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黑龙江省龙东地区2026年中考数学真题
1．剪纸艺术是中国古老的民间艺术之一，下面剪纸图案中，是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：把一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形能与原图形完全重合，则该图形为中心对称图形。
∵选项A、B、C中的图案绕任意一点旋转180°后，均无法与原图案重合，
∴A、B、C均不是中心对称图形；
∵选项D中的图案绕其中心旋转180°后，与原图案完全重合，
∴D是中心对称图形。
故答案为：D
【分析】本题考查中心对称图形的概念识别。以中心对称图形的判定定义为依据，对四个选项的图案分别执行绕定点旋转180°的验证操作，通过对比旋转前后图形的重合状态筛选正确选项，其中D选项符合中心对称图形的判定要求，其余选项不满足旋转180°后与自身重合的条件。
2．下列运算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：对于选项A，由同底数幂乘法规则：底数不变，指数相加，
∵，
∴A运算错误；
对于选项B，由合并同类项规则：系数相加，字母与指数保持不变，
∵，
∴B运算错误；
对于选项C，由完全平方公式展开得两数平方和加两数乘积的2倍，
∵，
∴C运算错误；
对于选项D，由积的乘方规则：各因式分别乘方后再相乘，
∵，
∴D运算正确。
故答案为：D
【分析】本题考查整式的混合运算规则，涵盖同底数幂乘法、合并同类项、完全平方公式与积的乘方四个核心考点。逐项对应运算法则展开计算，将计算结果与选项表达式比对验证：通过同底数幂指数相加规则判断A项指数计算错误，通过同类项合并时指数不变的规则判断B项指数篡改错误，通过完全平方公式的展开结构判断C项遗漏交叉项，通过积的乘方分别运算的规则验证D项计算正确。
3．如图，一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左侧观察该组合体，竖直方向共两层，水平方向共两列，左侧列有两层小正方形，右侧列有一层小正方形，与选项A的图形一致。
故答案为：A
【分析】本题考查简单组合体的三视图识别，核心是左视图的绘制规则。明确左视图的观察视角为几何体的左侧，依据小正方体的堆叠结构确定视图的列数与每列的层数，进而得到该组合体，竖直方向共两层，水平方向共两列，左侧列有两层小正方形，右侧列有一层小正方形，从而对选项逐一判断即可求解。
4．在“体重管理年”的活动中，某校对学生的体重进行监测，下面是其中的一组数据 (单位： kg)：47， 49， 56， 52， 56. 这组数据的众数和平均数分别是(　　)
A．52， 52 B．56， 52 C．56， 50 D．52， 56
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵在47，49，56，52，56这组数据中，56出现2次，其余数值各出现1次，
∴这组数据的众数为56；
∵数据总和为，共5个数据，
∴平均数为
故答案为：B
【分析】本题考查统计量中众数与算术平均数的计算。先依据众数的定义统计每个数值的出现频次，找到出现次数最多的数值即为众数；再通过算术平均数公式，用所有数据的总和除以数据总个数求得平均数，最终对应选项筛选正确结果。
5．深耕黑土地，守护大粮仓.某水稻生产基地2023年平均每公顷产7000 kg水稻，到2025年平均每公顷产8470 kg水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，可列方程为(　　)
A．7000(1+2x)=8470
B．
C．7000+7000(1+x)+7000(1+x)2=8470
D．7000×2(1+x)=8470
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵2023年为初始年份，每公顷产量7000kg，年平均增长率为，
∴2024年每公顷产量为；
2025年在2024年的基础上继续增长，
∴2025年每公顷产量为；
又∵2025年实际每公顷产量为8470kg，
∴可列方程
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程在平均增长率问题中的应用。依据增长率的递推逻辑，先推导2024年的产量表达式，再以此为基础推导2025年的产量表达式，结合2025年的实际产量建立等量关系，得到对应的一元二次方程，其中两年增长对应指数为2，是列方程的核心依据。
6．已知关于x的分式方程 的解为正数，则k 的取值范围为(　　)
A．k>-6 B．k<-6
C．k>-6且k≠-4 D．k<-6且k≠-4
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：原方程可整理为，
方程两边同乘去分母得：，
整理得。
∵方程的解为正数，
∴，即，解得；
∵分式分母不能为0，
∴，即，解得。
综上，的取值范围是且
故答案为：C
【分析】本题考查含参数分式方程的解的取值范围求解，涉及分式方程解法与不等式计算。先通过统一分母、去分母将分式方程化为整式方程，解出用参数表示的；再根据“解为正数”建立第一个不等式，根据分式有意义的前提（分母不为零）建立第二个不等式，联立两个不等式的解集得到参数的最终取值范围，易错点是遗漏分母不为零的限制条件。
7．在第25 届米兰冬奥会上，我国冰雪健儿取得了骄人的成绩.为了弘扬中华体育精神，某中学开展“冰雪运动进校园”活动.学校计划用300元购买笔记本和钢笔两种奖品，笔记本20元/个，钢笔15元/个.所有资金恰好用完，则购买方案有(　　)
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：设购买笔记本个，钢笔支，、均为正整数。
根据总金额列方程：，
两边同除以5化简得：，
变形得。
∵为正整数，4与3互质，
∴必须是3的正整数倍；
又∵，
∴，解得。
结合，的可取正整数值为3、6、9、12，共4个，对应4种购买方案。
故答案为：B
【分析】本题考查二元一次方程的正整数解应用，结合不定方程与不等式筛选方案数。设购买笔记本个，钢笔支，、均为正整数，根据总资金建立二元一次方程，进而变形将其中一个未知数用另一个表示；再根据正整数的限制条件结合题意（y＞0、x＞0），进而即可得到x的取值。
8．如图，在平面直角坐标系中，双曲线 上有A， B两点， AC⊥x轴于点C， BD⊥x轴于点D，H为OB的中点， 则k的值为(　　)
A．8 B．-8 C．16 D．-16
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：设点坐标为，其中，，则。
∵为中点，
∴。
∵轴，轴，
∴，
∴，相似比为。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴。
由反比例函数的几何意义，，
∴。
同理，点在双曲线上，。
由图可知，
代入得，
即，解得
∵双曲线位于第二象限，
∴，即
故答案为：D
【分析】本题考查反比例函数的几何意义与相似三角形的综合应用。先根据中点条件得到线段比例，由垂直于同一直线的两直线平行判定三角形相似，结合相似三角形的面积比等于相似比的平方，推导出小三角形与的面积关系；再利用反比例函数中过双曲线上一点作坐标轴垂线形成的直角三角形面积为的结论，结合面积差建立关于的方程，最后根据双曲线所在象限确定的符号，得到最终结果。
9． 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠BAC =90°， ∠B =30°，D为BC上一点， 且AC = AD ， E， F分别是CD， AB的中点， 连接EF， 若AC = 2， 则EF的长为(　　)
A． B． C．1 D．0.5
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，
∵在中，，，，
∴，，
由勾股定理得：。
∵，，
∴为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
∵是的中点，
∴（等边三角形三线合一），即。
在中，是斜边的中点，
∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
代入得
故答案为：B
【分析】本题考查直角三角形性质、等边三角形判定与性质、直角三角形斜边中线定理的综合应用。先利用含30°角的直角三角形的边角关系求出长度，再由勾股定理计算的长；结合与的条件，依据等边三角形的判定定理证明为等边三角形，再通过等边三角形三线合一的性质得到垂直于；最后在直角三角形中，应用直角三角形斜边中线等于斜边一半的定理，由的长度求出的长度。
10． 如图， 在菱形ABCD中， DE垂直平分BC， DF，DE分别交对角线AC于G， H两点，下列结论：①连接EF，则△DEF 为等边三角形；②过点G 作GN ⊥AD于点N，则 ④M为边AB 上任意一点，连接MD 和ME ，若 则有⑤逆时针旋转∠FDE，使射线DF与边AB 交于点P射线DE与边BC交于点Q，若 则 其中正确的是(　　)
A．①③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；菱形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形为菱形，
∴，，。
∵垂直平分，
∴，，，
∴，即为等边三角形，
∴，，，
同理也为等边三角形，。
①∵，
∴。
∵，为等边三角形，
∴平分，即，
∴，
∴。
∵，，，
∴（ASA），
∴。
又∵，
∴为等边三角形，故①正确。
②过点作于，
∵，，
∴，即。
∵平分，，，
∴（角平分线上的点到角两边距离相等），故②正确。
③∵为等边三角形，，
∴为中点，即。
∵，
∴，相似比为，
∴，即。
同理，，相似比为，
∴，即。
∴，即。
∵、分别为、中点，
∴为的中位线，
∴，即，
代入得，故③正确。
④设菱形边长为，过作交延长线于，
∵为等边三角形，为高，
∴，
∴，
。
∵，
∴。
由，
代入解得。
∵，∴，
在中，，
∴。
∴，
∴，故④正确。
⑤由旋转性质得，
∵，
∴。
∵，，
∴（ASA），
∴。
∵，
∴，即，
∴。
过作交延长线于，
∵，∴，
∴，，
∴。
在中，由勾股定理：
，故⑤错误。
综上，正确的结论为①②③④。
故答案为：C
【分析】本题考查菱形性质与等边三角形、全等三角形、相似三角形、面积计算、旋转性质的综合应用，属于四边形综合题。先由垂直平分线的性质得到，结合菱形四边相等判定与均为等边三角形，推导各角度数作为基础条件；结论①通过ASA证明与全等得到，结合60°夹角判定等边三角形；结论②利用角平分线的性质，结合角平分线上点到两边距离相等验证与相等；结论③通过相似三角形的线段比例推导、、与的关系，再结合三角形中位线定理建立与的等量关系完成验证；结论④通过设边长为参数，分别表示出对应三角形与菱形的面积，结合面积比例求出线段长度，最终验证面积比结论；结论⑤通过旋转性质证明三角形全等，结合勾股定理计算长度，验证结论不成立。
11．2026年5月19 日，哈尔滨市举行万人徒步活动，约有12000人参加.将数据12000用科学记数法表示为　 　.
