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黑龙江省绥化市2026年中考数学真题
1．下列有理数中，没有倒数的是(　　)
A．–2027 B．1 C．0 D．-1
2．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(　　)
A．正六边形 B．矩形 C．正方形 D．等边三角形
3．若分式 有意义，则x满足的条件是(　　)
A．x为任意实数 B．x≠1 C．x≠0 D．x>1
4．下列计算中，结果正确的是(　　)
A．|-3|=-3 B． C． D．
5．某校为了了解学生使用电子产品的情况，随机抽查了某班A，B两组学生一周使用电子产品的时间(单位：小时)，数据如下表所示：
A组 6 7 8 8 8 9 10
B 组 4 7 9 9 9 11 14
下列说法正确的是(　　)
A．两组数据的众数相等
B．A组数据的平均数大于B组数据的平均数
C．A组数据的方差小于B组数据的方差
D．A组数据的中位数大于B组数据的中位数
6．已知x1，x2是一元二次方程 的两个根，则 的值为(　　)
A．16 B．–16 C．20 D．-20
7．下列命题正确的是(　　)
A．正五边形的外角和是540°
B．对角线互相垂直的四边形一定是菱形
C．三角形两边的和大于第三边
D．一组对角相等的四边形一定是平行四边形
8．如图， AD∥BC， ∠C=30°， ∠ADB：∠BDC=1：2， 则∠DBC的度数是(　　)
A．30° B．36° C．45° D．50°
9．《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，4二车空；二人共车，九人步.问人有几何 意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行.问共有多少人 设共有x人，可列方程为(　　)
A． B． C． D．
10．如图，有一小型科学探测器在空中A 处探测到地平面目标B，此时从探测器上看目标B的俯角α=30°，探测器飞行的高度则探测器到目标B的距离AB约为(其中 计算结果精确到0.1)(　　)
A．207.8m B．207.9m C．208.8m D．208.9m
11．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 是等腰直角三角形，∠A=90°， OB=2 将△OAB绕点O顺时针旋转45°后，得到△OA'B'，点A，B 的对应点分别是点A'，B'，以原点为位似中心，将△OA'B'放大为原来的3倍后，得到△OA"B"，顶点B'在第一象限对应点B"的坐标是(　　)
A．(6，6) B．(6， 2) C． D．
12．已知二次函数 的图象如图所示，顶点坐标为(-2，5)，与x轴交于A(m，0)，B两点，其中2②b+4a=0 ③a-b+3c>0 ⑤方程 (k为常数)有实数根.其中正确的个数有(　　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．海水淡化，利国利民.2026年6月，我国自然资源部发布，我国海水淡化日产能突破300万吨.把300万用科学记数法表示为　 　.
14．分解因式： 　 　.
15．某几何体是由棱长为1cm的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是　 　cm2.
16．如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则这个正六边形地基的面积是　 　m2 (计算结果保留根号).
17．计算： 　 　.
18．如图， 在⊙O中，， ∠ABC=70°， 则∠BOC=　 　.
19．如图，反比例函数 与边长为10的等边三角形OAB 相交于C，D 两点，边OB 与x轴重合， BD：OC=1：3， 则k的值是　 　.
20．如图， 在直角三角形ABC中， ∠ACB=90°， ∠B=30°， AC=2， 点P， D分别在边AB，BC上运动，连接PC，PD.则PC+PD的最小值是　 　.
21．按一定规律排列的数据依次为2，7，14，23，34，47，….若按此规律继续排列下去，则第n个数可以表示为　 　(结果用含n的代数式表示).
22．已知△ABC是腰长为4的等腰直角三角形， ∠ACB=90°，D是AC的中点， 连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF，点 E，F的对应点分别是点C，D，连接CF.当CF∥AB时，则CF的长为　 　.
23．尺规作图：如图，在∠AOB的内部有一点 P.
（1）【初步探索】
如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形OMN，并使等腰三角形的底边MN经过点P，点M，点N分别在射线OA，射线OB上.(温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹)
（2） 【拓展探究】
如图2， 若连接OP，OP=3.以O为圆心，OP为半径画圆，交射线OA，射线OB于C，D 两点，则劣弧 的长度为　 　.(本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含π的代数式表示的结果)
24．为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，培养学生动手实践能力，某校开展“科技小发明”创新实践活动，随机调查了八年级部分同学平均每周参与“科技小发明”创新实践活动的时间(单位：小时)，按照时长分成五个不同类别，并绘制如下不完整的统计图.根据图表中信息回答下列问题：
类别 参与创新实践活动的时间x(单位：小时)
A
B
C
D
E
（1）本次随机调查的学生共有 ▲ 人，补全条形统计图.
（2）若该校八年级学生共有320人，请估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在1.5小时及以上的学生人数.
（3）已知E类学生中恰好有2名女生和1名男生，现从中抽取两名同学做“科技小发明”展示交流，请用列表法或画树状图法，求出所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率.
25．我国人工智能发展迅速，能替代人类完成很多工作.某快递公司准备购进A，B两种型号的快递智能分拣机械手(以下A型快递智能分拣机械手简称A型机械手，B型快递智能分拣机械手简称B 型机械手)，已知A 型机械手的单价比B型机械手的单价高2万元，用120万元购进A型机械手的数量和用80万元购进B型机械手的数量相等.
（1）求A，B两种型号机械手的单价分别是多少万元
（2）快递公司计划购买A，B两种型号的机械手共30台，且A型的数量不少于 B型数量的2倍.如何购买这两种机械手使其总费用最少，最少费用是多少万元
（3）该快递公司使用甲、乙两台不同型号的机械手进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度保持不变.某天甲机械手先开始工作，工作一段时间后，因发生故障停工检修，同时乙机械手开始工作，甲机械手修好后又以原速度继续工作，完成分拣后两台机械手同时停止工作.甲、乙两台机械手分拣快递的数量y(件)与甲机械手工作时间x(分钟)之间的函数关系如图所示.
①乙机械手的工作速度为______件/分钟，a=______.
②直接写出BC所在直线的函数表达式：______.
③当乙机械手工作______分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同.
26．如图，AB是⊙O的直径， 弦CD⊥AB，垂足为P，连接BD，过点C作BD的垂线，垂足为E，交直径AB 于点F，交过点B 的直线于点M，连接AC 并延长，交MB于点 N， 且CN=CM.
（1） 求证： BM 是⊙O的切线.
（2） 若 求线段 CE的长.
27．综合与探究
已知抛物线 与x轴交于点A(-1，0)，B(4，0)， 与y轴交于点C， 点O为坐标原点，作直线BC.
（1）求该抛物线的解析式.
（2）在抛物线上有两个动点P，Q，点P在第一象限，横坐标为m，过点P作x轴的垂线，垂足为N，交BC于点 M，点Q的横坐标为 若 的面积记作 的面积记作当 有最大值时，求点 P 的坐标.(自行完成作图并解答)
（3）把抛物线 沿射线BC方向平移，平移后，新抛物线y'过点 C，点E是新抛物线y'对称轴与x轴的交点，点F 是新抛物线y'对称轴上的动点，连接FC，FO.若FO平分∠CFE，请直接写出符合条件的点F坐标.(自行完成作图并作答)
28．综合与实践
【问题情境】
在数学活动课上，老师让学生以“矩形”为主题，开展动点问题的研究.
在矩形ABCD 中， 点E，F分别是边AD，BC上的动点.
（1）【观察感知】
如图1， 当点E， F运动到AE=BF时， 连接AF， BE.求证： △ABE≌△BAF.
（2）【探索发现】
如图2， 连接AC， 点M是AC上的一点， CM：AM=1：2， 连接AF， BE， AF与BE相交于点G， 连接GM.当BE平分∠ABC，AF平分∠BAC时， 且AB+AC=2BC，试求出 GM与 FC的数量关系，并说明你的理由.
