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浙教版新版八上第四单元 新知超前
第四单元 图形与坐标——知识小结（原卷版）
一、平面直角坐标系
1. ______：两条互相垂直且有公共原点的数轴。水平为______，竖直为______，公共原点为______。
2. ______：有序实数对______。x为横坐标，y为纵坐标，顺序不可颠倒。
3. ______：I______ II______ III______ IV______。______不属于任何象限。
4. ______：|x|→到y轴距离，|y|→到x轴距离。平行于x轴→y相同，平行于y轴→x相同。
二、用方向和距离确定位置
1. ______：用______确定位置。方向以正北或正南为基准。
2. ______：A在B的北偏东30°/500m→B在A的______。
3. ______：以参照点为原点建立坐标系→已知两点坐标推求第三点。
三、坐标平面内的图形变换
1. ______：(a,b)→______，横不变纵相反。
2. ______：(a,b)→______，纵不变横相反。
3. ______：左右移→______(a±d,b)；上下移→______(a,b±d)。图形平移→各顶点做相同变化。
考点一 平面直角坐标系
例1．点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式1．如果点在平面直角坐标系的轴上，那么点坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式2．若点在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点二 距离与平行于坐标轴
例2．在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
变式1．若轴上的点到轴的距离为5，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
变式2．已知，直线平行于轴，，那么点的坐标为________．
考点三 方向和距离定位
例3．根据下列表述，能确定某地点其体位置的是（ ）
A．， B．东风东路 C．北偏东 D．大地影院第2排
变式1．一般地，可以建立平面直角坐标系，用坐标表示平面内的地理位置，还可以用表示方向的角和距离表示平面内物体的位置．如图所示，关于轮船、下列说法正确的是（ ）
A．轮船在轮船北偏东的方向上，与轮船相距
B．轮船在轮船南偏东的方向上，与轮船相距
C．轮船在轮船北偏东的方向上，与轮船相距
D．轮船在轮船南偏东的方向上，与轮船相距
变式2．如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为______．
考点四 坐标平面内的轴对称
例4．点关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式1．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点坐标是 ____________ ．
变式2．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是（ ）
A． B．3 C． D．1
考点五 坐标平面内的平移
例5．在平面直角坐标系中，将点向上平移5个单位长度，再向左平移7个单位长度，所得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式2．将某图形的横坐标都减去2，纵坐标不变，则该图形（ ）
A．向右平移2个单位长度 B．向左平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度
一、选择题
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度后，得到的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）某班级第3组第4排位置可以用数对表示，则数对表示的位置是（ ）
A．第2组第1排 B．第1组第1排 C．第1组第2排 D．第2组第2排
3．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）6名同学的身上分别贴着一个点，，，，，．老师请贴着第四象限点的同学站起来，人数是（ ）
A．1名 B．2名 C．3名 D．4名
4．（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·山西运城·期末）下图平面直角坐标系中点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）若点在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知点在第四象限，当m为何值时，点A到x轴的距离是它到y轴的距离的2倍（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24六年级上·黑龙江绥化·期中）一架飞机，从某机场向南偏东方向飞行了，返回时飞机要向（　　）
A．南偏东方向飞行 B．北偏东方向飞行
C．南偏西方向飞行 D．北偏西方向飞行
二、填空题
9．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）若已知点，则点P到x轴的距离是___________．
10．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴负半轴上，距离原点5个单位长度，则点A的坐标为______．
11．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是________，点B的坐标是________．
12．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点与点关于y轴对称，则______．
13．（23-24八年级上·宁夏吴忠·期末）点与点关于轴对称，则_____．
三、解答题
