种品牌的排球需210元，购买1个A种品牌的排球和2个B种品牌的排球需180元.
（1）求A、B两种品牌排球的单价分别为多少元
（2）学校决定购买A，B两种品牌的排球共50个，且购买A种品牌排球的数量不少于购买B种品牌的排球数量的一半，学校采取哪种购买方案时花费最少 并求出最少费用。
【答案】（1）解：设A种品牌排球的单价为x元，B种品牌排球的单价为y元，
依题意，得
答：设A种品牌排球的单价为80元，B种品牌排球的单价为50元
（2）解：由题意，设购买A种品牌排球m个，则购买B种品牌排球（50-m）个，
且m为正整数，
设购买排球的总花费为W元，
则W=80m+50（50-m）=30m+2500.
∵30>0，∴W随m的增大而增大
又∵且m为正整数
∴当m=17时，W最小值=30m+2500=30×17+2500=3010元
此时50-m=50-17=33个.
答：购买A种品牌排球17个，B种品牌排球33个时，花费最少.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种品牌排球的单价为x元，B种品牌排球的单价为y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买A种品牌排球m个，则购买B种品牌排球（50-m）个，根据题意建立不等式，解不等式求出m的取值范围，设购买排球的总花费为W元，再根据题意建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
18． 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以A为圆心，AB的长为半径作圆，CE是⊙A的切线与BA的延长线交于点E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点A作BC的垂线交EC的延长线于点D．
（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接BD．
①试判断直线BD与⊙A的位置关系，并说明理由；
②若tanE＝，⊙A的半径为3，求DB的长.
【答案】（1）解：如图，AD为所作垂线；
（2）解：①BD与⊙A相切，理由如下：
∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC的垂线，
∴∠ABC＝∠ACB，且AD是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠DCB＝∠DBC．
∵CD与⊙A相切于点C，
∴∠BCD+∠ACB＝90°，即∠ABC+∠DBC＝90°，
∴BD与⊙A相切；
②在Rt△AEC中，
∵tanE==，AC＝3，
∴EC＝4，
根据勾股定理，得AE＝，
∴BE=AB+AE=3+5=8
在Rt△BDE中，
∵tanE==，
∴BD=6．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；切线的判定与性质；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据垂线定义作图即可.
（2）①根据垂直平分线性质可得DB＝DC，根据等边对等角可得∠DCB＝∠DBC，再根据切线判定定理及性质即可求出答案.
②根据正切定义可得EC，根据勾股定理可得AE，根据边之间的关系可得BE，再根据正切定义即可求出答案.
19．在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小展同学用二次函数作为其中一个函数（标记该函数图象交x轴于原点O及点A）做了有关研究，请你帮他解答.
（1）【特例感知】
当m=2时，如图，抛物线上的点O，B，C，D，A关于与之对应的“和合对称抛物线”图像L'的“和合点”分别为O'，B'，C'，D'，A'.如下表：
… O（0，0） B（1，3） C（2，4） D（3，3） A（ ， ） …
… C'（2，-8） A'（4，0） …
①补全表格：A（ ▲ ， ▲ ）；
②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象L'.
③当m=-1时，若抛物线L的顶点为点P，点P对应的“和合点”为点Q，则点Q的坐标为 ▲ ；
（2）【初步探讨】
在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线L'，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线L'的解析式.
（3）【进阶探究】
若抛物线及与它对应的“和合对称抛物线”L'与直线y=m有且只有三个交点，求m的值.
【答案】（1）①（4，0）
②描点画图即可，如下图
③（-1，-2）
（2）解：抛物线与x轴交点为点为（0，0）、（2m，0），则设抛物线
与x轴交点为点为（0，0）、
解得b=-4m，
抛物线
∴顶点为
∵其横、纵坐标互为相反数，
解得m=0或
∴抛物线L'为或
（3）解：抛物线
∴其顶点为（m，m2），
则抛物线
∴其顶点为
当直线y=m过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有3个交点，
或
解得m=0、m=1或
当m=0时，两个抛物线与y=m只有一个交点，不满足条件，
∴m为1或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（1）①由表格可得：和合点的横坐标相等，总坐标为对应点的-2倍
∴A(4，0)
故答案为：（4，0）
③当m=1时，
∴点P的坐标为(-1，1)
设抛物线L'：y=ax2+bx
∴，解得：
∴抛物线L'：y=2x2+4x
当x=-1时，y=2×(-1)2+4×(-1)=-2
∴点Q的坐标为（-1，-2）
故答案为：（-1，-2）
【分析】（1）①根据和合点的定义即可求出答案.
