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广东省广州市天河外国语学校2025-2026学年八年级下学期数学期中试卷
1．在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB为斜边，
根据勾股定理：
故答案为：C.
【分析】本题主要考查勾股定理的应用.根据题干信息判断AB为斜边，利用勾股定理直接计算即可.
2．计算的结果是（　　）
A． B． C．14 D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案即可．
3．如图，在平行四边形ABCD中，若∠A=70°，则∠C的度数是（　　）
A．70° B．110° C．120° D．140°
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A=∠C
∵∠A=70°
∴∠C=70°
故答案为：A.
【分析】本题主要考查平行四边形的性质：平行四边形的对角相等.根据性质直接作答即可.
4．下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A、当时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意，A错误；
B、被开方数是负数，选项说法错误，不符合题意，B错误；
C、当时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意，C错误；
D、因为，所以是二次根式，选项说法正确，符合题意，D正确；
故选：D．
【分析】本题考查二次根式.根据二次根式的定义“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”．当时， 没有意义，据此可判断A选项；二次根式下的数不能为负数，据此可判断B选项；当时， 没有意义，据此可判断C选项；根据平方具有非负性可得：，据此可得是二次根式，据此可判断D选项.
5．如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米.将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要（　　）米.
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；圆柱的展开图
【解析】【解答】解：圆柱体侧面展开图如图所示：AB=5米，BB'=4米
因此彩带最短为米，
故答案为：D.
【分析】本题主要考查圆柱侧面展开图及勾股定理的应用.将圆柱侧面沿一条母线剪开并展开成矩形，矩形的长为底面圆的周长4米，宽为圆柱的高5米.彩带从点A开始绕圆柱一圈后到达点B，相当于在展开图中从矩形下边缘上的点A到上边缘正上方的点B，因此最短路径为直角三角形的斜边AB长度，利用勾股定理计算即可.
6．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AB=BC B．AD=BC C．OA=OB D．AC⊥BD
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、AB=BC为邻边相等，平行四边形邻边不一定相等，错误；
B、AD=BC是对边相等，平行四边形两组对边分别相等，正确；
C、OA=OB是对角线相等才能成立，一般平行四边形对角线只互相平分，错误；
D、AC⊥BD是对角线互相垂直，平行四边形对角线不一定垂直，错误；
故答案为：B.
【分析】本题主要考查平行四边形的性质.平行四边形的两组对边分别相等且平行、两组对角相等、对角线互相平分.结合性质逐个选项分析即可.
7．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM.若AC=6，BD=8，则OM的长为（　　）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴，，
∵AC=6，BD=8
∴OA=3，OB=4
∴在中，
∵点M是AB中点
∴
故答案为：A.
【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线定理.利用菱形对角线互相垂直平分的性质，得到△AOB是直角三角形，并利用勾股定理求出边长AB，再结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM的长.
8．如图，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交数轴于点B，则点B表示的数为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：根据图形：
∴
故答案为：C.
【分析】本题主要考查数轴与勾股定理的应用（在数轴上表示无理数）.根据图形确定直角三角形的两直角边均为1，利用勾股定理计算，再结合圆规截取长度确定数轴上点表示的数为.
9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点E，交BC于点F.若AB=3，AC=4，AD=5，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．1.5 B．3 C．6 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，OB=OD，AD∥BC
∴∠EDO=∠FBO，CD=AB=3
∵∠EOD=∠FOB
∴△EOD≌△FOB
∴
同理：
∴阴影部分面积=
∵CD2+AD2=32+42=25，AC2=52=25
∴CD2+AD2=AC2
∴△ACD是直角三角形
∴
故答案为：C.
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理逆定理.利用平行四边形对角线互相平分、对边平行且相等的性质证明，，将阴影部分的面积转化为△ACD的面积；再通过勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，即可求出阴影部分面积.
10．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，∠ABD=30°，∠BDC=120°，AB=CD=2，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，取BD的中点H，连接EH、FH，
∵点E、H分别为AD，BD的中点
∴且
∵，
∴，
同理可得：，
∴
∴
在中，，
故答案为：A.
【分析】本题主要考查三角形中位线定理及勾股定理.首先根据“E，F分别为AD，BC的中点”，取BD的中点H，连接EH，FH，构造△EHF；再利用三角形中位线的性质，得到EH，HF的长，并判断△EHF的形状为直角三角形；最后利用勾股定理计算即可.
11．如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要　 　米长．
【答案】17
【知识点】勾股定理的实际应用-台阶问题
【解析】【解答】解：如图所示：AB=5，AC=13，∠B=90°
在中，米
∴红地毯至少要AB+BC=5+12=17米长
故答案为：17.
【分析】本题主要考查勾股定理在实际生活中的应用.将楼梯表面的红地毯长度转化为直角三角形两直角边的长度之和，利用勾股定理计算BC的长，因此所需红地毯长度为AB+BC=5+12=17米.
12． 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　.
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
3x-3≥0，解得：x≥1
故答案为： x≥1
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
13．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且，则△ABC的面积为　 　.
【答案】30
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴，，
∴，，
∵a、b、c分别为△ABC的三边长且，
∴
∴△ABC是直角三角形
∴
故答案为：30.
【分析】本题主要考查非负数的性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算.结合，，和已知条件可计算a、b、c的长；再通过勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，a、b为直角边，即可计算面积.
14．计算 的结果为　 　.
