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解答题 函数与导数
根据近几年的高考情况，导数已知是非常重要的一个专题，作为压轴题之一，经常在高考中看到导数的身影，其重要地位不可言喻。在考试中通常包含两部分内容，一部分内容为函数求导和含参或不含餐单调性，另外一部分通过各种工具求参数的取值范围，在2026年的高考中，仍然是解答题最有可能出现的压轴题，在本专题中，我们将对导数的压轴题部分进行详解。
题型一 ： 导数的切线方程以及切线条数问题
已知函数，其中.
(1)若曲线在处的切线过原点，求的值.
(2)当时，
①判断过点的切线条数，直接写出结果；
②判断过点的切线条数并说明理由.
【答案】(1)；(2)①过点的切线分别有1条、0条；②2条，理由见解析.
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程、已知某点处的导数值求参数或自变量、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程，根据切线过原点，将原点坐标代入求参数值；
（2）①②设切点为且，应用导数的几何意义求切线方程，根据点在切线上得到相关方程，再应用导数研究对应函数的零点个数，即可得.
【详解】（1）由题设，则，且，
所以曲线在处的切线为，
由切线过原点，则，可得，所以；
（2）由题设，则，设切点为且，
所以切线方程为，则，
①若切线过点，则，可得，即过点的切线仅有一条；
若切线过点，则，令，则，
所以时，时，则在上单调递减，在上单调递增，
当时，时，时，
所以在上无零点，即没有过点的切线；
②切线过点，则，令，则，
所以时，时，则在上单调递减，在上单调递增，
当时，时，时，
所以在上有2个零点，即过点的切线有2条.
根据求切线方程构造函数切线方程 当切线条线为三条时，切线方程有三个零点 当切线条线为三条时，切线方程有两个零点 当切线条线为三条时，切线方程有一个零点 3.根据方程和零点之间的关系求参数的取值范围
已知函数.
(1)求在区间上的最值；
(2)若过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围.
【答案】(1)最大值是18，最小值；(2).
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）求出函数的导数，再求出在指定区间上的最值.
（2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再利用导数，结合函数的零点个数求出的范围.
【详解】（1）函数，，求导得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
而，，所以函数的最大值是18，最小值.
设过点的直线与曲线相切的切点为，由（1）得切线斜率，
切线方程为，由切线过点，得，
整理得，令，求导得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得极小值，在处取得极大值，
由过点存在3条直线与曲线相切，得方程有3个互不相同的解，
即直线与函数的图象有三个交点，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图：
观察图象得当时，直线与函数的图象有三个交点，
所以实数的取值范围是.
题型二：利用导数研究函数的单调性（不含参）以及利用单调性求参数
（25-26高三上·四川内江·开学考试）已知函数，为的导函数，
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若有两个零点，
（i）求的取值范围；
（ii）记较小的一个零点为，证明：.
【答案】(1)在上单调递减，在单调递增；(2)（i）；（ii）证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式
【分析】（1）利用导数，根据导数正负得到函数的单调性；
（2）（i）先讨论单调性，根据有两个零点得出最小值，即可得的取值范围；
（ii）结合（i）知，要证，即证，即，分和进行证明.
【详解】（1）当时，，函数的定义域为，
，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.
综上所述，函数在上单调递减，在单调递增.
（2）（i）函数的定义域为，，
①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.
∴当时，取得最小值，最小值为.
因为函数有两个零点，且时，，时，，所以.
设，易知函数在单调递增. 因为，所以的解集为.
综上所述，实数的取值范围是.
（ii）因为，由，结合（i）知，
要证，即证，即，
当时，因为，，不等式恒成立；
当时，由得.
即证. 即证.
即证.
设，，由，
所以在单调递增. 所以，故原不等式成立. 所以.
求导 令导函数等于0 导函数大于0的函数区间为函数的单调递增区间，导函数小于0的函数区间为函数的单调递减区间
1．（安徽省皖江名校联盟2026届高三上学期9月开学考试数学试卷）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有三个极值点，求实数的取值范围．
【答案】(1)在和上单调递减，在上单调递增；(2)
【难度】0.65
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】（1）通过导数讨论函数单调性；
（2）因有三个极值点，即有三个根，从而再将问题转换问两函数的交点，进而确定的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为. ，
因此，当时，，故单调递减；
当时，，故单调递减；当时，，故单调递增.
综上，在和上单调递减，在上单调递增.
（2）函数，定义域为.
，当时，，因此是的一个极值点.
因为有三个极值点，因此在上有两个不同的根，且.不妨设.
当时，该方程只有1个根，不满足题意，故. 因此方程可等价于.
设，，上述方程有两个不同的根，等价于该两 函数的图像有两个交点.
当时，由于，，且单调递增，而单调递减，故两函数图像在上没有交点，不符合题意，故.
则，因此图像的一条过原点的切线为，其中切点为.
故，解得.即该切线为.
因此，只有当时，函数与才有两个交点，且.
此时，有三个根，即由三个极值点.
因此.
故.
题型三：利用导数研究函数的单调性问题（含参）
（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)判断是否存在，使得的最小值为，并说明理由.
【答案】(1)答案见解析；(2)不存在，理由见解析
【难度】0.4
【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究能成立问题、已知函数最值求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】（1）根据题意，求得，设，得到，求得的单调性，得出，再结合和，两种情况讨论，即可求解；
（2）由（1）得到，假设存在满足条件的，进而得到，设，求得，再设，利用导数求得在上单调递增，进而得到答案.
【详解】（1）由
得，.
设，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，即，
若，则，，在上单调递增，
若，则当时，单调递减，
当时，单调递增.
综上，当时在上单调递增；当时在（0，a）上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，当时在上单调递减，在上单调递增，
所以.
假设存在满足条件的，则，即
又，所以，所以，
设，则，
因为，所以在上单调递减，所以，
设，则，所以在上单调递增，
所以，故，与矛盾，
所以不存在，使得的最小值为.
含参数单调性讨论： 1.求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； 2.变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； 3.恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； 4.根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； 5.判断定义域是否符合取值范围
1.（2025·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间；(2)
【难度】0.65
【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）求导，令，根据导数求得最小值后可得，即可求得的单调区间；
（2）求导，要使当时，成立，则，再分，，三种情况，结合导数证明即可.
