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广东省深圳市九年级34校2026年联考中考三模数学试卷
1．中国是最早认识和使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》在"方程"章中首次出现了负数，如"卖所得的钱为正，买所付的钱为负".某人卖东西所得5钱可以表示为，则买东西付2钱可以记为(　　).
A． B． C． D．
2．手机里某天气预报APP的生活服务板块有以下四个提示图标，是轴对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
3．下列计算中正确的是(　　)
A． B．
C． D．
4．人工智能大模型在工作中应用越来越广泛，某校数学教研组想在数学教学中引进一款大模型进行辅助教学，为此对比了两款大模型在数学解题中的能力表现，进行了6次测试，下表是测试成绩，则下列说法错误的是(　　)
大模型A 90 93 88 90 89 90
大模型B 91 85 95 95 84 90
A．大模型A测试成绩的中位数为89
B．模型B的测试成绩的众数为95
C．两款大模型测试得分的平均数相同
D．大模型A的方差比大模型B的方差小
5．小明在博物馆观察到一件藏品的边框为正八边形，他立马就算出了其一个内角的度数为(　　)
A． B． C． D．
6．自行车的车架设计蕴含丰富的几何知识.如图，自行车的车把手 AB 与地面平行.后轮支撑结构为 ，，，前轮支撑结构 BD，EF 互相平行.已知 ，则 的度数为(　　).
A． B． C． D．
7．某数据中心计划采购 A、B 两种国产算力芯片，已知每张 A 芯片比 B 芯片算力少，第一次采购了算力的 A 芯片，1个月后，因算力需求激增，又购进算力的 B 芯片，已知采购的 A 芯片比 B 芯片多100张，设 A 芯片算力为 ，下列方程正确的为(　　)
A． B．
C． D．
8．深圳前海"湾区之光"摩天轮是深圳的地标性建筑，如图1其轮面与地面垂直，某数学兴趣小组为测量摩天轮的高度，如图2在摩天轮前方的水平地面上选取点 B，测得摩天轮最高点 A 的仰角为 ，将点 B 向摩天轮方向移动21.3米到点 C，此时测得摩天轮最高点 A 的仰角为 ，摩天轮的高度约为多少米(　　)(结果保留整数).(参考数据： ，，)
A．154米 B．150米 C．128米 D．107米
9．已知 ，，则 　 　.
10．如不等式 无解，则 的取值可以是　 　.(写一个符合要求的即可).
11．如果反比例函数 的图象经过点，那么直线 一定经过点（　 　).
12．如图， 和 是以 为位似中心的位似图形，已知 A、B、C 为 OD、OE、OF 的中点，已知 的面积为，则 的面积为　 　.
13．如图所示，在正方形 ABCD 中，点 在 BC 上，AE、BD 交于点 ，连接 CF，将线段 CF 绕点 顺时针旋转，得到线段 CG，连接 FG 交 CD 于点 .若 ，则 　 　.
14．计算：
15．先化简，再求值 ，其中
16．(8分)深圳教育秉承"以万物为教材、把世界作课堂"的核心理念，某校八年级开展"每周半天"计划活动，需从以下四个场馆中随机选择一个开展活动：A光明欢乐田园、B航天农业科技示范园、C深圳湾实验室、D深圳市博物馆，现对八年级同学们进行最想去的场馆抽样问卷调查，每个同学仅能从上面4个场馆中选择一个，且都选了一个，根据调查结果绘制了下面不完整的条形统计图和扇形统计图.
根据图中所给信息解答下列问题：
（1）此次抽样调查共有　 　人；
（2）补全条形统计图，并计算选择深圳市博物馆的同学所在扇形圆心角度数为__▲__；
（3）若该校八年级有1000名学生，估计该校八年级学生想去航天农业科技示范园的有多少人；
（4）该学校八年级(1)班想从上面4个场馆中随机选两个参观，请用列表或画树状图的方法，求恰好选择深圳市博物馆和深圳湾实验室的概率.
17．(9分)APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料.已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元.
（1）求帆布袋与染料的单价；
（2）制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个.若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？
18．(9分)如图， 是 的外接圆，.
（1）尺规作图：作出点 使得四边形 ABCD是平行四边形；
（2）求证：CD 是 的切线；
（3） CB 与 交于点 ，若 ，，求 的半径.
19．问题解决：
【实际情境】
深圳某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线(下列出现的无人机只向右飞行).