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：科学记数法的表示形式为，其中，为整数。
将12000转变为1.2，小数点向左移动了4位，
∵原数绝对值大于10，
∴为正整数，即，
∴12000用科学记数法表示为。
故答案为：
【分析】本题考查科学记数法的表示方法。将原数改写为1到10之间的数乘以10的幂的形式，通过数小数点移动的位数确定指数的大小，结合原数的大小确定的符号，最终得到规范的科学记数法表达式。
12．在函数 中，自变量 的取值范围是　 　
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】二次根式的被开方数为非负数，则x－2≥0，解得：x≥2.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，进行求解.
13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC ，BD相交于点O，且OA=OC ，请添加一个条件　 　，使四边形ABCD是平行四边形.
【答案】OB=OD(答案不唯一， 合理即可)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：平行四边形的判定定理之一：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
已知，即对角线被点平分，
若添加条件，则对角线也被点平分，
此时四边形的两条对角线互相平分，
∴四边形为平行四边形。
故答案为：（答案不唯一）
【分析】本题考查平行四边形的判定定理应用。结合已知条件中一条对角线被平分的前提，依据对角线互相平分的四边形为平行四边形的判定定理，补充另一条对角线也被平分的条件，即可使四边形满足平行四边形的判定要求，也可补充如等其他符合判定定理的条件。
14． “七八个星天外，两三点雨山前”，数词在这句诗词中出现的概率为　 　.(标点不计)
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：去掉标点后，诗句共有12个汉字，即总情况数为12；
其中数词为“七、八、两、三”，共4个，即符合条件的情况数为4。
∴数词出现的概率
故答案为：
【分析】本题考查古典概型的概率计算。先统计去掉标点后的汉字总数作为总样本数，再统计其中数词的个数作为符合条件的样本数，代入概率公式计算即可得到结果，计算时注意标点不计入总字数。
15．关于x的不等式组 只有3个整数解，则a的取值范围是　 　.
【答案】-2≤a<-1
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：分别解两个不等式：
解不等式，得；
解不等式，得。
∴不等式组的解集为。
∵不等式组只有3个整数解，
∴整数解为0、1、2，
∴，
解得。
故答案为：
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题。先分别求解两个不等式，得到不等式组的解集；再根据整数解的个数确定所有整数解，通过整数解的范围建立关于参数的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围，解题关键是准确确定边界值的取舍。
16． 如图， PA， PB分别与⊙O相切于A， B两点， ∠P =80°， 则∠C =　 　.
【答案】50°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接、，
∵、是的切线，、为切点，
∴，（切线的性质：切线垂直于过切点的半径），
即。
在四边形中，内角和为，
∵，
∴。
∵与分别是弧所对的圆周角与圆心角，
∴（圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半），
代入得。
故答案为：
【分析】本题考查切线的性质与圆周角定理的综合应用。先连接两条过切点的半径，依据切线垂直于过切点半径的性质得到两个直角；再利用四边形内角和为360°计算出圆心角的度数；最后根据同弧所对圆周角等于圆心角一半的圆周角定理，求出的度数。
17．王芳用一个圆心角为120°，半径为4 的扇形卡纸，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为　 　.
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形弧长公式为，其中为圆心角度数，为扇形半径。
代入，得：
。
设圆锥底面圆半径为，则底面周长为，
由弧长等于底面周长得：，
解得。
故答案为：
【分析】本题考查圆锥侧面展开图的相关计算，核心是扇形弧长与底面周长的等量关系。先利用扇形弧长公式计算出展开图的弧长，再根据圆锥侧面展开图的弧长与底面圆周长相等的对应关系，建立关于底面半径的方程，解方程即可得到结果。
18． 如图， 菱形ABCD的边长为10， 对角线BD =16， P， Q为BD上两个动点， 且PQ=2，则AP +AQ 的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接交于点，
∵四边形为菱形，
∴，，（菱形对角线互相垂直平分）。
在中，，，
由勾股定理得：，
∴。
∵点关于的对称点为点，
∴，
∴。
将点沿方向平移2个单位得到点，连接、，
∵且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴。
当、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度。
∵，，
∴，即。
在中，，，
由勾股定理得：
故答案为：
【分析】本题考查菱形性质与轴对称最短路径问题的综合应用。先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线的长度；再利用菱形的轴对称性，将转化为，通过平移构造平行四边形，将进一步转化为，把两条线段和的最小值转化为两点之间线段最短的问题；最后在直角三角形中用勾股定理计算出最短路径的长度。
19．在综合与实践课上，老师带领同学们以“直角三角形的折叠”为主题开展探究活动，同学们用一张直角三角形纸片进行折叠.已知 ，在AC边上找一点D，将纸片沿BD 折叠，使点A 落在A'处，当 的某一边与AC边垂直时，A'D=　 　.