【详解】（1）当时，的定义域为，
，显然，
令，，则，令，则，
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增，
所以，即，
故的单调递增区间为，无单调递减区间．
（2）由，，则，因为，
所以要使当时，，则必须满足，即．
下面证明：．
当时，，
令，，
由（1）知，在上单调递增，
所以，即当时，；
而当时，令，，
则，故在上单调递增，
（ⅰ）当时，，，
所以存在，使得，
又在上单调递增，所以当时，即在上单调递减，所以；
（ⅱ）当时，，所以当时，不恒成立．
综上所述，实数的取值范围是．
2．（2025·湖南·模拟预测）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数的值；
(3)若，证明：．
【答案】(1)答案见解析；(2)1；(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、由函数的单调区间求参数、利用导数证明不等式
【分析】（1）先求出导函数，结合定义域分类讨论，时的单调性;
（2）由（1）知，分别求出最小值即可算出实数的取值范围，根据恒成立即可求出;
（3）要证，即证，令,根据导数分析的单调性，即可证明.
【详解】（1）（ⅰ）当时，恒成立，所以在上单调递增；
（ⅱ）当时，由解得，所以在上单调递增；
由解得，所以在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）知：（ⅰ）当时，在上单调递增且，
所以时，不符合题意．
（ⅱ）当时，在上单调递减，在上单调递增．
故．令，依题意．①
又由得，由得．
所以在上单调递增，在单调递减，
因此在处取得最大值，即，故．②
由①②得，．
又因为在上单调递增，在单调递减，且．所以有且仅有一个解，即．
（3）要证，即证，
令．．
令．
又，
所以，使得，即，所以，
所以当单调递减；当单调递增．
所以
又（2）知当时，恒成立，，
又，所以；故．
即：
【点睛】本题考查了含有参量的函数问题，遇到参量问题主要是进行分类讨论，一定要将所有情况全部讨论，不要漏掉情况，在解答恒成立问题时要转化为求最值的问题，利用导数求出单调性即可.
3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2)
【难度】0.4
【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1），讨论符号确定单调性；
（2）设，由求解.
【详解】（1）函数，定义域为，，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，解得，函数在上单调递增；
由，解得，函数在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）显然，设，则.
当时，由得则在上单调递增；
由得则在上单调递减.
∴在处取得最小值，
设则，故在上单调递增，
∵，∴当时，，即，
当时，，即(*)，∴欲使，须使.
当时，,(*)式不成立；
当时，，(*)式不成立；
当时，，(*)式不成立；
综上所述，实数的取值范围是.
题型四：利用导数研究函数的最值
（2025高三下·全国·专题练习）已知函数在上单调递增.
(1)求a的值；
(2)解不等式（为函数的导函数）；
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（含参）、由函数的单调区间求参数、根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】（1）由题意可得在上恒成立，构造函数，利用导数研究其单调性后可得其最小值，再令，利用导数研究其单调性即可得解；
（2）构造函数，利用导数研究其单调性即可得解.
【详解】（1），
由函数在单调递增，则在上恒成立，
令，即在上恒成立，
若，则当时，，不符题意；
故，，
当，，当，，
故在上单调递减，在上单调递增，
则有，
令，则，
当，，当，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则，
故当且仅当时，恒成立，即；
（2）由，则，
，则，
令，
则，
故在上单调递减，又，
故当时，，即，
所以不等式的解集为.
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 解题步骤： 求导 判断单调区间 根据函数的单调性确定函数的最值，从而求参数的取值范围
1.（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知函数在上单调递增.
(1)求的值；
(2)设，证明：存在最小值且最小值小于1.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）求出函数的导数后根据导数非负结合分类讨论可求的值；
（2）求出的导数，根据虚设零点可求最小值，结合基本不等式可证最小值小于1.
【详解】（1），
因为在上单调递增，故，
而时，，故即；
而时，，故即，
故.
（2）,
故，
设，则，
故即在上单调递增.
而，，
故在存在一个零点且：
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
而，故，
故，
而，双勾函数在为减函数，故，
故.
题型五：利用导数研究极值点问题
（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数在上的单调性；
(3)若在内恰有两个不同的极值点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析；
(3)
【难度】0.4
【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究方程的根、根据极值点求参数
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线的点斜式方程即可得出结果；
（2）求导，再对参数进行分类讨论即可得出函数的单调性；
（3）原问题转化为在上有两个不同的解，进而转化为的图象与在内恰有两个不同的交点，利用导数进行求解即可.
【详解】（1）当时，，，
又，，
故切线方程为.
（2），令，
，
当时，，故在上单调递增，
，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，，使得，
故当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增.
（3）在内恰有两个不同的极值点，
在内恰有两个不同的实根，
故的图象与在内恰有两个不同的交点，
由（2）可知，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
故当时，，
当时，，
在处有最大值即，
又，
的取值范围为.
求可导函数极值的一般步骤 1.先确定函数的定义域； 2.求导数； 3.求方程的根； 4.检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 5.通过函数的极值点个数问题求参数的取值范围
1．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数在上的单调性；
(3)若在内恰有两个不同的极值点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【难度】0.4
【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值点求参数
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线的点斜式方程即可得出结果；
（2）求导，再对参数进行分类讨论即可得出函数的单调性；
（3）原问题转化为在上有两个不同的解，进而转化为的图象与在内恰有两个不同的交点，利用导数进行求解即可.
【详解】（1）当时，，，
又，，
故切线方程为.
（2），令，
，
当时，，故在上单调递增，
，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，，使得，
故当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增.
（3）在内恰有两个不同的极值点，
在内恰有两个不同的实根，
故的图象与在内恰有两个不同的交点，
由（2）可知，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
故当时，，
当时，，
在处有最大值即，
又，
的取值范围为.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若在其定义域内有两个不同的极值点，求实数的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数
【分析】（1），，求导利用导数确定极值即可；
（2）根据题意可得，在上有两个不同的根，令，求导分析单调性，结合图像确定参数范围即可.
【详解】（1）当时，，则，
令，解得．
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增．
故函数在处取得极小值，极小值为，无极大值.
