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广东省深圳市2026年中考数学真题（网传）
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的)
1．下列四个立体花瓶图形中，主视图与左视图不同的是(　　)
A． B．
C． D．
2．比赛用乒乓球的标准直径规定为40mm，允许误差为±0.05mm．现随机抽取4个乒乓球进行检测，测得它们的直径(单位： mm)如下，其中符合标准的是(　　)
A．38.001 B．39.001 C．40.001 D．41.001
3．孔明灯 (又称天灯)是一种利用热空气上升原理制成的传统飞行器．如图，在平面直角坐标系中，一孔明灯初始位置为点M (2，1)，若将该孔明灯向上平移 4 个单位长度，则平移后对应点M'的坐标是(　　)
A．(2，-1) B．(2，5) C．(-2，1) D．(6，1)
4．下列运算正确的是(　　)
A．(ab)4=a4b4 B． C． D．
5．如图，一个盛有水的水槽放置在斜坡ABC上，水槽外侧装有液体水平仪．已知水平仪中液面与水平面的夹角为26°，且OG∥AB， OE∥BC， ∠EOG=26°， 则∠ABC的度数为(　　)
A．13° B．20° C．26° D．64°
6．如图，为某无人机完成送货任务后返回快递站的过程中，无人机与快递站的距离s(单位： km)随时间t(单位： min)变化的函数图象．根据图中信息，无人机在往返途中的速度(km/min)之差为(　　)
A．1km/ min B．0.8km/ min C．0.6km/ min D．0.4km/ min
7．不等式组 的解集在数轴上表示为(　　)
A．
B．
C．
D．
8．在数学实践课上，老师将一副四巧板中的四块图形按如图1所示摆放，再将这些图形重新拼接成如图2所示的图形．已知拼接后点A，B为图2中图形的顶点，则AB的长为(　　)
A．2 B． C．3 D．
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．某班开展“说唱脸谱”主题实践活动，老师准备了“红脸”、“红脸”、“白脸”、“蓝脸”、“黑脸”五张脸谱卡片，这些卡片除颜色名称不同外其余完全相同．现从这五张卡片中随机抽取一张，则抽到“蓝脸”的概率为　 　．
10． 已知 的值为　 　．
11．一天正午，太阳光与水平地面的夹角为53°．身高为1.6m的小明站在水平地面上，此时他的影长为　 　．(参考数据：
12．如图，在平面直角坐标系中，点A (2，m)，B(3，n)均在反比例函数 的图象上， 且OA=OB， 则k的值为　 　．
13． 如图， 在菱形ABCD 中， 点E为边 BC的中点， 连接AE， DE．若AE=4，且DE2=AB·BE， 则菱形ABCD的边长为　 　．
三、解答题(本题共7小题，共61分)
14．计算：
15．解二元一次方程组：．
16．深圳市实施“每周半天计划”，某校组织学生利用半天时间开展校外研学实践，可供选择的五个场馆分别为：美术馆、音乐厅、植物园、博物馆、科技馆．参与本次研学活动的某班学生共有50 人，各班馆参与人数如下的条形统计图所示(图1)．
（1）请根据图中信息，补全条形统计图；
（2）现从参与人数最多的两个场馆(博物馆和科技馆)的学生中，开展满意度打分调查，满分为10分．打分数据如下列折线图所示(图2)，图中横坐标表示学生编号，纵坐标表示对应打分．
对以上打分数据进行整理，得到如下统计表：
场馆 平均数 众数 中位数 频率 (满意度≥8分) 方差
博物馆 7.5 9 7 a 1.65
科技馆 7.5 8 b 0.5 2.75
求表中的数据： a= 　 　，b= 　 　；
（3）结合表格中的统计数据，综合分析你认为哪个场馆的体验更好 并说明理由．
17．为激发学生对科技的兴趣，某校计划购买甲、乙两种型号的机器人用于科技节展示．已知用200万元购买甲型机器人的数量，是用120万元购买乙型机器人数量的2倍，且每台甲型机器人比每台乙型机器人贵5万元．
小丽和小亮分别提出了不同的解题思路：
学生 设未知量 所列方程
小丽 设甲型机器人的数量为x台
小亮 设每台甲型机器人的价格为y万元 (请补充)
（1）请写出小亮所列的方程；
（2）若购买甲、乙两种型号的机器人共16台，且总费用不超过420万元，则最多可购买乙型机器人多少台
18．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接OC并延长至点D， 使得∠CBD=∠ACO．
（1） 求证： BD 是⊙O 的切线；
（2） 若CD=4， BD=6， 求BC 的长；
（3）利用圆规和无刻度直尺在图中作出点C关于直线AB的对称点 P (保留作图痕迹，不要求写出作法)．
19．综合与实践
【问题背景】
随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题．
【研究条件】
条件1：该充电站收入y(单位：元)与当日充电汽车数量x(单位：辆)之间的对应关系如下表
x 1 2 3 4 5
y 50 100 150 200 250
条件2：该充电站的运营成本ω(单位：百元)与充电汽车数量x之间满足：
【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题：
（1）根据上表数据，求y与x的函数关系式，并计算当x=40时，该充电站的收入为多少百元
（2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时x的值，并写出该充电站收入y与x的新关系式；
（3）【模型应用】
由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y=mx，成本关系保持不变．已知当汽车数量为 80 辆时，净收益(净收益=收入-成本)取得最大值，请写出一个符合条件的m值，并说明理由．
【总结反思】
函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策．
20．综合与探究
定义：若四边形的一条对角线被另一条对角线平分，且另一条对角线被交点分成的两条线段长度之比为k(k≥1)，则称该四边形为“k倍四边形”．
（1） ①如图1， 在 ABCD中， 对角线AC与BD交于点O， 点E为OB中点．若四边形AECD为k倍四边形，则k的值为　 　；
②如图2，在k倍四边形ABCD中，若对角线AC被BD平分，则 　 　；(用含k的代数式表示)
（2）如图3，四边形ABCD为k倍四边形，其对角线 BD平分对角线AC，且满足∠BDC=2∠ABD， BD=4CD， 求k的值；
（3） 如图4， 已知定点A， B， 且AB⊥BM， 点C为射线 BM上一动点，点 D为平面内一点，连接A，B，C，D 构成四边形ABCD．若BD平分AC， ∠BAC=∠DAC，四边形ABCD是“2倍四边形“， 求tan∠ACD的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵ A选项花瓶的正面与左侧轮廓完全一致，∴主视图和左视图相同，不符合题意；