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；分类讨论
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，。
由折叠的性质得：，，。
过作于，
在中，，。
分三种情况讨论：
1 当时：
此时，由折叠性质得。
在中，，，
∴，
∴，
即。
2 当时：
此时与共线，。
在中，，
∴。
3 当时：
此时与重合，
∴，即。
综上，的值为或或。
故答案为：或或
【分析】本题考查翻折变换与含30°角的直角三角形的综合应用，属于分类讨论题型。先根据直角三角形的边角关系求出原三角形的各边长与角度，由折叠性质得到对应边、对应角相等的等量关系；再分、、三种情况，分别利用直角三角形的边角关系计算对应线段长度，最终得到所有符合条件的结果。
20． 如图， B1是直线l： 与y轴的交点，过点B1作 交x轴于点 以 为边，向右作正方形A1B1B2C1， 延长B2C1交x轴于点A2，以 为边，向右作正方形 延长 交x轴于点 以A3B3为边，向右作正方形 延长B4C3交x轴于点A4；…，按照这个规律进行下去，则点的纵坐标为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；探索规律-点的坐标规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：对于直线，
令，得，∴；
令，得，设直线与x轴交点为。
∴，，
在中，，
，。
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
在中，。
过作轴于，
易证，
∴，
即点的纵坐标为1。
同理，，
，
点的纵坐标为。
点的纵坐标为，以此类推，
可得点的纵坐标构成首项为1，公比为的等比数列，
∴点的纵坐标为。
故答案为：
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征与规律探究，结合正方形性质与三角函数推导递推规律。先求出直线与坐标轴的交点坐标，利用勾股定理与三角函数计算出第一个正方形的边长及对应点的纵坐标；再按照相同的方法计算后续几个点的纵坐标，观察数值变化规律，总结出等比数列的通项公式，最终得到第个点的纵坐标表达式。
21．先化简，再求值： 其中
【答案】解：原式
当x=4cos60°+1=2+1=3时
原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值与特殊角的三角函数值计算。先对括号内的分式进行通分运算，再将除法转化为乘法，同时对分子分母分别因式分解，通过约分化简得到最简分式；代入特殊角60°的余弦值计算出的具体数值，再将代入化简后的分式计算最终结果，化简过程中需注意因式分解的准确性与约分的规范性。
22．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1， 的三个顶点坐标分别为A(1，-2)，B(3，-2)， C(2，-3).
（1） 画出△ABC 关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2） 画出 绕点 A1逆时针旋转90°得到的 并写出C2的坐标；
（3）求出 (2)中线段A1C1所扫过的图形面积.(结果保留π)
【答案】（1）解：△A1B1C1即为所求，A1(1，2)
（2）解：△A1B2C2即为所求，C2(0，3)
（3）解：由题意得.
线段 A1C1扫过的图形面积为
【知识点】扇形面积的计算；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）本题考查轴对称作图、旋转作图与扇形面积计算的综合应用。根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，分别求出三个顶点的对称点坐标，顺次连接得到对称三角形，同时读出的坐标；
（2）根据旋转的性质，将点、绕点逆时针旋转90°得到对应点、，顺次连接得到旋转后的三角形，再读取的坐标；
（3）线段扫过的图形为圆心角90°的扇形，先利用网格结合勾股定理求出半径的长度，再代入扇形面积公式计算即可得到扫过的面积。
23．如图，抛物线 经过A(-1，0)， B(3，0)两点， 交y轴于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2） 作射线BD交y轴于点D， 使∠CBD =15°， 则CD的长为　 　.
【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（2）由条件可得B（3，0），
∴OB＝3，
∴OB＝OC＝3，
∴∠ABC＝45°，
∴当点D在点C上方时，
如图所示：
∵∠CBD＝15°，
∴∠ABD＝15°+45°＝60°，
∴，
∴；
当点D在点C下方时，
如图所示：
∵∠CBD＝15°，
∴∠ABD＝45°﹣15°＝30°，
∴，
∴；
综上可得：CD的长为或．
故答案为：或．
【分析】（1）本题考查二次函数解析式求解与解直角三角形的综合应用。将、两点坐标代入抛物线的一般式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出参数值，即可确定抛物线的解析式，也可利用交点式直接求解；
（2）先由抛物线解析式求出点坐标，得到与的长度，判定为等腰直角三角形，得到；再分点在点上方、点在点下方两种情况，分别计算出的度数，利用正切三角函数求出的长度，进而通过线段和差得到的长度。
24．为了传承东北抗联精神，某中学举行“红色经典”主题阅读活动.该校采用简单随机抽样的方法，对本校学生一周的阅读时间 (单位： min)进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图.
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）m= ▲ ，C组对应的频数 ▲ ，并补全直方图；
（2）调查所得数据的中位数落在　 　组(填组别)；
（3）该校共有1500名学生，根据抽样调查结果，估计该校学生一周阅读时间不少于60 min的学生人数.
【答案】（1）解：45；25；补全直方图如图所示
（2）B
（3）解：(名)
答：估计该校学生一周阅读时间不少于 60min的学生人数为675名；
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）抽取的总人数为10÷10%＝100（人），
∴m%＝45÷100×100%＝45%，则m＝45，
∴C组对应的频数为：100﹣10﹣45﹣20＝25，
故答案为：45，25；
（2）∵共100个数据，
∴中位数是第50、51个数据的平均数，
由频数分布直方图可得A组10个数据，B组45个数据，那么第50、51个数据在B组，
∴中位数落在B组；
故答案为：B；
【分析】（1）本题考查频数分布直方图与扇形统计图的综合分析，涉及统计量计算与样本估计总体。先由A组的频数与对应百分比求出抽取的总人数，再用B组的频数除以总人数得到的值，用总人数减去其余三组的频数得到C组的频数，最后补全直方图；（2）根据中位数的定义，确定总数据中第50、51个数据所在的组别，即为中位数所在组；（3）先计算样本中阅读时间不少于60min的学生所占比例，再用全校总人数乘以该比例，估计出对应学生的人数。
25．一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发去C地，途经B地，到达C地后，立即按原路原速返回A地；乙车在甲车出发0.1小时后从A地去B地，到达B地停留2小时，立即按原路原速返回，结果比甲车提前0.3小时到达A地，两车均按各自速度匀速行驶.如图是甲车行驶过程中距离B 地的路程y(km)与甲车行驶时间x(h)的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1） A， C两地之间的距离为　 　km， 乙车的速度为　 　km/h；
（2）求线段EF 的函数解析式；
（3）请直接写出乙车返回A地前，甲车行驶多少小时，甲乙两车相距10 km.
【答案】（1）270；100
（2）解：甲车的速度为(180+90) ÷3=90(km/h)
∵ 90÷90=1(h) ， 180÷90=2(h)
∴E(4，0)， F(6，180)
设线段 EF 的解析式为y= kx+b(k≠0)
把E(4，0)和 F(6，180)代入得
解得
∴y=90x-360(4≤x≤6)
（3）解：当甲车行驶 或 或4h时，两车相距10km
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）根据图象得A，C两地之间的距离为：180+90＝270km；
根据图象得：当甲到达C地时，用时3小时，
∴返回A地时总的时间为6小时，
∵乙车在甲车出发0.1小时后从A地去B地，到达B地停留2小时，立即按原路原速返回，结果比甲车提前0.3小时到达A地，
∴乙车在路上行驶的总时间为：6﹣0.1﹣2﹣0.3＝3.6小时，
∵乙车从A地去B地，然后返回A地，
∴总路程为：180×2＝360千米，
∴乙车的速度为；
故答案为：270；100；
【分析】（1）本题考查一次函数的实际应用，结合行程问题分析函数图象与分段计算。从函数图象中读取到、到的距离，求和得到、两地的距离；先根据甲车往返的总时间确定全程时长，再结合乙车的出发延迟、停留时间与到达提前量，计算出乙车行驶的总时间，由往返总路程除以行驶时间得到乙车的速度；
（2）先计算甲车的行驶速度，确定、两点的坐标，再利用待定系数法，将两点坐标代入一次函数一般式，解方程组求出斜率与截距，得到线段的函数解析式与自变量取值范围；
（3）分乙车停留时甲车行驶、甲车到达地前、乙车返回过程中三种情况，分别根据两车的路程关系建立方程，求解得到对应甲车的行驶时间。
26．在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为直线AC上一点，连接BE，过E点作 交AD边所在的直线于点F.
（1） 如图①，当点E在OC上时， 求证：
（2）如图②，当点E在OA上时；如图③，当点E在CA的延长线上时，请分别写出线段AB，AF，AE之间的数量关系，不需要证明.