（2）由题意知，函数的定义域为，，
又在定义域内有两个不同的极值点，
则方程在上有两个不同的根，
即方程在上有两个不同的根，
即方程在上有两个不同的根，
令，，则，
则当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
因为，当时，，当时，0，
当时，，所以函数图像如下，
又在上有两个不同的根
所以实数的取值范围为．
题型六：利用导数证明不等式
（2025·安徽·模拟预测）已知函数.
(1)若，求函数在上的最值；
(2)若，对，求证：；
(3)若是函数的极小值点，求的取值范围.
【答案】(1)在上的最小值为，最大值为
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.4
【知识点】利用导数证明不等式、根据极值点求参数、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）求导分析的单调性从而得到给定区间上的最值；
（2）法一：构造函数，通过依次求导分析得到在上单调递增，从而，即可证明结果；
法二：对求导得到在上单调递增，从而当时，，构造函数，求导并利用求出在上单调递增，所以，即可证明结果；
（3）分和进行讨论，当时，设，得到在上恒成立，从而当时，；当时，.对求导并分析单调性可得是函数的极小值点.当时，设，可得存在，使得，从而时，，，对求导可得在上单调递减，从而不是函数的极小值点，最终可得的范围.
【详解】（1）若，
故当时，单调递减；
当时，单调递增；
而，
故在上的最小值为，最大值为.
（2）法一：若，
令，
则，
令，则，
令，则，
则在上单调递增，所以，
即，则在上单调递增，所以，
即，则在上单调递增，所以，
所以当时，，即.
法二：若，
故在上单调递增，所以当时，，即.
令，
则，
故在上单调递增，所以，
即当时，，即.
（3）由题意得，，.
当时，不妨设，
因为，故在上恒成立，单调递增.
又，所以当时，；
当时，.
又，则，
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增，
故是函数的极小值点.
当时，不妨设，故存在，使得，
且当时，，故在上单调递减，
故当时，，
故在上单调递减，故不是函数的极小值点.
综上，实数的取值范围为.
利用导数证明或判定不等式问题 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数
1.（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】（1）依次求出和即可由点斜式求出切线方程；
（2）利用导数工具求出，再结合恒成立即可得证.
【详解】（1）因为，所以，
则，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）证明：的定义域为，
令，得，
令，得，则在上单调递减；
令，得，则在上单调递增，
所以
因为恒成立，所以，即.
2（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有最大值且为.则求的值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、已知函数最值求参数
【分析】（1）分类讨论求导数，根据导数正负判断函数单调性；
（2）求导数得出函数单调性再根据最大值求参数.
【详解】（1）由题意可得的定义域为，且．
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
则在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1），当时，在上单调递增，则无最大值，即不符合题意．
当时，在上单调递增，在上单调递减，
则，
由已知
则，令，
则，
当时，，在上单调递增，
当时，令，则，
所以在上单调递减，，即，
则在上单调递增，
又，
所以是的唯一解，
综上，．
3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数．
(1)解不等式：；
(2)设．
①证明：时，函数有最小值；
②若恰有一个极值点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【难度】0.4
【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数证明不等式、根据极值点求参数
【分析】（1）由题意可得，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可；
（2）①求导，分析其单调性，即可求证；
②由①知，在必有一个极值点，则在上无变号零点，
法一：，在上恒成立，进而分类讨论求解即可；
法二：由，设，，利用导数分析其单调性，进而得到，进而求解即可.
【详解】（1）由，
设，则，
设，则，
当时，，则在上单调递减，
当，，则在上单调递增；
，
在上单调递增，又，
由，即．
（2）由，
则，
设，则，
①当时，，则在上单调递增，
又时，，时，，
，使得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
在上有最小值．
②由①知，在必有一个极值点，
在无极值点，即在上无变号零点.
法一：，在上恒成立．
当时，成立，符合题意：
当时，（i）若，
因为时，，，
在上有变号零点，不符合题意；
（ii）若，
，
由（1）知时，，，
恒成立，符合题意．
综上，．
法二：由，
设，，则，
设，，则，
设，，则，
设，，则，
令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增；
则，又，，
，使得，
则时，，则函数在上单调递增，
时，，则函数在上单调递减，
时，，则函数在上单调递增，
又，
则，
又，，则在上单调递增，
，，则在上单调递增，
因为时，，时，，即，
由题意方程无解，，.
题型七：利用导数研究不等式恒成立问题
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数，．
(1)若曲线在点处的切线与y轴垂直，求函数的单调区间；
(2)若对成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【难度】0.65
【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）先根据题意得到的定义域及，再根据即可得到的值，进而根据的正负可得到函数的单调区间；
（2）先根据题意分离参数，再构造函数，进而通过求导分析其单调性即可得到的取值范围．
【详解】（1）依题意得的定义域为，，
由曲线在点处的切线与轴垂直，
则，得，
所以，
当时，，，则；
当时，，，则，
故的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由得，
令，
则，
令，得，
当时，；当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以，
所以，即．
故的取值范围是．
恒成立问题： 设函数的值域为或，或或中之一种，则 ①若恒成立（即无解），则； ②若恒成立（即无解），则； 解题步骤： 求导判断单调性 分离参变量或者分类讨论 ①常规法分离参数：如； ②倒数法分离参数：如； 注意：【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】 ③讨论法分离参数：如: ④整体法分离参数：如； ⑤不完全分离参数法：如； ⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
1．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数
(1)讨论的单调性，并求相应极值.
(2)若，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)当时，在上单调递增，无极值
当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值.
(2)实数的取值范围为
【难度】0.4
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值
【分析】先求出导数的定义域和导数，然后根据导数与的大小关系，分情况讨论单调性，进而求出极值.
先根据的结论求出函数的最小值，再将不等式恒成立问题转化为关于的不等式，最后通过构造函数求解的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，
对求导得
当时，，即在上恒成立，
所以在上单调递增；
当时，令，即，
解得（舍去，因为）
当时，即，所以在上单调递减，
当时，即，所以在上单调递增，
所以在处取得极小值，
极小值为，无极大值，
综上，当时，在上单调递增，无极值，
当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值.
（2）由可知，当时，在处取得极小值，也是最小值，
即，
因为关于的不等式恒成立，
所以，即，
化简得，即，
令，
对求导得，
令，即，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又因为，
所以，
因此，实数的取值范围为.