∵ B选项花瓶为轴对称旋转体，正、左方向观察所得图形一致，∴主视图和左视图相同，不符合题意；
∵ C选项花瓶正面可见两侧装饰结构，左侧观察仅可见瓶身侧面，二者轮廓宽度存在差异，∴主视图与左视图不同，符合题意；
∵ D选项花瓶为中心对称柱体结构，主视图与左视图轮廓一致，∴主视图和左视图相同，不符合题意。
故答案为：C
【分析】本题考查几何体的三视图识别，核心是主视图与左视图的定义。解题时需明确主视图对应正面观察视角、左视图对应左面观察视角，结合每个花瓶的结构特征，对比两个方向观察所得图形的轮廓、细节是否存在差异，即可筛选出符合条件的选项。
2．【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：根据标准直径与允许误差，合格直径的取值范围为
化简得 。
逐一验证选项：
∵，∴A选项不符合标准；
∵，∴B选项不符合标准；
∵，∴C选项符合标准；
∵，∴D选项不符合标准。
故答案为：C
【分析】本题考查正负数的实际意义与有理数的范围判断，结合误差的含义确定合格区间是解题核心。根据允许误差的含义，以标准直径40mm为基准，分别计算上下临界值得到合格直径的取值范围，再将各选项的测量值与范围比对，落在区间内的即为符合标准的结果。
3．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：平面直角坐标系中，点的平移遵循“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”的规律。
点 向上平移4个单位，横坐标保持不变，纵坐标加4，
即平移后纵坐标为 ，
因此点 的坐标为 。
故答案为：B
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，核心是平移前后点的坐标变化规则。向上平移属于竖直方向的位置变化，仅改变点的纵坐标，横坐标保持不变；根据纵坐标上加下减的规律，将原纵坐标加上平移的单位长度，即可得到平移后对应点的坐标。
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；有理数的乘方法则；积的乘方运算；求算术平方根
【解析】 【解答】解：对于A选项，，运算正确；
对于B选项，，运算错误；
对于C选项，，运算错误；
对于D选项，，运算错误。
故答案为：A
【分析】本题综合考查整式运算与二次根式的性质，涵盖积的乘方、同底数幂乘法、完全平方公式、二次根式化简四个知识点。解题时需逐一对应每个选项的运算法则，分别计算验证：积的乘方需将每个因式分别乘方，同底数幂相乘是指数相加而非相乘，完全平方展开需包含交叉项，二次根式的算术平方根结果为非负数，据此即可判断各选项的正误。
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：延长 ，交 的延长线于点 ，
∵，根据两直线平行，同位角相等，
∴。
∵，根据两直线平行，同位角相等，
∴。
通过等量代换可得 。
故答案为：C
【分析】本题考查平行线的性质，通过作辅助线构建同位角关系是解题的关键。通过延长EO与BA相交，利用OG平行于AB的条件，由两直线平行同位角相等，将的度数转化为交点处的同位角；再利用OE平行于BC的条件，再次通过同位角相等将角度传递到，最终通过等量代换得到所求角的度数。
6．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据函数图象，送货总路程为3km，去程用时5min，回程用时 。
根据速度 = 路程 ÷ 时间，
去程速度为 ，
回程速度为 ，
因此往返速度之差为 。
故答案为：D
【分析】本题考查函数图象的实际应用，核心是从行程函数图象中提取路程与时间信息计算速度。首先从图象中读取总路程与往返各自的用时，去程对应从0到5分钟的时间段，回程对应从5到8分钟的时间段；再结合速度公式分别计算往返的速度，最后用回程速度减去去程速度，即可得到速度之差。
7．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：分别求解两个不等式：
解不等式 ，
移项得 ，
合并同类项得 ，
系数化为1，不等号方向改变，得 。
解不等式 ，
两边同乘2得 ，
移项得 。
根据“大小小大中间找”的原则，不等式组的解集为 。
故答案为：A
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法与解集的数轴表示，核心是正确求解每个不等式并确定公共解集。分别对两个一元一次不等式进行移项、系数化为1等操作求解，注意系数为负数时不等号方向要改变；再取两个解集的公共部分作为不等式组的解集，最后对应数轴上空心端点、区间中间的表示形式即可。
8．【答案】B
【知识点】七巧板与拼图制作；勾股定理
【解析】【解答】解：由图1的边长信息可知，等腰直角三角形的直角边长为1，根据勾股定理，其斜边长为
观察图2的拼接结构，直角梯形的下底长度与该等腰直角三角形的斜边长度相等，且AB由两段等长的斜边拼接而成，
因此
故答案为：B
【分析】本题考查图形的剪拼与勾股定理的应用，核心是分析拼接前后各边的长度对应关系。首先根据图1中给出的直角边长，利用勾股定理计算出等腰直角三角形的斜边的长度是；再结合拼接后图形的结构，判断AB由两段相等的斜边拼接组成，将两段长度相加即可得到。
9．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从5张完全相同的卡片中随机抽取1张，所有等可能的结果共有5种，
其中抽到“蓝脸”的结果有1种，
根据概率公式可得抽到“蓝脸”的概率为
故答案为：
【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，核心是明确等可能结果总数与目标事件的结果数。卡片除颜色外其余完全相同，因此抽取每张卡片的可能性相等，总共有5种等可能的抽取结果，抽到蓝脸仅对应1种结果，代入古典概型的概率公式即可计算出对应概率。
10．【答案】3
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：对等式左侧进行拆分变形，
由题意得 ，
移项得 ，
等式两边同时除以2，得 。
故答案为：
【分析】本题考查分式的化简与代数式求值，核心是对已知分式进行拆分变形。将等式左侧的分式拆分为两个同分母分式相加的形式，化简后得到关于的一元一次方程，通过移项、系数化为1即可求出目标代数式的值。
11．【答案】1.2
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：设小明的影长为。
小明身高垂直于地面，身高、影长与太阳光线构成直角三角形，其中太阳光与地面的夹角的对边为身高1.6m，邻边为影长。
