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郑州市三校2025-2026学年高二下学期7月月考
数学试题
一、单选题
1．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知f1(x)=sin x+cos x,记f2(x)=f1'(x),f3(x)=f2'(x),…,fn(x)=f'n-1(x)(n∈N*,n≥2),则等于
A．1 B．2 C．3 D．4
3．定义为个正数的“倒均数”．若数列的前项的“倒均数”为，数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有
A．300种 B．150种 C．120种 D．90种
6．下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则
A． B． C． D．
8．已知，，且A，B相互独立，则（ ）
A．0.3 B．0.9 C．0.18 D．0.6
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小
B．在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱
C．数据，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的极差为40，则这组数据的第百分位数为79
D．已知随机变量，且，则的最小值为3
10．已知定义在上的连续函数满足，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是偶函数
C． D．的图象关于对称
11．对，设，其中，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．集合，，则________
13．定义在上的函数，满足，，且函数为偶函数，则对任意正整数n，__________.
14．从3男4女共7名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生的选法有__________种．（用数字作答）
四、解答题
15．湖北省教育厅出台《全省学校安全专项治理工作方案》，加强校园“十防”、“七全”安全教育和防范工作.为了普及安全教育，增强学生安全意识，武汉市准备组织一次安全知识竞赛.某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，记“性别为男”，“得分超过85分”，且.
(1)完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生了解安全知识的程度与性别有关？
性别 了解安全知识的程度 合计
得分不超过85分的人数 得分超过85分的人数
男
女
合计
(2)学校准备分别选取参与测试的男生和女生前两名学生代表学校参加竞赛，已知男生获奖的概率为，女生获奖的概率为，记该校获奖的人数为，求的分布列与数学期望.
附参考公式：.，其中.下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．数列满足.
(1)令，求证：是等比数列；
(2)令，的前n项和为，求证：.
17．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中个白球，个红球．每次从袋子中随机摸出个球，摸出的球不再放回，共摸球两次．
(1)设随机变量为两次摸球中摸到白球的个数，求的分布列和；
(2)设“第次摸到白球”，“第次摸到红球”．求和，结果用分数表示
19．（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式；
（2）已知函数①求，，；②若，求a的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D B D A C ACD BCD
题号 11
答案 ACD
12．
13．
14．34
15．解（1）因为，
所以，即，
所以，
所以200人中男生有120人，女生有80人，测试成绩超过85分的有150人，其中男生100人，女生50人.列联表如下：
性别 了解安全知识的程度 合计
得分不超过85分的人数 得分超过85分的人数
男 20 100 120
女 30 50 80
合计 50 150 200
零假设为：该校学生了解安全知识的程度与性别没有关联.
根据列联表中的数据，经计算得到,
根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，
即认为了解安全知识的程度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）可能取.,
,
,
,
.
所以的分布列为
0 1 2 3 4
所以.
16．解（1）∵，故，且，
故，∴，，
则，
故是公比为的等比数列；
（2）由(1)可知，
∴
，
∴，∴，
∵，故．
当时，，故，
∴，
故当时，，
故
，
故．
17．解（1）因为，所以.
因为，若，即时，在上单调递增，
若，即时，令，得；
令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，恒成立，
所以，则，
令且，则，
令，则，故在上单调递增，
又，所以时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
所以，实数的取值范围为.
18．解（1）由题意知：所有可能的取值为，
，
，
；
的分布列为：
.
（2）由题意知：，，
，
又，，与互斥
由全概率公式
19．（1）；（2）①，，；②或.

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