14．（24-25七年级上·全国·期末）已知如图，在平面直角坐标系中，其中，，，试解答下列各题：
(1)作出关于y轴对称的，并写出三个顶点的坐标；（ ）；（ ）；（ ）．
(2)在x轴上画出点P，使最小．
15．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）若网格中小正方形的边长为1，请建立一个合适的平面直角坐标系，使得教学楼的坐标为，并分别写出图书馆、宿舍楼、实验楼的坐标；
（2）由于学校扩大建设，教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼需要等距离整体迁移，已知迁移后新的教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼分别用，，，表示，且这四点的坐标均用原来各地的纵坐标减5，横坐标不变得到的．请先在图中描出，，，的位置，画出四边形，再说明四边形是以教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼所在地为顶点的四边形经过怎样平移得到的．
16．（22-23七年级下·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，把进行平移，平移后得到，且内任意点平移后的对应点为．

(1)画出平移后的图形；
(2)写出三个顶点，，的坐标．
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浙教版新版八上第四单元 新知超前
第四单元 图形与坐标——知识小结（解析版）
一、平面直角坐标系
1. 坐标系组成：两条互相垂直且有公共原点的数轴。水平为x轴（横轴），竖直为y轴（纵轴），公共原点为O(0,0)。
2. 点的坐标：有序实数对(x,y)。x为横坐标，y为纵坐标，顺序不可颠倒。
3. 象限：I(+,+) II(-,+) III(-,-) IV(+,-)。坐标轴上的点不属于任何象限。
4. 距离：|x|→到y轴距离，|y|→到x轴距离。平行于x轴→y相同，平行于y轴→x相同。
二、用方向和距离确定位置
1. 方位表示：用方向（方位角）+距离确定位置。方向以正北或正南为基准。
2. 互逆：A在B的北偏东30°/500m→B在A的南偏西30°/500m。
3. 坐标系定位：以参照点为原点建立坐标系→已知两点坐标推求第三点。
三、坐标平面内的图形变换
1. 关于x轴对称：(a,b)→(a,-b)，横不变纵相反。
2. 关于y轴对称：(a,b)→(-a,b)，纵不变横相反。
3. 平移：左右移→横变纵不变(a±d,b)；上下移→纵变横不变(a,b±d)。图形平移→各顶点做相同变化。
考点一 平面直角坐标系
例1．点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
根据非负数的性质判断出点P的纵坐标是负数，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴点所在的象限是第四象限．
故选：D．
变式1．如果点在平面直角坐标系的轴上，那么点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据x轴上的点纵坐标为0，先求出m的值，再计算横坐标得到P点坐标．
【详解】解：∵点在轴上，
∴根据x轴上点的坐标特征得，
解得，
将代入横坐标计算得，
∴点坐标为．
变式2．若点在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征，一元一次不等式组，掌握知识点是解题的关键．
根据第二象限点横坐标为负、纵坐标为正的特征列出不等式组，求解即可得到m的取值范围．
【详解】解：∵点在第二象限
∴
解不等式，得
，
解不等式，得
，
∴m的取值范围是．
故选B．
考点二 距离与平行于坐标轴
例2．在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值即可得解．
【详解】解：点到x轴的距离为，
故选：B．
变式1．若轴上的点到轴的距离为5，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了坐标轴上的点的坐标特征，在轴上的点的纵坐标为．
根据坐标轴上的点的坐标特征即可得到答案．
【详解】解：轴上的点到轴的距离为5，
点的横坐标为或，纵坐标为，
点的坐标为或，
故选：C ．
变式2．已知，直线平行于轴，，那么点的坐标为________．
【答案】或
【分析】根据点坐标及直线轴可知点和点的横坐标相等，再由，分类讨论求出的纵坐标即可．
【详解】∵，直线平行于轴，，
∴分类：①点在点的上方，则，即；
②点在点的下方，则，即．
综上，点的坐标或．
考点三 方向和距离定位
例3．根据下列表述，能确定某地点其体位置的是（ ）
A．， B．东风东路 C．北偏东 D．大地影院第2排
【答案】A
【分析】本题主要考查了位置的表示方式，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据在平面内，要有两个有序数据才能清楚地表示出一个点的位置即可得出答案．
【详解】解：A．，能确定位置，符合题意；
B．东风东路不能确定位置，不符合题意；
C．北偏东不能确定位置，不符合题意；
D．大地影院第2排不能确定位置，不符合题意；
故选：A．
变式1．一般地，可以建立平面直角坐标系，用坐标表示平面内的地理位置，还可以用表示方向的角和距离表示平面内物体的位置．如图所示，关于轮船、下列说法正确的是（ ）
A．轮船在轮船北偏东的方向上，与轮船相距
B．轮船在轮船南偏东的方向上，与轮船相距
C．轮船在轮船北偏东的方向上，与轮船相距
D．轮船在轮船南偏东的方向上，与轮船相距
【答案】D
【分析】本题考查用方位角和距离表示实际位置，根据图形结合方向角的定义，进行求解即可．
【详解】解：由图可知：
∴轮船在轮船南偏东的方向上，与轮船相距
故选D．
变式2．如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为______．
【答案】
【分析】本题考查了坐标确定位置，根据题意得到圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数是解题关键．根据题意可得：圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数，可得答案．