根据锐角正切的定义，，
代入，得 ，
解得 。
故答案为：
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，核心是将实际场景转化为直角三角形模型。人的身高与地面垂直，影长在水平地面上，二者与太阳光线恰好构成直角三角形；结合太阳光与地面的夹角，利用正切函数对边比邻边的定义，代入已知身高与参考正切值，即可求解得到影长。
12．【答案】6
【知识点】勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点、在反比例函数的图象上，
∴ 将坐标代入解析式得 ，。
∵，根据勾股定理，两点到原点的距离平方相等，即 ，
∴。
将、代入上式：
整理得 ，
通分计算得 ，
化简得 ，解得 。
由图象可知反比例函数位于第一象限，，因此。
故答案为：
【分析】本题考查反比例函数的图象性质与勾股定理的综合应用，核心是利用距离相等建立方程。首先根据反比例函数图象上的点满足函数解析式，用含k的代数式表示出两点的纵坐标；再由OA=OB结合勾股定理，得到两点到原点的距离平方相等的等式，代入纵坐标的表达式得到关于k的方程，求解后结合函数所在象限舍去负根即可。
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：设菱形的边长为。
∵ 四边形是菱形，
∴，且 。
∵ E是的中点，
∴。
由，代入得 。
过点A作，交的延长线于点H；过点D作于点F，
∴。
∵，
∴。
在和中，
∴（AAS），
∴，。
设，
在中，由勾股定理得 。
在中，，
由勾股定理得 ，
代入得 ，
展开化简得 ①。
在中，，
由勾股定理得 ，
代入与，得
展开化简得 ，
整理得 ②。
将②代入①，得 ，
即 ，，
解得 （边长为正，舍去负根）。
故答案为：
【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，核心是通过作高构建直角三角形建立方程。首先设菱形边长为a，根据中点定义与已知条件用a表示出BE和；通过作两条高线，利用菱形对边平行的性质证明两个直角三角形全等，得到对应边相等；再分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出与，得到关于a与x的两个方程，联立消元后即可求解出菱形的边长。
14．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，综合考查零指数幂、绝对值化简、有理数乘方以及算术平方根的运算规则。解题时先分别计算每一项：根据零指数幂的性质，非零实数的0次幂等于1，可得的结果；根据绝对值的性质，先判断的正负，负数的绝对值等于它的相反数，据此化简绝对值项；根据-1的偶次幂为1，计算乘方项；根据算术平方根的定义求出的值；最后将各项结果进行有理数的加减运算，即可得到最终计算结果。
15．【答案】解：，
由得，
将代入①得，
解得，
∴方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的解法，核心是通过消元将二元方程转化为一元方程求解。解题可采用加减消元法：先将第一个方程两边同乘2，使两个方程中x的系数相同；再用变形后的方程减去第二个方程，消去未知数x，得到关于y的一元一次方程，求解得到y的值；将y的值代入原方程组中的任意一个方程，即可求出x的值，最终得到方程组的解。也可采用代入消元法，从第一个方程中用含y的代数式表示x，代入第二个方程求解。
16．【答案】（1）
（2）；
（3）博物馆的体验更好，理由：
博物馆和科技馆打分的平均数相同，但博物馆打分的众数大于科技馆打分的众数，
所以博物馆的体验感会更好（答案不唯一）．
【知识点】频数与频率；条形统计图；折线统计图；中位数
【解析】【解答】解：（1）植物园的人数为：；
（2）博物馆的满意度分的频率，
科技馆的打分为：，，，，，，，，，
从小到大排列为：，，，，，，，，，
中位数；
【分析】本题考查条形统计图、折线统计图与统计量的综合应用，涵盖数据统计、频率、中位数、统计量分析等知识点。
（1）已知班级总人数与其余四个场馆的参与人数，用总人数依次减去美术馆、音乐厅、博物馆、科技馆的人数，即可得到植物园的参与人数，根据人数补全条形统计图中植物园对应的长条即可；
（2）计算a时，先从折线图中统计出博物馆打分大于等于8分的学生人数，用该人数除以博物馆参与的总人数，即可得到频率a；计算b时，先将科技馆的所有打分数据按照从小到大的顺序排列，由于数据个数为偶数，中位数为最中间两个数据的平均数，取第5个和第6个数据求平均值即可得到中位数b；
（3）可从平均数、众数、中位数、方差等多个统计量的角度分析，例如在平均数相同的前提下，众数更高说明打高分的人数更多，方差更小说明打分更稳定，据此结合数据给出合理结论即可。
17．【答案】（1）解：∵设每台甲型机器人的价格为万元，且每台乙型机器人比每台甲型机器人贵万元，
∴每台乙型机器人的价格为万元，
∵用200万元购买甲型机器人的数量，是用120万元购买乙型机器人数量的倍，
∴可得方程：；
（2）解：由（1）得，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
则，
∴每台甲型机器人25万元，每台乙型机器人30万元，
设购买乙型机器人台，则购买甲型机器人台，
根据题意得，
解得，
∵是非负整数，
∴的最大值为，
答：最多可购买乙型机器人台．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查分式方程与一元一次不等式的实际应用，核心是找准等量关系与不等关系列方程、不等式。
（1）设每台甲型机器人的价格为y万元，根据“每台乙型机器人比每台甲型贵5万元”，可用含y的代数式表示出乙型机器人的单价；再根据“总价÷单价=数量”，分别表示出200万元购买甲型的数量与120万元购买乙型的数量；最后根据甲型数量是乙型数量的2倍这一等量关系，即可列出对应的分式方程；
（2）先求解第(1)问的分式方程，检验后得到甲、乙两种机器人的单价；再设购买乙型机器人的数量为m台，用含m的代数式表示出甲型机器人的购买数量；根据“单价×数量=总价”分别表示出两种机器人的总费用，结合总费用不超过420万元的不等关系列出一元一次不等式；求解不等式后取最大的非负整数解，即为最多可购买乙型机器人的数量。
18．【答案】（1）证明：∵
∴
∵
∴
∵是的直径，
∴
∴
∴
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）过点作于点，则
设，则
∵，
∴
∴
解得，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∴，
∴
∴．
（3）解：连接，
由作图可得，
则，
再由垂径定理的推论可得垂直平分，
即可得到点关于对称．