2．（2025·四川达州·模拟预测）已知函数.
(1)求函数在上的单调递减区间；
(2)当时，，求的最大值；
(3)证明：方程在上有唯一实数解.
【答案】(1)
(2)e
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与单调性的关系，即可求解；
（2）由已知可得，将问题转化为不等式恒成立，讨论参数a的范围，分类求解即可；
（3）设，连续构造函数并求导，结合零点存在定理，即可证明结论.
【详解】（1）因为，所以,，
则，
当时，即时，，单调递增；
当时，即时，，单调递减；
当，即时，，单调递增.
故所求单调递减区间为.
（2）因为，所以，故由得.
设，则.
①当时，则，所以在上单调递增.
从而，解得，此时，.
②当时，在上恒成立，单调递增，
则需，即，此时；
当时，则时，，单调递减；
时，，单调递增.
所以，变形可得.
此时，.
设，，则.
当时，，为增函数；
当时，，为减函数.
所以，即，当且仅当，时取等号.
综合可知的最大值为e.
③当时，在上单调递减.
从而，解得.
此时.
综上，的最大值为e.
（3）证明：设，
则，
设，则，
设，则，
而的导数，
所以在上单调递减.
因为，，
所以存在唯一，使得.
当时、，单调递增，当时，，单调递减.
又因为,,.
所以存在唯一，使得.
当时，即单调递增，当时，单调递减，
又因为，，，
所以存在唯一，使得.
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又因为，，，
所以存在唯一，使得，
即方程在上有唯一实数解.
题型八：利用导数研究能成立问题
（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知函数，其中．
(1)求在处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)极大值，极小值0
(3)
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究能成立问题
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程即可；
（2）求导，令，根据导数的符号确定函数单调性，进而得到极值即可；
（3）在上有解，即，令，则在上单调递增，令，在上单调递减，则，然后求解即可.
【详解】（1），
，
，且，
在处的切线方程为：.
（2）令，得或，
当和时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减，
为函数的极大值点，极大值为；
为函数的极小值点，极小值为.
（3）根据题意关于的不等式在上有解，
即在上有解，
设，，，，
由于，在上单调递增，，
在上单调递减，，
则，解得，
实数的取值范围为.
导数能成立问题知识点： 若有解（即存在使得成立），则； 若有解（即存在使得成立），则； 若有解（即无解），则； 若无解（即有解），则． 求导判断单调性 分离参变量或者分类讨论 通过能成立问题相关知识点进行求解参数的取值范围
1.（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
(1)求出函数在上的最值
(2)若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题
【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性，结合区间端点函数值比较大小即可求解最值；
（2）把不等式化为，由的单调性结合端点函数值分析求解即可；
【详解】（1）因为，，所以，
令，令，
因为函数，在上单调递减，
所以在上单调递减，又，
所以方程得解为，
，的变化情况如下表所示．
x e
+ + 0
单调递增 单调递减
所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
当时，有极大值，也是的最大值.
又因为，，
所以，所以为的最小值.
（2）因为，所以不等式可化为，
由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减.
因为的最大值，，
所以，时，最大，所以不等式，
即存在唯一的整数解只能为1，
所以，所以
所以a的取值范围为.
题型九：利用导数研究函数的零点
（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在区间上有零点，求的取值范围.
【答案】(1)的极大值为0，无极小值．
(2)
【难度】0.4
【知识点】利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值
【分析】（1）求导，再根据导数的符号，结合函数极值点的定义即可得出答案；
（2）求导，分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，从而求得函数的最值，从而可得出答案.
【详解】（1）当时，，
则，
由得，即，得，
由得，即，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
得在处取得极大值，，无极小值．
故的极大值为0，无极小值．
（2），
当时，因为，所以，
在区间上单调递增，且，
因为在区间上有零点，
所以， 解得 ，
所以；
当时，
由，得，
当时，即，得函数在上单调递减，
而，
则在区间上没有零点，
当时，即，
由得，即，得，
由得，即，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
而，
因为在区间上有零点，
，
得
令，
因为函数，在上是增函数，
所以函数在上是增函数，
又，所以，
综上所述，的取值范围是.
求导，判断函数单调性 通过函数单调性和函数性质确定零点个数以及通过零点个数求参数的取值范围
（2025高三·全国·专题练习）已知函数，记的导函数为.
(1)当时，求的零点个数；
(2)若是定义域上的增函数，求的最小值；
(3)若使，求的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
(3)
【难度】0.15
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）先利用导数求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可得解；
（2）令，则恒成立，利用分离参数法求解即可；
（3）法一：由题可知，使，分离参数可得，令，则原问题等价于，利用倒数求出即可得解.
法二：求导，再分，，和四种情况讨论，进而可得出答案.
【详解】（1）当时，，，且等号不恒成立，
故在上单调递减，
由于，从而在上有且只有一个零点；
（2），令，
又是定义域上的增函数，则恒成立，
则恒成立，
而的最大值为1，所以，故的最小值为；
（3）法一：由题可知，使，
又，所以，故，
令，则原问题等价于，
设为的极大值点，，
令，，，
令，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
又，，
故在上存在唯一零点，
故时，，时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
又，故时，，且等号不恒成立，
所以在上单调递增，此时，
又为的极大值点，故，且，即，
而，故，
则，得，
故，
由，得，且，
当且仅当时两等号同时成立，
故时，为所有极大值中最大的，
又时，，
又时，，故的最大值为，
故，故的取值范围为.
法二：由，得，
①当时，时，，在上单调递减，
所以当时，，符合题意；
②由（2）知，当时，在上单调递增，
所以当时，，
所以在上单调递增，故，不符合题意；
③当时，，符合题意；
④当时，，
令，则，
当时，，从而，
故在上单调递增，此时；
当时，令，则，
易知在上单调递减，在上单调递增，
且，，
故存在，使，
故当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
由，得在时恒成立，
综上可知在上恒成立，则在上恒成立，不符合题意，
综上，实数的取值范围为.