【数学建模】
无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面，起飞点 和降落点 (都在水平地面上)的距离为 ，以 为原点，OE 所在直线为 轴，过点 与水平地面垂直的直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求抛物线 C 的关系式；
（2）【问题解决】
无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于 ，才能安全通过.如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形 ABDE，其中 ，，，.无人机乙原计划从距离 AB 左侧的 点 处起飞(其飞行轨迹抛物线 C' 与抛物线 的形状和最高点距地面的高度均相同)，发现不能安全越过障碍物.若该公司人员在起飞点 处放置一个平台，无人机乙从平台上的点 轴)处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线 C''.
①求该平台的高度 MN；
②求当 时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在 相同时的最大高度差.
20．概念学习：若三角形的有一组邻边之比为 ，则称该三角形为 倍比三角形.
（1）【概念辨析】
下列三角形是 倍比三角形的是　 　.
①等边三角形；②等腰直角三角形；③有角的直角三角形；④直角边分别为和 的直角三角形；
（2）【问题探究】
小明想研究 倍比三角形，发现有点困难，他先尝试从特殊情况出发，用几何画板画出一个特殊的2倍比三角形 ABC，其中 ，，当他试着让点 动起来时发现 点始终在一个圆上运动.
好奇的小明想该如何用数学的方法证明C在圆上运动呢，这时他想到：既然△ABC的，那我好像可以以AC和BC为对应边构造一组相似三角形。于是他延长AB至点D，使得∠DCB=∠DAC·····，所以C在以D为圆心，CD长为半径的圆上。
请你顺着小明的思路，求出 点所在圆的半径.
（3）【拓展研究】
①从特殊到一般：若 是 倍比三角形，，，请求出点 所在圆的半径(用 k，c 表示).
② 为 倍比三角形，，将点 绕点 逆时针旋转得到点 ，连接 BD，若 ，，直接写出 AC 的长为_▲_.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：根据题意：“卖所得的钱为正”，即收入为正；“买东西付的钱”属于支出，应记为负.已知卖东西所得5钱记为+5，那么买东西付2钱应记为-2；
故答案为：D.
【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的意义.理解正负数表示相反意义的量，收入为正，支出为负.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C均不存在对称轴，故不是轴对称图形，不符合题意；选项D沿直线折叠，左右能够重合，是轴对称图形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题主要考查轴对称图形的识别.轴对称图形是指沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项观察即可.
3．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，正确；
B、，错误；
C、，错误；
D、，错误；
故答案为：A.
【分析】本题主要考查整式的运算.选项A为平方差公式；选项B结果的符号根据指数“奇负偶正”，应为正；选项C中2a与3b不是同类项不能合并；选项D为完全平方公式.
4．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、大模型A的成绩从小到大排序为：88、89、90、90、90、93，所以中位数为，错误；
B、大模型B成绩中95出现2次，出现次数最多，故众数为95，正确；
C、大模型A的成绩的平均数：，大模型B的成绩的平均数：，两款大模型测试得分的平均数相同，正确；
D、，，所以大模型A的方差比大模型B的方差小，正确；
故答案为：A.
【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数和方差的计算.逐项计算两种大模型成绩的平均数，方差，以及大模型A成绩的中位数、大模型B成绩的众数即可判断.
5．【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正八边形内角和为
因此每个内角度数为
故答案为：C.
【分析】本题主要考查正多边形性质及多边形内角和.利用多边形内角和公式，计算正八边形内角和，由于正多边形每个内角相等，进而计算一个内角的度数.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴是等边三角形
∴
∵，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】本题主要考查平行线的性质、等边三角形的判定与性质.根据“有一个角是60°的等腰三角形”是等边三角形，得到；再根据“两直线平行，内错角相等”得到，两角相加即可得到.
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设A芯片算力为，则B芯片算力为
根据题意可列：
故答案为：A.
【分析】本题主要考查分式方程在实际问题中的应用——根据题意列方程.根据“每张A芯片比B芯片算力少”表示出B芯片算力；再根据“采购的A芯片比B芯片多100张”列出等式即可.
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意：，即
∵
∴
∴
∵
∴
在中，
∵
∴
∴
故答案为：C.
【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用.明确题干中各个角的度数与线段的长度，推出△AOB是等腰直角三角形，得到OA=OB；将OC用OA表示出来，根据正切定义得到，计算求解即可.
9．【答案】8
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：8.
【分析】本题主要考查平方差公式的应用.根据平方差公式，将z转化为，再代数计算.
10．【答案】（不唯一，不大于即可）
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式组，
解得，
∵不等式组无解
∴
故答案为：（不唯一，不大于即可）.
【分析】本题主要考查不等式组无解的条件.根据第一个不等式得到，要使不等式组无解，需满足“大大小小无处找”（两个解集没有公共部分），即，因此m可以取任意不大于3的数.