【知识点】勾股定理；切线的判定；作图﹣轴对称；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】本题考查圆的综合应用，涵盖切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、轴对称作图等知识点。
（1）首先根据等腰三角形的性质，由OA=OC可得∠ACO=∠OAC，结合已知∠CBD=∠ACO，通过等量代换得到∠CBD=∠OAC；再根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°，因此Rt△ACB中∠OAC+∠ABC=90°；通过等量代换可推出∠CBD+∠ABC=90°，即∠ABD=90°，说明AB⊥BD；最后结合OB是半径，根据切线的判定定理，经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，即可证明BD是⊙O的切线；
（2）设圆的半径为r，则OB=OC=r，OD=OC+CD=r+4；在Rt△OBD中，根据勾股定理，代入已知边长列出关于r的方程，求解得到半径长度；过点B作BT⊥OC于点T，可证△BOT∽△DOB，根据相似三角形对应边成比例，分别求出OT与BT的长度；再计算出CT的长度，最后在Rt△BTC中利用勾股定理即可求出BC的长；
（3）根据轴对称的性质与圆的对称性，以点A为圆心、AC长为半径画弧，与⊙O的另一个交点即为点P；由同圆中相等的弦对应的弧相等，结合垂径定理的推论，可证AB垂直平分CP，因此点P与点C关于直线AB对称。
19．【答案】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设，
将，代入得，
∴与的函数关系式为，
当时，（元）；
（2）解：收支平衡满足，
∴
解得，，此时收支平衡时收入等于成本，
∴收入与的新关系式为；
（3），理由如下：
设净收益为W，
∴，
，
二次函数图象开口向下，
∴当时取得最大值，
由题意得，时净收益最大，
∴
解得．
【知识点】一元二次方程的其他应用；二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【分析】本题考查一次函数、一元二次方程与二次函数的实际应用，涵盖待定系数法求解析式、一元二次方程求解、二次函数的最值等知识点。
（1）观察表格数据，y随x成比例均匀增长，可判断y是x的正比例函数，设函数解析式为；选取表格中一组x、y的对应值代入解析式，求出k的值即可得到y与x的函数关系式；再将代入求得的解析式，计算即可得到对应的收入金额；
（2）收支平衡即收入等于成本，因此令，将两个函数表达式联立得到关于x的一元二次方程；对方程进行整理、因式分解求解，即可得到收支平衡时x的两个取值；收支平衡时收入与成本相等，因此收入的新关系式与成本的函数表达式一致；
（3）首先根据“净收益=收入-成本”，将调整后的收入函数与成本函数代入，用含m、x的代数式表示出净收益W，整理得到关于x的二次函数解析式；由于二次项系数为负，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值；根据二次函数顶点横坐标公式，写出净收益最大时对应的x的表达式，结合题意x=80时净收益最大，令该表达式等于80，求解即可得到m的值。
20．【答案】（1）2；k
（2）解：如图，过点作交于点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形为倍四边形，其对角线平分对角线，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
设，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设交于点，过点分别作的垂线，垂足分别为
①当时，设，如图4，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
在中，，
∴；
②当时，设，如图4，
同①可得，，
∴，
同①可得，
∴，
设，则，
∴，，
∵，即，
解得：，
∴，，
在中，，
∴，
综上所述，的值为或．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）①∵四边形是平行四边形，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵四边形为倍四边形，
∴；
②如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵四边形为倍四边形，对角线被平分，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
【分析】本题是新定义类几何综合题，考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及锐角三角函数等知识点，解题核心是理解“k倍四边形”的定义并结合几何性质推导。
（1）①根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得AO=CO，BO=DO；由点E是OB中点，可得，进而推出DO与EO的长度比值；结合k倍四边形的定义，AC被BD平分，BD被交点分成的两段中较长段与较短段的比值即为k，据此计算即可；②过点B、D分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，可得BE与DF均为三角形的高；由对顶角相等与直角相等，可证△BOE∽△DOF，根据相似三角形对应边成比例，可得DF与BE的比值等于DO与BO的比值k；△ACD与△ACB同底AC，面积比等于对应高的比，代入高的比值即可得到面积比的代数式。
（2）过点A作AG平行于CD，交BD于点G；由BD平分AC可得AP=CP，结合对顶角相等与平行线的内错角相等，可根据AAS证明△APG≌△CPD，因此AG=CD，GP=DP；根据平行线的性质，∠AGD=∠BDC，结合已知∠BDC=2∠ABD，通过三角形外角的性质推导可得∠ABD=∠BAG，因此AG=BG；设CD=a，根据BD=4CD表示出BD的长度，结合AG=BG=CD=a，计算出GD的长度，进而得到DP与BP的长度，最终求出BP与DP的比值即为k的值。
（3）设AC与BD交于点E，过点B、D分别作AC的垂线，垂足分别为H、G；由BD平分AC可得AE=EC，结合AB⊥BM，在Rt△ABC中根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得BE=AE=EC。分两种情况讨论：第一种情况，时，设BE=2，DE=1，由△DGE∽△BHE可得对应边的比例关系，设出线段长度用含m的代数式表示；再由∠BAC=∠DAC可证△ABH∽△ADG，得到对应边的比例关系，联立方程求出m的值；进而计算出CG与DG的长度，在Rt△DGC中根据正切的定义求出的值；第二种情况，时，同理按照相同的推导逻辑，计算对应线段长度，求出另一种情况下的值，综合两种情况得到最终结果。