【答案】（1）证明：过点E作EM⊥AE交AB 的延长线于点M，则∠AEM=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴∠1=∠2=45°
∴∠M=45°
∴∠1=∠2=∠M
∴AE=ME
∴△AEM 是等腰直角三角形
∵BE⊥EF
∴∠BEF=90°
∴∠4+∠3=90°
∵∠AEM=90°
∴∠4+∠5=90°
∴∠3=∠5
∴△AEF≌△MEB(ASA)
∴AF=BM
（2）解：图②结论：
图③结论：
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（2）图②：；图③：．理由如下：
如图②，过点E作EH⊥AC交AB于点H，
∴∠AEH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，AC，BD是对角线，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∴∠AHE＝90°﹣45°＝45°，
∴△AHE是等腰直角三角形，
∴AE＝EH，
∴，
∵EF⊥BE，
∴∠FEA+∠FEH＝∠AEH＝90°，
∵∠FEH+∠HEB＝90°，
∴∠FEA＝∠HEB，
又∵∠DAC＝∠AHE＝45°，
∴∠FAE＝∠BHE＝180°﹣45°＝135°，
∵∠FAE＝∠BHE，AE＝EH，∠FEA＝∠HEB，
∴△AEF≌△HEB（ASA），
∴AF＝BH，
∵AB＝AH+BH，
∴；
如图③，过点E作EK⊥AE交AF于点K，
∵四边形ABCD是正方形，AC，BD是对角线，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠EAK＝45°，
∴∠AKE＝90°﹣45°＝45°，
∴△AKE是等腰直角三角形，
∴AE＝EK，
∴，
∵EF⊥BE，
∴∠FEK+∠KEB＝∠FEB＝90°，
∵∠KEB+∠BEA＝90°，
∴∠FEK＝∠BEA，
又∵∠AKE＝∠BAC＝45°，
∴∠FKE＝∠BAE＝135°，
∵∠FEK＝∠BEA，EK＝AE，∠FKE＝∠BAE，
∴△KEF≌△AEB（ASA），
∴FK＝AB，
∵AF＝AK+FK，
∴．
【分析】（1）本题考查正方形性质与全等三角形、等腰直角三角形的综合证明，属于几何探究题型。过点作垂直于，交的延长线于点，根据正方形对角线平分内角的性质，得到，由此判定为等腰直角三角形，依据等腰直角三角形的性质得到且；再由垂直推出角的等量关系，结合的条件，根据ASA判定定理证明与全等，由全等三角形对应边相等得到；最后通过线段和差代换，推导出待证等式；
（2）图②中过点作垂直交于，同理构造等腰直角三角形与全等三角形，通过线段和差推导、、的数量关系；图③中过点作垂直交于，沿用相同的构造思路，通过线段和差推导对应数量关系。
27．“节能减排，倡导绿色出行”.某新能源汽车生产厂家推出特惠A，B两种型号的新能源汽车，已知销售2 台A型汽车和1 台B 型汽车总售价为21 万元，销售3 台A 型汽车和2 台B 型汽车总售价为34 万元.已知A型汽车的成本为每台7万元，B型汽车的成本为每台4.5万元.
（1）求A 型汽车和B 型汽车每台售价分别为多少万元
（2）若汽车厂家售出A，B两种型号的汽车共50 台，售出A 型汽车的数量不超过30 台，并且投入的总成本不低于295 万元，求有哪几种销售方案
（3）在(2)的条件下，全部售出，哪种销售方案获得的利润最大 最大利润为多少万元
【答案】（1）解：设A型汽车每台售价为x万元，B型汽车每台售价为y万元.
根据题意，得
解得
答：A型汽车和B 型汽车每台售价分别为8万元和5万元．
（2）解：设售出A 型汽车a台，则售出B型汽车为(50-a)台.根据题意，
得7a+4.5(50-a)≥295
解得a≥28
∵a≤30
∴28≤a≤30
∵a和50-a都是正整数
∴a=28，29，30
50-a=22， 21， 20
共有3种销售方案：
方案一：售出A 型汽车28台，B 型汽车22台；
方案二：售出A 型汽车29 台，B 型汽车21台；
方案三：售出A型汽车30台，B型汽车20台.
（3）解：设售出这50 台汽车的利润为W万元.
根据题意，
得 W=(8-7) a+(5-4.5)(50-a)
=0.5a+25
∵k=0.5>0
∴ W随a的增大而增大
∴当 a=30时， W值最大，
答：汽车生产厂家销售A 型汽车30台，B型汽车20台，获得利润最大，最大利润是40万元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组与一次函数的综合实际应用。设、型汽车的售价分别为、万元，根据两组销售总价的条件列出二元一次方程组，解方程组即可得到两种车型的售价；
（2）设售出型汽车台，根据总数量、数量上限、总成本下限三个条件列出一元一次不等式组，解不等式组得到的取值范围，结合为正整数的条件筛选出所有整数解，对应得到所有销售方案；
（3）根据单台利润与销售数量建立总利润关于的一次函数表达式，依据一次函数的增减性，结合的取值范围确定利润最大时的值，进而求出最大利润与对应方案。
28．如图，在平面直角坐标系中， AOBC的AO边与x轴重合，点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，OA，OC的长是一元二次方程的两个根(OA（1）求点A和点C坐标；
（2）在OB边上有一动点P从点O出发，以每秒 个单位长度的速度沿OB方向匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒1.6个单位长度的速度沿折线A-C-B匀速运动.已知P，Q两点同时出发，当点Q运动到点B时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为秒，求 的面积S关于运动时间的函数解析式；
（3）在x轴上有一点R(1，0)，在y轴上有一动点M，在第一象限内是否存在一点N，使得以M，N，R，B四点为顶点的四边形是矩形 若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：
解得
∵OA，OC的长是一元二次方程 的两个根，且OA∴OA=3， OC=4
∴A (-3，0)， C (0，4)
（2）解：∵在Rt△AOC中， OA=3，OC=4
当 时，
过点O作OE⊥AC于点 E
过点 P作 PD⊥AC于点 D
∵四边形AOBC是平行四边形
∴AC∥OB
当 时，
过点P作PG⊥x轴于点 G，延长GP 交BC于点H，则 GH⊥BC
综上，
（3）解：存在
【知识点】一元二次方程的根；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】（3）在第一象限内存在一点N，使得以M，N，R，B四点为顶点的四边形是矩形，N点坐标为（4，3）或（4，1）或．理由如下：
由（2）知BC＝AO＝3，OC＝4，BC∥AO，
∴B（3，4），
设M（0，m），N（x，y），而R（1，0），
①当MN，RB是矩形对角线时，
依题意得：，
∴x＝4，m+y＝4，
∴N（4，y），
而MN＝RB，则（4﹣0）2+（y﹣m）2＝（3﹣1）2+（4﹣0）2，
∴y﹣m＝±2，
∴或
解得：y＝3或y＝1，
∴N（4，3）或N（4，1）；
②当MR，NB是矩形对角线时，
依题意得：，
∴x＝﹣2，此时点N不在第一象限，舍去；
当MB，NR是矩形对角线时，
依题意得：，
∴x＝2，m＝y﹣4，
∴N（2，y），M（0，y﹣4），
而MB＝NR，则（3﹣0）2+（y﹣4﹣4）2＝（2﹣1）2+（y﹣0）2，
解得：，
∴，
综上所述，在第一象限内存在一点N，使得以M，N，R，B四点为顶点的四边形是矩形，N点坐标为（4，3）或（4，1）或．
【分析】（1）本题考查平行四边形性质、动点面积函数与矩形存在性的综合探究。先用因式分解法解一元二次方程得到两个根，结合的条件确定与的长度，再根据点、的坐标轴位置写出对应坐标；
（2）先由勾股定理求出的长度，结合平行四边形对边相等的性质得到、的长度，计算出点在段与段的运动时间；分在上、在上两种情况，第一种情况利用平行线间距离相等得到三角形的高，结合底边长计算面积函数；第二种情况用平行四边形总面积减去周围三个三角形的面积，间接求出的面积，最终写成分段函数形式；
（3）先求出点的坐标，设出、的坐标，分与为对角线、与为对角线、与为对角线三种情况，根据矩形对角线互相平分且相等的性质建立方程组，求解后筛选第一象限内的点坐标。
1 / 1黑龙江省龙东地区2026年中考数学真题
1．剪纸艺术是中国古老的民间艺术之一，下面剪纸图案中，是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
2．下列运算正确的是(　　)
A． B． C． D．
3．如图，一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是(　　)
A． B．
C． D．
4．在“体重管理年”的活动中，某校对学生的体重进行监测，下面是其中的一组数据 (单位： kg)：47， 49， 56， 52， 56. 这组数据的众数和平均数分别是(　　)
A．52， 52 B．56， 52 C．56， 50 D．52， 56
5．深耕黑土地，守护大粮仓.某水稻生产基地2023年平均每公顷产7000 kg水稻，到2025年平均每公顷产8470 kg水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，可列方程为(　　)
A．7000(1+2x)=8470
B．
C．7000+7000(1+x)+7000(1+x)2=8470
D．7000×2(1+x)=8470
6．已知关于x的分式方程 的解为正数，则k 的取值范围为(　　)
A．k>-6 B．k<-6
C．k>-6且k≠-4 D．k<-6且k≠-4
7．在第25 届米兰冬奥会上，我国冰雪健儿取得了骄人的成绩.为了弘扬中华体育精神，某中学开展“冰雪运动进校园”活动.学校计划用300元购买笔记本和钢笔两种奖品，笔记本20元/个，钢笔15元/个.所有资金恰好用完，则购买方案有(　　)
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
8．如图，在平面直角坐标系中，双曲线 上有A， B两点， AC⊥x轴于点C， BD⊥x轴于点D，H为OB的中点， 则k的值为(　　)
A．8 B．-8 C．16 D．-16
9． 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠BAC =90°， ∠B =30°，D为BC上一点， 且AC = AD ， E， F分别是CD， AB的中点， 连接EF， 若AC = 2， 则EF的长为(　　)
A． B． C．1 D．0.5
10． 如图， 在菱形ABCD中， DE垂直平分BC， DF，DE分别交对角线AC于G， H两点，下列结论：①连接EF，则△DEF 为等边三角形；②过点G 作GN ⊥AD于点N，则 ④M为边AB 上任意一点，连接MD 和ME ，若 则有⑤逆时针旋转∠FDE，使射线DF与边AB 交于点P射线DE与边BC交于点Q，若 则 其中正确的是(　　)
A．①③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤
11．2026年5月19 日，哈尔滨市举行万人徒步活动，约有12000人参加.将数据12000用科学记数法表示为　 　.