【答案】60
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：60 .
【分析】根据平方差公式计算即可.
15．在 ABCD中，AB=2，BF，CE分别是∠ABC与∠BCD的平分线，交点为O，EF=1. OB2+OC2的值为　 　.（提示：请画图）
【答案】1或9或25
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①如图所示：CE、BF交点O在平行四边形内部，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴，，，
∴，，
∵BF，CE分别是∠ABC与∠BCD的平分线
∴，
∴，，
∴AB=AF=CD=DE，
∵AB=2
∴AF=DE=2
∵EF=1
∴BC=AD=AF+DE-EF=3
在中，；
②如图所示：CE、BF交点O在平行四边形外部，
由①知，△ABF与△CDE是等腰三角形且△BOC是直角三角形，即AB=AF，CD=DE
∵AB=CD=2
∴AF=DE=2
∵EF=1
∴BC=AD=AF+EF+DE=5
在中，；
③如图所示：当CE与BF分别交于AB，CD于点E，F时，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴，，
∵BF，CE分别是∠ABC与∠BCD的平分线
∴，
∴，，
∴，，
∴
∴四边形BCFE是平行四边形
∵EF=1
∴BC=EF=1
在中，；
综上所述，OB2+OC2的值为1或9或25.
故答案为：1或9或25
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理及角平分线的定义.根据题干信息画出图形，对于①、②种情形，结合平行线性质与角平分线的定义得到两个等腰三角形，并判定△BOC是直角三角形，再通过线段的和差得到BC的长，最后利用勾股定理计算OB2+OC2；对于情形③，需判定四边形BCFE是平行四边形，再结合勾股定理即可得出结果.
16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线.
⑴以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F.
⑵以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G.
⑶以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H.
⑷作射线AH.
⑸以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M.
⑹连接MC、MB，MB分别交AC、AD于点N、P.有下列结论：
①BD=CD；
②∠ABM=15°；
③∠APN=∠ANP；
④.
其中，正确的是　 　（填序号）.
【答案】①②
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：根据作图步骤可知：，，
∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴AD⊥BC，BD=CD
故①正确；
如图所示：过点M作MR⊥BC于点R
∵AD⊥BC
∴AD∥MR
∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠MAC=∠ABD=45°
∵∠ABD+∠BAM=∠ABD+∠BAC+∠MAC=180°
∴AM∥BC
∴四边形ADRM是平行四边形
∴MR=AD
∵∠BAC=90°，点D是BC中点
∴
∴∠MBR=30°
∴∠ABM=∠ABC-∠MBR=15°
故②正确；
∵∠MBC=30°，∠ABD=90°
∴∠APN=∠BPD=60°
∵∠ABM=15°，∠BAC=90°
∴∠ANP=75°
∴∠APN≠∠ANP
故③错误；
设AP=x
∵AM∥BC
∴∠AMB=∠MBC=30°
∴，
整理得，
∴
故④错误；
综上所述，只有①②正确
故答案为：①②.
【分析】根据作图步骤得到信息：，.①根据等腰三角形性质“三线合一”证明；②做辅助线MR⊥BC，先判定四边形ADRM是平行四边形，得到MR=AD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到线段关系，即可得到∠MBR=30°，最后作差求角∠ABM；③利用三角形内角和分别求出两角度数即可；④利用锐角三角函数将AM、AD分别用线段AP表示出，求出比值即可判断.
17．计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式=2+1-3
=0；
（2）解：原式
.
【知识点】完全平方公式及运用；零指数幂；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）；二次根式的除法
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算：立方根、零次幂、二次根式的乘法与除法、完全平方公式.
（1）；（任何非零数的零次幂都等于1）；，最后计算加减即可；
（2）运用完全平方公式；，最后计算加减即可.
18．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点上.
（1）在图①中画一条长度为的线段；
（2）在图②中画一个面积为5的正方形.
【答案】（1）如图，AB即为所求；
（2）如图，正方形CDEF即为所求．
【知识点】勾股定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】本题主要考查在网格中利用勾股定理构造无理数线段和正方形面积.
（1）可看作直角边为2和3的直角三角形的斜边，在网格中从某点出发，沿水平方向取2格、竖直方向取3格，连接起点和终点，所得线段长度即为；
（2）面积为5的正方形的边长为，为可看作直角边为1和2的直角三角形的斜边，在网格中以长度为的线段为边作正方形即可.
19．如图，在菱形ABCD中，BM⊥AD，垂足为M；BN⊥CD，垂足为N.
（1）求证：AM=CN.
（2）若∠A=80°，则∠MBN的度数为　 　.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，∠A=∠C，
∵BM⊥AD，BN⊥CD，
∴∠AMB=∠CNB=90°，
在△ABM和△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（AAS），
∴AM=CN
（2）80°
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：（2）∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC
∴∠A＋∠ABC=180°
∵∠A=80°
∴∠ABC=100°
∵∠AMB=90°
∴∠ABM=10°
由（1）得△ABM≌△CBN
∴∠CBN=∠ABM=10°
∴∠MBN=∠ABC-∠CBN-∠ABM=80°
故答案为：80°.
【分析】（1）根据菱形性质得到全等的条件，结合已知条件即可证明△ABM≌△CBN（AAS），进而证明AM=CN；
（2）根据菱形性质得到AD∥BC，利用“两直线平行，同旁内角互补”计算∠ABC=100°，再利用三角形内角和及△ABM≌△CBN得到∠CBN=∠ABM=10°，作差即可得到∠MBN的度数.