1 / 1广东省深圳市2026年中考数学真题（网传）
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的)
1．下列四个立体花瓶图形中，主视图与左视图不同的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵ A选项花瓶的正面与左侧轮廓完全一致，∴主视图和左视图相同，不符合题意；
∵ B选项花瓶为轴对称旋转体，正、左方向观察所得图形一致，∴主视图和左视图相同，不符合题意；
∵ C选项花瓶正面可见两侧装饰结构，左侧观察仅可见瓶身侧面，二者轮廓宽度存在差异，∴主视图与左视图不同，符合题意；
∵ D选项花瓶为中心对称柱体结构，主视图与左视图轮廓一致，∴主视图和左视图相同，不符合题意。
故答案为：C
【分析】本题考查几何体的三视图识别，核心是主视图与左视图的定义。解题时需明确主视图对应正面观察视角、左视图对应左面观察视角，结合每个花瓶的结构特征，对比两个方向观察所得图形的轮廓、细节是否存在差异，即可筛选出符合条件的选项。
2．比赛用乒乓球的标准直径规定为40mm，允许误差为±0.05mm．现随机抽取4个乒乓球进行检测，测得它们的直径(单位： mm)如下，其中符合标准的是(　　)
A．38.001 B．39.001 C．40.001 D．41.001
【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：根据标准直径与允许误差，合格直径的取值范围为
化简得 。
逐一验证选项：
∵，∴A选项不符合标准；
∵，∴B选项不符合标准；
∵，∴C选项符合标准；
∵，∴D选项不符合标准。
故答案为：C
【分析】本题考查正负数的实际意义与有理数的范围判断，结合误差的含义确定合格区间是解题核心。根据允许误差的含义，以标准直径40mm为基准，分别计算上下临界值得到合格直径的取值范围，再将各选项的测量值与范围比对，落在区间内的即为符合标准的结果。
3．孔明灯 (又称天灯)是一种利用热空气上升原理制成的传统飞行器．如图，在平面直角坐标系中，一孔明灯初始位置为点M (2，1)，若将该孔明灯向上平移 4 个单位长度，则平移后对应点M'的坐标是(　　)
A．(2，-1) B．(2，5) C．(-2，1) D．(6，1)
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：平面直角坐标系中，点的平移遵循“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”的规律。
点 向上平移4个单位，横坐标保持不变，纵坐标加4，
即平移后纵坐标为 ，
因此点 的坐标为 。
故答案为：B
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，核心是平移前后点的坐标变化规则。向上平移属于竖直方向的位置变化，仅改变点的纵坐标，横坐标保持不变；根据纵坐标上加下减的规律，将原纵坐标加上平移的单位长度，即可得到平移后对应点的坐标。
4．下列运算正确的是(　　)
A．(ab)4=a4b4 B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；有理数的乘方法则；积的乘方运算；求算术平方根
【解析】 【解答】解：对于A选项，，运算正确；
对于B选项，，运算错误；
对于C选项，，运算错误；
对于D选项，，运算错误。
故答案为：A
【分析】本题综合考查整式运算与二次根式的性质，涵盖积的乘方、同底数幂乘法、完全平方公式、二次根式化简四个知识点。解题时需逐一对应每个选项的运算法则，分别计算验证：积的乘方需将每个因式分别乘方，同底数幂相乘是指数相加而非相乘，完全平方展开需包含交叉项，二次根式的算术平方根结果为非负数，据此即可判断各选项的正误。
5．如图，一个盛有水的水槽放置在斜坡ABC上，水槽外侧装有液体水平仪．已知水平仪中液面与水平面的夹角为26°，且OG∥AB， OE∥BC， ∠EOG=26°， 则∠ABC的度数为(　　)
A．13° B．20° C．26° D．64°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：延长 ，交 的延长线于点 ，
∵，根据两直线平行，同位角相等，
∴。
∵，根据两直线平行，同位角相等，
∴。
通过等量代换可得 。
故答案为：C
【分析】本题考查平行线的性质，通过作辅助线构建同位角关系是解题的关键。通过延长EO与BA相交，利用OG平行于AB的条件，由两直线平行同位角相等，将的度数转化为交点处的同位角；再利用OE平行于BC的条件，再次通过同位角相等将角度传递到，最终通过等量代换得到所求角的度数。
6．如图，为某无人机完成送货任务后返回快递站的过程中，无人机与快递站的距离s(单位： km)随时间t(单位： min)变化的函数图象．根据图中信息，无人机在往返途中的速度(km/min)之差为(　　)
A．1km/ min B．0.8km/ min C．0.6km/ min D．0.4km/ min
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据函数图象，送货总路程为3km，去程用时5min，回程用时 。
根据速度 = 路程 ÷ 时间，
去程速度为 ，
回程速度为 ，
因此往返速度之差为 。
故答案为：D
【分析】本题考查函数图象的实际应用，核心是从行程函数图象中提取路程与时间信息计算速度。首先从图象中读取总路程与往返各自的用时，去程对应从0到5分钟的时间段，回程对应从5到8分钟的时间段；再结合速度公式分别计算往返的速度，最后用回程速度减去去程速度，即可得到速度之差。
7．不等式组 的解集在数轴上表示为(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：分别求解两个不等式：
解不等式 ，
移项得 ，
合并同类项得 ，
系数化为1，不等号方向改变，得 。
解不等式 ，
两边同乘2得 ，
移项得 。
根据“大小小大中间找”的原则，不等式组的解集为 。
故答案为：A
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法与解集的数轴表示，核心是正确求解每个不等式并确定公共解集。分别对两个一元一次不等式进行移项、系数化为1等操作求解，注意系数为负数时不等号方向要改变；再取两个解集的公共部分作为不等式组的解集，最后对应数轴上空心端点、区间中间的表示形式即可。
8．在数学实践课上，老师将一副四巧板中的四块图形按如图1所示摆放，再将这些图形重新拼接成如图2所示的图形．已知拼接后点A，B为图2中图形的顶点，则AB的长为(　　)
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】七巧板与拼图制作；勾股定理