②根据描点法作图即可.
③将m=1代入解析式，再将解析式转换为顶点式，求出顶点P的坐标为(-1，1)，设抛物线L'：y=ax2+bx，根据和合对称抛物线的定义建立方程组，解方程组可得抛物线L'：y=2x2+4x，再将x=-1代入抛物线即可求出答案.
（2）设抛物线，与x轴交点为点为（0，0）、，根据题意建立等式，化简可得抛物线，转换为顶点式可得顶点为，再根据相反数建立方程，解方程即可求出答案.
（3）将解析式转换为顶点式可得其顶点为（m，m2），根据和合对称抛物线的定义可得抛物线，则其顶点为，当直线y=m过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有3个交点，建立方程，解方程即可求出答案.
20．综合与实践
【问题情境】实际生活中，利用折叠的性质可以解决很多问题.
【发现问题】现有一张长为2.宽为1.8的矩形ABCD纸片.由于该矩形纸片的长与宽的长度很接近.为了确定AB与BC哪个是较长边，嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题.
如图1，嘉嘉的方法： ①将矩形ABCD纸片沿过点B的直线折叠，使点A的对应点A'落在BC边所在的直线上； ②最终发现点A'在线段BC上. 如图2，淇淇的方法： ①将矩形ABCD纸片的顶点A与C通过折叠重合，设折痕与矩形的边分别交于E，F两点，并且满足点E在点F的上方； ……
（1）【探究问题】
在图1中通过嘉嘉的方法可以判断，较长边为　 　（填“AB”或“BC”）；
在图2中，结合淇淇的方法，画出折痕EF（不限作图工具），并判断较长边为　 　（填“AB”或“BC”），若连接AE、CF，则四边形AECF的形状为　 　.
（2）【拓展应用】
在四边形PQMN纸片中，PN∥QM，∠PQM=90°，PQ=4，QM=5，PN=8.按如下要求折叠该四边形纸片.
如图3，将四边形PQMN纸片沿对角线QN折叠，请判断点M的对应点M'能否落在边PN上，说明理由；
（3）如图4，将四边形PQMN纸片折叠，使折叠后点M的对应点M'始终落在边PN上，点Q的对应点为Q'，折痕与边PQ、MN分别交于G、H两点.当时，求GQ的长.
【答案】（1）BC；BC；菱形
（2）解：点M的对应点M'能落在边PN上.理由如下：
如图3，过点M作MK⊥PN，则四边形PQMK为矩形，
∴PK=QM=5，MK=PQ=4，
∴KN=PN-PK=3，
在Rt△MNK中，由勾股定理得：
∴MN=QM，
∠MQN=∠MNQ，
又∵PN∥QM，
∴∠MQN=∠PNQ，
∠MNQ
∴QN是∠PNM的平分线，
∴将四边形PQMN纸片沿对角线QN折叠，点M的对应点M'
（3）解：GQ的长为或理由如下：
当Q'在PQ左侧时，设M'Q'与PQ相交于点O，如图4，
由翻折可知∠OQ'G=90°，GQ=GQ'，QM=Q'M'=5，
不妨设GQ=4x，
解得：OG=5x，
在直角三角形OQ'G中，由勾股定理得：又∵∠GOQ'=∠POM'，∠P=90°，
∴△OGQ'∽△OM'P，
即
解得：
解得：
当Q'在PQ右侧时，延长GP、M'Q'相交于点H，设GQ'与PM'相交于点I，如图5
由翻折可知GQ=GQ'，MQ=M'Q'=5，∠GQ'M'=90°，设PG=4x，则GQ=4-4x，
解得：GI=5x，
∴PI=3x，IQ'=GQ'-GI=GQ-GI=4-4x-5x=4-9x，
又∵∠PIG=∠Q'IM'，∠GPI=90°，
∴△PIG∽△Q'IM'，
即
解得：
综上所述，GQ的长为或
【知识点】平行线的性质；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）嘉嘉的方法：∵将矩形ABCD纸片沿过点B的直线折叠，使点A的对应点A'落在BC边所在的直线上
∴AB=A'B
∵BA'∴AB故答案为：BC
淇淇的方法：如图，折痕EF即为所求，连接AE
∵将矩形ABCD纸片的顶点A与C通过折叠重合，设折痕与矩形的边分别交于E，F两点
∴AE=CE
∴AE+BE=CE+BE，即AE+BE=BC
在△ABE中，AB+BE>AE
∴BC>AB
∴BC为较长边
设AC与EF相交于点O