20．【阅读材料】问题：已知，求x2-2x+2的值.
小明的做法是：
∵，
∴.
∴（x-1）2=3.
∴x2-2x+1=3.
∴x2-2x=2.
∴x2-2x+2=2+2=4.
小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答.
小丽的做法是：
∵x2-2x+2=x2-2x+1+1=（x-1）2+1，
∴当时，原式=.
小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答.
【解决问题】
（1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”解题“已知，求x2-4x+1的值”；
（2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求4x3+10x2的值.
【答案】（1）解：①“小明的做法”：
∵
∴
∴（x-2）2=7
∴x2-4x+4=7
∴x2-4x=3
∴x2-4x+1=3+1=4；
②“小丽的做法”：
∵
∴当时，原式=.
（2）解： ∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
当时，原式=.
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值
【解析】【分析】本题主要考查灵活运用完全平方公式简化二次根式的计算.
（1）小明的做法是根据x的值进行变形，运用完全平方公式得到所求代数式的形式在进行计算；小丽的做法是将所求代数式进行配方后再代入x得值进行计算；
（2）先利用小明的做法将x的值进行变形，得到、；再将代数式进行变形、一步一步化简，最终得到的形式，代入x得值进行计算即可.
21．如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE=BF．
（1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；
（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．
【答案】（1）解：AF=DE．
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，
∵AE=BF，
在△DAE与△ABF中，
∴△DAE≌△ABF，
∴AF=DE．
（2）四边形HIJK是正方形．
如下图，H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，
∴HI=KJ=AF，HK=IJ=ED，
∵AF=DE，
∴HI=KJ=HK=IJ，
∴四边形HIJK是菱形，
∵△DAE≌△ABF，
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BAF+∠AED=90°，
∴∠AOE=90°
∴∠KHI=90°，
∴四边形HIJK是正方形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的判定与性质；三角形的中位线定理；十字架模型
【解析】【分析】本题主要考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形中位线定理.
（1）利用正方形的性质得到全等的条件，结合已知条件判定△DAE≌△ABF，即可得到AF=DE；
（2）先根据题干将图形补充完整，利用三角形中位线的性质及第（1）问的结论可先判定四边形HIJK是菱形；再根据全等三角形推导角度即可得到∠KHI=90°，即可证明四边形HIJK是正方形.
22．如图，四边形ABCD中，.
（1）求∠BCD的度数；
（2）求四边形ABCD的面积.
【答案】（1）解：如图所示，连接AC
∵
∴在，
∵，
∴
∴是直角三角形，
∵
∴
∴
（2）解：∵与均为直角三角形
∴，
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）本小题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，以及等腰直角三角形的角度计算.连接辅助线AC，先利用勾股定理计算AC，再利用勾股定理逆定理判断三角形ACD形状，最后计算角度求解；
（2）分解计算两个直角三角形的面积，求和即为四边形ABCD的面积.
23．已知a、b、c为直角三角形三边，且c为斜边，h为斜边上的高.
（1）下列说法正确的是（　　）.
A．a2、b2、c2能组成三角形；
B．、、能组成直角三角形三边；
C．a+b、c+h、h能组成直角三角形三边；
D．、、能组成直角三角形三边.
（2）请选择一个正确选项进行证明.
【答案】（1）C
（2）证明C选项：
∵a、b、c为直角三角形三边，且c为斜边，h为斜边上的高，
∴a2+b2=c2，且ab=ch，
又∵（a+b）2+h2=a2+2ab+b2+h2，
将a2+b2=c2，ab=ch，代入得：（a+b）2+h2=c2+2ch+h2=（c+h）2，
∴根据勾股定理逆定理，a+b、c+h、h能组成直角三角形三边
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）∵a、b、c是直角三角形三边，且c为斜边
∴
∵边长，，不满足两边之和大于第三边
∴不能组成三角形
故A错误；
∵a、b、c是直角三角形三边
∴
∵，，
∴
不满足勾股定理逆定理
故B错误；
∵a、b、c为直角三角形三边，且c为斜边，h为斜边上的高，
∴a2+b2=c2，且ab=ch，
又∵（a+b）2+h2=a2+2ab+b2+h2，
将a2+b2=c2，ab=ch，代入得：（a+b）2+h2=c2+2ch+h2=（c+h）2，
∴根据勾股定理逆定理，a+b、c+h、h能组成直角三角形三边
故C正确；
∵，
∴
同理可验证其他组合均不满足勾股定理逆定理
故D错误.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理、三角形三边关系及三角形等积变换.
A、利用勾股定理及三角形三边关系即可判断；B、根据三角形三边关系可推出此组数据不符合勾股定理逆定理；C、根据等积变换得到ah=ch，将展开并变形进行验证，符合勾股定理逆定理；D、利用勾股定理逆定理进行验证.
24．如图1所示，四边形ABCD是矩形，AD=2，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿DE，BF翻折，使点A、点C都恰好落在点O处.