11．【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点代入得，
所以直线解析式为
当x=2时，y=3×2=6.
故答案为：6.
【分析】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式和正比例函数图象上点的坐标特征.先由反比例函数图象上的点求出k的值，再代入得到正比例函数解析式，计算当x=2时的函数值.
12．【答案】16
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵A、B、C为OD、OE、OF的中点
∴
∴与的相似比为
∴
∵的面积为4
∴的面积为16，
故答案为：16.
【分析】本题主要考查位似图形的性质.由和是以为位似中心的位似图形，则且相似比为1∶2；根据对应线段之比等于相似比，面积之比等于相似的平方，即可计算的面积.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；手拉手全等模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接DG，如图所示：
设正方形边长为3a，即AB=BC=CD=AD=3a
∵四边形ABCD是正方形
∴AD∥BC，∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°
∵点E在BC上，AE、BD交于点F
∴∠DBC=∠ADB=45°
∵
∴
∴
∵AD∥BC
∴△BEF∽△DAF
∴
∵AB=3a，BE=a
∴
∴
∵AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，BF=BF
∴△ABF≌△CBF
∴
由旋转性质：CG=CF
∵∠FCG=∠BCD=90°
∴∠FCG-∠FCH=∠BCD-∠FCH
即∠BCF=∠DCG
∵BC=DC
∴△BCF≌△DCG
∴，∠CDG=∠CBF=45°
∵∠DCG=∠GCH
∴△DCG∽△GCH
∴
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】本题主要考查正方形性质、全等三角形、相似三角形及旋转的性质.首先证明△BEF∽△DAF，根据正切值与正方形性质得到相似比；利用勾股定理计算AE，结合相似比得到AF；再利用正方形性质证明△ABF≌△CBF，得到CF=AF；利用旋转的性质证明△BCF≌△DCG，推出CG=CF，进而利用角相等证明△DCG∽△GCH，得到，即可计算CH、DH，最后求出.
14．【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，包括乘方、特殊角的三角函数值、绝对值以及负整数指数幂.按照运算顺序逐项计算：（偶次幂为正）；；，因此；（负整数指数幂，先化倒数再乘方）；最后计算加减.
15．【答案】解：原式
将 代入，
原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值.先计算括号内，通分；将除法转化为乘法；再进行因式分解，进行约分化简；最后代入数值计算.
16．【答案】（1）50
（2）解：①50-6-18-10=16人，补全条形统计图如图所示：
；
②.
（3）解：人
答：该八年级学生想去航天农业科技示范园的有320人.
（4）解：列表如下：
A B C D
A 　
B 　
C 　
D 　
共有12种等可能结果，符合条件的有种，
P选择深圳市博物馆和深圳湾实验室=.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）人
故答案为：50；
（2）
故答案为：72°；
【分析】本题主要考查统计图表的分析、用样本估计总体以及用列表法求概率.
（1）结合统计图可知，选择A光明欢乐田园的人数为6人，占总人数的12％，即可计算总人数；
（2）①用总人数减选择A、C、D的人数得到选择B的人数，补全条形统计图；
②计算选择D人数所占百分比乘圆周角360°即可；
（3）用样本估计总体，根据调查八年级学生想去航天农业科技示范园占比为，用总人数即可得出结果；
（4）用列表法列出所有等可能结果，其中符合条件的有两种，即可计算概率.
17．【答案】（1）解：设每个帆布袋单价为元，每套染料单价为元.
解得：
答：每个帆布袋单价为16元，每套染料单价为20元.
（2）解：单个成品成本：（元）
设单个售价上涨元，
，
解得
售价：（元）
答：售价应定为35元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元二次方程在实际问题中的应用.
（1）根据“4个帆布袋和2套染料共需104元；6个帆布袋和5套染料共需196元 ”列出二元一次方程组，计算求解即可；
（2）先计算一个成品帆布袋成本：一个帆布袋原材料+套染料=20元；根据“利润=售价-成本”得到一件帆布袋的利润为：；由“单个售价每上涨1元，每周销量减少5个”得到销售量：；最后根据“总利润=单件利润×销售量”列方程求解即可.
18．【答案】（1）解：作法不唯一

（2）证明：如图，连接DO，延长DO交AB于M，
∵点O是△ABD外接圆的圆心，DA=DB，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴DM⊥CD，
∵OD是半径，
∴CD是的切线.