（3）【问题拓展】
如图3，当 时，作直线EF，若直线EF将矩形ABCD 分成周长相等的两部分，过点D作DH⊥EF于点H，连接AH.当矩形的边AD与直线EF的夹角成60°时，请你直接写出∠DAH的正切值.(自行完成作图并作答)
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：乘积为的两个有理数互为倒数。
∵与任意数相乘的结果都为，无法得到乘积，
∴不存在倒数。
其余选项中，的倒数是，的倒数是，的倒数是，均存在倒数。
故答案为：
【分析】本题考查倒数的定义与性质。根据倒数的概念，乘积为的两个有理数互为倒数，逐一判断各选项：非零有理数都存在对应的倒数，而乘任何数都得，无法满足乘积为的条件，因此没有倒数，由此即可确定正确选项。
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵正六边形沿对边中线、对角线折叠后两侧完全重合，且绕中心旋转后与原图形重合，
∴正六边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，A不符合题意；
∵矩形沿对边中线折叠后两侧完全重合，且绕对角线交点旋转后与原图形重合，
∴矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形，B不符合题意；
∵正方形沿对边中线、对角线折叠后两侧完全重合，且绕中心旋转后与原图形重合，
∴正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，C不符合题意；
∵等边三角形沿三条高所在直线折叠后两侧完全重合，但绕中心旋转后无法与原图形重合，
∴等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，D符合题意。
故答案为：
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判定。分别结合两类图形的定义逐一验证选项：轴对称图形需存在至少一条直线，沿直线折叠后图形两部分完全重合；中心对称图形需存在对称中心，绕中心旋转后与原图形重合。通过对比各图形的对称特征，筛选出仅满足轴对称条件的图形即可。
3．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义的核心前提是分母不为。
∵该分式的分母为，
∴令，
解得。
故答案为：
【分析】本题考查分式有意义的判定条件。根据分式的基本性质，分式的分母不能为零，否则分式无意义，因此只需令题中分式的分母不等于，解对应的不等式即可得到的取值范围。
4．【答案】D
【知识点】负整数指数幂；合并同类项法则及应用；求有理数的绝对值的方法；求算术平方根
【解析】【解答】解：选项A：根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，
∵，∴A错误；
选项B：合并同类项时，同类项系数相加，字母与字母的指数不变，
∵，∴B错误；
选项C：算术平方根表示非负的平方根，结果唯一，
∵，∴C错误；
选项D：根据负整数指数幂的运算法则，（，为正整数），
∵，∴D正确。
故答案为：
【分析】本题综合考查绝对值、合并同类项、算术平方根、负整数指数幂的基础运算。分别对应各运算的规则逐一判断：绝对值运算结果非负；合并同类项仅改变系数，不改变字母指数；算术平方根的结果唯一且非负；负整数指数幂可转化为正整数指数幂的倒数，据此即可选出计算正确的选项。
5．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：整理两组数据，A组：6，7，8，8，8，9，10；B组：4，7，9，9，9，11，14，每组均有7个数据。
选项A：众数是一组数据中出现次数最多的数。A组中出现次，众数为；B组中出现次，众数为，两组众数不相等，故A错误；
选项B：平均数为所有数据之和除以数据个数。
，，
∵，∴A组平均数小于B组平均数，故B错误；
选项C：方差反映数据的波动程度，公式为。
，
，
∵，∴A组数据的方差小于B组数据的方差，故C正确；
选项D：个数据的中位数为排序后第个数据。A组第个数据为，B组第个数据为，
∵，∴A组中位数小于B组中位数，故D错误。
故答案为：
【分析】本题考查统计中众数、平均数、中位数、方差的计算与比较。分别根据四个统计量的定义，依次计算两组数据对应的数值，再逐一对比选项判断正误：众数找出现次数最多的数，平均数用总和除以数据个数，中位数取排序后中间位置的数，方差通过各数据与平均数差的平方的平均值计算，最终筛选出描述正确的选项。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：对于一元二次方程（），根据韦达定理，两根之和，两根之积。
∵方程中，，，，
∴，，
将其代入代数式得：
。
故答案为：
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。先根据方程的一般形式确定各项系数，再利用韦达定理分别求出两根之和与两根之积，最后将结果代入所求代数式进行有理数运算，即可得到最终数值。
7．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的判定；菱形的判定；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：选项A：任意多边形的外角和均为，与边数无关，因此正五边形外角和为，不是，故A错误；
选项B：对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线垂直无法判定四边形为菱形，故B错误；
选项C：根据三角形三边关系，任意三角形中两边之和大于第三边，该命题成立，故C正确；
选项D：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，仅一组对角相等无法判定平行四边形，故D错误。
故答案为：
【分析】本题考查多边形外角和、菱形判定、三角形三边关系、平行四边形判定的命题辨析。结合对应几何定理逐一验证每个命题：多边形外角和恒为；菱形需同时满足对角线垂直与互相平分；三角形天然满足两边之和大于第三边；平行四边形需要两组对角分别相等，据此即可选出正确的命题。
8．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补），且（两直线平行，内错角相等）。
∵，
∴。
∵，
∴设，，
则，解得，
即，
∴。
故答案为：
【分析】本题考查平行线的性质与角度比例计算。先利用平行线的同旁内角互补性质，结合已知的度数求出的总度数；再根据与的比例关系，设未知数求出的度数；最后由平行线的内错角相等性质，得到与度数相等，从而得出结果。
9．【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：第一种乘车情况：3人共乘一车，空2辆车，
则载人的车辆数为，总车数 = 载人车辆数 + 空车数，即总车数为；
第二种乘车情况：2人共乘一车，9人步行，
则乘车的总人数为，总车数 = 乘车人数 ÷ 每车人数，即总车数为；
∵两种情况总车数相等，
∴可列方程：。
故答案为：
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程。解题的核心是抓住“车的总数不变”这一隐含等量关系，分别用含总人数的代数式表示两种乘车场景下的总车辆数：第一种用载人车辆数加空车数，第二种用乘车总人数除以每车人数，令两个代数式相等即可得到对应的方程。
10．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由俯角的定义可知，探测器的水平视线与地面平行，
根据平行线的内错角相等，可得。
在中，，，
根据正弦函数的定义：，
∴。
代入计算：
。
故答案为：
【分析】本题考查解直角三角形在俯角问题中的应用。先结合俯角的定义与平行线的性质，将俯角转化为直角三角形中的内角；再在直角三角形中利用正弦函数的定义，建立对边与斜边的比例关系，代入已知高度求解的长度，最后代入近似值计算并按要求取近似值即可。
11．【答案】A
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；坐标与图形变化﹣位似；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵是等腰直角三角形，，
∴，。
∵，
∴由勾股定理得，即，解得。
将绕点O顺时针旋转得到，
根据旋转的性质，，，且点落在x轴正半轴上，轴。
在中，
，
，
∴点的坐标为。
以原点为位似中心，将图形放大为原来的3倍，即位似比为3，
则点对应点的横、纵坐标均扩大为原来的3倍，
∴的坐标为，即。
故答案为：
【分析】本题综合考查等腰直角三角形的性质、图形的旋转与位似变换。先根据等腰直角三角形的边角关系，结合的长度求出直角边的长度；再依据旋转的性质，确定旋转后点的位置，通过解直角三角形得到的坐标；最后根据位似变换的坐标变化规律，即位似中心在原点时，坐标乘以位似比，计算得到放大后点的坐标。
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由抛物线开口向下，得；顶点坐标为，则对称轴为直线，整理得；抛物线与y轴交于正半轴，故。
①∵，，，∴，则，故①错误；
②∵，∴，即，不是，故②错误；
③将代入代数式：
，
∵，，∴，因此，即，故③正确；
④∵抛物线顶点为，代入顶点式得，
∴。
由图象可知，当时，函数值大于0，即，
代入、得：，解得；
当时，函数值小于0，即，
代入得：，解得；
综上可得，故④正确；
⑤将方程变形为，
直线恒过定点，且斜率，直线经过第二、三、四象限。
结合抛物线的位置可知，该直线与抛物线必有交点，因此方程有实数根，故⑤正确。
综上，正确的结论为③④⑤，共3个。
故答案为：
【分析】本题考查二次函数的图象与性质综合，涉及系数符号判断、顶点式应用、函数值范围推导、方程根的判定。先由开口方向、对称轴、与y轴交点确定、、的符号与关系，再逐一验证五个结论：通过符号运算判断分式正负；由对称轴公式推导与的等量关系；代入化简代数式并结合符号判断正负；利用顶点式表示，再结合、处的函数值符号列不等式，求解的取值范围；将方程转化为抛物线与直线的交点问题，通过直线过定点的特征判断交点存在性，最终统计正确结论的数量。
13．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万 。
科学记数法的形式为，其中，为整数。
将改写为该形式：。
故答案为：
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数。先将“万”单位转化为具体数值，再根据科学记数法的规范，把原数写成乘的次幂的形式，其中满足到的范围，由原数的整数位数减确定，最终得到标准表示形式。
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 解： ，
故答案为： .