12．在函数 中，自变量 的取值范围是　 　
13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC ，BD相交于点O，且OA=OC ，请添加一个条件　 　，使四边形ABCD是平行四边形.
14． “七八个星天外，两三点雨山前”，数词在这句诗词中出现的概率为　 　.(标点不计)
15．关于x的不等式组 只有3个整数解，则a的取值范围是　 　.
16． 如图， PA， PB分别与⊙O相切于A， B两点， ∠P =80°， 则∠C =　 　.
17．王芳用一个圆心角为120°，半径为4 的扇形卡纸，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为　 　.
18． 如图， 菱形ABCD的边长为10， 对角线BD =16， P， Q为BD上两个动点， 且PQ=2，则AP +AQ 的最小值为　 　.
19．在综合与实践课上，老师带领同学们以“直角三角形的折叠”为主题开展探究活动，同学们用一张直角三角形纸片进行折叠.已知 ，在AC边上找一点D，将纸片沿BD 折叠，使点A 落在A'处，当 的某一边与AC边垂直时，A'D=　 　.
20． 如图， B1是直线l： 与y轴的交点，过点B1作 交x轴于点 以 为边，向右作正方形A1B1B2C1， 延长B2C1交x轴于点A2，以 为边，向右作正方形 延长 交x轴于点 以A3B3为边，向右作正方形 延长B4C3交x轴于点A4；…，按照这个规律进行下去，则点的纵坐标为　 　.
21．先化简，再求值： 其中
22．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1， 的三个顶点坐标分别为A(1，-2)，B(3，-2)， C(2，-3).
（1） 画出△ABC 关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2） 画出 绕点 A1逆时针旋转90°得到的 并写出C2的坐标；
（3）求出 (2)中线段A1C1所扫过的图形面积.(结果保留π)
23．如图，抛物线 经过A(-1，0)， B(3，0)两点， 交y轴于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2） 作射线BD交y轴于点D， 使∠CBD =15°， 则CD的长为　 　.
24．为了传承东北抗联精神，某中学举行“红色经典”主题阅读活动.该校采用简单随机抽样的方法，对本校学生一周的阅读时间 (单位： min)进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图.
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）m= ▲ ，C组对应的频数 ▲ ，并补全直方图；
（2）调查所得数据的中位数落在　 　组(填组别)；
（3）该校共有1500名学生，根据抽样调查结果，估计该校学生一周阅读时间不少于60 min的学生人数.
25．一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发去C地，途经B地，到达C地后，立即按原路原速返回A地；乙车在甲车出发0.1小时后从A地去B地，到达B地停留2小时，立即按原路原速返回，结果比甲车提前0.3小时到达A地，两车均按各自速度匀速行驶.如图是甲车行驶过程中距离B 地的路程y(km)与甲车行驶时间x(h)的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1） A， C两地之间的距离为　 　km， 乙车的速度为　 　km/h；
（2）求线段EF 的函数解析式；
（3）请直接写出乙车返回A地前，甲车行驶多少小时，甲乙两车相距10 km.
26．在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为直线AC上一点，连接BE，过E点作 交AD边所在的直线于点F.
（1） 如图①，当点E在OC上时， 求证：
（2）如图②，当点E在OA上时；如图③，当点E在CA的延长线上时，请分别写出线段AB，AF，AE之间的数量关系，不需要证明.
27．“节能减排，倡导绿色出行”.某新能源汽车生产厂家推出特惠A，B两种型号的新能源汽车，已知销售2 台A型汽车和1 台B 型汽车总售价为21 万元，销售3 台A 型汽车和2 台B 型汽车总售价为34 万元.已知A型汽车的成本为每台7万元，B型汽车的成本为每台4.5万元.