（3）解：如图，连接OB，DE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=CB=9，∠A=∠C，
∵AD=BD
∴BD=BC=9
∴∠BDC=∠C
∵∠DEC=∠DBE+∠BDE=∠A
∴∠DEC=∠C=∠BDC
∴△DEC∽△BDC
∴
∴CD=6
∴AB=CD=6
∵
∴
∴
设圆的半径为r，则在Rt△OBM中，OB=r，，
根据勾股定理：
解得：
∴圆的半径为.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；切线的判定；相似三角形的判定-AA；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定作图.如图①：以点D为圆心，AB长为半径画弧，再以点B为圆心，AD长为半径画弧，两弧相交于点C，可使四边形ABCD是平行四边形，依据“两组对边分别相等”；图②依据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”；图③依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”；
（2）根据外接圆是三角形三边垂直平分线的交点，且DA=DB得到，结合平行四边形对边平行得到DM⊥CD，最后根据切线的判定“过半径外端且垂直于半径的直线是切线”证明CD是的切线；
（3）结合平行四边形性质及“等角对等边”得到相等的角，进而证明△DEC∽△BDC，即可计算CD；再根据等腰三角形“三线合一”得到BM=3，最后根据勾股定理列方程计算半径即可.
19．【答案】（1）解：根据题意设抛物线C的关系式，将点(0， 0) 代入得，，
解得：
∴抛物线C的关系式为
（2）解：①根据题意可设抛物线C“的关系式为
，
∵OE=8，OA=2+4=6，
∴此时点B正好在抛物线C“最高点的下方，与最高点的距离超过0.15m，点D的坐标为(8，2.4).
2.4+0.15=2.55.
∵无人机乙从平台上的点M处起飞后刚好安全通过障碍物，
∴(8，2.55)恰好在抛物线C“上，
将点(8，2.55) 代入中，解得h=0.3，
即该平台的高度MN为0.3m.
②由①得抛物线C”的关系式为
时，解得
结合图象可得，
当 时，在x=2时，有最大高度差，此时高度差为
当时，在x=8时，有最大高度差，高度
∴最大高度差为 .
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用.
（1）根据题意可知抛物线顶点坐标为（4，3），解析式可设顶点式，将原点（0，0）代入求a即可；
（2）①根据题意，抛物线C'与抛物线C“形状和最高点高度相同，但起点平移”，可知抛物线C'解析式为；加平台后，最高点位置变为x=6，y=3+h（h为平台MN高度），可设C''解析式为；结合题干信息“无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于”及“刚好安全飞过”可知当x=8时，y=2.4+0.15=2.55，将（8，2.55）代入求解h即可；
②比较抛物线C与抛物线C'的最大高度差，联立求交点，结合图象可发现高度差最大在两端点处，即在x=2或x=8时，分别计算此时高度差，比较大小得到最大高度差.
20．【答案】（1）③④
（2）解：∵
∴△DCB∽∠DAC
，
设BD=x， 则CD=2x，AD=4x
得x=1
∴CD=2x=2
∴点C在以D为圆心，2为半径的圆上.
（3）解：①；
与（2）思路类似
构造△DCB~∠DAC
，
设BD=x，则
得
∴点C在以D为圆心， 为半径的圆上
②或.
【知识点】解分式方程；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①等边三角形三边相等，任意；邻边之比为1，不满足；
②等腰直角三角形三边之比为，邻边之比为1或，不满足；
③含30°角的直角三角形三边之比为，存在邻边之比为；
④直角边分别为和的直角三角形斜边为，存在邻边之比为；
故答案为：③④；
（3）②过点B作BF⊥AC于点F，BE⊥DA交DA的延长线于点E，如图所示：
设AF=m，BF=n，BC=x，
∵
∴
∴
在Rt△ABF中，；再Rt△BCF中，
∴，将代入整理得：
∵∠BFA=∠FAE=∠E=90°
∴四边形AEBF是矩形
∴AE=BF=m，BE=AF=n
由旋转性质得：，
在Rt△BDE中，，整理得：
∵
∴
设，则y＞0，
∴
解得：，
经检验，，均是原分式方程的解
∴
∴
∴或
故答案为：或.
【分析】（1）逐项分析每个三角形的邻边之比，根据定义存在一组领边比为的三角形即为倍比三角形；
（2）主要考查相似三角形的判定与性质.根据提示构造相似三角形，建立线段比例关系，根据线段关系确定圆心和半径；
（3）①类比问题（2）构造相似三角形，建立线段比例关系，根据线段关系确定圆心和半径，用字母表示出半径即可；
②根据题意作出图形，设AF=m，BF=n，BC=x，在两个直角三角形Rt△ABF与Rt△BCF中分别利用勾股定理得到，；在Rt△BDE中利用勾股定理得到，结合得到关于x的分式方程，解出x，即可根据计算AC的长.