【分析】先提取公因式ab，然后利用平方差公式继续分解即可.
15．【答案】14
【知识点】几何体的表面积；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：综合三视图分析，该几何体仅有1层，包含前后两排：前排有2个小正方体，后排有1个小正方体，总计3个小正方体。
几何体的表面积可通过三视图面积之和的2倍计算：
主视图有2个正方形面，左视图有2个正方形面，俯视图有3个正方形面，
单个正方形面积为，
因此总表面积为。
故答案为：
【分析】本题考查由三视图判断几何体并计算表面积。先根据三视图还原几何体的堆叠方式，确定小正方体的数量与位置；再利用“几何体表面积等于三视图面积和的2倍”的规律，分别统计三个视图中的正方形面数，计算后乘以2即可得到总表面积。
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正多边形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：设正六边形的中心为点O，连接、，过点O作于点D，
∵多边形为正六边形，
∴中心角，且，
∴为等边三角形，因此。
∵，由等腰三角形三线合一得。
在中，由勾股定理：
单个等边三角形的面积：
正六边形由6个全等的等边三角形组成，因此总面积：
故答案为：
【分析】本题考查正六边形的面积计算。利用正六边形的性质，将其分割为6个全等的等边三角形，先通过等边三角形的判定与性质得到边长与边心距，再用勾股定理求出边心距的长度，计算单个等边三角形的面积，最后乘以6得到正六边形的总面积。
17．【答案】
【知识点】分式的混合运算；分式的除法
【解析】【解答】解：先对分子分母因式分解，再将除法转化为乘法，约分计算。
故答案为：
【分析】本题考查分式的除法运算，涉及因式分解与分式约分。先利用平方差公式分解分子的二次二项式，用完全平方公式分解分母的二次三项式；再根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，将运算转化为乘法；最后约去分子分母的公因式，得到最简结果。
18．【答案】80°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴弦（同圆中，等弧对等弦），
∴为等腰三角形，。
由三角形内角和为，得：
。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴。
故答案为：
【分析】本题考查圆的弧弦关系、等腰三角形性质与圆周角定理。先由等弧对等弦得到，判定为等腰三角形，结合已知底角度数求出顶角的度数；再根据圆周角定理，圆心角等于同弧所对圆周角的2倍，代入计算即可得到结果。
19．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等边三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵是边长为10的等边三角形，
∴，。
设，由得。
过点C作轴于点M，过点D作轴于点N，
在中：
，
，
∵点C在第二象限，∴C点坐标为。
在中：
，
，
∵B点坐标为，∴，
D点横坐标为，即D点坐标为。
∵C、D均在反比例函数上，∴两点横纵坐标乘积相等，即：
整理得：，
∵，两边同时除以得：，
解得。
代入C点坐标计算k：
故答案为：
【分析】本题考查反比例函数与等边三角形的综合应用。先利用等边三角形的内角性质，设出与的长度参数，通过解直角三角形分别表示出点C和点D的横、纵坐标；再根据反比例函数图象上点的坐标特征，即横纵坐标乘积等于，建立关于参数的方程，求解得到的值后，代入计算即可得到的数值。
20．【答案】3
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：延长至点M，使，连接，过点C作，交于点P，过点P作于点D，
∵平分，且，，
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴，因此。
由垂线段最短可知，此时取得最小值，即线段的长度。
在中，，，，
∴。
∵，∴。
在中，
，
。
利用面积法，，
代入得：，
解得，即的最小值为3。
故答案为：
【分析】本题考查最短路径问题，综合角平分线性质、解直角三角形与面积法。通过构造角的对称图形，利用角平分线的性质将转化为，把的长度转化为点C到直线的垂线段长度，依据垂线段最短确定最小值的位置；再通过解直角三角形求出相关边长，最后用三角形面积的两种表示方式建立等式，计算出垂线段的长度，即为所求的最小值。
21．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：设第个数对应序号为（为正整数），将各数与序号对应分析：
当时，；当时，；当时，；当时，；……
以此类推，第个数的表达式为。
故答案为：
【分析】本题考查数字规律的探究与归纳。将数列中的数与对应序号建立关联，通过对已知项进行变形，发现每个数都可以表示为序号的平方加2倍序号再减1的形式，验证所有已知项均符合该规律后，即可归纳得到第个数的通用代数式。
22．【答案】或
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵是等腰直角三角形，，，
∴。
∵D是AC中点，∴。
在中，由勾股定理：
。
由旋转的性质可知，，因此。
过点B作于点G，
∵，∴（两直线平行，内错角相等），
∴为等腰直角三角形，
。
在中，由勾股定理：
。
分两种情况讨论：
①当点F在点G右侧时，；
②当点F在点G左侧时，。
综上，CF的长为或。
故答案为：或
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、图形旋转的性质与分类讨论思想。先根据等腰直角三角形的边长求出的长度，由旋转的性质得到与相等；再利用平行线的内错角相等得到的度数，判定为等腰直角三角形，求出与的长度；接着在直角三角形中用勾股定理求出的长度；最后分点F在延长线的两个方向两种情况，分别计算的长度，得到两个结果。
23．【答案】（1）解：作法一：如图所示
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线OA、射线OB 分别交于点 C、点D，连接CD
②作射线CP
③以点C为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线CP、线段CD 分别交于点 E、点F，以点P为圆心，CE为半径画弧，弧与射线CP交于点G，以点G为圆心，EF长为半径画弧，两弧交于点H
④作直线PH，与射线OA、射线OB 分别交于点M、点N，△OMN即为所求
作法二：如图所示
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线OA、射线OB 分别交于点 C、点D，分别以点C、D为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线OE
②以点 P为圆心，适当长为半径画弧，交射线OE于F、G两点
③分别以点F、G为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点H
④作直线PH，与射线OA、射线OB分别交于点M、点N，△OMN即为所求
作法三：如图所示
①过点 P 向射线OA作垂线
②过点P 向射线OB作垂线
③过点P作两垂线夹角的平分线
④作直线PK，与射线OA、射线OB分别交于点M、点N，△OMN即为所求
（2）
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；弧长的计算；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：(2)如图，
【分析】本题考查尺规作图作等腰三角形与弧长计算，综合了平行线的判定、等腰三角形的判定、弧长公式等知识点。
（1）先以O为圆心画弧得到，构造出等腰三角形，再通过作一个角等于的方式，过点P作的平行线，分别交、于、；根据平行线的性质可得，，结合可推出，根据等角对等边得到，即可判定为等腰三角形，满足题目要求。
（2）由作图可知、均为圆的半径，长度与相等，结合已知的圆心角的度数，直接代入弧长公式，将圆心角度数与半径数值代入计算，即可得到劣弧的长度。
24．【答案】（1）解：40；
补全条形统计图
（2）解：（人），
答：估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在小时及以上的学生有120人．
（3）解：画树状图为：
由此可得，从中抽取两名同学共有6种等可能情况，其中所抽取的两名学生恰好是一男一女的情况有4种情况，
∴所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次调查的学生共有（人），
C类的学生有（人）．
【分析】本题考查统计与概率的综合应用，涉及条形统计图、扇形统计图、样本估计总体、概率计算。
（1）先从统计图中获取B类的人数与对应的百分比，用B类人数除以其占总人数的百分比，即可求出调查的总人数；再用总人数减去其余四类的人数，得到C类的人数，据此补全条形统计图。
（2）先计算样本中参与时间在1.5小时及以上的学生人数占总样本的比例，再用该校八年级总人数乘以该比例，通过样本估计总体的方法，得到对应学生的估计人数。
（3）通过画树状图或列表的方式，列出从3名学生中抽取2人的所有等可能结果，统计其中恰好一男一女的结果数量，再根据概率公式，即符合条件的结果数除以总结果数，计算出对应的概率。
25．【答案】（1）解：设A型机械手的单价为n万元，B型机械手的单价为(n-2)万元，由题意得
解得： n=6
经检验：n=6是原分式方程的解.