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）点M是直线BD上的一个动点，请在图1中，作MG⊥DF于G，作MH⊥FB于H，MG+MH的值会变吗？如果不变请求出这个值；如果会变，请说明理由；
（3）如图2，若P是线段ED上的动点，求2AP+PD的最小值.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠A=∠C=90°，CD∥AB
∵将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处，
∴△ADE≌△ODE，△CBF≌△OBF，
∴∠A=∠DOE=90°，∠C=∠BOF=90°，AD=OD，BC=OB
∴EF⊥BD，OD=OB
∴∠DOF=∠BOE=90°
∵CD∥AB
∴∠CDB=∠ABD
∴△DOF≌△BOE
∴DF=BE，且DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD
∴四边形DEBF是菱形
（2）解：MG+MH的值不变，理由如下：
如图：MG⊥DF于G，MH⊥FB于H，连接MF，
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC=∠A=90°
∵四边形DEBF是菱形
∴∠EDB=∠FDB
∵△ADE≌△ODE
∴∠ADE=∠EDB
∴∠ADE=∠EDB=∠FDB=30°
∴DE=2AE
在Rt△ADE中，AD=2
∴
∴，
∵DF=DE，BC=AD
∴，BC=2
∴
∵，且
∴
∴
（3）解：如图，连接OP，OA
点P在DE上运动时，根据折叠的性质：AP=OP
∴2AP+PD=AP+OP+PD
当AP=OP=PD时，2AP+PD的值最小
由（2）知∠ADE=30°
过点P作PM⊥AD于点M，则DP=2PM
∵AP=DP，AD=2
∴DM=1
在Rt△DMP中，DM=1
∴
∴，
∴.
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质及翻折的性质，证明△DOF≌△BOE；由全等可得DF=BE，进而推出四边形DEBF是平行四边形；再由EF⊥BD，可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行判定；
（2）连接MF，先根据菱形和折叠的性质得到∠ADE=∠EDB=∠FDB；再根据矩形的性质，可判断△ADE是含30°角的直角三角形，根据AD=2，利用勾股定理计算菱形的边长；最后通过三角形面积推出；
（3）根据折叠的性质将2AP转化为AP+OP，则2AP+PD即为点P到△AOD三个顶点距离之和，由此确定：当AP=OP=PD时，2AP+PD的值最小（点P为费马点）；利用含30°角的直角三角形及勾股定理计算出PD的长，即可得出结果.
25．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”.如图1，凸四边形ABCD沿对角线AC对折后完全重合，四边形ABCD是以直线AC为对称轴的“忧乐四边形”.
（1）下列四边形一定是“忧乐四边形”的有（　　）.
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的中点，四边形ABEM是以直线AE为对称轴的“忧乐四边形”（点M在四边形ABCD内部），连接AM并延长交DC于点N.①求证：四边形MECN是“忧乐四边形”.②若AB=3，AD=5；当△ADN是直角三角形时，请求出线段CN的长.
（3）如图1，在四边形ABCD中，AD=AB，∠DAB=60°，∠DCB=60°，线段AC、BC之间存在怎样的数量关系？
【答案】（1）B；D
（2）解：①如图2，E是BC的中点，连接EN、MC，
∴BE=CE，
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AME，
∴∠B=∠AME，BE=EM，
∴EM=EC，
∴∠EMC=∠ECM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ECD=180°-∠B，且∠EMN=180°-∠AME=180°-∠B，
∴∠ECD=∠EMN，
∴∠NMC=∠NME-∠EMC=∠ECN-∠ECM=∠NCM，
∴∠NMC=∠NCM，
∴MN=CN，
在△EMN和△ECN中，
，
∴△EMN≌△ECN（SAS），
∴四边形MECN沿EN折叠完全重合，
∴四边形MECN是“忧乐四边形”；
②当∠D=90°时，如图：
∵四边形ABEM、MECN均是“忧乐四边形”
∴AM=AB，CN=MN
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=3
∴CD=AM=AB=3
∴AN=AM+MN=3+CN，DN=CD-CN=3-CN
在Rt△AND中，AD=5
∴
∴；
当∠AND=90°时，如图：
在Rt△AND中，AD=5
∴
∴
综上所述，CN的长为或.
（3）解：如图，连接BD，交AC于点E，
∵四边形ABCD是“忧乐四边形”
∴∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA
∵∠DAB=60°，∠DCB=60°
∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA=30°
∵AD=AB
∴△ABD是等边三角形
∴AE⊥BD，BE=DE
设AB=BD=AD=2a，则BE=DE=a
在Rt△BEC中，BC=2BE=2a
在Rt△ABE中，
同理：
∴
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵平行四边形、矩形沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；菱形、正方形沿着它的一条对角线对折后能完全重合
∴菱形、正方形是“忧乐四边形”
故答案为：B、D.
【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义判断即可；
（2）①根据已知四边形ABEM是以直线AE为对称轴的“忧乐四边形”，可得∠B=∠AME，BE=EM，由点E是BC中点，则EM=EC；结合平行四边形的性质，并利用“等角的补角相等”得∠ECD=∠EMN，进而得∠NMC=∠NCM，由“等角对等边”得MN=CN；即可证明△EMN≌△ECN，符合“忧乐四边形”定义；
（3）根据“忧乐四边形”的定义得到相等的角，结合所给条件判断△ABD是等边三角形；因此△ABE、△BEC均为含30°角的直角三角形；设出等边三角形边长为2a，则BC=2a，再利用勾股定理计算AE、EC的长，即可得到AC，最后得出.