同理由折叠的性质可得AF=CF，且AO=CO
∵AD∥BC
∴∠AFO=∠CEO，∠OAF=∠PCE
在△OAF和△OCE中
∴△OAF和△OCE(AAS)
∴AF=CE
∴AF=AE=CE=CF
∴四边形AECF为菱形
故答案为：BC；BC；菱形
【分析】（1）嘉嘉的方法：根据折叠性质可得AB=A'B，再根据边之间的关系即可求出答案；
淇淇的方法：连接AE，根据折叠性质可得AE=CE，根据边之间的关系可得BC为较长边，设AC与EF相交于点O，同理由折叠的性质可得AF=CF，且AO=CO，根据直线平行性质可得∠AFO=∠CEO，∠OAF=∠PCE，根据全等三角形判定定理可得△OAF和△OCE(AAS)，则AF=CE，再根据菱形判定定理即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市南山外国语学校（集团）高新中学2026年九年级数学中考三模试卷
1．下面几何体中，主视图是矩形的是（　　）
A． B． C． D．
2．某速冻元宵的储藏温度是-18±2℃，下列四个冷冻室的温度中，不适合储藏此种元宵的是（　　）
A．-22℃ B．-20℃ C．-18℃ D．-16℃
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，某停车场入口的栏杆 AB，从水平位置绕点 O旋转到 A'B'的位置，已知AO的长为 4米.若栏杆的旋转角∠AOA'=α，则栏杆 A端升高的高度为 （　　）
A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
6．用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，∠CAD=∠EBF=90°，∠C=45°，∠F=30°，点A，E，D，F在同一条直线上，当CD∥AB时，则∠ABE的度数为（　　）
A．45° B．35° C．25° D．15°
7．2026年4月26日，“骑跑中国”2026骑跑两项全民系列赛在黄岩顺利开赛.小华参加了其中的“骑跑全程组”，需先跑步3km，再骑行60km，最后跑步3km.已知小华全程共花了3h，骑行的平均速度是跑步的平均速度的2倍，求小华跑步的平均速度.设小华跑步的平均速度为 xkm/h，根据题意，可列方程为(　　)
A． B． C． D．
8．如图1，在矩形中，E是的中点，动点P从点E出发，沿直线运动到矩形边上一点，再从该点沿直线运动到顶点C．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则矩形的对角线AC的长是（　　）
A． B．4 C． D．8
9．已知，则代数式的值为　 　．
10．如图，五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A'的坐标分别为（2，0），（3，0）.若DE的长为3，则D'E'的长为　 　.
11．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，∠AEC=74°，∠ABD=36°，则∠BOC的度数为　 　°.
12．如图，点A是反比例函数 在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数 在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC=BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是　 　．
13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过点C作CD⊥BC，连接DA，DB，过点A作AE⊥BD于点E，若∠EAD=2∠ADC，△ADC的面积为6，则BC的长为　 　.
14．计算：
15．解不等式组并求出此不等式组的整数解.
16．为了解某区城乡艺术教育质量发展情况，某调查小组从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下.