B 型机械手的单价： n-2=6-2=4 (万元)
答：A型机械手的单价为6万元，B型机械手的单价为4万元.
（2）解：设购买A型机械手m台，则购买B型机械手(30-m)台，所需费用为w万元.
解得： 20≤m<30
由题意得： w=6m+4 (30-m)=2m+120
∵2>0
∴w随m的增大而增大，且m取正整数
∴当m=20时， (万元).
此时B型机械手： 30-m=30-20=10(台)
答：购买A型机械手20台，B型机械手10台，此时所需费用最少，费用最少为160万元.
（3）① 20；60② y=15x-450③22.5 (也可写成)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（3）①乙机械手的工作速度为件/分钟，
甲机械手的工作速度为件/分钟，
∴；
②设所在直线的函数表达式为，
将，代入，
得，
解得，
∴所在直线的函数表达式为；
③∵乙机械手的工作速度为件/分钟，
由图象知，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同的数据是件，
∴，
∴当乙机械手工作分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同．
【分析】本题考查分式方程、一次函数的实际应用与函数图象分析，涵盖分式方程求解、一元一次不等式组、一次函数最值、待定系数法求解析式等知识点。
（1）设B型机械手单价为未知数，用含该未知数的式子表示A型单价，根据“120万元购A型数量与80万元购B型数量相等”的等量关系列出分式方程，求解并检验后即可得到两种机械手的单价。
（2）设购买A型机械手的数量为参数，用总台数表示出B型的数量，根据“A型数量不少于B型2倍”的约束条件列出不等式，确定参数的取值范围；再建立总费用关于A型数量的一次函数解析式，根据一次函数的增减性，在取值范围内找到使总费用最小的参数值，进而求出最少费用与对应的购买方案。
（3）①从函数图象中读取乙机械手的工作时长与分拣总量，用总量除以时长得到乙的工作速度；再通过甲前30分钟的分拣量求出甲的工作速度，结合总任务量计算甲的实际工作时长，进而得到的值；②用待定系数法，将B、C两点的坐标代入一次函数一般式，解方程组求出系数，即可得到段的函数表达式；③先确定两台机械手分拣数量相同时的总件数，用该数量除以乙的工作速度，即可得到乙对应的工作时长。
26．【答案】（1）连接，
∵是的直径，
∴，
在中，，
∵，垂足为E，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，垂足为P，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，，垂足为P，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的半径为，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题考查圆的切线判定与圆中的线段计算，综合了垂径定理、等腰三角形性质、全等三角形判定、相似三角形判定与性质等知识点。
（1）先连接，根据直径所对的圆周角为直角，得到与均为直角，结合垂直可得两个直角三角形的锐角互余；由根据等边对等角得到，利用等角的余角相等推出；再由垂直，根据垂径定理得到，进而由垂直平分线的性质得，判定为等腰三角形，推出；通过角度代换得到为，结合是半径，根据切线的判定定理即可证明是圆的切线。
（2）先由垂径定理得到，结合同弧所对的圆周角相等推出，再结合公共边与直角条件，根据ASA证明，得到；设圆的半径为，用含的式子表示、的长度，再由两角分别相等证明，根据相似三角形对应边成比例列方程，求解得到半径的值；接着在直角三角形中用勾股定理求出的长度，最后通过两角分别相等证明，利用相似三角形的对应边成比例建立等式，代入已知线段长度计算即可得到的长。
27．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得，
∴；
（2）解：当时，，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为，
∴，，，Q的纵坐标为，则，
或
∴，，，
∴
，
∵，
∴当时，S有最大值，
此时，
∴；
（3）解：也可写成
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（3）∵抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，
∴相当于点C与点B是平移前后的对应点，
即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线，
∴，
∴新抛物线的对称轴为直线，，
∵平分，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，
解得，
∴的坐标为或．
或
【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求解析式、动点面积最值、抛物线平移与角平分线性质。
（1）将、两点的坐标代入抛物线的一般式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出系数的值，即可得到抛物线的解析式。
（2）先求出点的坐标，用待定系数法求出直线的解析式；根据点的横坐标，分别表示出、、三点的坐标，再由点的横坐标代入抛物线解析式表示出点的纵坐标；分别利用三角形面积公式求出与的表达式，相加得到关于的二次函数解析式，通过配方化为顶点式，结合二次函数的开口方向与自变量取值范围，找到使取得最大值的值，进而求出点的坐标。
（3）先根据射线的方向，确定平移的方向与距离，即点平移到点的平移规律，应用该规律对原抛物线顶点进行平移，得到新抛物线的顶点式，进而得到新抛物线的对称轴与点的坐标；由平分，结合对称轴平行于y轴的性质，根据平行线的内错角相等推出，再由等角对等边得到；设出对称轴上点的坐标，根据两点间距离公式列出关于纵坐标的方程，求解即可得到符合条件的点坐标。
28．【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴，
在 和中
；
（2），理由如下：
如图，连接 ，过点 作 于点 ，
平分、平分，且与 相交于点，
点是 的内心，
点到三边的距离相等
设，
，
即，
∵
∴
∴
∴
∵
∴；
（3）或
【知识点】矩形的性质；三角形的内切圆与内心；三角形全等的判定-SAS；求正切值；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（3）理由如下：矩形的边与直线的夹角成，
分以下两种情况讨论
情况一：当，且点在的上方时，如图，
过点作，垂足为，连接
设
，
，垂足为
，
直线将矩形分成周长相等的两部分
过点作，交于点
四边形 是矩形
在中，
，
解得：
情况二：当，且点在的下方时，如图2，
同情况一可得
解得
综上所述，或
【分析】本题以矩形为背景的几何综合题，涵盖全等三角形判定、角平分线性质、相似三角形判定与性质、矩形中的动点与三角函数计算。
（1）先根据矩形的性质得到与均为直角，结合已知与公共边，根据SAS全等判定定理，即可证明与全等。
（2）先由、分别是角平分线且交于点，根据三角形内心的定义判定点是的内心，即点到三角形三边距离相等；设点到的距离为，利用三角形面积的两种表示方式，即内切圆半径乘周长的一半等于底乘高的一半，结合的条件，推导出与的数量关系，得到与的比例；再由两角分别相等证明，根据相似三角形的对应边成比例得到与的比例，进而推出与的比例；结合得到与的比例，再由公共角，根据两边成比例且夹角相等证明，由相似三角形的对应边成比例即可得到与的数量关系。
（3）先根据直线平分矩形周长，结合矩形对边相等的性质，推导出与的和等于，进而得到与相等；再分点在上方、点在下方两种情况，分别画出图形，过点作的垂线，过点作的垂线，设出线段参数，利用夹角的直角三角形边角关系表示各线段长度，根据的长度列方程求解参数，进而得到的对边与邻边长度，代入正切的定义计算即可得到对应正切值。
1 / 1黑龙江省绥化市2026年中考数学真题
1．下列有理数中，没有倒数的是(　　)
A．–2027 B．1 C．0 D．-1
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：乘积为的两个有理数互为倒数。
∵与任意数相乘的结果都为，无法得到乘积，
∴不存在倒数。
其余选项中，的倒数是，的倒数是，的倒数是，均存在倒数。
故答案为：
【分析】本题考查倒数的定义与性质。根据倒数的概念，乘积为的两个有理数互为倒数，逐一判断各选项：非零有理数都存在对应的倒数，而乘任何数都得，无法满足乘积为的条件，因此没有倒数，由此即可确定正确选项。
2．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(　　)
A．正六边形 B．矩形 C．正方形 D．等边三角形
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵正六边形沿对边中线、对角线折叠后两侧完全重合，且绕中心旋转后与原图形重合，