1 / 1广东省广州市天河外国语学校2025-2026学年八年级下学期数学期中试卷
1．在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
2．计算的结果是（　　）
A． B． C．14 D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，若∠A=70°，则∠C的度数是（　　）
A．70° B．110° C．120° D．140°
4．下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米.将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要（　　）米.
A．3 B．4 C．5 D．
6．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AB=BC B．AD=BC C．OA=OB D．AC⊥BD
7．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM.若AC=6，BD=8，则OM的长为（　　）
A． B．4 C．5 D．
8．如图，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交数轴于点B，则点B表示的数为（　　）
A．1 B．2 C． D．
9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点E，交BC于点F.若AB=3，AC=4，AD=5，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．1.5 B．3 C．6 D．4
10．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，∠ABD=30°，∠BDC=120°，AB=CD=2，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要　 　米长．
12． 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　.
13．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且，则△ABC的面积为　 　.
14．计算 的结果为　 　.
15．在 ABCD中，AB=2，BF，CE分别是∠ABC与∠BCD的平分线，交点为O，EF=1. OB2+OC2的值为　 　.（提示：请画图）
16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线.
⑴以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F.
⑵以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G.
⑶以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H.
⑷作射线AH.
⑸以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M.
⑹连接MC、MB，MB分别交AC、AD于点N、P.有下列结论：
①BD=CD；
②∠ABM=15°；
③∠APN=∠ANP；
④.
其中，正确的是　 　（填序号）.
17．计算：
（1）；
（2）.
18．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点上.
（1）在图①中画一条长度为的线段；
（2）在图②中画一个面积为5的正方形.
19．如图，在菱形ABCD中，BM⊥AD，垂足为M；BN⊥CD，垂足为N.
（1）求证：AM=CN.
（2）若∠A=80°，则∠MBN的度数为　 　.
20．【阅读材料】问题：已知，求x2-2x+2的值.
小明的做法是：
∵，
∴.
∴（x-1）2=3.
∴x2-2x+1=3.
∴x2-2x=2.
∴x2-2x+2=2+2=4.
小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答.
小丽的做法是：
∵x2-2x+2=x2-2x+1+1=（x-1）2+1，
∴当时，原式=.
小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答.
【解决问题】
（1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”解题“已知，求x2-4x+1的值”；
（2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求4x3+10x2的值.
21．如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE=BF．
（1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；
（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．
22．如图，四边形ABCD中，.
（1）求∠BCD的度数；
（2）求四边形ABCD的面积.
23．已知a、b、c为直角三角形三边，且c为斜边，h为斜边上的高.
（1）下列说法正确的是（　　）.
A．a2、b2、c2能组成三角形；
B．、、能组成直角三角形三边；
C．a+b、c+h、h能组成直角三角形三边；
D．、、能组成直角三角形三边.
（2）请选择一个正确选项进行证明.
24．如图1所示，四边形ABCD是矩形，AD=2，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿DE，BF翻折，使点A、点C都恰好落在点O处.
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）点M是直线BD上的一个动点，请在图1中，作MG⊥DF于G，作MH⊥FB于H，MG+MH的值会变吗？如果不变请求出这个值；如果会变，请说明理由；
（3）如图2，若P是线段ED上的动点，求2AP+PD的最小值.
25．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”.如图1，凸四边形ABCD沿对角线AC对折后完全重合，四边形ABCD是以直线AC为对称轴的“忧乐四边形”.
（1）下列四边形一定是“忧乐四边形”的有（　　）.
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的中点，四边形ABEM是以直线AE为对称轴的“忧乐四边形”（点M在四边形ABCD内部），连接AM并延长交DC于点N.①求证：四边形MECN是“忧乐四边形”.②若AB=3，AD=5；当△ADN是直角三角形时，请求出线段CN的长.
（3）如图1，在四边形ABCD中，AD=AB，∠DAB=60°，∠DCB=60°，线段AC、BC之间存在怎样的数量关系？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB为斜边，
根据勾股定理：
故答案为：C.
【分析】本题主要考查勾股定理的应用.根据题干信息判断AB为斜边，利用勾股定理直接计算即可.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案即可．
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A=∠C
∵∠A=70°
∴∠C=70°
故答案为：A.
【分析】本题主要考查平行四边形的性质：平行四边形的对角相等.根据性质直接作答即可.
4．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A、当时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意，A错误；
B、被开方数是负数，选项说法错误，不符合题意，B错误；
C、当时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意，C错误；
D、因为，所以是二次根式，选项说法正确，符合题意，D正确；
故选：D．
【分析】本题考查二次根式.根据二次根式的定义“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”．当时， 没有意义，据此可判断A选项；二次根式下的数不能为负数，据此可判断B选项；当时， 没有意义，据此可判断C选项；根据平方具有非负性可得：，据此可得是二次根式，据此可判断D选项.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；圆柱的展开图
【解析】【解答】解：圆柱体侧面展开图如图所示：AB=5米，BB'=4米
因此彩带最短为米，
故答案为：D.
【分析】本题主要考查圆柱侧面展开图及勾股定理的应用.将圆柱侧面沿一条母线剪开并展开成矩形，矩形的长为底面圆的周长4米，宽为圆柱的高5米.彩带从点A开始绕圆柱一圈后到达点B，相当于在展开图中从矩形下边缘上的点A到上边缘正上方的点B，因此最短路径为直角三角形的斜边AB长度，利用勾股定理计算即可.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、AB=BC为邻边相等，平行四边形邻边不一定相等，错误；
B、AD=BC是对边相等，平行四边形两组对边分别相等，正确；
C、OA=OB是对角线相等才能成立，一般平行四边形对角线只互相平分，错误；
D、AC⊥BD是对角线互相垂直，平行四边形对角线不一定垂直，错误；
故答案为：B.