1 / 1广东省深圳市九年级34校2026年联考中考三模数学试卷
1．中国是最早认识和使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》在"方程"章中首次出现了负数，如"卖所得的钱为正，买所付的钱为负".某人卖东西所得5钱可以表示为，则买东西付2钱可以记为(　　).
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：根据题意：“卖所得的钱为正”，即收入为正；“买东西付的钱”属于支出，应记为负.已知卖东西所得5钱记为+5，那么买东西付2钱应记为-2；
故答案为：D.
【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的意义.理解正负数表示相反意义的量，收入为正，支出为负.
2．手机里某天气预报APP的生活服务板块有以下四个提示图标，是轴对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C均不存在对称轴，故不是轴对称图形，不符合题意；选项D沿直线折叠，左右能够重合，是轴对称图形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题主要考查轴对称图形的识别.轴对称图形是指沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项观察即可.
3．下列计算中正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，正确；
B、，错误；
C、，错误；
D、，错误；
故答案为：A.
【分析】本题主要考查整式的运算.选项A为平方差公式；选项B结果的符号根据指数“奇负偶正”，应为正；选项C中2a与3b不是同类项不能合并；选项D为完全平方公式.
4．人工智能大模型在工作中应用越来越广泛，某校数学教研组想在数学教学中引进一款大模型进行辅助教学，为此对比了两款大模型在数学解题中的能力表现，进行了6次测试，下表是测试成绩，则下列说法错误的是(　　)
大模型A 90 93 88 90 89 90
大模型B 91 85 95 95 84 90
A．大模型A测试成绩的中位数为89
B．模型B的测试成绩的众数为95
C．两款大模型测试得分的平均数相同
D．大模型A的方差比大模型B的方差小
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、大模型A的成绩从小到大排序为：88、89、90、90、90、93，所以中位数为，错误；
B、大模型B成绩中95出现2次，出现次数最多，故众数为95，正确；
C、大模型A的成绩的平均数：，大模型B的成绩的平均数：，两款大模型测试得分的平均数相同，正确；
D、，，所以大模型A的方差比大模型B的方差小，正确；
故答案为：A.
【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数和方差的计算.逐项计算两种大模型成绩的平均数，方差，以及大模型A成绩的中位数、大模型B成绩的众数即可判断.
5．小明在博物馆观察到一件藏品的边框为正八边形，他立马就算出了其一个内角的度数为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正八边形内角和为
因此每个内角度数为
故答案为：C.
【分析】本题主要考查正多边形性质及多边形内角和.利用多边形内角和公式，计算正八边形内角和，由于正多边形每个内角相等，进而计算一个内角的度数.
6．自行车的车架设计蕴含丰富的几何知识.如图，自行车的车把手 AB 与地面平行.后轮支撑结构为 ，，，前轮支撑结构 BD，EF 互相平行.已知 ，则 的度数为(　　).
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴是等边三角形
∴
∵，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】本题主要考查平行线的性质、等边三角形的判定与性质.根据“有一个角是60°的等腰三角形”是等边三角形，得到；再根据“两直线平行，内错角相等”得到，两角相加即可得到.
7．某数据中心计划采购 A、B 两种国产算力芯片，已知每张 A 芯片比 B 芯片算力少，第一次采购了算力的 A 芯片，1个月后，因算力需求激增，又购进算力的 B 芯片，已知采购的 A 芯片比 B 芯片多100张，设 A 芯片算力为 ，下列方程正确的为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设A芯片算力为，则B芯片算力为
根据题意可列：
故答案为：A.
【分析】本题主要考查分式方程在实际问题中的应用——根据题意列方程.根据“每张A芯片比B芯片算力少”表示出B芯片算力；再根据“采购的A芯片比B芯片多100张”列出等式即可.
8．深圳前海"湾区之光"摩天轮是深圳的地标性建筑，如图1其轮面与地面垂直，某数学兴趣小组为测量摩天轮的高度，如图2在摩天轮前方的水平地面上选取点 B，测得摩天轮最高点 A 的仰角为 ，将点 B 向摩天轮方向移动21.3米到点 C，此时测得摩天轮最高点 A 的仰角为 ，摩天轮的高度约为多少米(　　)(结果保留整数).(参考数据： ，，)
A．154米 B．150米 C．128米 D．107米
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意：，即
∵
∴
∴
∵
∴
在中，
∵
∴
∴
故答案为：C.