∴正六边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，A不符合题意；
∵矩形沿对边中线折叠后两侧完全重合，且绕对角线交点旋转后与原图形重合，
∴矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形，B不符合题意；
∵正方形沿对边中线、对角线折叠后两侧完全重合，且绕中心旋转后与原图形重合，
∴正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，C不符合题意；
∵等边三角形沿三条高所在直线折叠后两侧完全重合，但绕中心旋转后无法与原图形重合，
∴等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，D符合题意。
故答案为：
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判定。分别结合两类图形的定义逐一验证选项：轴对称图形需存在至少一条直线，沿直线折叠后图形两部分完全重合；中心对称图形需存在对称中心，绕中心旋转后与原图形重合。通过对比各图形的对称特征，筛选出仅满足轴对称条件的图形即可。
3．若分式 有意义，则x满足的条件是(　　)
A．x为任意实数 B．x≠1 C．x≠0 D．x>1
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义的核心前提是分母不为。
∵该分式的分母为，
∴令，
解得。
故答案为：
【分析】本题考查分式有意义的判定条件。根据分式的基本性质，分式的分母不能为零，否则分式无意义，因此只需令题中分式的分母不等于，解对应的不等式即可得到的取值范围。
4．下列计算中，结果正确的是(　　)
A．|-3|=-3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】负整数指数幂；合并同类项法则及应用；求有理数的绝对值的方法；求算术平方根
【解析】【解答】解：选项A：根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，
∵，∴A错误；
选项B：合并同类项时，同类项系数相加，字母与字母的指数不变，
∵，∴B错误；
选项C：算术平方根表示非负的平方根，结果唯一，
∵，∴C错误；
选项D：根据负整数指数幂的运算法则，（，为正整数），
∵，∴D正确。
故答案为：
【分析】本题综合考查绝对值、合并同类项、算术平方根、负整数指数幂的基础运算。分别对应各运算的规则逐一判断：绝对值运算结果非负；合并同类项仅改变系数，不改变字母指数；算术平方根的结果唯一且非负；负整数指数幂可转化为正整数指数幂的倒数，据此即可选出计算正确的选项。
5．某校为了了解学生使用电子产品的情况，随机抽查了某班A，B两组学生一周使用电子产品的时间(单位：小时)，数据如下表所示：
A组 6 7 8 8 8 9 10
B 组 4 7 9 9 9 11 14
下列说法正确的是(　　)
A．两组数据的众数相等
B．A组数据的平均数大于B组数据的平均数
C．A组数据的方差小于B组数据的方差
D．A组数据的中位数大于B组数据的中位数
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：整理两组数据，A组：6，7，8，8，8，9，10；B组：4，7，9，9，9，11，14，每组均有7个数据。
选项A：众数是一组数据中出现次数最多的数。A组中出现次，众数为；B组中出现次，众数为，两组众数不相等，故A错误；
选项B：平均数为所有数据之和除以数据个数。
，，
∵，∴A组平均数小于B组平均数，故B错误；
选项C：方差反映数据的波动程度，公式为。
，
，
∵，∴A组数据的方差小于B组数据的方差，故C正确；
选项D：个数据的中位数为排序后第个数据。A组第个数据为，B组第个数据为，
∵，∴A组中位数小于B组中位数，故D错误。
故答案为：
【分析】本题考查统计中众数、平均数、中位数、方差的计算与比较。分别根据四个统计量的定义，依次计算两组数据对应的数值，再逐一对比选项判断正误：众数找出现次数最多的数，平均数用总和除以数据个数，中位数取排序后中间位置的数，方差通过各数据与平均数差的平方的平均值计算，最终筛选出描述正确的选项。
6．已知x1，x2是一元二次方程 的两个根，则 的值为(　　)
A．16 B．–16 C．20 D．-20
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：对于一元二次方程（），根据韦达定理，两根之和，两根之积。
∵方程中，，，，
∴，，
将其代入代数式得：
。
故答案为：
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。先根据方程的一般形式确定各项系数，再利用韦达定理分别求出两根之和与两根之积，最后将结果代入所求代数式进行有理数运算，即可得到最终数值。
7．下列命题正确的是(　　)
A．正五边形的外角和是540°
B．对角线互相垂直的四边形一定是菱形
C．三角形两边的和大于第三边
D．一组对角相等的四边形一定是平行四边形
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的判定；菱形的判定；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：选项A：任意多边形的外角和均为，与边数无关，因此正五边形外角和为，不是，故A错误；
选项B：对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线垂直无法判定四边形为菱形，故B错误；
选项C：根据三角形三边关系，任意三角形中两边之和大于第三边，该命题成立，故C正确；
选项D：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，仅一组对角相等无法判定平行四边形，故D错误。
故答案为：
【分析】本题考查多边形外角和、菱形判定、三角形三边关系、平行四边形判定的命题辨析。结合对应几何定理逐一验证每个命题：多边形外角和恒为；菱形需同时满足对角线垂直与互相平分；三角形天然满足两边之和大于第三边；平行四边形需要两组对角分别相等，据此即可选出正确的命题。
8．如图， AD∥BC， ∠C=30°， ∠ADB：∠BDC=1：2， 则∠DBC的度数是(　　)
A．30° B．36° C．45° D．50°
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补），且（两直线平行，内错角相等）。
∵，
∴。
∵，
∴设，，
则，解得，
即，
∴。
故答案为：
【分析】本题考查平行线的性质与角度比例计算。先利用平行线的同旁内角互补性质，结合已知的度数求出的总度数；再根据与的比例关系，设未知数求出的度数；最后由平行线的内错角相等性质，得到与度数相等，从而得出结果。
9．《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，4二车空；二人共车，九人步.问人有几何 意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行.问共有多少人 设共有x人，可列方程为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：第一种乘车情况：3人共乘一车，空2辆车，
则载人的车辆数为，总车数 = 载人车辆数 + 空车数，即总车数为；
第二种乘车情况：2人共乘一车，9人步行，
则乘车的总人数为，总车数 = 乘车人数 ÷ 每车人数，即总车数为；
∵两种情况总车数相等，
∴可列方程：。
故答案为：
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程。解题的核心是抓住“车的总数不变”这一隐含等量关系，分别用含总人数的代数式表示两种乘车场景下的总车辆数：第一种用载人车辆数加空车数，第二种用乘车总人数除以每车人数，令两个代数式相等即可得到对应的方程。
10．如图，有一小型科学探测器在空中A 处探测到地平面目标B，此时从探测器上看目标B的俯角α=30°，探测器飞行的高度则探测器到目标B的距离AB约为(其中 计算结果精确到0.1)(　　)
A．207.8m B．207.9m C．208.8m D．208.9m
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由俯角的定义可知，探测器的水平视线与地面平行，
根据平行线的内错角相等，可得。
在中，，，
根据正弦函数的定义：，
∴。
代入计算：
。
故答案为：
【分析】本题考查解直角三角形在俯角问题中的应用。先结合俯角的定义与平行线的性质，将俯角转化为直角三角形中的内角；再在直角三角形中利用正弦函数的定义，建立对边与斜边的比例关系，代入已知高度求解的长度，最后代入近似值计算并按要求取近似值即可。