【解析】【解答】解：由图1的边长信息可知，等腰直角三角形的直角边长为1，根据勾股定理，其斜边长为
观察图2的拼接结构，直角梯形的下底长度与该等腰直角三角形的斜边长度相等，且AB由两段等长的斜边拼接而成，
因此
故答案为：B
【分析】本题考查图形的剪拼与勾股定理的应用，核心是分析拼接前后各边的长度对应关系。首先根据图1中给出的直角边长，利用勾股定理计算出等腰直角三角形的斜边的长度是；再结合拼接后图形的结构，判断AB由两段相等的斜边拼接组成，将两段长度相加即可得到。
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．某班开展“说唱脸谱”主题实践活动，老师准备了“红脸”、“红脸”、“白脸”、“蓝脸”、“黑脸”五张脸谱卡片，这些卡片除颜色名称不同外其余完全相同．现从这五张卡片中随机抽取一张，则抽到“蓝脸”的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从5张完全相同的卡片中随机抽取1张，所有等可能的结果共有5种，
其中抽到“蓝脸”的结果有1种，
根据概率公式可得抽到“蓝脸”的概率为
故答案为：
【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，核心是明确等可能结果总数与目标事件的结果数。卡片除颜色外其余完全相同，因此抽取每张卡片的可能性相等，总共有5种等可能的抽取结果，抽到蓝脸仅对应1种结果，代入古典概型的概率公式即可计算出对应概率。
10． 已知 的值为　 　．
【答案】3
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：对等式左侧进行拆分变形，
由题意得 ，
移项得 ，
等式两边同时除以2，得 。
故答案为：
【分析】本题考查分式的化简与代数式求值，核心是对已知分式进行拆分变形。将等式左侧的分式拆分为两个同分母分式相加的形式，化简后得到关于的一元一次方程，通过移项、系数化为1即可求出目标代数式的值。
11．一天正午，太阳光与水平地面的夹角为53°．身高为1.6m的小明站在水平地面上，此时他的影长为　 　．(参考数据：
【答案】1.2
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：设小明的影长为。
小明身高垂直于地面，身高、影长与太阳光线构成直角三角形，其中太阳光与地面的夹角的对边为身高1.6m，邻边为影长。
根据锐角正切的定义，，
代入，得 ，
解得 。
故答案为：
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，核心是将实际场景转化为直角三角形模型。人的身高与地面垂直，影长在水平地面上，二者与太阳光线恰好构成直角三角形；结合太阳光与地面的夹角，利用正切函数对边比邻边的定义，代入已知身高与参考正切值，即可求解得到影长。
12．如图，在平面直角坐标系中，点A (2，m)，B(3，n)均在反比例函数 的图象上， 且OA=OB， 则k的值为　 　．
【答案】6
【知识点】勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点、在反比例函数的图象上，
∴ 将坐标代入解析式得 ，。
∵，根据勾股定理，两点到原点的距离平方相等，即 ，
∴。
将、代入上式：
整理得 ，
通分计算得 ，
化简得 ，解得 。
由图象可知反比例函数位于第一象限，，因此。
故答案为：
【分析】本题考查反比例函数的图象性质与勾股定理的综合应用，核心是利用距离相等建立方程。首先根据反比例函数图象上的点满足函数解析式，用含k的代数式表示出两点的纵坐标；再由OA=OB结合勾股定理，得到两点到原点的距离平方相等的等式，代入纵坐标的表达式得到关于k的方程，求解后结合函数所在象限舍去负根即可。
13． 如图， 在菱形ABCD 中， 点E为边 BC的中点， 连接AE， DE．若AE=4，且DE2=AB·BE， 则菱形ABCD的边长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：设菱形的边长为。
∵ 四边形是菱形，
∴，且 。
∵ E是的中点，
∴。
由，代入得 。
过点A作，交的延长线于点H；过点D作于点F，
∴。
∵，
∴。
在和中，
∴（AAS），
∴，。
设，
在中，由勾股定理得 。
在中，，
由勾股定理得 ，
代入得 ，
展开化简得 ①。
在中，，
由勾股定理得 ，
代入与，得
展开化简得 ，
整理得 ②。
将②代入①，得 ，
即 ，，
解得 （边长为正，舍去负根）。
故答案为：
【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，核心是通过作高构建直角三角形建立方程。首先设菱形边长为a，根据中点定义与已知条件用a表示出BE和；通过作两条高线，利用菱形对边平行的性质证明两个直角三角形全等，得到对应边相等；再分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出与，得到关于a与x的两个方程，联立消元后即可求解出菱形的边长。
三、解答题(本题共7小题，共61分)
14．计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，综合考查零指数幂、绝对值化简、有理数乘方以及算术平方根的运算规则。解题时先分别计算每一项：根据零指数幂的性质，非零实数的0次幂等于1，可得的结果；根据绝对值的性质，先判断的正负，负数的绝对值等于它的相反数，据此化简绝对值项；根据-1的偶次幂为1，计算乘方项；根据算术平方根的定义求出的值；最后将各项结果进行有理数的加减运算，即可得到最终计算结果。
15．解二元一次方程组：．
【答案】解：，
由得，
将代入①得，
解得，
∴方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的解法，核心是通过消元将二元方程转化为一元方程求解。解题可采用加减消元法：先将第一个方程两边同乘2，使两个方程中x的系数相同；再用变形后的方程减去第二个方程，消去未知数x，得到关于y的一元一次方程，求解得到y的值；将y的值代入原方程组中的任意一个方程，即可求出x的值，最终得到方程组的解。也可采用代入消元法，从第一个方程中用含y的代数式表示x，代入第二个方程求解。
16．深圳市实施“每周半天计划”，某校组织学生利用半天时间开展校外研学实践，可供选择的五个场馆分别为：美术馆、音乐厅、植物园、博物馆、科技馆．参与本次研学活动的某班学生共有50 人，各班馆参与人数如下的条形统计图所示(图1)．
（1）请根据图中信息，补全条形统计图；
（2）现从参与人数最多的两个场馆(博物馆和科技馆)的学生中，开展满意度打分调查，满分为10分．打分数据如下列折线图所示(图2)，图中横坐标表示学生编号，纵坐标表示对应打分．
对以上打分数据进行整理，得到如下统计表：
场馆 平均数 众数 中位数 频率 (满意度≥8分) 方差