【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用.明确题干中各个角的度数与线段的长度，推出△AOB是等腰直角三角形，得到OA=OB；将OC用OA表示出来，根据正切定义得到，计算求解即可.
9．已知 ，，则 　 　.
【答案】8
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：8.
【分析】本题主要考查平方差公式的应用.根据平方差公式，将z转化为，再代数计算.
10．如不等式 无解，则 的取值可以是　 　.(写一个符合要求的即可).
【答案】（不唯一，不大于即可）
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式组，
解得，
∵不等式组无解
∴
故答案为：（不唯一，不大于即可）.
【分析】本题主要考查不等式组无解的条件.根据第一个不等式得到，要使不等式组无解，需满足“大大小小无处找”（两个解集没有公共部分），即，因此m可以取任意不大于3的数.
11．如果反比例函数 的图象经过点，那么直线 一定经过点（　 　).
【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点代入得，
所以直线解析式为
当x=2时，y=3×2=6.
故答案为：6.
【分析】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式和正比例函数图象上点的坐标特征.先由反比例函数图象上的点求出k的值，再代入得到正比例函数解析式，计算当x=2时的函数值.
12．如图， 和 是以 为位似中心的位似图形，已知 A、B、C 为 OD、OE、OF 的中点，已知 的面积为，则 的面积为　 　.
【答案】16
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵A、B、C为OD、OE、OF的中点
∴
∴与的相似比为
∴
∵的面积为4
∴的面积为16，
故答案为：16.
【分析】本题主要考查位似图形的性质.由和是以为位似中心的位似图形，则且相似比为1∶2；根据对应线段之比等于相似比，面积之比等于相似的平方，即可计算的面积.
13．如图所示，在正方形 ABCD 中，点 在 BC 上，AE、BD 交于点 ，连接 CF，将线段 CF 绕点 顺时针旋转，得到线段 CG，连接 FG 交 CD 于点 .若 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；手拉手全等模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接DG，如图所示：
设正方形边长为3a，即AB=BC=CD=AD=3a
∵四边形ABCD是正方形
∴AD∥BC，∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°
∵点E在BC上，AE、BD交于点F
∴∠DBC=∠ADB=45°
∵
∴
∴
∵AD∥BC
∴△BEF∽△DAF
∴
∵AB=3a，BE=a
∴
∴
∵AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，BF=BF
∴△ABF≌△CBF
∴
由旋转性质：CG=CF
∵∠FCG=∠BCD=90°
∴∠FCG-∠FCH=∠BCD-∠FCH
即∠BCF=∠DCG
∵BC=DC
∴△BCF≌△DCG
∴，∠CDG=∠CBF=45°
∵∠DCG=∠GCH
∴△DCG∽△GCH
∴
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】本题主要考查正方形性质、全等三角形、相似三角形及旋转的性质.首先证明△BEF∽△DAF，根据正切值与正方形性质得到相似比；利用勾股定理计算AE，结合相似比得到AF；再利用正方形性质证明△ABF≌△CBF，得到CF=AF；利用旋转的性质证明△BCF≌△DCG，推出CG=CF，进而利用角相等证明△DCG∽△GCH，得到，即可计算CH、DH，最后求出.
14．计算：
【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，包括乘方、特殊角的三角函数值、绝对值以及负整数指数幂.按照运算顺序逐项计算：（偶次幂为正）；；，因此；（负整数指数幂，先化倒数再乘方）；最后计算加减.
15．先化简，再求值 ，其中
【答案】解：原式
将 代入，
原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值.先计算括号内，通分；将除法转化为乘法；再进行因式分解，进行约分化简；最后代入数值计算.
16．(8分)深圳教育秉承"以万物为教材、把世界作课堂"的核心理念，某校八年级开展"每周半天"计划活动，需从以下四个场馆中随机选择一个开展活动：A光明欢乐田园、B航天农业科技示范园、C深圳湾实验室、D深圳市博物馆，现对八年级同学们进行最想去的场馆抽样问卷调查，每个同学仅能从上面4个场馆中选择一个，且都选了一个，根据调查结果绘制了下面不完整的条形统计图和扇形统计图.
根据图中所给信息解答下列问题：
（1）此次抽样调查共有　 　人；
（2）补全条形统计图，并计算选择深圳市博物馆的同学所在扇形圆心角度数为__▲__；
（3）若该校八年级有1000名学生，估计该校八年级学生想去航天农业科技示范园的有多少人；
（4）该学校八年级(1)班想从上面4个场馆中随机选两个参观，请用列表或画树状图的方法，求恰好选择深圳市博物馆和深圳湾实验室的概率.