11．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 是等腰直角三角形，∠A=90°， OB=2 将△OAB绕点O顺时针旋转45°后，得到△OA'B'，点A，B 的对应点分别是点A'，B'，以原点为位似中心，将△OA'B'放大为原来的3倍后，得到△OA"B"，顶点B'在第一象限对应点B"的坐标是(　　)
A．(6，6) B．(6， 2) C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；坐标与图形变化﹣位似；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵是等腰直角三角形，，
∴，。
∵，
∴由勾股定理得，即，解得。
将绕点O顺时针旋转得到，
根据旋转的性质，，，且点落在x轴正半轴上，轴。
在中，
，
，
∴点的坐标为。
以原点为位似中心，将图形放大为原来的3倍，即位似比为3，
则点对应点的横、纵坐标均扩大为原来的3倍，
∴的坐标为，即。
故答案为：
【分析】本题综合考查等腰直角三角形的性质、图形的旋转与位似变换。先根据等腰直角三角形的边角关系，结合的长度求出直角边的长度；再依据旋转的性质，确定旋转后点的位置，通过解直角三角形得到的坐标；最后根据位似变换的坐标变化规律，即位似中心在原点时，坐标乘以位似比，计算得到放大后点的坐标。
12．已知二次函数 的图象如图所示，顶点坐标为(-2，5)，与x轴交于A(m，0)，B两点，其中2②b+4a=0 ③a-b+3c>0 ⑤方程 (k为常数)有实数根.其中正确的个数有(　　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由抛物线开口向下，得；顶点坐标为，则对称轴为直线，整理得；抛物线与y轴交于正半轴，故。
①∵，，，∴，则，故①错误；
②∵，∴，即，不是，故②错误；
③将代入代数式：
，
∵，，∴，因此，即，故③正确；
④∵抛物线顶点为，代入顶点式得，
∴。
由图象可知，当时，函数值大于0，即，
代入、得：，解得；
当时，函数值小于0，即，
代入得：，解得；
综上可得，故④正确；
⑤将方程变形为，
直线恒过定点，且斜率，直线经过第二、三、四象限。
结合抛物线的位置可知，该直线与抛物线必有交点，因此方程有实数根，故⑤正确。
综上，正确的结论为③④⑤，共3个。
故答案为：
【分析】本题考查二次函数的图象与性质综合，涉及系数符号判断、顶点式应用、函数值范围推导、方程根的判定。先由开口方向、对称轴、与y轴交点确定、、的符号与关系，再逐一验证五个结论：通过符号运算判断分式正负；由对称轴公式推导与的等量关系；代入化简代数式并结合符号判断正负；利用顶点式表示，再结合、处的函数值符号列不等式，求解的取值范围；将方程转化为抛物线与直线的交点问题，通过直线过定点的特征判断交点存在性，最终统计正确结论的数量。
13．海水淡化，利国利民.2026年6月，我国自然资源部发布，我国海水淡化日产能突破300万吨.把300万用科学记数法表示为　 　.
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万 。
科学记数法的形式为，其中，为整数。
将改写为该形式：。
故答案为：
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数。先将“万”单位转化为具体数值，再根据科学记数法的规范，把原数写成乘的次幂的形式，其中满足到的范围，由原数的整数位数减确定，最终得到标准表示形式。
14．分解因式： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 解： ，
故答案为： .
【分析】先提取公因式ab，然后利用平方差公式继续分解即可.
15．某几何体是由棱长为1cm的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是　 　cm2.
【答案】14
【知识点】几何体的表面积；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：综合三视图分析，该几何体仅有1层，包含前后两排：前排有2个小正方体，后排有1个小正方体，总计3个小正方体。
几何体的表面积可通过三视图面积之和的2倍计算：
主视图有2个正方形面，左视图有2个正方形面，俯视图有3个正方形面，
单个正方形面积为，
因此总表面积为。
故答案为：
【分析】本题考查由三视图判断几何体并计算表面积。先根据三视图还原几何体的堆叠方式，确定小正方体的数量与位置；再利用“几何体表面积等于三视图面积和的2倍”的规律，分别统计三个视图中的正方形面数，计算后乘以2即可得到总表面积。
16．如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则这个正六边形地基的面积是　 　m2 (计算结果保留根号).
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正多边形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：设正六边形的中心为点O，连接、，过点O作于点D，
∵多边形为正六边形，
∴中心角，且，
∴为等边三角形，因此。
∵，由等腰三角形三线合一得。
在中，由勾股定理：
单个等边三角形的面积：
正六边形由6个全等的等边三角形组成，因此总面积：
故答案为：
【分析】本题考查正六边形的面积计算。利用正六边形的性质，将其分割为6个全等的等边三角形，先通过等边三角形的判定与性质得到边长与边心距，再用勾股定理求出边心距的长度，计算单个等边三角形的面积，最后乘以6得到正六边形的总面积。
17．计算： 　 　.
【答案】
【知识点】分式的混合运算；分式的除法
【解析】【解答】解：先对分子分母因式分解，再将除法转化为乘法，约分计算。
故答案为：
【分析】本题考查分式的除法运算，涉及因式分解与分式约分。先利用平方差公式分解分子的二次二项式，用完全平方公式分解分母的二次三项式；再根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，将运算转化为乘法；最后约去分子分母的公因式，得到最简结果。
18．如图， 在⊙O中，， ∠ABC=70°， 则∠BOC=　 　.
【答案】80°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴弦（同圆中，等弧对等弦），
∴为等腰三角形，。
由三角形内角和为，得：
。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴。
故答案为：
【分析】本题考查圆的弧弦关系、等腰三角形性质与圆周角定理。先由等弧对等弦得到，判定为等腰三角形，结合已知底角度数求出顶角的度数；再根据圆周角定理，圆心角等于同弧所对圆周角的2倍，代入计算即可得到结果。
19．如图，反比例函数 与边长为10的等边三角形OAB 相交于C，D 两点，边OB 与x轴重合， BD：OC=1：3， 则k的值是　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等边三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵是边长为10的等边三角形，
∴，。
设，由得。
过点C作轴于点M，过点D作轴于点N，
在中：
，
，
∵点C在第二象限，∴C点坐标为。
在中：
，
，
∵B点坐标为，∴，
D点横坐标为，即D点坐标为。
∵C、D均在反比例函数上，∴两点横纵坐标乘积相等，即：
整理得：，
∵，两边同时除以得：，
解得。
代入C点坐标计算k：
故答案为：
【分析】本题考查反比例函数与等边三角形的综合应用。先利用等边三角形的内角性质，设出与的长度参数，通过解直角三角形分别表示出点C和点D的横、纵坐标；再根据反比例函数图象上点的坐标特征，即横纵坐标乘积等于，建立关于参数的方程，求解得到的值后，代入计算即可得到的数值。
20．如图， 在直角三角形ABC中， ∠ACB=90°， ∠B=30°， AC=2， 点P， D分别在边AB，BC上运动，连接PC，PD.则PC+PD的最小值是　 　.
【答案】3
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：延长至点M，使，连接，过点C作，交于点P，过点P作于点D，
∵平分，且，，
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴，因此。
由垂线段最短可知，此时取得最小值，即线段的长度。
在中，，，，
∴。
∵，∴。
在中，
，
。
利用面积法，，
代入得：，
解得，即的最小值为3。
故答案为：
【分析】本题考查最短路径问题，综合角平分线性质、解直角三角形与面积法。通过构造角的对称图形，利用角平分线的性质将转化为，把的长度转化为点C到直线的垂线段长度，依据垂线段最短确定最小值的位置；再通过解直角三角形求出相关边长，最后用三角形面积的两种表示方式建立等式，计算出垂线段的长度，即为所求的最小值。
21．按一定规律排列的数据依次为2，7，14，23，34，47，….若按此规律继续排列下去，则第n个数可以表示为　 　(结果用含n的代数式表示).