博物馆 7.5 9 7 a 1.65
科技馆 7.5 8 b 0.5 2.75
求表中的数据： a= 　 　，b= 　 　；
（3）结合表格中的统计数据，综合分析你认为哪个场馆的体验更好 并说明理由．
【答案】（1）
（2）；
（3）博物馆的体验更好，理由：
博物馆和科技馆打分的平均数相同，但博物馆打分的众数大于科技馆打分的众数，
所以博物馆的体验感会更好（答案不唯一）．
【知识点】频数与频率；条形统计图；折线统计图；中位数
【解析】【解答】解：（1）植物园的人数为：；
（2）博物馆的满意度分的频率，
科技馆的打分为：，，，，，，，，，
从小到大排列为：，，，，，，，，，
中位数；
【分析】本题考查条形统计图、折线统计图与统计量的综合应用，涵盖数据统计、频率、中位数、统计量分析等知识点。
（1）已知班级总人数与其余四个场馆的参与人数，用总人数依次减去美术馆、音乐厅、博物馆、科技馆的人数，即可得到植物园的参与人数，根据人数补全条形统计图中植物园对应的长条即可；
（2）计算a时，先从折线图中统计出博物馆打分大于等于8分的学生人数，用该人数除以博物馆参与的总人数，即可得到频率a；计算b时，先将科技馆的所有打分数据按照从小到大的顺序排列，由于数据个数为偶数，中位数为最中间两个数据的平均数，取第5个和第6个数据求平均值即可得到中位数b；
（3）可从平均数、众数、中位数、方差等多个统计量的角度分析，例如在平均数相同的前提下，众数更高说明打高分的人数更多，方差更小说明打分更稳定，据此结合数据给出合理结论即可。
17．为激发学生对科技的兴趣，某校计划购买甲、乙两种型号的机器人用于科技节展示．已知用200万元购买甲型机器人的数量，是用120万元购买乙型机器人数量的2倍，且每台甲型机器人比每台乙型机器人贵5万元．
小丽和小亮分别提出了不同的解题思路：
学生 设未知量 所列方程
小丽 设甲型机器人的数量为x台
小亮 设每台甲型机器人的价格为y万元 (请补充)
（1）请写出小亮所列的方程；
（2）若购买甲、乙两种型号的机器人共16台，且总费用不超过420万元，则最多可购买乙型机器人多少台
【答案】（1）解：∵设每台甲型机器人的价格为万元，且每台乙型机器人比每台甲型机器人贵万元，
∴每台乙型机器人的价格为万元，
∵用200万元购买甲型机器人的数量，是用120万元购买乙型机器人数量的倍，
∴可得方程：；
（2）解：由（1）得，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
则，
∴每台甲型机器人25万元，每台乙型机器人30万元，
设购买乙型机器人台，则购买甲型机器人台，
根据题意得，
解得，
∵是非负整数，
∴的最大值为，
答：最多可购买乙型机器人台．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查分式方程与一元一次不等式的实际应用，核心是找准等量关系与不等关系列方程、不等式。
（1）设每台甲型机器人的价格为y万元，根据“每台乙型机器人比每台甲型贵5万元”，可用含y的代数式表示出乙型机器人的单价；再根据“总价÷单价=数量”，分别表示出200万元购买甲型的数量与120万元购买乙型的数量；最后根据甲型数量是乙型数量的2倍这一等量关系，即可列出对应的分式方程；
（2）先求解第(1)问的分式方程，检验后得到甲、乙两种机器人的单价；再设购买乙型机器人的数量为m台，用含m的代数式表示出甲型机器人的购买数量；根据“单价×数量=总价”分别表示出两种机器人的总费用，结合总费用不超过420万元的不等关系列出一元一次不等式；求解不等式后取最大的非负整数解，即为最多可购买乙型机器人的数量。
18．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接OC并延长至点D， 使得∠CBD=∠ACO．
（1） 求证： BD 是⊙O 的切线；
（2） 若CD=4， BD=6， 求BC 的长；
（3）利用圆规和无刻度直尺在图中作出点C关于直线AB的对称点 P (保留作图痕迹，不要求写出作法)．
【答案】（1）证明：∵
∴
∵
∴
∵是的直径，
∴
∴
∴
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）过点作于点，则
设，则
∵，
∴
∴
解得，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∴，
∴
∴．
（3）解：连接，
由作图可得，
则，
再由垂径定理的推论可得垂直平分，
即可得到点关于对称．
【知识点】勾股定理；切线的判定；作图﹣轴对称；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】本题考查圆的综合应用，涵盖切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、轴对称作图等知识点。
（1）首先根据等腰三角形的性质，由OA=OC可得∠ACO=∠OAC，结合已知∠CBD=∠ACO，通过等量代换得到∠CBD=∠OAC；再根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°，因此Rt△ACB中∠OAC+∠ABC=90°；通过等量代换可推出∠CBD+∠ABC=90°，即∠ABD=90°，说明AB⊥BD；最后结合OB是半径，根据切线的判定定理，经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，即可证明BD是⊙O的切线；
（2）设圆的半径为r，则OB=OC=r，OD=OC+CD=r+4；在Rt△OBD中，根据勾股定理，代入已知边长列出关于r的方程，求解得到半径长度；过点B作BT⊥OC于点T，可证△BOT∽△DOB，根据相似三角形对应边成比例，分别求出OT与BT的长度；再计算出CT的长度，最后在Rt△BTC中利用勾股定理即可求出BC的长；
（3）根据轴对称的性质与圆的对称性，以点A为圆心、AC长为半径画弧，与⊙O的另一个交点即为点P；由同圆中相等的弦对应的弧相等，结合垂径定理的推论，可证AB垂直平分CP，因此点P与点C关于直线AB对称。
19．综合与实践
【问题背景】
随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题．
【研究条件】
条件1：该充电站收入y(单位：元)与当日充电汽车数量x(单位：辆)之间的对应关系如下表
x 1 2 3 4 5
y 50 100 150 200 250
条件2：该充电站的运营成本ω(单位：百元)与充电汽车数量x之间满足：
【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题：
（1）根据上表数据，求y与x的函数关系式，并计算当x=40时，该充电站的收入为多少百元
（2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时x的值，并写出该充电站收入y与x的新关系式；