题型十：利用导数研究双变量问题
（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知函数．
(1)求函数在上的最值及其零点个数；
(2)若对于任意的，均有，求的取值范围．
【答案】(1)最大值为，最小值为，只有1个零点；
(2)
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究双变量问题、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）利用导数计算函数的单调性计算最值，再根据零点存在性定理确定零点个数即可；
（2）构造函数，将问题化为函数定义域上单调递增，即恒成立，分离参数，再利用导数研究函数的单调性、最值计算即可.
【详解】（1）易知，
则定义域上恒成立，
所以在上单调递增，则，
即最大值为，最小值为，
又，根据零点存在定理和函数的单调性，则在上只有一个零点；
（2）设，则对于任意的，均有，
即在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
令，则，即在上单调递增，
又，则在上单调递减，在上单调递增，
所以，故.
1.求导，判断函数单调性 2.通常通过其中一个变量的取值范围来判断另一个变量的取值范围
1．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数研究能成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）先求导，然后对a分类讨论，判断符号的正负，从而可得单调区间；
（2）转化为，，进而可得a的取值范围.
【详解】（1）由题，.
当，则，则此时在上单调递减；
当，则.
若，即时，令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增；
若，即时，此时在上单调递减.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）时，由（1）可得；
又，则，得在上单调递增，
则.
又注意到存在，，使得，
等价于时，，
则，又，
则.
题型十一：利用导数研究端点效应问题
（2025高三·全国·专题练习）设函数．
(1)当时，若函数有2个极值，求实数的取值范围；
(2)当时，若函数的最小值为4，求实数的值；
(3)当时，求证：总存在实数，当时，．
【答案】(1)
(2)或．
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究能成立问题、根据极值点求参数
【分析】（1）时，，求导，则，求解即得；
（2）当时，，求导后，分类讨论得函数的单调性与最值，由此求出答案；
（3）当时，．设，又设，求导后，又由，得，由此得到答案.
【详解】（1）当时，，
，
若函数有2个极值，则在有两个零点.
所以,解得．
故实数的取值范围为．
（2）当时，，，
．
当时，，是上的减函数，无最小值，舍去；
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为．
由，得，
解得或．
（3）当，时，有．
方法一：设，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
．
当时，恒成立，所以存在，当时，，
即当时，．
当时，，以下证明，且．
令，，则，
因为，所以是上的增函数，
由，得是上的增函数，
所以，故当时，．
故，，
由零点存在性定理知，存在，使，
故当时，，即当时，．
方法二：设，
又设，，则，
易知当时，，故．
又由，得，
当，时，取为与4中的较大者，
则当时，恒有，即当时，．
利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步 ①利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件 ②利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调 ③若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件
（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）已知实数，设．
(1)若，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.4
【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】（1）求出，写出切线方程即可；
（2）求函数单调区间、极值、零点，，集合，由题意知，由时不成立知，
讨论与1的大小关系求出满足的的取值范围.
【详解】（1）因为， ，，
所以，则.
故点处的切线方程为，即.
（2）由已知有，令，解得或，列表如下：
所以的单调增区间是，单调减区间是和，
当时，取极小值，当时，取极大值，
由知，当时，，当时，
因为对于任意的，总存在，使得，
当时，不成立，故，所以，所以.
设集合集合
则“对于任意的，都存在，使得”等价于.
下面分两种情况讨论：
当即时，有且此时在上单调递减，的值域为，
故，，所以A不是B的子集.
当即时，有且此时在上单调递减，故，因而，
由有在上的值域为，所以，所以满足题意.
综上，的取值范围为
题型十二：利用导数通过同构研究函数问题
（2025高三·全国·专题练习）已知函数，.
(1)解不等式：；
(2)函数，求的零点个数；
(3)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1).
(2)有个零点.
(3).
【难度】0.15
【知识点】正弦函数图象的应用、对数函数图象的应用、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）根据不等式，构造函数，再根据对数函数的性质和正弦函数的性质，判断函数值的正负，判断不等式的解集；
（2）根据函数导数和函数单调性，零点之间的关系，求出函数导数，判断函数单调性，进而根据特殊位置的函数值和零点存在定理，判断函数零点的个数；
（3）根据函数导数和函数单调性的关系，构造函数，根据其导数值的正负，判断函数单调性，对参数进行分类讨论，进而求出参数的范围.
【详解】（1）设，由，解得，
即定义域为，
可知，
当时，，
所以，不满足题意；
当时，，所以，即；
当时，，不满足题意；
综上：的解集为.
（2），定义域为，
易知，且，
所以是的一个零点，函数关于中心对称，
可知，
令，则，
当时，，，在上单调递减，
即在上单调递减，
可知，
所以，
即在上单调递增，在上单调递减，所以，
易知，所以，
即使得，
因为函数关于中心对称，所以.
综上有三个零点.
（3）①时，
当时，，，则，
可得；
当时，；
当时，，，则，
可得；
所以时，恒成立.
②时，
当时，，，
当时，；
当时，，
所以时，恒成立.
③时，
设，可得，
设，则，
当时，，，在单调递减，
当，即时，在上，，
所以，在单调递增，，
则；
当时，，
也满足，即关于点中心对称，
所以在成立，
则；
当时，.
所以当时，恒成立.
④当时，
当时，，，在单调递减，
，
,，使得，
当时，，即，在上单调递减，
当时，，则，
所以时不恒成立.
综上：实数的取值范围为.
利用以下函数同构问题进行构造 1、积型 对数化:令，得 指数化:令，得 不等式两边同时取对数变形：令，得 2、商型 对数化:令，得 指数化:令，得 不等式两边同时取对数变形：令，得 3、和差型 对数化:令，得 指数化:令，得 比如令，得． 然后根据导数的定义和性质进行求解。
1.（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）设函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)，是否存在，使得曲线在点处的切线与至少有2个交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在唯一实数.
【难度】0.15
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）等价变形给定不等式，构造函数，借助奇函数性质求出时，恒成立的值范围.
（3）利用导数求出曲线在点处的切线方程，构造函数，利用导数探讨函数的零点个数即可.
【详解】（1）当时，，求导得，则，而，
所以在处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为R，，
不等式（*）恒成立，
令，则，函数为奇函数，
显然，则由（*）可得，当时，恒成立，
求导得，，
当，即时，令，求导得则，
令，求导得，
函数在上单调递增，则，
函数在上单调递增，则，
函数在上单调递增，因此符合题意；
当时，，由函数图象连续不断，则存在，使得，
当时，，函数在上单调递减，当时，，不符合题意，
因此当时，恒成立，可得，
由奇函数性质知，当时，恒成立，即时，恒成立，
故的取值范围为.