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：设第个数对应序号为（为正整数），将各数与序号对应分析：
当时，；当时，；当时，；当时，；……
以此类推，第个数的表达式为。
故答案为：
【分析】本题考查数字规律的探究与归纳。将数列中的数与对应序号建立关联，通过对已知项进行变形，发现每个数都可以表示为序号的平方加2倍序号再减1的形式，验证所有已知项均符合该规律后，即可归纳得到第个数的通用代数式。
22．已知△ABC是腰长为4的等腰直角三角形， ∠ACB=90°，D是AC的中点， 连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF，点 E，F的对应点分别是点C，D，连接CF.当CF∥AB时，则CF的长为　 　.
【答案】或
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵是等腰直角三角形，，，
∴。
∵D是AC中点，∴。
在中，由勾股定理：
。
由旋转的性质可知，，因此。
过点B作于点G，
∵，∴（两直线平行，内错角相等），
∴为等腰直角三角形，
。
在中，由勾股定理：
。
分两种情况讨论：
①当点F在点G右侧时，；
②当点F在点G左侧时，。
综上，CF的长为或。
故答案为：或
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、图形旋转的性质与分类讨论思想。先根据等腰直角三角形的边长求出的长度，由旋转的性质得到与相等；再利用平行线的内错角相等得到的度数，判定为等腰直角三角形，求出与的长度；接着在直角三角形中用勾股定理求出的长度；最后分点F在延长线的两个方向两种情况，分别计算的长度，得到两个结果。
23．尺规作图：如图，在∠AOB的内部有一点 P.
（1）【初步探索】
如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形OMN，并使等腰三角形的底边MN经过点P，点M，点N分别在射线OA，射线OB上.(温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹)
（2） 【拓展探究】
如图2， 若连接OP，OP=3.以O为圆心，OP为半径画圆，交射线OA，射线OB于C，D 两点，则劣弧 的长度为　 　.(本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含π的代数式表示的结果)
【答案】（1）解：作法一：如图所示
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线OA、射线OB 分别交于点 C、点D，连接CD
②作射线CP
③以点C为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线CP、线段CD 分别交于点 E、点F，以点P为圆心，CE为半径画弧，弧与射线CP交于点G，以点G为圆心，EF长为半径画弧，两弧交于点H
④作直线PH，与射线OA、射线OB 分别交于点M、点N，△OMN即为所求
作法二：如图所示
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线OA、射线OB 分别交于点 C、点D，分别以点C、D为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线OE
②以点 P为圆心，适当长为半径画弧，交射线OE于F、G两点
③分别以点F、G为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点H
④作直线PH，与射线OA、射线OB分别交于点M、点N，△OMN即为所求
作法三：如图所示
①过点 P 向射线OA作垂线
②过点P 向射线OB作垂线
③过点P作两垂线夹角的平分线
④作直线PK，与射线OA、射线OB分别交于点M、点N，△OMN即为所求
（2）
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；弧长的计算；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：(2)如图，
【分析】本题考查尺规作图作等腰三角形与弧长计算，综合了平行线的判定、等腰三角形的判定、弧长公式等知识点。
（1）先以O为圆心画弧得到，构造出等腰三角形，再通过作一个角等于的方式，过点P作的平行线，分别交、于、；根据平行线的性质可得，，结合可推出，根据等角对等边得到，即可判定为等腰三角形，满足题目要求。
（2）由作图可知、均为圆的半径，长度与相等，结合已知的圆心角的度数，直接代入弧长公式，将圆心角度数与半径数值代入计算，即可得到劣弧的长度。
24．为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，培养学生动手实践能力，某校开展“科技小发明”创新实践活动，随机调查了八年级部分同学平均每周参与“科技小发明”创新实践活动的时间(单位：小时)，按照时长分成五个不同类别，并绘制如下不完整的统计图.根据图表中信息回答下列问题：
类别 参与创新实践活动的时间x(单位：小时)
A
B
C
D
E
（1）本次随机调查的学生共有 ▲ 人，补全条形统计图.
（2）若该校八年级学生共有320人，请估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在1.5小时及以上的学生人数.
（3）已知E类学生中恰好有2名女生和1名男生，现从中抽取两名同学做“科技小发明”展示交流，请用列表法或画树状图法，求出所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率.
【答案】（1）解：40；
补全条形统计图
（2）解：（人），
答：估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在小时及以上的学生有120人．
（3）解：画树状图为：
由此可得，从中抽取两名同学共有6种等可能情况，其中所抽取的两名学生恰好是一男一女的情况有4种情况，
∴所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次调查的学生共有（人），
C类的学生有（人）．
【分析】本题考查统计与概率的综合应用，涉及条形统计图、扇形统计图、样本估计总体、概率计算。
（1）先从统计图中获取B类的人数与对应的百分比，用B类人数除以其占总人数的百分比，即可求出调查的总人数；再用总人数减去其余四类的人数，得到C类的人数，据此补全条形统计图。
（2）先计算样本中参与时间在1.5小时及以上的学生人数占总样本的比例，再用该校八年级总人数乘以该比例，通过样本估计总体的方法，得到对应学生的估计人数。
（3）通过画树状图或列表的方式，列出从3名学生中抽取2人的所有等可能结果，统计其中恰好一男一女的结果数量，再根据概率公式，即符合条件的结果数除以总结果数，计算出对应的概率。
25．我国人工智能发展迅速，能替代人类完成很多工作.某快递公司准备购进A，B两种型号的快递智能分拣机械手(以下A型快递智能分拣机械手简称A型机械手，B型快递智能分拣机械手简称B 型机械手)，已知A 型机械手的单价比B型机械手的单价高2万元，用120万元购进A型机械手的数量和用80万元购进B型机械手的数量相等.
（1）求A，B两种型号机械手的单价分别是多少万元
（2）快递公司计划购买A，B两种型号的机械手共30台，且A型的数量不少于 B型数量的2倍.如何购买这两种机械手使其总费用最少，最少费用是多少万元
（3）该快递公司使用甲、乙两台不同型号的机械手进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度保持不变.某天甲机械手先开始工作，工作一段时间后，因发生故障停工检修，同时乙机械手开始工作，甲机械手修好后又以原速度继续工作，完成分拣后两台机械手同时停止工作.甲、乙两台机械手分拣快递的数量y(件)与甲机械手工作时间x(分钟)之间的函数关系如图所示.
①乙机械手的工作速度为______件/分钟，a=______.
②直接写出BC所在直线的函数表达式：______.
③当乙机械手工作______分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同.
【答案】（1）解：设A型机械手的单价为n万元，B型机械手的单价为(n-2)万元，由题意得
解得： n=6
经检验：n=6是原分式方程的解.
B 型机械手的单价： n-2=6-2=4 (万元)
答：A型机械手的单价为6万元，B型机械手的单价为4万元.
（2）解：设购买A型机械手m台，则购买B型机械手(30-m)台，所需费用为w万元.
解得： 20≤m<30
由题意得： w=6m+4 (30-m)=2m+120
∵2>0
∴w随m的增大而增大，且m取正整数
∴当m=20时， (万元).
此时B型机械手： 30-m=30-20=10(台)
答：购买A型机械手20台，B型机械手10台，此时所需费用最少，费用最少为160万元.