【答案】（1）50
（2）解：①50-6-18-10=16人，补全条形统计图如图所示：
；
②.
（3）解：人
答：该八年级学生想去航天农业科技示范园的有320人.
（4）解：列表如下：
A B C D
A 　
B 　
C 　
D 　
共有12种等可能结果，符合条件的有种，
P选择深圳市博物馆和深圳湾实验室=.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）人
故答案为：50；
（2）
故答案为：72°；
【分析】本题主要考查统计图表的分析、用样本估计总体以及用列表法求概率.
（1）结合统计图可知，选择A光明欢乐田园的人数为6人，占总人数的12％，即可计算总人数；
（2）①用总人数减选择A、C、D的人数得到选择B的人数，补全条形统计图；
②计算选择D人数所占百分比乘圆周角360°即可；
（3）用样本估计总体，根据调查八年级学生想去航天农业科技示范园占比为，用总人数即可得出结果；
（4）用列表法列出所有等可能结果，其中符合条件的有两种，即可计算概率.
17．(9分)APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料.已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元.
（1）求帆布袋与染料的单价；
（2）制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个.若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？
【答案】（1）解：设每个帆布袋单价为元，每套染料单价为元.
解得：
答：每个帆布袋单价为16元，每套染料单价为20元.
（2）解：单个成品成本：（元）
设单个售价上涨元，
，
解得
售价：（元）
答：售价应定为35元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元二次方程在实际问题中的应用.
（1）根据“4个帆布袋和2套染料共需104元；6个帆布袋和5套染料共需196元 ”列出二元一次方程组，计算求解即可；
（2）先计算一个成品帆布袋成本：一个帆布袋原材料+套染料=20元；根据“利润=售价-成本”得到一件帆布袋的利润为：；由“单个售价每上涨1元，每周销量减少5个”得到销售量：；最后根据“总利润=单件利润×销售量”列方程求解即可.
18．(9分)如图， 是 的外接圆，.
（1）尺规作图：作出点 使得四边形 ABCD是平行四边形；
（2）求证：CD 是 的切线；
（3） CB 与 交于点 ，若 ，，求 的半径.
【答案】（1）解：作法不唯一

（2）证明：如图，连接DO，延长DO交AB于M，
∵点O是△ABD外接圆的圆心，DA=DB，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴DM⊥CD，
∵OD是半径，
∴CD是的切线.
（3）解：如图，连接OB，DE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=CB=9，∠A=∠C，
∵AD=BD
∴BD=BC=9
∴∠BDC=∠C
∵∠DEC=∠DBE+∠BDE=∠A
∴∠DEC=∠C=∠BDC
∴△DEC∽△BDC
∴
∴CD=6
∴AB=CD=6
∵
∴
∴
设圆的半径为r，则在Rt△OBM中，OB=r，，
根据勾股定理：
解得：
∴圆的半径为.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；切线的判定；相似三角形的判定-AA；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定作图.如图①：以点D为圆心，AB长为半径画弧，再以点B为圆心，AD长为半径画弧，两弧相交于点C，可使四边形ABCD是平行四边形，依据“两组对边分别相等”；图②依据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”；图③依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”；
（2）根据外接圆是三角形三边垂直平分线的交点，且DA=DB得到，结合平行四边形对边平行得到DM⊥CD，最后根据切线的判定“过半径外端且垂直于半径的直线是切线”证明CD是的切线；
（3）结合平行四边形性质及“等角对等边”得到相等的角，进而证明△DEC∽△BDC，即可计算CD；再根据等腰三角形“三线合一”得到BM=3，最后根据勾股定理列方程计算半径即可.
19．问题解决：
【实际情境】
深圳某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线(下列出现的无人机只向右飞行).
【数学建模】
无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面，起飞点 和降落点 (都在水平地面上)的距离为 ，以 为原点，OE 所在直线为 轴，过点 与水平地面垂直的直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求抛物线 C 的关系式；
（2）【问题解决】
无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于 ，才能安全通过.如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形 ABDE，其中 ，，，.无人机乙原计划从距离 AB 左侧的 点 处起飞(其飞行轨迹抛物线 C' 与抛物线 的形状和最高点距地面的高度均相同)，发现不能安全越过障碍物.若该公司人员在起飞点 处放置一个平台，无人机乙从平台上的点 轴)处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线 C''.
①求该平台的高度 MN；
②求当 时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在 相同时的最大高度差.
【答案】（1）解：根据题意设抛物线C的关系式，将点(0， 0) 代入得，，
解得：
∴抛物线C的关系式为
（2）解：①根据题意可设抛物线C“的关系式为
，
∵OE=8，OA=2+4=6，
∴此时点B正好在抛物线C“最高点的下方，与最高点的距离超过0.15m，点D的坐标为(8，2.4).