（3）令函数，其定义域为，求导得，
则，曲线在点处的切线方程为，
即，整理得，
令函数，求导得，
由，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
函数所有的极大值为，
当时，极大值等于0，即；当为正整数时，极大值全部小于0，即在无零点，
当为负整数时，极大值全部大于0，
函数所有的极小值为，
当时，极小值，
函数在R上的图象连续不断，因此在区间上的图象与轴有一个交点，
因此函数至少有2个零点，
所以对任意实数，曲线在点处的切线与至少有2个交点.
2．（2025·四川达州·模拟预测）已知函数.
(1)求函数在上的单调递减区间；
(2)当时，，求的最大值；
(3)证明：方程在上有唯一实数解.
【答案】(1)
(2)e
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与单调性的关系，即可求解；
（2）由已知可得，将问题转化为不等式恒成立，讨论参数a的范围，分类求解即可；
（3）设，连续构造函数并求导，结合零点存在定理，即可证明结论.
【详解】（1）因为，所以,，
则，
当时，即时，，单调递增；
当时，即时，，单调递减；
当，即时，，单调递增.
故所求单调递减区间为.
（2）因为，所以，故由得.
设，则.
①当时，则，所以在上单调递增.
从而，解得，此时，.
②当时，在上恒成立，单调递增，
则需，即，此时；
当时，则时，，单调递减；
时，，单调递增.
所以，变形可得.
此时，.
设，，则.
当时，，为增函数；
当时，，为减函数.
所以，即，当且仅当，时取等号.
综合可知的最大值为e.
③当时，在上单调递减.
从而，解得.
此时.
综上，的最大值为e.
（3）证明：设，
则，
设，则，
设，则，
而的导数，
所以在上单调递减.
因为，，
所以存在唯一，使得.
当时、，单调递增，当时，，单调递减.
又因为,,.
所以存在唯一，使得.
当时，即单调递增，当时，单调递减，
又因为，，，
所以存在唯一，使得.
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又因为，，，
所以存在唯一，使得，
即方程在上有唯一实数解.
题型十三：极值点偏移问题
（25-26高三上·河北·开学考试）已知函数，其中．
(1)求的单调区间；
(2)若函数有两个不相等的零点．
①求实数a 的取值范围；
②证明：
【答案】(1)答案见解析；
(2)①；②证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围、利用导数证明不等式
【分析】（1）求出函数的定义域及导数，再分类讨论求出函数的单调区间.
（2）①由（1）的结论，结合极大值、最小值及零点存在性定理求出范围；②根据给定条件，构造函数并利用极值点偏移推理得证.
【详解】（1）函数的定义域为，，
求导得，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数的递减区间为，递增区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为；
当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为.
（2）①由（1）知，当时，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意；
当时，函数在处取得极大值，最多一个零点，不符合题意；
当时，函数在处取得极大值，最多一个零点，不符合题意；
当时，，
由函数有两个不相等的零点，得，则，
当从大于0的方向趋近于0时，趋近于正无穷大，函数在上有唯一零点；
而，函数在有唯一零点，
因此当时，函数有两个不相等的零点，
所以实数a 的取值范围是.
②由①知，当时，函数有两个不相等的零点，不妨令，
令函数，求导得
，函数在上单调递减，
则，即当时，，于是，
因此，又，函数在上单调递增，
则，所以.
若已知函数满足，为函数的极值点，求证：. （1）讨论函数的单调性并求出的极值点； 假设此处在上单调递减，在上单调递增. （2）构造； 注：此处根据题意需要还可以构造成的形式. （3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系； 假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，. （4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论； 接上述情况，由于时，且，， 故， 又因为，且在上单调递减， 从而得到，从而得证. （5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.
（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数 有两个极值点 且 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明: .
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数证明不等式、根据极值点求参数
【分析】（1）由已知可得有两个根，转化为函数与函数有两个交点，结合图象求解；
（2）由，，得，令，用表示，代入，构造函数证明.
【详解】（1）由已知可得，
因为有两个极值点，所以有两个根，
所以函数与函数有两个交点，
对函数，，
当时；当时，.
所以函数在单调递增，在单调递减，
当时，取得最大值，且时，；时，，
所以函数的图象如图所示，

所以若函数与函数有两个交点，则，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）可知，，所以①，②，
①-②得，
令，则，所以，，
所以，
令，则，
令，则，
所以在单调递减，所以，
所以在单调递增，所以，
即，得
又，所以，
即，得证.
2.．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若有两个不同的零点．
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【难度】0.65
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）根据给定条件，利用函数零点的意义分离参数，构造函数并利用导数求解.
（2）利用零点的意义建立方程组并消去参数，再换元构造函数，利用导数推理得证.
【详解】（1）函数定义域为，由，得，
今，求导得，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
而，当时，恒成立，
由函数有两个不同的零点，得直线与函数的图象有两个不同的交点，则，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，不妨设，且，
两式相减得，两式相加得，
欲证，只证，即证，即证，
设，不等式等价于，
设，求导得，
函数在上单调递增，则，即不等式成立，
所以.
3．（25-26高三上·河北·开学考试）已知函数，其中．
(1)求的单调区间；
(2)若函数有两个不相等的零点．
①求实数a 的取值范围；
②证明：
【答案】(1)答案见解析；
(2)①；②证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）求出函数的定义域及导数，再分类讨论求出函数的单调区间.
（2）①由（1）的结论，结合极大值、最小值及零点存在性定理求出范围；②根据给定条件，构造函数并利用极值点偏移推理得证.
【详解】（1）函数的定义域为，，
求导得，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得或，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数的递减区间为，递增区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为；
当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为.
（2）①由（1）知，当时，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意；
当时，函数在处取得极大值，最多一个零点，不符合题意；
当时，函数在处取得极大值，最多一个零点，不符合题意；
当时，，
由函数有两个不相等的零点，得，则，
当从大于0的方向趋近于0时，趋近于正无穷大，函数在上有唯一零点；
而，函数在有唯一零点，
因此当时，函数有两个不相等的零点，
所以实数a 的取值范围是.