（1）求A 型汽车和B 型汽车每台售价分别为多少万元
（2）若汽车厂家售出A，B两种型号的汽车共50 台，售出A 型汽车的数量不超过30 台，并且投入的总成本不低于295 万元，求有哪几种销售方案
（3）在(2)的条件下，全部售出，哪种销售方案获得的利润最大 最大利润为多少万元
28．如图，在平面直角坐标系中， AOBC的AO边与x轴重合，点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，OA，OC的长是一元二次方程的两个根(OA（1）求点A和点C坐标；
（2）在OB边上有一动点P从点O出发，以每秒 个单位长度的速度沿OB方向匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒1.6个单位长度的速度沿折线A-C-B匀速运动.已知P，Q两点同时出发，当点Q运动到点B时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为秒，求 的面积S关于运动时间的函数解析式；
（3）在x轴上有一点R(1，0)，在y轴上有一动点M，在第一象限内是否存在一点N，使得以M，N，R，B四点为顶点的四边形是矩形 若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：把一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形能与原图形完全重合，则该图形为中心对称图形。
∵选项A、B、C中的图案绕任意一点旋转180°后，均无法与原图案重合，
∴A、B、C均不是中心对称图形；
∵选项D中的图案绕其中心旋转180°后，与原图案完全重合，
∴D是中心对称图形。
故答案为：D
【分析】本题考查中心对称图形的概念识别。以中心对称图形的判定定义为依据，对四个选项的图案分别执行绕定点旋转180°的验证操作，通过对比旋转前后图形的重合状态筛选正确选项，其中D选项符合中心对称图形的判定要求，其余选项不满足旋转180°后与自身重合的条件。
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：对于选项A，由同底数幂乘法规则：底数不变，指数相加，
∵，
∴A运算错误；
对于选项B，由合并同类项规则：系数相加，字母与指数保持不变，
∵，
∴B运算错误；
对于选项C，由完全平方公式展开得两数平方和加两数乘积的2倍，
∵，
∴C运算错误；
对于选项D，由积的乘方规则：各因式分别乘方后再相乘，
∵，
∴D运算正确。
故答案为：D
【分析】本题考查整式的混合运算规则，涵盖同底数幂乘法、合并同类项、完全平方公式与积的乘方四个核心考点。逐项对应运算法则展开计算，将计算结果与选项表达式比对验证：通过同底数幂指数相加规则判断A项指数计算错误，通过同类项合并时指数不变的规则判断B项指数篡改错误，通过完全平方公式的展开结构判断C项遗漏交叉项，通过积的乘方分别运算的规则验证D项计算正确。
3．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左侧观察该组合体，竖直方向共两层，水平方向共两列，左侧列有两层小正方形，右侧列有一层小正方形，与选项A的图形一致。
故答案为：A
【分析】本题考查简单组合体的三视图识别，核心是左视图的绘制规则。明确左视图的观察视角为几何体的左侧，依据小正方体的堆叠结构确定视图的列数与每列的层数，进而得到该组合体，竖直方向共两层，水平方向共两列，左侧列有两层小正方形，右侧列有一层小正方形，从而对选项逐一判断即可求解。
4．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵在47，49，56，52，56这组数据中，56出现2次，其余数值各出现1次，
∴这组数据的众数为56；
∵数据总和为，共5个数据，
∴平均数为
故答案为：B
【分析】本题考查统计量中众数与算术平均数的计算。先依据众数的定义统计每个数值的出现频次，找到出现次数最多的数值即为众数；再通过算术平均数公式，用所有数据的总和除以数据总个数求得平均数，最终对应选项筛选正确结果。
5．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵2023年为初始年份，每公顷产量7000kg，年平均增长率为，
∴2024年每公顷产量为；
2025年在2024年的基础上继续增长，
∴2025年每公顷产量为；
又∵2025年实际每公顷产量为8470kg，
∴可列方程
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程在平均增长率问题中的应用。依据增长率的递推逻辑，先推导2024年的产量表达式，再以此为基础推导2025年的产量表达式，结合2025年的实际产量建立等量关系，得到对应的一元二次方程，其中两年增长对应指数为2，是列方程的核心依据。
6．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：原方程可整理为，
方程两边同乘去分母得：，
整理得。
∵方程的解为正数，
∴，即，解得；
∵分式分母不能为0，
∴，即，解得。
综上，的取值范围是且
故答案为：C
【分析】本题考查含参数分式方程的解的取值范围求解，涉及分式方程解法与不等式计算。先通过统一分母、去分母将分式方程化为整式方程，解出用参数表示的；再根据“解为正数”建立第一个不等式，根据分式有意义的前提（分母不为零）建立第二个不等式，联立两个不等式的解集得到参数的最终取值范围，易错点是遗漏分母不为零的限制条件。
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：设购买笔记本个，钢笔支，、均为正整数。
根据总金额列方程：，
两边同除以5化简得：，
变形得。
∵为正整数，4与3互质，
∴必须是3的正整数倍；
又∵，
∴，解得。
结合，的可取正整数值为3、6、9、12，共4个，对应4种购买方案。
故答案为：B
【分析】本题考查二元一次方程的正整数解应用，结合不定方程与不等式筛选方案数。设购买笔记本个，钢笔支，、均为正整数，根据总资金建立二元一次方程，进而变形将其中一个未知数用另一个表示；再根据正整数的限制条件结合题意（y＞0、x＞0），进而即可得到x的取值。
8．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：设点坐标为，其中，，则。
∵为中点，
∴。
∵轴，轴，
∴，
∴，相似比为。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴。
由反比例函数的几何意义，，
∴。
同理，点在双曲线上，。
由图可知，
代入得，
即，解得
∵双曲线位于第二象限，
∴，即
故答案为：D
【分析】本题考查反比例函数的几何意义与相似三角形的综合应用。先根据中点条件得到线段比例，由垂直于同一直线的两直线平行判定三角形相似，结合相似三角形的面积比等于相似比的平方，推导出小三角形与的面积关系；再利用反比例函数中过双曲线上一点作坐标轴垂线形成的直角三角形面积为的结论，结合面积差建立关于的方程，最后根据双曲线所在象限确定的符号，得到最终结果。
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，
∵在中，，，，
∴，，
由勾股定理得：。
∵，，
∴为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
∵是的中点，
∴（等边三角形三线合一），即。
在中，是斜边的中点，
∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
代入得
故答案为：B
【分析】本题考查直角三角形性质、等边三角形判定与性质、直角三角形斜边中线定理的综合应用。先利用含30°角的直角三角形的边角关系求出长度，再由勾股定理计算的长；结合与的条件，依据等边三角形的判定定理证明为等边三角形，再通过等边三角形三线合一的性质得到垂直于；最后在直角三角形中，应用直角三角形斜边中线等于斜边一半的定理，由的长度求出的长度。
10．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；菱形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形为菱形，
∴，，。
∵垂直平分，
∴，，，
∴，即为等边三角形，
∴，，，
同理也为等边三角形，。
①∵，
∴。
∵，为等边三角形，
∴平分，即，
∴，
∴。
∵，，，
∴（ASA），
∴。
又∵，
∴为等边三角形，故①正确。
②过点作于，
∵，，
∴，即。
∵平分，，，
∴（角平分线上的点到角两边距离相等），故②正确。
③∵为等边三角形，，
∴为中点，即。
∵，
∴，相似比为，
∴，即。
同理，，相似比为，
∴，即。
∴，即。
∵、分别为、中点，
∴为的中位线，
∴，即，
代入得，故③正确。
④设菱形边长为，过作交延长线于，
∵为等边三角形，为高，
∴，
∴，
。
∵，
∴。
由，
代入解得。
∵，∴，
在中，，
∴。
∴，
∴，故④正确。
⑤由旋转性质得，
∵，
∴。
∵，，
∴（ASA），
∴。
∵，
∴，即，
∴。
过作交延长线于，
∵，∴，
∴，，
∴。
在中，由勾股定理：
，故⑤错误。
综上，正确的结论为①②③④。
故答案为：C
【分析】本题考查菱形性质与等边三角形、全等三角形、相似三角形、面积计算、旋转性质的综合应用，属于四边形综合题。先由垂直平分线的性质得到，结合菱形四边相等判定与均为等边三角形，推导各角度数作为基础条件；结论①通过ASA证明与全等得到，结合60°夹角判定等边三角形；结论②利用角平分线的性质，结合角平分线上点到两边距离相等验证与相等；结论③通过相似三角形的线段比例推导、、与的关系，再结合三角形中位线定理建立与的等量关系完成验证；结论④通过设边长为参数，分别表示出对应三角形与菱形的面积，结合面积比例求出线段长度，最终验证面积比结论；结论⑤通过旋转性质证明三角形全等，结合勾股定理计算长度，验证结论不成立。
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：科学记数法的表示形式为，其中，为整数。
将12000转变为1.2，小数点向左移动了4位，
∵原数绝对值大于10，
∴为正整数，即，
∴12000用科学记数法表示为。
故答案为：
【分析】本题考查科学记数法的表示方法。将原数改写为1到10之间的数乘以10的幂的形式，通过数小数点移动的位数确定指数的大小，结合原数的大小确定的符号，最终得到规范的科学记数法表达式。
12．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】二次根式的被开方数为非负数，则x－2≥0，解得：x≥2.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，进行求解.