（3）① 20；60② y=15x-450③22.5 (也可写成)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（3）①乙机械手的工作速度为件/分钟，
甲机械手的工作速度为件/分钟，
∴；
②设所在直线的函数表达式为，
将，代入，
得，
解得，
∴所在直线的函数表达式为；
③∵乙机械手的工作速度为件/分钟，
由图象知，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同的数据是件，
∴，
∴当乙机械手工作分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同．
【分析】本题考查分式方程、一次函数的实际应用与函数图象分析，涵盖分式方程求解、一元一次不等式组、一次函数最值、待定系数法求解析式等知识点。
（1）设B型机械手单价为未知数，用含该未知数的式子表示A型单价，根据“120万元购A型数量与80万元购B型数量相等”的等量关系列出分式方程，求解并检验后即可得到两种机械手的单价。
（2）设购买A型机械手的数量为参数，用总台数表示出B型的数量，根据“A型数量不少于B型2倍”的约束条件列出不等式，确定参数的取值范围；再建立总费用关于A型数量的一次函数解析式，根据一次函数的增减性，在取值范围内找到使总费用最小的参数值，进而求出最少费用与对应的购买方案。
（3）①从函数图象中读取乙机械手的工作时长与分拣总量，用总量除以时长得到乙的工作速度；再通过甲前30分钟的分拣量求出甲的工作速度，结合总任务量计算甲的实际工作时长，进而得到的值；②用待定系数法，将B、C两点的坐标代入一次函数一般式，解方程组求出系数，即可得到段的函数表达式；③先确定两台机械手分拣数量相同时的总件数，用该数量除以乙的工作速度，即可得到乙对应的工作时长。
26．如图，AB是⊙O的直径， 弦CD⊥AB，垂足为P，连接BD，过点C作BD的垂线，垂足为E，交直径AB 于点F，交过点B 的直线于点M，连接AC 并延长，交MB于点 N， 且CN=CM.
（1） 求证： BM 是⊙O的切线.
（2） 若 求线段 CE的长.
【答案】（1）连接，
∵是的直径，
∴，
在中，，
∵，垂足为E，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，垂足为P，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，，垂足为P，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的半径为，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题考查圆的切线判定与圆中的线段计算，综合了垂径定理、等腰三角形性质、全等三角形判定、相似三角形判定与性质等知识点。
（1）先连接，根据直径所对的圆周角为直角，得到与均为直角，结合垂直可得两个直角三角形的锐角互余；由根据等边对等角得到，利用等角的余角相等推出；再由垂直，根据垂径定理得到，进而由垂直平分线的性质得，判定为等腰三角形，推出；通过角度代换得到为，结合是半径，根据切线的判定定理即可证明是圆的切线。
（2）先由垂径定理得到，结合同弧所对的圆周角相等推出，再结合公共边与直角条件，根据ASA证明，得到；设圆的半径为，用含的式子表示、的长度，再由两角分别相等证明，根据相似三角形对应边成比例列方程，求解得到半径的值；接着在直角三角形中用勾股定理求出的长度，最后通过两角分别相等证明，利用相似三角形的对应边成比例建立等式，代入已知线段长度计算即可得到的长。
27．综合与探究
已知抛物线 与x轴交于点A(-1，0)，B(4，0)， 与y轴交于点C， 点O为坐标原点，作直线BC.
（1）求该抛物线的解析式.
（2）在抛物线上有两个动点P，Q，点P在第一象限，横坐标为m，过点P作x轴的垂线，垂足为N，交BC于点 M，点Q的横坐标为 若 的面积记作 的面积记作当 有最大值时，求点 P 的坐标.(自行完成作图并解答)
（3）把抛物线 沿射线BC方向平移，平移后，新抛物线y'过点 C，点E是新抛物线y'对称轴与x轴的交点，点F 是新抛物线y'对称轴上的动点，连接FC，FO.若FO平分∠CFE，请直接写出符合条件的点F坐标.(自行完成作图并作答)
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得，
∴；
（2）解：当时，，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点在第一象限，横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，点的横坐标为，
∴，，，Q的纵坐标为，则，
或
∴，，，
∴
，
∵，
∴当时，S有最大值，
此时，
∴；
（3）解：也可写成
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（3）∵抛物线沿射线方向平移，平移后，新抛物线过点，
∴相当于点C与点B是平移前后的对应点，
即把原抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得出新抛物线，
∴，
∴新抛物线的对称轴为直线，，
∵平分，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，
解得，
∴的坐标为或．
或
【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求解析式、动点面积最值、抛物线平移与角平分线性质。
（1）将、两点的坐标代入抛物线的一般式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出系数的值，即可得到抛物线的解析式。
（2）先求出点的坐标，用待定系数法求出直线的解析式；根据点的横坐标，分别表示出、、三点的坐标，再由点的横坐标代入抛物线解析式表示出点的纵坐标；分别利用三角形面积公式求出与的表达式，相加得到关于的二次函数解析式，通过配方化为顶点式，结合二次函数的开口方向与自变量取值范围，找到使取得最大值的值，进而求出点的坐标。
（3）先根据射线的方向，确定平移的方向与距离，即点平移到点的平移规律，应用该规律对原抛物线顶点进行平移，得到新抛物线的顶点式，进而得到新抛物线的对称轴与点的坐标；由平分，结合对称轴平行于y轴的性质，根据平行线的内错角相等推出，再由等角对等边得到；设出对称轴上点的坐标，根据两点间距离公式列出关于纵坐标的方程，求解即可得到符合条件的点坐标。
28．综合与实践
【问题情境】
在数学活动课上，老师让学生以“矩形”为主题，开展动点问题的研究.
在矩形ABCD 中， 点E，F分别是边AD，BC上的动点.
（1）【观察感知】
如图1， 当点E， F运动到AE=BF时， 连接AF， BE.求证： △ABE≌△BAF.
（2）【探索发现】
如图2， 连接AC， 点M是AC上的一点， CM：AM=1：2， 连接AF， BE， AF与BE相交于点G， 连接GM.当BE平分∠ABC，AF平分∠BAC时， 且AB+AC=2BC，试求出 GM与 FC的数量关系，并说明你的理由.
（3）【问题拓展】
如图3，当 时，作直线EF，若直线EF将矩形ABCD 分成周长相等的两部分，过点D作DH⊥EF于点H，连接AH.当矩形的边AD与直线EF的夹角成60°时，请你直接写出∠DAH的正切值.(自行完成作图并作答)
【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴，
在 和中
；
（2），理由如下：
如图，连接 ，过点 作 于点 ，
平分、平分，且与 相交于点，
点是 的内心，
点到三边的距离相等
设，
，
即，
∵
∴
∴
∴
∵
∴；
（3）或
【知识点】矩形的性质；三角形的内切圆与内心；三角形全等的判定-SAS；求正切值；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（3）理由如下：矩形的边与直线的夹角成，
分以下两种情况讨论
情况一：当，且点在的上方时，如图，
过点作，垂足为，连接
设
，
，垂足为
，
直线将矩形分成周长相等的两部分
过点作，交于点
四边形 是矩形
在中，
，
解得：
情况二：当，且点在的下方时，如图2，
同情况一可得
解得
综上所述，或
【分析】本题以矩形为背景的几何综合题，涵盖全等三角形判定、角平分线性质、相似三角形判定与性质、矩形中的动点与三角函数计算。
（1）先根据矩形的性质得到与均为直角，结合已知与公共边，根据SAS全等判定定理，即可证明与全等。
（2）先由、分别是角平分线且交于点，根据三角形内心的定义判定点是的内心，即点到三角形三边距离相等；设点到的距离为，利用三角形面积的两种表示方式，即内切圆半径乘周长的一半等于底乘高的一半，结合的条件，推导出与的数量关系，得到与的比例；再由两角分别相等证明，根据相似三角形的对应边成比例得到与的比例，进而推出与的比例；结合得到与的比例，再由公共角，根据两边成比例且夹角相等证明，由相似三角形的对应边成比例即可得到与的数量关系。
（3）先根据直线平分矩形周长，结合矩形对边相等的性质，推导出与的和等于，进而得到与相等；再分点在上方、点在下方两种情况，分别画出图形，过点作的垂线，过点作的垂线，设出线段参数，利用夹角的直角三角形边角关系表示各线段长度，根据的长度列方程求解参数，进而得到的对边与邻边长度，代入正切的定义计算即可得到对应正切值。
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