【分析】本题主要考查平行四边形的性质.平行四边形的两组对边分别相等且平行、两组对角相等、对角线互相平分.结合性质逐个选项分析即可.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴，，
∵AC=6，BD=8
∴OA=3，OB=4
∴在中，
∵点M是AB中点
∴
故答案为：A.
【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线定理.利用菱形对角线互相垂直平分的性质，得到△AOB是直角三角形，并利用勾股定理求出边长AB，再结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM的长.
8．【答案】C
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：根据图形：
∴
故答案为：C.
【分析】本题主要考查数轴与勾股定理的应用（在数轴上表示无理数）.根据图形确定直角三角形的两直角边均为1，利用勾股定理计算，再结合圆规截取长度确定数轴上点表示的数为.
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，OB=OD，AD∥BC
∴∠EDO=∠FBO，CD=AB=3
∵∠EOD=∠FOB
∴△EOD≌△FOB
∴
同理：
∴阴影部分面积=
∵CD2+AD2=32+42=25，AC2=52=25
∴CD2+AD2=AC2
∴△ACD是直角三角形
∴
故答案为：C.
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理逆定理.利用平行四边形对角线互相平分、对边平行且相等的性质证明，，将阴影部分的面积转化为△ACD的面积；再通过勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，即可求出阴影部分面积.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，取BD的中点H，连接EH、FH，
∵点E、H分别为AD，BD的中点
∴且
∵，
∴，
同理可得：，
∴
∴
在中，，
故答案为：A.
【分析】本题主要考查三角形中位线定理及勾股定理.首先根据“E，F分别为AD，BC的中点”，取BD的中点H，连接EH，FH，构造△EHF；再利用三角形中位线的性质，得到EH，HF的长，并判断△EHF的形状为直角三角形；最后利用勾股定理计算即可.
11．【答案】17
【知识点】勾股定理的实际应用-台阶问题
【解析】【解答】解：如图所示：AB=5，AC=13，∠B=90°
在中，米
∴红地毯至少要AB+BC=5+12=17米长
故答案为：17.
【分析】本题主要考查勾股定理在实际生活中的应用.将楼梯表面的红地毯长度转化为直角三角形两直角边的长度之和，利用勾股定理计算BC的长，因此所需红地毯长度为AB+BC=5+12=17米.
12．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
3x-3≥0，解得：x≥1
故答案为： x≥1
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
13．【答案】30
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴，，
∴，，
∵a、b、c分别为△ABC的三边长且，
∴
∴△ABC是直角三角形
∴
故答案为：30.
【分析】本题主要考查非负数的性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算.结合，，和已知条件可计算a、b、c的长；再通过勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，a、b为直角边，即可计算面积.
14．【答案】60
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：60 .
【分析】根据平方差公式计算即可.
15．【答案】1或9或25
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①如图所示：CE、BF交点O在平行四边形内部，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴，，，
∴，，
∵BF，CE分别是∠ABC与∠BCD的平分线
∴，
∴，，
∴AB=AF=CD=DE，
∵AB=2
∴AF=DE=2
∵EF=1
∴BC=AD=AF+DE-EF=3
在中，；
②如图所示：CE、BF交点O在平行四边形外部，
由①知，△ABF与△CDE是等腰三角形且△BOC是直角三角形，即AB=AF，CD=DE
∵AB=CD=2
∴AF=DE=2
∵EF=1
∴BC=AD=AF+EF+DE=5
在中，；
③如图所示：当CE与BF分别交于AB，CD于点E，F时，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴，，
∵BF，CE分别是∠ABC与∠BCD的平分线
∴，
∴，，
∴，，
∴
∴四边形BCFE是平行四边形
∵EF=1
∴BC=EF=1
在中，；
综上所述，OB2+OC2的值为1或9或25.
故答案为：1或9或25
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理及角平分线的定义.根据题干信息画出图形，对于①、②种情形，结合平行线性质与角平分线的定义得到两个等腰三角形，并判定△BOC是直角三角形，再通过线段的和差得到BC的长，最后利用勾股定理计算OB2+OC2；对于情形③，需判定四边形BCFE是平行四边形，再结合勾股定理即可得出结果.
16．【答案】①②
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：根据作图步骤可知：，，
∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴AD⊥BC，BD=CD
故①正确；
如图所示：过点M作MR⊥BC于点R
∵AD⊥BC
∴AD∥MR
∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠MAC=∠ABD=45°
∵∠ABD+∠BAM=∠ABD+∠BAC+∠MAC=180°
∴AM∥BC
∴四边形ADRM是平行四边形
∴MR=AD
∵∠BAC=90°，点D是BC中点
∴
∴∠MBR=30°
∴∠ABM=∠ABC-∠MBR=15°
故②正确；
∵∠MBC=30°，∠ABD=90°
∴∠APN=∠BPD=60°
∵∠ABM=15°，∠BAC=90°
∴∠ANP=75°
∴∠APN≠∠ANP
故③错误；
设AP=x
∵AM∥BC
∴∠AMB=∠MBC=30°
∴，
整理得，
∴
故④错误；
综上所述，只有①②正确
故答案为：①②.