【收集与整理】
农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：64，74，78，82，84，86，86，92，96，98；城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：62，70，79，83，85，87，87，90，97，100.
【描述与分析】
城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如表：
统计量 平均数 中位数 众数 方差
农村 84 a 86 95.2
城区 84 86 b 118.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出表格中a、b的值，a=　 　，b=　 　；
（2）【迁移与应用】
若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率；
（3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议.
17．排球是中考体育的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”.学校现决定购买A、B两种品牌的排球.据了解，购买2个A种品牌的排球和1个B种品牌的排球需210元，购买1个A种品牌的排球和2个B种品牌的排球需180元.
（1）求A、B两种品牌排球的单价分别为多少元
（2）学校决定购买A，B两种品牌的排球共50个，且购买A种品牌排球的数量不少于购买B种品牌的排球数量的一半，学校采取哪种购买方案时花费最少 并求出最少费用。
18． 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以A为圆心，AB的长为半径作圆，CE是⊙A的切线与BA的延长线交于点E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点A作BC的垂线交EC的延长线于点D．
（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接BD．
①试判断直线BD与⊙A的位置关系，并说明理由；
②若tanE＝，⊙A的半径为3，求DB的长.
19．在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小展同学用二次函数作为其中一个函数（标记该函数图象交x轴于原点O及点A）做了有关研究，请你帮他解答.
（1）【特例感知】
当m=2时，如图，抛物线上的点O，B，C，D，A关于与之对应的“和合对称抛物线”图像L'的“和合点”分别为O'，B'，C'，D'，A'.如下表：
… O（0，0） B（1，3） C（2，4） D（3，3） A（ ， ） …
… C'（2，-8） A'（4，0） …
①补全表格：A（ ▲ ， ▲ ）；
②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象L'.
③当m=-1时，若抛物线L的顶点为点P，点P对应的“和合点”为点Q，则点Q的坐标为 ▲ ；
（2）【初步探讨】
在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线L'，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线L'的解析式.
（3）【进阶探究】
若抛物线及与它对应的“和合对称抛物线”L'与直线y=m有且只有三个交点，求m的值.
20．综合与实践
【问题情境】实际生活中，利用折叠的性质可以解决很多问题.
【发现问题】现有一张长为2.宽为1.8的矩形ABCD纸片.由于该矩形纸片的长与宽的长度很接近.为了确定AB与BC哪个是较长边，嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题.
如图1，嘉嘉的方法： ①将矩形ABCD纸片沿过点B的直线折叠，使点A的对应点A'落在BC边所在的直线上； ②最终发现点A'在线段BC上. 如图2，淇淇的方法： ①将矩形ABCD纸片的顶点A与C通过折叠重合，设折痕与矩形的边分别交于E，F两点，并且满足点E在点F的上方； ……
（1）【探究问题】
在图1中通过嘉嘉的方法可以判断，较长边为　 　（填“AB”或“BC”）；
在图2中，结合淇淇的方法，画出折痕EF（不限作图工具），并判断较长边为　 　（填“AB”或“BC”），若连接AE、CF，则四边形AECF的形状为　 　.
（2）【拓展应用】
在四边形PQMN纸片中，PN∥QM，∠PQM=90°，PQ=4，QM=5，PN=8.按如下要求折叠该四边形纸片.
如图3，将四边形PQMN纸片沿对角线QN折叠，请判断点M的对应点M'能否落在边PN上，说明理由；
（3）如图4，将四边形PQMN纸片折叠，使折叠后点M的对应点M'始终落在边PN上，点Q的对应点为Q'，折痕与边PQ、MN分别交于G、H两点.当时，求GQ的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图为等腰三角形，不符合题意；
B、主视图为圆，不符合题意；
C、主视图为等腰梯形，不符合题意；
D、主视图为矩形，符合题意；
故选：D．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：-18-2=-22，-18+2=-16
∴储藏温度在-22°到-16°之间
-22°<-22°<-18°<-16°
故答案为：A
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量，比较大小即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 与不是同类项不能合并，故错误，不合题意；
B.，故正确，符合题意；
C.，故错误，不合题意；
D.，故错误，不合题意；
故选：B．
【分析】本题考查整式的基本运算，只有同类项才能合并，同底数幂相乘底数不变指数相加，幂的乘方底数不变指数相乘，完全平方公式为，根据这些规则逐一判断选项。
4．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
能恰好插上的概率是
故答案为：A
【分析】根据概率公式即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系；正弦的概念
【解析】【解答】解：如图，过A'作
在直角三角形中：
∴A'H= 4sinα米
故答案为：B.
