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山东泰安市部分学校2025-2026学年高二下学期7月测试
数学试卷
一、单选题
1．已知全集，若集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D． 或
2．“”的一个必要不充分条件为（ ）．
A． B． C． D．
3．设，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
5．甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说:“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说:“你不会是最差的”，从这两个回答分析，这人的名次排列所有可能的情况共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
6．2020年初，新型冠状病毒(COVID-19)引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：
周数(x) 1 2 3 4 5
治愈人数(y) 2 17 36 93 142
由表格可得y关于x的二次回归方程为，则此回归模型第2周的残差(实际值与预报值之差)为（ ）
A．5 B．4 C．1 D．0
7．若，则取得最大值时，（ ）
A．4或5 B．5或6 C．10 D．5
8．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．的图象关于点对称
D．若，且在上无零点，则的最小值为
10．已知函数定义在上，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（ ）
A．
B．
C．的解集为
D．
11．甲盒中装有2个黑球、1个白球，乙盒中装有1个黑球、2个白球，同时从甲、乙两盒中随机取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中黑球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．某人要经过一段有14级台阶的楼梯，他每次迈步时都是一步迈两级或三级台阶，那么他的走法有______种．
13．某高中为调查本校1800名学生周末玩游戏的时长，设计了如下的问卷调查方式：在一个袋子中装有3个质地和大小均相同的小球，其中1个白球，2个红球，规定每名学生从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一个球，记下颜色．若“两次摸到的球颜色相同”，则回答问题一：若第一次摸到的是红球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；若“两次摸到的球颜色不同”，则回答问题二：若玩游戏时长不超过一个小时，则在问卷中画“○”，否则画“×”．当全校学生完成问卷调查后，统计画“○”和画“×”的比例，由频率估计概率，即可估计出玩游戏时长超过一个小时的人数．若该校高一一班有45名学生，用X表示回答问题一的人数，则X的数学期望为______；若该校的所有调查问卷中，画“○”和画“×”的比例为7∶2，则可估计该校学生玩游戏时长超过一个小时的人数为______．
14．若对任意的，均有成立，则称函数为和在上的“中间函数”．已知函数，且是和在区间上的“中间函数”，则实数m的取值范围是__________．
四、解答题
15．石墨烯发热膜在生产生活中应用广泛.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了100次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.
(1)根据等高堆积条形图，填写如下列联表，并依据的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关；
（单位：次） A材料 B材料 合计
试验成功
试验失败
合计
(2)制作1吨石墨烯发热膜有甲、乙两个环节，其中甲环节生产合格的概率为，乙环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.若生产不合格还需进行修复，甲环节的修复费用为3万元，乙环节修复费用均为2万元.设随机变量为制作石墨烯发热膜所产生的修复费用，求的分布列及数学期望.
附：，其中.
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
16．已知函数．
(1)当时，用单调性的定义证明是增函数；
(2)当是偶函数时，的图像在函数图像下方，求b的取值范围．
17．试分别解答下列两个小题：
（1）如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点．
①求证：平面；
②若，，求证：平面．
（2）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率．
18．红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

(1)根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中，，
参考数据（）
5215 17713 714 27 81.3 3.6
(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施.
19．拟合（Fittiong）和插值（Imorterpolation）都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法.拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数据可能包含误差的情况，比如线性回归就是一种拟合方法；而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点.适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为移项式插值.例如，为了得到的近似值，我们对函数进行多项式插值.设一次函数满足，可得在上的一次插值多项式，由此可计算出的“近似值”，显然这个“近似值”与真实值的误差较大.为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特（Hermite）插值多项式.已知函数在上的二次埃尔米特插值多项式满足
(1)求，并证明当时，；
(2)若当时，，求实数的取值范围；
(3)利用计算的近似值，并证明其误差不超过.
（参考数据：；结果精确到0.001）
《山东泰安市部分学校2025-2026学年高二下学期7月测试数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C B C C D A ACD BCD
题号 11
答案 ACD
12．21
13． 25 450
14．
15．解（1）根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下：
单位：次 A材料 B材料 合计
试验成功 90 60 150
试验失败 10 40 50
合计 100 100 200
零假设为：试验结果与材料无关.
计算可得，
依据的独立性检验，推断不成立，即认为试验结果与材料有关.
（2）的可能取值为0，2，3，5.
，，，，
则的分布列为
0 3 5
数学期望.
16．解（1）证明：当时，，
设，，且，
则，
∵，∴，∴，
∴，∴，所以当时是增函数，
（2）解：由，得，
整理得，
则对任意恒成立，所以．
所以，
函数的图像在图像下方，
等价于，即恒成立．
∵，∴，∴，∴，∴，
即，∴，所以，即的取值范围是．
17．解（1）①如图，连接，，
直三棱柱，，四边形为矩形，
由矩形性质得过的中点，在中，由中位线性质得，
又平面，平面，
所以平面.
②如图，连接.
由题得,
因为,所以.
因为平面，
所以平面, 因为平面,
所以,因为，所以,
因为平面，
所以平面.
（2）设事件 “甲第一轮猜对”，事件 “乙第一轮猜对”，
事件 “甲第二轮猜对”，事件 “乙第二轮猜对”，
事件“星队”在两轮活动中猜对3个成语”．
由题意得．
有事件的独立性与互斥性，可得
．
18．解（1）由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型.
（2）将两边同时取自然对数，可得，
由题中的数据可得，，，
所以，
则，
所以z关于x的线性回归方程为，
故y关于x的回归方程为；
（3）选择方案1最佳，理由：
用，和分别表示选择三种方案的收益.
采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为万，即
采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为万，
如果发生，则收益为万，即，
同样，采用第3种方案，有
所以，，
，
.
显然，最大，所以选择方案1最佳.
19．解（1），，，，，
，，
由得，解得，因此.
设，，
，令，则，
因为在上单调递增，且，，
故存在使，且在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以在上存在唯一的零点，使得，
且在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，即.
（2）由（1）知等价于，且，
设，，则，
，
令，则，
令，则，所以在上单调递减，
若，则，
所以在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，所以；
若，则，而，
故存在，使，
从而在上，，单调递增，，
于是单调递增，不符合题意.
综上所述，的取值范围为.
（3）.
由（2）知，，
所以，误差.

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