【详解】解：∵A，B的位置分别表示为．
∴目标C的位置表示为．
故答案为：
考点四 坐标平面内的轴对称
例4．点关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标，关于x轴对称的点的坐标变换规律为：横坐标不变，纵坐标取相反数．
【详解】解：点关于x轴对称时，其横坐标1保持不变，纵坐标2变为，
因此对称点的坐标为，
故选B．
变式1．在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点坐标是 ____________ ．
【答案】
【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横、纵坐标的符号关系是解题关键．根据关于x轴对称点的坐标特点，可直接求得所求点坐标．
【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为，
故答案为：．
变式2．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】A
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求出m、n的值即可得到答案．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
考点五 坐标平面内的平移
例5．在平面直角坐标系中，将点向上平移5个单位长度，再向左平移7个单位长度，所得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查点的平移，掌握平移规则是解题的关键.
根据点的平移规则，向上平移纵坐标增加，向左平移横坐标减少，由此即可解答.
【详解】解：∵点向上平移个单位长度，
∴纵坐标变为；
∵向左平移个单位，
∴横坐标变为.
∴所得点的坐标为，
故选：B．
变式1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标的平移，掌握坐标的平移规律是解题关键．根据横坐标左移减，纵坐标上移加，即可求解．
【详解】解：点的坐标为，将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为，即，
故选：A．
变式2．将某图形的横坐标都减去2，纵坐标不变，则该图形（ ）
A．向右平移2个单位长度 B．向左平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度
【答案】B
【解析】略
一、选择题
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度后，得到的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到平移后点的坐标，再根据坐标符号判断所在象限即可．
【详解】解：点坐标为，向下平移个单位长度，得到点的坐标为，
平移后得到的点在第三象限．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）某班级第3组第4排位置可以用数对表示，则数对表示的位置是（ ）
A．第2组第1排 B．第1组第1排 C．第1组第2排 D．第2组第2排
【答案】C
【分析】本题考查数对，理解数对的含义是解题的关键．
根据前一个数表示组，后一个数表示排进行判断即可
【详解】解：∵第3组第4排位置为，
∴前一个数表示组，后一个数表示排，
∴数对表示第1组第2排，
故选：C．
3．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）6名同学的身上分别贴着一个点，，，，，．老师请贴着第四象限点的同学站起来，人数是（ ）
A．1名 B．2名 C．3名 D．4名
【答案】B
【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，熟知每个象限内点的坐标特点是解题的关键：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．
根据坐标系中每个象限内点坐标的特点进行求解即可．
【详解】解：，在第四象限；在y轴上；在x轴上；在第一象限；在第三象限；
∴在第四象限的点有2名．
故选：B．
4．（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：轴上的点的纵坐标为．根据轴上点的纵坐标等于零，求出，即可得答案．
【详解】解：点在轴上，
，
解得：，
，
点的坐标为，
故选：A．
5．（25-26八年级上·山西运城·期末）下图平面直角坐标系中点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：在平面直角坐标系中，点的坐标为．
6．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）若点在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征，一元一次不等式组，掌握知识点是解题的关键．
根据第二象限点横坐标为负、纵坐标为正的特征列出不等式组，求解即可得到m的取值范围．
【详解】解：∵点在第二象限
∴
解不等式，得
，
解不等式，得
，
∴m的取值范围是．
故选B．
7．（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知点在第四象限，当m为何值时，点A到x轴的距离是它到y轴的距离的2倍（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了直角坐标系中点到坐标轴的距离，解一元一次方程的应用．由点在第四象限，得点到x轴的距离是，到y轴距离是，再根据“点A到x轴的距离是它到y轴的距离的2倍”列式求解即可．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，，
∴点到x轴的距离是，到y轴距离是，
∵点A到x轴的距离是它到y轴的距离的2倍，
∴，
解得.