【分析】根据作图步骤得到信息：，.①根据等腰三角形性质“三线合一”证明；②做辅助线MR⊥BC，先判定四边形ADRM是平行四边形，得到MR=AD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到线段关系，即可得到∠MBR=30°，最后作差求角∠ABM；③利用三角形内角和分别求出两角度数即可；④利用锐角三角函数将AM、AD分别用线段AP表示出，求出比值即可判断.
17．【答案】（1）解：原式=2+1-3
=0；
（2）解：原式
.
【知识点】完全平方公式及运用；零指数幂；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）；二次根式的除法
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算：立方根、零次幂、二次根式的乘法与除法、完全平方公式.
（1）；（任何非零数的零次幂都等于1）；，最后计算加减即可；
（2）运用完全平方公式；，最后计算加减即可.
18．【答案】（1）如图，AB即为所求；
（2）如图，正方形CDEF即为所求．
【知识点】勾股定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】本题主要考查在网格中利用勾股定理构造无理数线段和正方形面积.
（1）可看作直角边为2和3的直角三角形的斜边，在网格中从某点出发，沿水平方向取2格、竖直方向取3格，连接起点和终点，所得线段长度即为；
（2）面积为5的正方形的边长为，为可看作直角边为1和2的直角三角形的斜边，在网格中以长度为的线段为边作正方形即可.
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，∠A=∠C，
∵BM⊥AD，BN⊥CD，
∴∠AMB=∠CNB=90°，
在△ABM和△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（AAS），
∴AM=CN
（2）80°
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：（2）∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC
∴∠A＋∠ABC=180°
∵∠A=80°
∴∠ABC=100°
∵∠AMB=90°
∴∠ABM=10°
由（1）得△ABM≌△CBN
∴∠CBN=∠ABM=10°
∴∠MBN=∠ABC-∠CBN-∠ABM=80°
故答案为：80°.
【分析】（1）根据菱形性质得到全等的条件，结合已知条件即可证明△ABM≌△CBN（AAS），进而证明AM=CN；
（2）根据菱形性质得到AD∥BC，利用“两直线平行，同旁内角互补”计算∠ABC=100°，再利用三角形内角和及△ABM≌△CBN得到∠CBN=∠ABM=10°，作差即可得到∠MBN的度数.
20．【答案】（1）解：①“小明的做法”：
∵
∴
∴（x-2）2=7
∴x2-4x+4=7
∴x2-4x=3
∴x2-4x+1=3+1=4；
②“小丽的做法”：
∵
∴当时，原式=.
（2）解： ∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
当时，原式=.
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值
【解析】【分析】本题主要考查灵活运用完全平方公式简化二次根式的计算.
（1）小明的做法是根据x的值进行变形，运用完全平方公式得到所求代数式的形式在进行计算；小丽的做法是将所求代数式进行配方后再代入x得值进行计算；
（2）先利用小明的做法将x的值进行变形，得到、；再将代数式进行变形、一步一步化简，最终得到的形式，代入x得值进行计算即可.
21．【答案】（1）解：AF=DE．
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，
∵AE=BF，
在△DAE与△ABF中，
∴△DAE≌△ABF，
∴AF=DE．
（2）四边形HIJK是正方形．
如下图，H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，
∴HI=KJ=AF，HK=IJ=ED，
∵AF=DE，
∴HI=KJ=HK=IJ，
∴四边形HIJK是菱形，
∵△DAE≌△ABF，
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BAF+∠AED=90°，
∴∠AOE=90°
∴∠KHI=90°，
∴四边形HIJK是正方形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的判定与性质；三角形的中位线定理；十字架模型
【解析】【分析】本题主要考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形中位线定理.
（1）利用正方形的性质得到全等的条件，结合已知条件判定△DAE≌△ABF，即可得到AF=DE；
（2）先根据题干将图形补充完整，利用三角形中位线的性质及第（1）问的结论可先判定四边形HIJK是菱形；再根据全等三角形推导角度即可得到∠KHI=90°，即可证明四边形HIJK是正方形.
22．【答案】（1）解：如图所示，连接AC
∵
∴在，
∵，
∴
∴是直角三角形，
∵
∴
∴
（2）解：∵与均为直角三角形
∴，
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）本小题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，以及等腰直角三角形的角度计算.连接辅助线AC，先利用勾股定理计算AC，再利用勾股定理逆定理判断三角形ACD形状，最后计算角度求解；
（2）分解计算两个直角三角形的面积，求和即为四边形ABCD的面积.
23．【答案】（1）C
（2）证明C选项：
∵a、b、c为直角三角形三边，且c为斜边，h为斜边上的高，
∴a2+b2=c2，且ab=ch，
又∵（a+b）2+h2=a2+2ab+b2+h2，
将a2+b2=c2，ab=ch，代入得：（a+b）2+h2=c2+2ch+h2=（c+h）2，
∴根据勾股定理逆定理，a+b、c+h、h能组成直角三角形三边
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）∵a、b、c是直角三角形三边，且c为斜边
∴
∵边长，，不满足两边之和大于第三边
∴不能组成三角形
故A错误；
∵a、b、c是直角三角形三边
∴
∵，，
∴
不满足勾股定理逆定理
故B错误；
∵a、b、c为直角三角形三边，且c为斜边，h为斜边上的高，
∴a2+b2=c2，且ab=ch，
又∵（a+b）2+h2=a2+2ab+b2+h2，
将a2+b2=c2，ab=ch，代入得：（a+b）2+h2=c2+2ch+h2=（c+h）2，
∴根据勾股定理逆定理，a+b、c+h、h能组成直角三角形三边
故C正确；
∵，
∴
同理可验证其他组合均不满足勾股定理逆定理
故D错误.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理、三角形三边关系及三角形等积变换.