13．【答案】OB=OD(答案不唯一， 合理即可)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：平行四边形的判定定理之一：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
已知，即对角线被点平分，
若添加条件，则对角线也被点平分，
此时四边形的两条对角线互相平分，
∴四边形为平行四边形。
故答案为：（答案不唯一）
【分析】本题考查平行四边形的判定定理应用。结合已知条件中一条对角线被平分的前提，依据对角线互相平分的四边形为平行四边形的判定定理，补充另一条对角线也被平分的条件，即可使四边形满足平行四边形的判定要求，也可补充如等其他符合判定定理的条件。
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：去掉标点后，诗句共有12个汉字，即总情况数为12；
其中数词为“七、八、两、三”，共4个，即符合条件的情况数为4。
∴数词出现的概率
故答案为：
【分析】本题考查古典概型的概率计算。先统计去掉标点后的汉字总数作为总样本数，再统计其中数词的个数作为符合条件的样本数，代入概率公式计算即可得到结果，计算时注意标点不计入总字数。
15．【答案】-2≤a<-1
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：分别解两个不等式：
解不等式，得；
解不等式，得。
∴不等式组的解集为。
∵不等式组只有3个整数解，
∴整数解为0、1、2，
∴，
解得。
故答案为：
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题。先分别求解两个不等式，得到不等式组的解集；再根据整数解的个数确定所有整数解，通过整数解的范围建立关于参数的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围，解题关键是准确确定边界值的取舍。
16．【答案】50°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接、，
∵、是的切线，、为切点，
∴，（切线的性质：切线垂直于过切点的半径），
即。
在四边形中，内角和为，
∵，
∴。
∵与分别是弧所对的圆周角与圆心角，
∴（圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半），
代入得。
故答案为：
【分析】本题考查切线的性质与圆周角定理的综合应用。先连接两条过切点的半径，依据切线垂直于过切点半径的性质得到两个直角；再利用四边形内角和为360°计算出圆心角的度数；最后根据同弧所对圆周角等于圆心角一半的圆周角定理，求出的度数。
17．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形弧长公式为，其中为圆心角度数，为扇形半径。
代入，得：
。
设圆锥底面圆半径为，则底面周长为，
由弧长等于底面周长得：，
解得。
故答案为：
【分析】本题考查圆锥侧面展开图的相关计算，核心是扇形弧长与底面周长的等量关系。先利用扇形弧长公式计算出展开图的弧长，再根据圆锥侧面展开图的弧长与底面圆周长相等的对应关系，建立关于底面半径的方程，解方程即可得到结果。
18．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接交于点，
∵四边形为菱形，
∴，，（菱形对角线互相垂直平分）。
在中，，，
由勾股定理得：，
∴。
∵点关于的对称点为点，
∴，
∴。
将点沿方向平移2个单位得到点，连接、，
∵且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴。
当、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度。
∵，，
∴，即。
在中，，，
由勾股定理得：
故答案为：
【分析】本题考查菱形性质与轴对称最短路径问题的综合应用。先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线的长度；再利用菱形的轴对称性，将转化为，通过平移构造平行四边形，将进一步转化为，把两条线段和的最小值转化为两点之间线段最短的问题；最后在直角三角形中用勾股定理计算出最短路径的长度。
19．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；分类讨论
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，。
由折叠的性质得：，，。
过作于，
在中，，。
分三种情况讨论：
1 当时：
此时，由折叠性质得。
在中，，，
∴，
∴，
即。
2 当时：
此时与共线，。
在中，，
∴。
3 当时：
此时与重合，
∴，即。
综上，的值为或或。
故答案为：或或
【分析】本题考查翻折变换与含30°角的直角三角形的综合应用，属于分类讨论题型。先根据直角三角形的边角关系求出原三角形的各边长与角度，由折叠性质得到对应边、对应角相等的等量关系；再分、、三种情况，分别利用直角三角形的边角关系计算对应线段长度，最终得到所有符合条件的结果。
20．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；探索规律-点的坐标规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：对于直线，
令，得，∴；
令，得，设直线与x轴交点为。
∴，，
在中，，
，。
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
在中，。
过作轴于，
易证，
∴，
即点的纵坐标为1。
同理，，
，
点的纵坐标为。
点的纵坐标为，以此类推，
可得点的纵坐标构成首项为1，公比为的等比数列，
∴点的纵坐标为。
故答案为：
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征与规律探究，结合正方形性质与三角函数推导递推规律。先求出直线与坐标轴的交点坐标，利用勾股定理与三角函数计算出第一个正方形的边长及对应点的纵坐标；再按照相同的方法计算后续几个点的纵坐标，观察数值变化规律，总结出等比数列的通项公式，最终得到第个点的纵坐标表达式。
21．【答案】解：原式
当x=4cos60°+1=2+1=3时
原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值与特殊角的三角函数值计算。先对括号内的分式进行通分运算，再将除法转化为乘法，同时对分子分母分别因式分解，通过约分化简得到最简分式；代入特殊角60°的余弦值计算出的具体数值，再将代入化简后的分式计算最终结果，化简过程中需注意因式分解的准确性与约分的规范性。
22．【答案】（1）解：△A1B1C1即为所求，A1(1，2)
（2）解：△A1B2C2即为所求，C2(0，3)
（3）解：由题意得.
线段 A1C1扫过的图形面积为
【知识点】扇形面积的计算；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）本题考查轴对称作图、旋转作图与扇形面积计算的综合应用。根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，分别求出三个顶点的对称点坐标，顺次连接得到对称三角形，同时读出的坐标；
（2）根据旋转的性质，将点、绕点逆时针旋转90°得到对应点、，顺次连接得到旋转后的三角形，再读取的坐标；
（3）线段扫过的图形为圆心角90°的扇形，先利用网格结合勾股定理求出半径的长度，再代入扇形面积公式计算即可得到扫过的面积。
23．【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（2）由条件可得B（3，0），
∴OB＝3，
∴OB＝OC＝3，
∴∠ABC＝45°，
∴当点D在点C上方时，
如图所示：
∵∠CBD＝15°，
∴∠ABD＝15°+45°＝60°，
∴，
∴；
当点D在点C下方时，
如图所示：
∵∠CBD＝15°，
∴∠ABD＝45°﹣15°＝30°，
∴，
∴；
综上可得：CD的长为或．
故答案为：或．
【分析】（1）本题考查二次函数解析式求解与解直角三角形的综合应用。将、两点坐标代入抛物线的一般式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出参数值，即可确定抛物线的解析式，也可利用交点式直接求解；
（2）先由抛物线解析式求出点坐标，得到与的长度，判定为等腰直角三角形，得到；再分点在点上方、点在点下方两种情况，分别计算出的度数，利用正切三角函数求出的长度，进而通过线段和差得到的长度。
24．【答案】（1）解：45；25；补全直方图如图所示
（2）B
（3）解：(名)
答：估计该校学生一周阅读时间不少于 60min的学生人数为675名；
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）抽取的总人数为10÷10%＝100（人），
∴m%＝45÷100×100%＝45%，则m＝45，
∴C组对应的频数为：100﹣10﹣45﹣20＝25，
故答案为：45，25；
（2）∵共100个数据，