【分析】如图，过A'作，根据正弦的定义，计算可得A'H的值，解答即可.
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-三角尺问题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵∠CAD=∠EBF=90°，∠C=45°，∠F=30°，CD∥AB
∴∠CDA=45°，∠BEF=60°
∴∠DAB=∠CDA=45°，∠AEB=180°-∠BEF=120°
∴∠ABE=180°-∠DAB-∠AEB=15°
故答案为：D
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠CDA=45°，∠BEF=60°，根据直线平行性质可得∠DAB=∠CDA=45°，根据补角可得∠AEB，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意得：
即
故选： C.
【分析】根据先跑步3km，再骑行60km，最后跑步3km，小华全程共花了3h，骑行的平均速度是跑步的平均速度的2倍，列出分式方程即可.
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由图2得，当时，，即
当时，点P在线段的垂直平分线上运动
如图，作的垂直平分线，交边于点F，连接
由题意可知，动点P沿运动到点F后，再沿运动到顶点C
，，
，
故选C．
【分析】由图可得当时，，即，当时，点P在线段的垂直平分线上运动，作的垂直平分线，交边于点F，连接，由题意可知，动点P沿运动到点F后，再沿运动到顶点C，根据边之间的关系可得AB，BC，再根据勾股定理即可求出答案.
9．【答案】3
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
故答案为：3.
【分析】原式化为，整体代入计算解答即可.
10．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】 【解答】解：∵五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形
∴△ODE∽△OD'E'
∴
∵DE=3
∴
故答案为：
【分析】根据位似图形性质即可求出答案.
11．【答案】140
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABD=36°
∴∠ACD=∠ABD=36°
∵∠AEC=74°
∴∠CAE=180°-∠ACD-∠AEC=70°
∴∠BOC=2∠CAE=140°
故答案为：140
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACD，再根据三角形内角和定理可得∠CAE，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
12．【答案】3
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵AC=CB，∴OD=OE，
设A（﹣a， ），则B（a， ），
故S△AOB=S梯形ADBE﹣S△AOD﹣S△BOE
= （ + ）×2a﹣ a× ﹣ a×
=3，
故答案为：3．
【分析】分别过A、B两点作x轴的垂线，构成直角梯形，根据AC=BC，判断OC为直角梯形的中位线，得出OD=OE=a，根据双曲线解析式确定A、B两点的坐标及AD、BE的长，根据S△AOB=S梯形ADBE﹣S△AOD﹣S△BOE求解．
13．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；勾股定理；正方形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥DC交DC的延长线于点H，作AF⊥BC于点F
∵∠BAC=90°，AB=AC，AF⊥BC
∴，∠BAF=∠CAF=45°
∵AF⊥BC，CD⊥BC
∴AF∥CD
∴∠FAD=∠ADC
∵∠EAD=2∠ADC
∴∠EAF=∠FAD=∠DAC
∴∠BAE=∠CAD
∵∠BAE+∠ABE=90°，∠CAD+∠BAD=90°
∴∠ABE=∠BAD
∴AD=BD
∵AF⊥BC，CD⊥BC，AH⊥DC，AF⊥CF
∴四边形AFCH为正方形
∴
∵AD2=HD2+AH2，BD2=BC2+CD2，AD2=BD2
∴
∴
∴
解得：
故答案为：
【分析】过点A作AH⊥DC交DC的延长线于点H，作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形三线合一性质可得，∠BAF=∠CAF=45°，根据直线平行判定定理可得AF∥CD，则∠FAD=∠ADC，根据角之间的关系可得∠ABE=∠BAD，根据等角对等边可得AD=BD，根据正方形判定定理可得四边形AFCH为正方形，则，根据勾股定理建立方程，化简可得，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】解：原式
=2.