A、利用勾股定理及三角形三边关系即可判断；B、根据三角形三边关系可推出此组数据不符合勾股定理逆定理；C、根据等积变换得到ah=ch，将展开并变形进行验证，符合勾股定理逆定理；D、利用勾股定理逆定理进行验证.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠A=∠C=90°，CD∥AB
∵将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处，
∴△ADE≌△ODE，△CBF≌△OBF，
∴∠A=∠DOE=90°，∠C=∠BOF=90°，AD=OD，BC=OB
∴EF⊥BD，OD=OB
∴∠DOF=∠BOE=90°
∵CD∥AB
∴∠CDB=∠ABD
∴△DOF≌△BOE
∴DF=BE，且DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD
∴四边形DEBF是菱形
（2）解：MG+MH的值不变，理由如下：
如图：MG⊥DF于G，MH⊥FB于H，连接MF，
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC=∠A=90°
∵四边形DEBF是菱形
∴∠EDB=∠FDB
∵△ADE≌△ODE
∴∠ADE=∠EDB
∴∠ADE=∠EDB=∠FDB=30°
∴DE=2AE
在Rt△ADE中，AD=2
∴
∴，
∵DF=DE，BC=AD
∴，BC=2
∴
∵，且
∴
∴
（3）解：如图，连接OP，OA
点P在DE上运动时，根据折叠的性质：AP=OP
∴2AP+PD=AP+OP+PD
当AP=OP=PD时，2AP+PD的值最小
由（2）知∠ADE=30°
过点P作PM⊥AD于点M，则DP=2PM
∵AP=DP，AD=2
∴DM=1
在Rt△DMP中，DM=1
∴
∴，
∴.
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质及翻折的性质，证明△DOF≌△BOE；由全等可得DF=BE，进而推出四边形DEBF是平行四边形；再由EF⊥BD，可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行判定；
（2）连接MF，先根据菱形和折叠的性质得到∠ADE=∠EDB=∠FDB；再根据矩形的性质，可判断△ADE是含30°角的直角三角形，根据AD=2，利用勾股定理计算菱形的边长；最后通过三角形面积推出；
（3）根据折叠的性质将2AP转化为AP+OP，则2AP+PD即为点P到△AOD三个顶点距离之和，由此确定：当AP=OP=PD时，2AP+PD的值最小（点P为费马点）；利用含30°角的直角三角形及勾股定理计算出PD的长，即可得出结果.
25．【答案】（1）B；D
（2）解：①如图2，E是BC的中点，连接EN、MC，
∴BE=CE，
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AME，
∴∠B=∠AME，BE=EM，
∴EM=EC，
∴∠EMC=∠ECM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ECD=180°-∠B，且∠EMN=180°-∠AME=180°-∠B，
∴∠ECD=∠EMN，
∴∠NMC=∠NME-∠EMC=∠ECN-∠ECM=∠NCM，
∴∠NMC=∠NCM，
∴MN=CN，
在△EMN和△ECN中，
，
∴△EMN≌△ECN（SAS），
∴四边形MECN沿EN折叠完全重合，
∴四边形MECN是“忧乐四边形”；
②当∠D=90°时，如图：
∵四边形ABEM、MECN均是“忧乐四边形”
∴AM=AB，CN=MN
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=3
∴CD=AM=AB=3
∴AN=AM+MN=3+CN，DN=CD-CN=3-CN
在Rt△AND中，AD=5
∴
∴；
当∠AND=90°时，如图：
在Rt△AND中，AD=5
∴
∴
综上所述，CN的长为或.
（3）解：如图，连接BD，交AC于点E，
∵四边形ABCD是“忧乐四边形”
∴∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA
∵∠DAB=60°，∠DCB=60°
∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA=30°
∵AD=AB
∴△ABD是等边三角形
∴AE⊥BD，BE=DE
设AB=BD=AD=2a，则BE=DE=a
在Rt△BEC中，BC=2BE=2a
在Rt△ABE中，
同理：
∴
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵平行四边形、矩形沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；菱形、正方形沿着它的一条对角线对折后能完全重合
∴菱形、正方形是“忧乐四边形”
故答案为：B、D.
【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义判断即可；
（2）①根据已知四边形ABEM是以直线AE为对称轴的“忧乐四边形”，可得∠B=∠AME，BE=EM，由点E是BC中点，则EM=EC；结合平行四边形的性质，并利用“等角的补角相等”得∠ECD=∠EMN，进而得∠NMC=∠NCM，由“等角对等边”得MN=CN；即可证明△EMN≌△ECN，符合“忧乐四边形”定义；
（3）根据“忧乐四边形”的定义得到相等的角，结合所给条件判断△ABD是等边三角形；因此△ABE、△BEC均为含30°角的直角三角形；设出等边三角形边长为2a，则BC=2a，再利用勾股定理计算AE、EC的长，即可得到AC，最后得出.
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