②由①知，当时，函数有两个不相等的零点，不妨令，
令函数，求导得
，函数在上单调递减，
则，即当时，，于是，
因此，又，函数在上单调递增，
则，所以.
题型十四：隐零点问题
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若的极小值小于，求m的取值范围；
(3)当时，证明：有2个零点．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】根据极值求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值
【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程；
（2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得到时，极小值，构造函数，求导推得，即可求得不等式的解集；
（3）由得，令，则，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，推得，使得，求出的最小值为，由可得，，故得的最小值，由即可判断函数，即函数的零点个数.
【详解】（1）当时，，则，
所以，，
则曲线在点处的切线方程为，
整理得：．
（2）函数的定义域为，且，
① 当时，易得，在上单调递减，则无极小值，不合题意；
② 当时，由，得，即在上单调递增；
由，得时，即在上单调递减，
所以的极小值为：，
因为的极小值小于，所以，即．
令，则，
所以当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以由可得.
（3）．
令，得，
令，则与有相同的零点，
且．
令，则，
因为，则，所以在区间上单调递增，
又，，所以，使得，
所以当时，，即；当时，，即，
所以在单调递减，在单调递增，
所以的最小值为．
由，得，
即，
令，，则，则在单调递增．
因为，所以，则，
所以，从而，，
所以的最小值．
当趋近于0时，趋近于0或时，趋近于，
又因，所以，
所以有2个零点，故有2个零点．
【点睛】关键点点睛：求单调性及最值，需要引入隐零点，因为这个隐零点不好代入消元求值，需要再同构函数，则可得隐零点满足，，从而再代入隐零点即可求出的最小值，再结合两边的极限值，从而问题得证．
1、隐零点的处理思路 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 2、隐零点的同构 实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析 所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作
（2025·河南·模拟预测）已知函数．
(1)若，求在上的最值．
(2)若且，关于的方程在上仅有一个实根．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求的最大值．
【答案】(1)最小值为，最大值为
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【难度】0.4
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究方程的根
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值，然后与端点值进行比较即可求得最值；
（2）（ⅰ）令，并用导数研究其单调性，根据单调性找到隐零点，结合函数在区间单调性即可确定根的唯一性，即可证明.
（ⅱ）先求得，然后，利用导数求出单调区间，即可求解最大值.
【详解】（1）若，则，所以，
令，可得或，
令，可得或，令，可得，
故在单调递减，，单调递增.
所以.在处取得最大值，在处取得最小值
，又，
所以在上的最小值为，最大值为；
（2）（ⅰ）令，
则，
令，显然在上单调递增，又，，
所以存在唯一的，满足，即，
且当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
是在上的极小值，也是最小值，又因为，
要使在上仅有一个实根，必需，所以；
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
将代入，得，所以，所以，
令，
则，
令，可得，令，可得，
故在单调递减，单调递增.
即在处取得最大值.
故的最大值为.
题型十五：利用导数研究方程的根
（25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知函数.
(1)若关于的方程有唯一实数根，求实数的值；
(2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)1；
(2).
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究方程的根
【分析】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数探讨函数性质，借助图象求出值.
（2）等价变形恒成立的不等式，构造函数，再利用导数分类探讨求出的的范围.
【详解】（1）由，得，令，求导得，
令，求导得，函数在上单调递减，，
当时，，即；当时，，即，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
且当时，，当时，且，
作出的大致图象如图：

又，且有唯一的实数根，所以.
（2）依题意，不等式在时恒成立，
设，求导得，
当时，在上恒成立，函数在上单调递增，则，不满足条件；
当时，令，则，
当，即时，，则当时，，
函数在上单调递减，因此，满足条件；
当，即时，由，得，
当时，，则，在上单调递增，
当时，有，不满足条件，
所以实数的取值范围为.
分离参数构造出相关的方程 通过讨论函数单调性判断参数的取值范围
1．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知函数，满足.
(1)求实数的值；
(2)求的单调区间和极值.
(3)方程无实数根， 求实数的范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求某点处的导数值、求已知函数的极值、利用导数研究方程的根
【分析】（1）求导后根据求解即可；
（2）求导后根据导函数的正负区间，进而求得原函数的单调区间，从而得到极值即可.
（3）由（2）可得的最小值及取值情况，依题意与无交点，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以，又，解得；
（2）由（1）定义域为，且为增函数.
令可得，
故当时，，即在单调递减；
当时，，即在单调递增.
故在处有极小值，无极大值.
综上可得单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值.
（3）由（2）可得在单调递减，在单调递增，
在处有极小值，即，
且当时，
因为方程无实数根，
所以与无交点，
所以，即，所以实数的取值范围为.
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解答题 函数与导数
根据近几年的高考情况，导数已知是非常重要的一个专题，作为压轴题之一，经常在高考中看到导数的身影，其重要地位不可言喻。在考试中通常包含两部分内容，一部分内容为函数求导和含参或不含餐单调性，另外一部分通过各种工具求参数的取值范围，在2026年的高考中，仍然是解答题最有可能出现的压轴题，在本专题中，我们将对导数的压轴题部分进行详解。
题型一 ： 导数的切线方程以及切线条数问题
已知函数，其中.
(1)若曲线在处的切线过原点，求的值.
(2)当时，
①判断过点的切线条数，直接写出结果；
②判断过点的切线条数并说明理由.
根据求切线方程构造函数切线方程 当切线条线为三条时，切线方程有三个零点 当切线条线为三条时，切线方程有两个零点 当切线条线为三条时，切线方程有一个零点 3.根据方程和零点之间的关系求参数的取值范围
已知函数.
(1)求在区间上的最值；
(2)若过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围.
题型二：利用导数研究函数的单调性（不含参）以及利用单调性求参数
已知函数，为的导函数，
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若有两个零点，
（i）求的取值范围；
（ii）记较小的一个零点为，证明：.
求导 令导函数等于0 导函数大于0的函数区间为函数的单调递增区间，导函数小于0的函数区间为函数的单调递减区间
1．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有三个极值点，求实数的取值范围．
题型三：利用导数研究函数的单调性问题（含参）
已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)判断是否存在，使得的最小值为，并说明理由.