∴中位数是第50、51个数据的平均数，
由频数分布直方图可得A组10个数据，B组45个数据，那么第50、51个数据在B组，
∴中位数落在B组；
故答案为：B；
【分析】（1）本题考查频数分布直方图与扇形统计图的综合分析，涉及统计量计算与样本估计总体。先由A组的频数与对应百分比求出抽取的总人数，再用B组的频数除以总人数得到的值，用总人数减去其余三组的频数得到C组的频数，最后补全直方图；（2）根据中位数的定义，确定总数据中第50、51个数据所在的组别，即为中位数所在组；（3）先计算样本中阅读时间不少于60min的学生所占比例，再用全校总人数乘以该比例，估计出对应学生的人数。
25．【答案】（1）270；100
（2）解：甲车的速度为(180+90) ÷3=90(km/h)
∵ 90÷90=1(h) ， 180÷90=2(h)
∴E(4，0)， F(6，180)
设线段 EF 的解析式为y= kx+b(k≠0)
把E(4，0)和 F(6，180)代入得
解得
∴y=90x-360(4≤x≤6)
（3）解：当甲车行驶 或 或4h时，两车相距10km
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）根据图象得A，C两地之间的距离为：180+90＝270km；
根据图象得：当甲到达C地时，用时3小时，
∴返回A地时总的时间为6小时，
∵乙车在甲车出发0.1小时后从A地去B地，到达B地停留2小时，立即按原路原速返回，结果比甲车提前0.3小时到达A地，
∴乙车在路上行驶的总时间为：6﹣0.1﹣2﹣0.3＝3.6小时，
∵乙车从A地去B地，然后返回A地，
∴总路程为：180×2＝360千米，
∴乙车的速度为；
故答案为：270；100；
【分析】（1）本题考查一次函数的实际应用，结合行程问题分析函数图象与分段计算。从函数图象中读取到、到的距离，求和得到、两地的距离；先根据甲车往返的总时间确定全程时长，再结合乙车的出发延迟、停留时间与到达提前量，计算出乙车行驶的总时间，由往返总路程除以行驶时间得到乙车的速度；
（2）先计算甲车的行驶速度，确定、两点的坐标，再利用待定系数法，将两点坐标代入一次函数一般式，解方程组求出斜率与截距，得到线段的函数解析式与自变量取值范围；
（3）分乙车停留时甲车行驶、甲车到达地前、乙车返回过程中三种情况，分别根据两车的路程关系建立方程，求解得到对应甲车的行驶时间。
26．【答案】（1）证明：过点E作EM⊥AE交AB 的延长线于点M，则∠AEM=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴∠1=∠2=45°
∴∠M=45°
∴∠1=∠2=∠M
∴AE=ME
∴△AEM 是等腰直角三角形
∵BE⊥EF
∴∠BEF=90°
∴∠4+∠3=90°
∵∠AEM=90°
∴∠4+∠5=90°
∴∠3=∠5
∴△AEF≌△MEB(ASA)
∴AF=BM
（2）解：图②结论：
图③结论：
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（2）图②：；图③：．理由如下：
如图②，过点E作EH⊥AC交AB于点H，
∴∠AEH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，AC，BD是对角线，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∴∠AHE＝90°﹣45°＝45°，
∴△AHE是等腰直角三角形，
∴AE＝EH，
∴，
∵EF⊥BE，
∴∠FEA+∠FEH＝∠AEH＝90°，
∵∠FEH+∠HEB＝90°，
∴∠FEA＝∠HEB，
又∵∠DAC＝∠AHE＝45°，
∴∠FAE＝∠BHE＝180°﹣45°＝135°，
∵∠FAE＝∠BHE，AE＝EH，∠FEA＝∠HEB，
∴△AEF≌△HEB（ASA），
∴AF＝BH，
∵AB＝AH+BH，
∴；
如图③，过点E作EK⊥AE交AF于点K，
∵四边形ABCD是正方形，AC，BD是对角线，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠EAK＝45°，
∴∠AKE＝90°﹣45°＝45°，
∴△AKE是等腰直角三角形，
∴AE＝EK，
∴，
∵EF⊥BE，
∴∠FEK+∠KEB＝∠FEB＝90°，
∵∠KEB+∠BEA＝90°，
∴∠FEK＝∠BEA，
又∵∠AKE＝∠BAC＝45°，
∴∠FKE＝∠BAE＝135°，
∵∠FEK＝∠BEA，EK＝AE，∠FKE＝∠BAE，
∴△KEF≌△AEB（ASA），
∴FK＝AB，
∵AF＝AK+FK，
∴．
【分析】（1）本题考查正方形性质与全等三角形、等腰直角三角形的综合证明，属于几何探究题型。过点作垂直于，交的延长线于点，根据正方形对角线平分内角的性质，得到，由此判定为等腰直角三角形，依据等腰直角三角形的性质得到且；再由垂直推出角的等量关系，结合的条件，根据ASA判定定理证明与全等，由全等三角形对应边相等得到；最后通过线段和差代换，推导出待证等式；
（2）图②中过点作垂直交于，同理构造等腰直角三角形与全等三角形，通过线段和差推导、、的数量关系；图③中过点作垂直交于，沿用相同的构造思路，通过线段和差推导对应数量关系。
27．【答案】（1）解：设A型汽车每台售价为x万元，B型汽车每台售价为y万元.
根据题意，得
解得
答：A型汽车和B 型汽车每台售价分别为8万元和5万元．
（2）解：设售出A 型汽车a台，则售出B型汽车为(50-a)台.根据题意，
得7a+4.5(50-a)≥295
解得a≥28
∵a≤30
∴28≤a≤30
∵a和50-a都是正整数
∴a=28，29，30
50-a=22， 21， 20
共有3种销售方案：
方案一：售出A 型汽车28台，B 型汽车22台；
方案二：售出A 型汽车29 台，B 型汽车21台；
方案三：售出A型汽车30台，B型汽车20台.
（3）解：设售出这50 台汽车的利润为W万元.
根据题意，
得 W=(8-7) a+(5-4.5)(50-a)
=0.5a+25
∵k=0.5>0
∴ W随a的增大而增大
∴当 a=30时， W值最大，
答：汽车生产厂家销售A 型汽车30台，B型汽车20台，获得利润最大，最大利润是40万元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组与一次函数的综合实际应用。设、型汽车的售价分别为、万元，根据两组销售总价的条件列出二元一次方程组，解方程组即可得到两种车型的售价；
（2）设售出型汽车台，根据总数量、数量上限、总成本下限三个条件列出一元一次不等式组，解不等式组得到的取值范围，结合为正整数的条件筛选出所有整数解，对应得到所有销售方案；
（3）根据单台利润与销售数量建立总利润关于的一次函数表达式，依据一次函数的增减性，结合的取值范围确定利润最大时的值，进而求出最大利润与对应方案。
28．【答案】（1）解：
解得
∵OA，OC的长是一元二次方程 的两个根，且OA∴OA=3， OC=4
∴A (-3，0)， C (0，4)
（2）解：∵在Rt△AOC中， OA=3，OC=4
当 时，
过点O作OE⊥AC于点 E
过点 P作 PD⊥AC于点 D
∵四边形AOBC是平行四边形
∴AC∥OB
当 时，
过点P作PG⊥x轴于点 G，延长GP 交BC于点H，则 GH⊥BC
综上，
（3）解：存在
【知识点】一元二次方程的根；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】（3）在第一象限内存在一点N，使得以M，N，R，B四点为顶点的四边形是矩形，N点坐标为（4，3）或（4，1）或．理由如下：
由（2）知BC＝AO＝3，OC＝4，BC∥AO，
∴B（3，4），
设M（0，m），N（x，y），而R（1，0），
①当MN，RB是矩形对角线时，
依题意得：，
∴x＝4，m+y＝4，
∴N（4，y），
而MN＝RB，则（4﹣0）2+（y﹣m）2＝（3﹣1）2+（4﹣0）2，
∴y﹣m＝±2，
∴或
解得：y＝3或y＝1，
∴N（4，3）或N（4，1）；
②当MR，NB是矩形对角线时，
依题意得：，
∴x＝﹣2，此时点N不在第一象限，舍去；
当MB，NR是矩形对角线时，
依题意得：，
∴x＝2，m＝y﹣4，
∴N（2，y），M（0，y﹣4），
而MB＝NR，则（3﹣0）2+（y﹣4﹣4）2＝（2﹣1）2+（y﹣0）2，
解得：，
∴，
综上所述，在第一象限内存在一点N，使得以M，N，R，B四点为顶点的四边形是矩形，N点坐标为（4，3）或（4，1）或．
【分析】（1）本题考查平行四边形性质、动点面积函数与矩形存在性的综合探究。先用因式分解法解一元二次方程得到两个根，结合的条件确定与的长度，再根据点、的坐标轴位置写出对应坐标；
（2）先由勾股定理求出的长度，结合平行四边形对边相等的性质得到、的长度，计算出点在段与段的运动时间；分在上、在上两种情况，第一种情况利用平行线间距离相等得到三角形的高，结合底边长计算面积函数；第二种情况用平行四边形总面积减去周围三个三角形的面积，间接求出的面积，最终写成分段函数形式；
（3）先求出点的坐标，设出、的坐标，分与为对角线、与为对角线、与为对角线三种情况，根据矩形对角线互相平分且相等的性质建立方程组，求解后筛选第一象限内的点坐标。
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