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；求算术平方根
【解析】【分析】根据算术平方根，0指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：
由①得：x≥-1，
由②得：x<3，
∴不等式组的解集为-1≤x<3，
则不等式组的整数解为-1，0，1，2.
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再求出整数解即可求出答案.
16．【答案】（1）85；87
（2）解：农村学校95分以上的学生分别记为A1，A2，城区学校95分以上的学生分别记为B1，B2，画树状图如下：
一共有12种等可能结果，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有2种，
∴P（所选两名学生恰好都是城区学生）
（3）解：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展；从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学；
从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平；
从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化程度.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）将农村学校10名学生的艺术成绩按从小到大的顺序，处在最中间的两位数为84，86
∴中位数
城区学校10名学生的艺术成绩中，出现次数最多的为87
∴众数b=87
故答案为：85；87
【分析】（2）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出所选两名学生恰好都是城区学生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（3）根据各统计量的定义进行分析判断即可求出答案.
17．【答案】（1）解：设A种品牌排球的单价为x元，B种品牌排球的单价为y元，
依题意，得
答：设A种品牌排球的单价为80元，B种品牌排球的单价为50元
（2）解：由题意，设购买A种品牌排球m个，则购买B种品牌排球（50-m）个，
且m为正整数，
设购买排球的总花费为W元，
则W=80m+50（50-m）=30m+2500.
∵30>0，∴W随m的增大而增大
又∵且m为正整数
∴当m=17时，W最小值=30m+2500=30×17+2500=3010元
此时50-m=50-17=33个.
答：购买A种品牌排球17个，B种品牌排球33个时，花费最少.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种品牌排球的单价为x元，B种品牌排球的单价为y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买A种品牌排球m个，则购买B种品牌排球（50-m）个，根据题意建立不等式，解不等式求出m的取值范围，设购买排球的总花费为W元，再根据题意建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
18．【答案】（1）解：如图，AD为所作垂线；
（2）解：①BD与⊙A相切，理由如下：
∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC的垂线，
∴∠ABC＝∠ACB，且AD是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠DCB＝∠DBC．
∵CD与⊙A相切于点C，
∴∠BCD+∠ACB＝90°，即∠ABC+∠DBC＝90°，
∴BD与⊙A相切；
②在Rt△AEC中，
∵tanE==，AC＝3，
∴EC＝4，
根据勾股定理，得AE＝，
∴BE=AB+AE=3+5=8
在Rt△BDE中，
∵tanE==，
∴BD=6．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；切线的判定与性质；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据垂线定义作图即可.
（2）①根据垂直平分线性质可得DB＝DC，根据等边对等角可得∠DCB＝∠DBC，再根据切线判定定理及性质即可求出答案.
②根据正切定义可得EC，根据勾股定理可得AE，根据边之间的关系可得BE，再根据正切定义即可求出答案.
19．【答案】（1）①（4，0）
②描点画图即可，如下图
③（-1，-2）
（2）解：抛物线与x轴交点为点为（0，0）、（2m，0），则设抛物线
与x轴交点为点为（0，0）、
解得b=-4m，
抛物线
∴顶点为
∵其横、纵坐标互为相反数，
解得m=0或
∴抛物线L'为或
（3）解：抛物线
∴其顶点为（m，m2），
则抛物线
∴其顶点为
当直线y=m过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有3个交点，
或
解得m=0、m=1或
当m=0时，两个抛物线与y=m只有一个交点，不满足条件，
∴m为1或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（1）①由表格可得：和合点的横坐标相等，总坐标为对应点的-2倍
∴A(4，0)
故答案为：（4，0）
③当m=1时，
∴点P的坐标为(-1，1)
设抛物线L'：y=ax2+bx
∴，解得：
∴抛物线L'：y=2x2+4x
当x=-1时，y=2×(-1)2+4×(-1)=-2
∴点Q的坐标为（-1，-2）
故答案为：（-1，-2）
【分析】（1）①根据和合点的定义即可求出答案.