（3）【模型应用】
由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y=mx，成本关系保持不变．已知当汽车数量为 80 辆时，净收益(净收益=收入-成本)取得最大值，请写出一个符合条件的m值，并说明理由．
【总结反思】
函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策．
【答案】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设，
将，代入得，
∴与的函数关系式为，
当时，（元）；
（2）解：收支平衡满足，
∴
解得，，此时收支平衡时收入等于成本，
∴收入与的新关系式为；
（3），理由如下：
设净收益为W，
∴，
，
二次函数图象开口向下，
∴当时取得最大值，
由题意得，时净收益最大，
∴
解得．
【知识点】一元二次方程的其他应用；二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【分析】本题考查一次函数、一元二次方程与二次函数的实际应用，涵盖待定系数法求解析式、一元二次方程求解、二次函数的最值等知识点。
（1）观察表格数据，y随x成比例均匀增长，可判断y是x的正比例函数，设函数解析式为；选取表格中一组x、y的对应值代入解析式，求出k的值即可得到y与x的函数关系式；再将代入求得的解析式，计算即可得到对应的收入金额；
（2）收支平衡即收入等于成本，因此令，将两个函数表达式联立得到关于x的一元二次方程；对方程进行整理、因式分解求解，即可得到收支平衡时x的两个取值；收支平衡时收入与成本相等，因此收入的新关系式与成本的函数表达式一致；
（3）首先根据“净收益=收入-成本”，将调整后的收入函数与成本函数代入，用含m、x的代数式表示出净收益W，整理得到关于x的二次函数解析式；由于二次项系数为负，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值；根据二次函数顶点横坐标公式，写出净收益最大时对应的x的表达式，结合题意x=80时净收益最大，令该表达式等于80，求解即可得到m的值。
20．综合与探究
定义：若四边形的一条对角线被另一条对角线平分，且另一条对角线被交点分成的两条线段长度之比为k(k≥1)，则称该四边形为“k倍四边形”．
（1） ①如图1， 在 ABCD中， 对角线AC与BD交于点O， 点E为OB中点．若四边形AECD为k倍四边形，则k的值为　 　；
②如图2，在k倍四边形ABCD中，若对角线AC被BD平分，则 　 　；(用含k的代数式表示)
（2）如图3，四边形ABCD为k倍四边形，其对角线 BD平分对角线AC，且满足∠BDC=2∠ABD， BD=4CD， 求k的值；
（3） 如图4， 已知定点A， B， 且AB⊥BM， 点C为射线 BM上一动点，点 D为平面内一点，连接A，B，C，D 构成四边形ABCD．若BD平分AC， ∠BAC=∠DAC，四边形ABCD是“2倍四边形“， 求tan∠ACD的值．
【答案】（1）2；k
（2）解：如图，过点作交于点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形为倍四边形，其对角线平分对角线，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
设，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设交于点，过点分别作的垂线，垂足分别为
①当时，设，如图4，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
在中，，
∴；
②当时，设，如图4，
同①可得，，
∴，
同①可得，
∴，
设，则，
∴，，
∵，即，
解得：，
∴，，
在中，，
∴，
综上所述，的值为或．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）①∵四边形是平行四边形，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵四边形为倍四边形，
∴；
②如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵四边形为倍四边形，对角线被平分，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
【分析】本题是新定义类几何综合题，考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及锐角三角函数等知识点，解题核心是理解“k倍四边形”的定义并结合几何性质推导。
（1）①根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得AO=CO，BO=DO；由点E是OB中点，可得，进而推出DO与EO的长度比值；结合k倍四边形的定义，AC被BD平分，BD被交点分成的两段中较长段与较短段的比值即为k，据此计算即可；②过点B、D分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，可得BE与DF均为三角形的高；由对顶角相等与直角相等，可证△BOE∽△DOF，根据相似三角形对应边成比例，可得DF与BE的比值等于DO与BO的比值k；△ACD与△ACB同底AC，面积比等于对应高的比，代入高的比值即可得到面积比的代数式。
（2）过点A作AG平行于CD，交BD于点G；由BD平分AC可得AP=CP，结合对顶角相等与平行线的内错角相等，可根据AAS证明△APG≌△CPD，因此AG=CD，GP=DP；根据平行线的性质，∠AGD=∠BDC，结合已知∠BDC=2∠ABD，通过三角形外角的性质推导可得∠ABD=∠BAG，因此AG=BG；设CD=a，根据BD=4CD表示出BD的长度，结合AG=BG=CD=a，计算出GD的长度，进而得到DP与BP的长度，最终求出BP与DP的比值即为k的值。
（3）设AC与BD交于点E，过点B、D分别作AC的垂线，垂足分别为H、G；由BD平分AC可得AE=EC，结合AB⊥BM，在Rt△ABC中根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得BE=AE=EC。分两种情况讨论：第一种情况，时，设BE=2，DE=1，由△DGE∽△BHE可得对应边的比例关系，设出线段长度用含m的代数式表示；再由∠BAC=∠DAC可证△ABH∽△ADG，得到对应边的比例关系，联立方程求出m的值；进而计算出CG与DG的长度，在Rt△DGC中根据正切的定义求出的值；第二种情况，时，同理按照相同的推导逻辑，计算对应线段长度，求出另一种情况下的值，综合两种情况得到最终结果。
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