2.4+0.15=2.55.
∵无人机乙从平台上的点M处起飞后刚好安全通过障碍物，
∴(8，2.55)恰好在抛物线C“上，
将点(8，2.55) 代入中，解得h=0.3，
即该平台的高度MN为0.3m.
②由①得抛物线C”的关系式为
时，解得
结合图象可得，
当 时，在x=2时，有最大高度差，此时高度差为
当时，在x=8时，有最大高度差，高度
∴最大高度差为 .
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用.
（1）根据题意可知抛物线顶点坐标为（4，3），解析式可设顶点式，将原点（0，0）代入求a即可；
（2）①根据题意，抛物线C'与抛物线C“形状和最高点高度相同，但起点平移”，可知抛物线C'解析式为；加平台后，最高点位置变为x=6，y=3+h（h为平台MN高度），可设C''解析式为；结合题干信息“无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于”及“刚好安全飞过”可知当x=8时，y=2.4+0.15=2.55，将（8，2.55）代入求解h即可；
②比较抛物线C与抛物线C'的最大高度差，联立求交点，结合图象可发现高度差最大在两端点处，即在x=2或x=8时，分别计算此时高度差，比较大小得到最大高度差.
20．概念学习：若三角形的有一组邻边之比为 ，则称该三角形为 倍比三角形.
（1）【概念辨析】
下列三角形是 倍比三角形的是　 　.
①等边三角形；②等腰直角三角形；③有角的直角三角形；④直角边分别为和 的直角三角形；
（2）【问题探究】
小明想研究 倍比三角形，发现有点困难，他先尝试从特殊情况出发，用几何画板画出一个特殊的2倍比三角形 ABC，其中 ，，当他试着让点 动起来时发现 点始终在一个圆上运动.
好奇的小明想该如何用数学的方法证明C在圆上运动呢，这时他想到：既然△ABC的，那我好像可以以AC和BC为对应边构造一组相似三角形。于是他延长AB至点D，使得∠DCB=∠DAC·····，所以C在以D为圆心，CD长为半径的圆上。
请你顺着小明的思路，求出 点所在圆的半径.
（3）【拓展研究】
①从特殊到一般：若 是 倍比三角形，，，请求出点 所在圆的半径(用 k，c 表示).
② 为 倍比三角形，，将点 绕点 逆时针旋转得到点 ，连接 BD，若 ，，直接写出 AC 的长为_▲_.
【答案】（1）③④
（2）解：∵
∴△DCB∽∠DAC
，
设BD=x， 则CD=2x，AD=4x
得x=1
∴CD=2x=2
∴点C在以D为圆心，2为半径的圆上.
（3）解：①；
与（2）思路类似
构造△DCB~∠DAC
，
设BD=x，则
得
∴点C在以D为圆心， 为半径的圆上
②或.
【知识点】解分式方程；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①等边三角形三边相等，任意；邻边之比为1，不满足；
②等腰直角三角形三边之比为，邻边之比为1或，不满足；
③含30°角的直角三角形三边之比为，存在邻边之比为；
④直角边分别为和的直角三角形斜边为，存在邻边之比为；
故答案为：③④；
（3）②过点B作BF⊥AC于点F，BE⊥DA交DA的延长线于点E，如图所示：
设AF=m，BF=n，BC=x，
∵
∴
∴
在Rt△ABF中，；再Rt△BCF中，
∴，将代入整理得：
∵∠BFA=∠FAE=∠E=90°
∴四边形AEBF是矩形
∴AE=BF=m，BE=AF=n
由旋转性质得：，
在Rt△BDE中，，整理得：
∵
∴
设，则y＞0，
∴
解得：，
经检验，，均是原分式方程的解
∴
∴
∴或
故答案为：或.
【分析】（1）逐项分析每个三角形的邻边之比，根据定义存在一组领边比为的三角形即为倍比三角形；
（2）主要考查相似三角形的判定与性质.根据提示构造相似三角形，建立线段比例关系，根据线段关系确定圆心和半径；
（3）①类比问题（2）构造相似三角形，建立线段比例关系，根据线段关系确定圆心和半径，用字母表示出半径即可；
②根据题意作出图形，设AF=m，BF=n，BC=x，在两个直角三角形Rt△ABF与Rt△BCF中分别利用勾股定理得到，；在Rt△BDE中利用勾股定理得到，结合得到关于x的分式方程，解出x，即可根据计算AC的长.
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