②根据描点法作图即可.
③将m=1代入解析式，再将解析式转换为顶点式，求出顶点P的坐标为(-1，1)，设抛物线L'：y=ax2+bx，根据和合对称抛物线的定义建立方程组，解方程组可得抛物线L'：y=2x2+4x，再将x=-1代入抛物线即可求出答案.
（2）设抛物线，与x轴交点为点为（0，0）、，根据题意建立等式，化简可得抛物线，转换为顶点式可得顶点为，再根据相反数建立方程，解方程即可求出答案.
（3）将解析式转换为顶点式可得其顶点为（m，m2），根据和合对称抛物线的定义可得抛物线，则其顶点为，当直线y=m过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有3个交点，建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）BC；BC；菱形
（2）解：点M的对应点M'能落在边PN上.理由如下：
如图3，过点M作MK⊥PN，则四边形PQMK为矩形，
∴PK=QM=5，MK=PQ=4，
∴KN=PN-PK=3，
在Rt△MNK中，由勾股定理得：
∴MN=QM，
∠MQN=∠MNQ，
又∵PN∥QM，
∴∠MQN=∠PNQ，
∠MNQ
∴QN是∠PNM的平分线，
∴将四边形PQMN纸片沿对角线QN折叠，点M的对应点M'
（3）解：GQ的长为或理由如下：
当Q'在PQ左侧时，设M'Q'与PQ相交于点O，如图4，
由翻折可知∠OQ'G=90°，GQ=GQ'，QM=Q'M'=5，
不妨设GQ=4x，
解得：OG=5x，
在直角三角形OQ'G中，由勾股定理得：又∵∠GOQ'=∠POM'，∠P=90°，
∴△OGQ'∽△OM'P，
即
解得：
解得：
当Q'在PQ右侧时，延长GP、M'Q'相交于点H，设GQ'与PM'相交于点I，如图5
由翻折可知GQ=GQ'，MQ=M'Q'=5，∠GQ'M'=90°，设PG=4x，则GQ=4-4x，
解得：GI=5x，
∴PI=3x，IQ'=GQ'-GI=GQ-GI=4-4x-5x=4-9x，
又∵∠PIG=∠Q'IM'，∠GPI=90°，
∴△PIG∽△Q'IM'，
即
解得：
综上所述，GQ的长为或
【知识点】平行线的性质；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）嘉嘉的方法：∵将矩形ABCD纸片沿过点B的直线折叠，使点A的对应点A'落在BC边所在的直线上
∴AB=A'B
∵BA'∴AB故答案为：BC
淇淇的方法：如图，折痕EF即为所求，连接AE
∵将矩形ABCD纸片的顶点A与C通过折叠重合，设折痕与矩形的边分别交于E，F两点
∴AE=CE
∴AE+BE=CE+BE，即AE+BE=BC
在△ABE中，AB+BE>AE
∴BC>AB
∴BC为较长边
设AC与EF相交于点O
同理由折叠的性质可得AF=CF，且AO=CO
∵AD∥BC
∴∠AFO=∠CEO，∠OAF=∠PCE
在△OAF和△OCE中
∴△OAF和△OCE(AAS)
∴AF=CE
∴AF=AE=CE=CF
∴四边形AECF为菱形
故答案为：BC；BC；菱形
【分析】（1）嘉嘉的方法：根据折叠性质可得AB=A'B，再根据边之间的关系即可求出答案；
淇淇的方法：连接AE，根据折叠性质可得AE=CE，根据边之间的关系可得BC为较长边，设AC与EF相交于点O，同理由折叠的性质可得AF=CF，且AO=CO，根据直线平行性质可得∠AFO=∠CEO，∠OAF=∠PCE，根据全等三角形判定定理可得△OAF和△OCE(AAS)，则AF=CE，再根据菱形判定定理即可求出答案.
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