含参数单调性讨论： 1.求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； 2.变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； 3.恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； 4.根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； 5.判断定义域是否符合取值范围
1.已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围．
2．已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数的值；
(3)若，证明：．
3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
题型四：利用导数研究函数的最值
（2025高三下·全国·专题练习）已知函数在上单调递增.
(1)求a的值；
(2)解不等式（为函数的导函数）；
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 解题步骤： 求导 判断单调区间 根据函数的单调性确定函数的最值，从而求参数的取值范围
1.（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知函数在上单调递增.
(1)求的值；
(2)设，证明：存在最小值且最小值小于1.
题型五：利用导数研究极值点问题
（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数在上的单调性；
(3)若在内恰有两个不同的极值点，求的取值
求可导函数极值的一般步骤 1.先确定函数的定义域； 2.求导数； 3.求方程的根； 4.检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 5.通过函数的极值点个数问题求参数的取值范围
1．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数在上的单调性；
(3)若在内恰有两个不同的极值点，求的取值范围.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若在其定义域内有两个不同的极值点，求实数的取值范围．
题型六：利用导数证明不等式
（2025·安徽·模拟预测）已知函数.
(1)若，求函数在上的最值；
(2)若，对，求证：；
(3)若是函数的极小值点，求的取值范围.
利用导数证明或判定不等式问题 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数
1.（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，证明：．
2（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有最大值且为.则求的值.
3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数．
(1)解不等式：；
(2)设．
①证明：时，函数有最小值；
②若恰有一个极值点，求实数的取值范围．
题型七：利用导数研究不等式恒成立问题
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数，．
(1)若曲线在点处的切线与y轴垂直，求函数的单调区间；
(2)若对成立，求实数k的取值范围．
恒成立问题： 设函数的值域为或，或或中之一种，则 ①若恒成立（即无解），则； ②若恒成立（即无解），则； 解题步骤： 求导判断单调性 分离参变量或者分类讨论 ①常规法分离参数：如； ②倒数法分离参数：如； 注意：【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】 ③讨论法分离参数：如: ④整体法分离参数：如； ⑤不完全分离参数法：如； ⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
1．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数
(1)讨论的单调性，并求相应极值.
(2)若，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.
2．（2025·四川达州·模拟预测）已知函数.
(1)求函数在上的单调递减区间；
(2)当时，，求的最大值；
(3)证明：方程在上有唯一实数解
题型八：利用导数研究能成立问题
（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知函数，其中．
(1)求在处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
导数能成立问题知识点： 若有解（即存在使得成立），则； 若有解（即存在使得成立），则； 若有解（即无解），则； 若无解（即有解），则． 求导判断单调性 分离参变量或者分类讨论 通过能成立问题相关知识点进行求解参数的取值范围
1.（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
(1)求出函数在上的最值
(2)若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围．
题型九：利用导数研究函数的零点
（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在区间上有零点，求的取值范围.
求导，判断函数单调性 通过函数单调性和函数性质确定零点个数以及通过零点个数求参数的取值范围
（2025高三·全国·专题练习）已知函数，记的导函数为.
(1)当时，求的零点个数；
(2)若是定义域上的增函数，求的最小值；
(3)若使，求的取值范围.
题型十：利用导数研究双变量问题
（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知函数．
(1)求函数在上的最值及其零点个数；
(2)若对于任意的，均有，求的取值范围．
1.求导，判断函数单调性 2.通常通过其中一个变量的取值范围来判断另一个变量的取值范围
1．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围．
题型十一：利用导数研究端点效应问题
（2025高三·全国·专题练习）设函数．
(1)当时，若函数有2个极值，求实数的取值范围；
(2)当时，若函数的最小值为4，求实数的值；
(3)当时，求证：总存在实数，当时，．
利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步 ①利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件 ②利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调 ③若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件
（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）已知实数，设．
(1)若，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围．
题型十二：利用导数通过同构研究函数问题
（2025高三·全国·专题练习）已知函数，.
(1)解不等式：；
(2)函数，求的零点个数；
(3)若恒成立，求实数的取值范围.
利用以下函数同构问题进行构造 1、积型 对数化:令，得 指数化:令，得 不等式两边同时取对数变形：令，得 2、商型 对数化:令，得 指数化:令，得 不等式两边同时取对数变形：令，得 3、和差型 对数化:令，得 指数化:令，得 比如令，得． 然后根据导数的定义和性质进行求解。
1.（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）设函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)，是否存在，使得曲线在点处的切线与至少有2个交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由．
2．（2025·四川达州·模拟预测）已知函数.
(1)求函数在上的单调递减区间；
(2)当时，，求的最大值；
(3)证明：方程在上有唯一实数解.
题型十三：极值点偏移问题
（25-26高三上·河北·开学考试）已知函数，其中．
(1)求的单调区间；
(2)若函数有两个不相等的零点．
①求实数a 的取值范围；
②证明：
若已知函数满足，为函数的极值点，求证：. （1）讨论函数的单调性并求出的极值点； 假设此处在上单调递减，在上单调递增. （2）构造； 注：此处根据题意需要还可以构造成的形式. （3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系； 假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，. （4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论； 接上述情况，由于时，且，， 故， 又因为，且在上单调递减， 从而得到，从而得证. （5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.
1.（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数 有两个极值点 且 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明: .
2.．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若有两个不同的零点．
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：．
3．（25-26高三上·河北·开学考试）已知函数，其中．
(1)求的单调区间；
(2)若函数有两个不相等的零点．
①求实数a 的取值范围；
②证明：
题型十四：隐零点问题
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若的极小值小于，求m的取值范围；
(3)当时，证明：有2个零点．
1、隐零点的处理思路 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 2、隐零点的同构 实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析 所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作
（2025·河南·模拟预测）已知函数．
(1)若，求在上的最值．
(2)若且，关于的方程在上仅有一个实根．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求的最大值．
题型十五：利用导数研究方程的根
（25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知函数.
(1)若关于的方程有唯一实数根，求实数的值；
(2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
分离参数构造出相关的方程 通过讨论函数单调性判断参数的取值范围
1．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知函数，满足.
(1)求实数的值；
(2)求的单调区间和极值.
(3)方程无实数根， 求实数的范围.
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