故选：B．
8．（23-24六年级上·黑龙江绥化·期中）一架飞机，从某机场向南偏东方向飞行了，返回时飞机要向（　　）
A．南偏东方向飞行 B．北偏东方向飞行
C．南偏西方向飞行 D．北偏西方向飞行
【答案】D
【分析】根据位置的相对性：两地相互之间的方向相反，距离相等，据此解答.
【详解】解：根据分析可知：返回时飞机要按北偏西方向飞行1200千米.
故选：D.
二、填空题
9．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）若已知点，则点P到x轴的距离是___________．
【答案】4
【分析】本题考查点坐标到坐标轴的距离的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．
【详解】解：到x轴的距离是．
故答案为：4．
10．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴负半轴上，距离原点5个单位长度，则点A的坐标为______．
【答案】
【分析】本题考查了点在轴上的坐标特点，距离的意义，熟练掌握特点和意义是解题的关键．根据x轴上点的坐标特征，结合点在x轴负半轴的位置及点到原点的距离，确定点A的横纵坐标．
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
又点A在轴负半轴上，且距离原点5个单位长度，
∴．
∴点A的坐标为，
故答案为：．
11．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是________，点B的坐标是________．
【答案】 （－2，3） （－3，－2）
【解析】略
12．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点与点关于y轴对称，则______．
【答案】8
【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于对称轴对称的点的坐标特征．
根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出m，n的值，再代入解答即可．
【详解】解：根据题意得，，
解得，
∴，
故答案为：8．
13．（23-24八年级上·宁夏吴忠·期末）点与点关于轴对称，则_____．
【答案】
【分析】本题考查了关于对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，数纵坐标互为相反数，可得的值，再把值代入代数式计算即可求解，掌握关于对称的点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
三、解答题
14．（24-25七年级上·全国·期末）已知如图，在平面直角坐标系中，其中，，，试解答下列各题：
(1)作出关于y轴对称的，并写出三个顶点的坐标；（ ）；（ ）；（ ）．
(2)在x轴上画出点P，使最小．
【答案】(1)见解析，，2；，1；，3
(2)见解析
【分析】本题考查了作轴对称图形，关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）先得出点A、B、C分别关于y轴对称的点，然后顺次连接即可；
（2）作点A关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，由可得点P为所要求作的点．
【详解】（1）如图所示，即为所求，
∴，，；
（2）如图所示，点P即为所求．
15．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）若网格中小正方形的边长为1，请建立一个合适的平面直角坐标系，使得教学楼的坐标为，并分别写出图书馆、宿舍楼、实验楼的坐标；
（2）由于学校扩大建设，教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼需要等距离整体迁移，已知迁移后新的教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼分别用，，，表示，且这四点的坐标均用原来各地的纵坐标减5，横坐标不变得到的．请先在图中描出，，，的位置，画出四边形，再说明四边形是以教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼所在地为顶点的四边形经过怎样平移得到的．
【答案】（1）见解析,图书馆，宿舍楼，实验楼；（2）见解析．
【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立，坐标与图形的平移，掌握平面直角坐标系中点的坐标确定方法和图形平移的坐标变化规律是解题的关键．
（1）根据教学楼坐标确定平面直角坐标系的原点位置，再结合网格边长为，确定图书馆、宿舍楼、实验楼的坐标；
（2）根据新坐标与原坐标的变化规律，判断图形的平移方向与距离．
【详解】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示，
图书馆，宿舍楼，实验楼；
（2）点，，，的坐标均用原来各地的纵坐标减5，横坐标不变得到的，
，，，的位置如图所示，则四边形是以教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼所在地为顶点的四边形向下平移个单位长度得到的．
16.（22-23七年级下·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，把进行平移，平移后得到，且内任意点平移后的对应点为．

(1)画出平移后的图形；
(2)写出三个顶点，，的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)；；
【难度】0.65
【分析】（1）先确定平移方式为向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，再分别确定A，B，C平移后的对应点，，，再顺次连接即可；
（2）根据点，，的位置可得其坐标．
【详解】（1）解：∵内任意点平移后的对应点为．
∴向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，
如图，即为所求作的三角形
．
（2）根据，，的位置可得：；；．
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