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1.1.1　空间向量及其线性运算
A 组 基础训练
1.(多选题)下列说法不正确的是(　　)
A.空间中的任意两个向量共面
B.向量a,b,c共面即它们所在的直线在同一个平面内
C.直线的方向向量是唯一确定的
D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使 a=λb
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果不为向量的是(　　)
A.()+
B.()+
C.()-
D.()+
3.设空间四点O,A,B,P满足=m+n(m,n∈R),其中m+n=1,则(　　)
A.点P一定在直线AB上
B.点P一定不在直线AB上
C.点P可能在直线AB上,也可能不在直线AB上
D.的方向一定相同
4.已知点M在平面ABC内,点O在平面ABC外,若=x,则x的值为(　　)
A.1 B.0
C.3 D.
5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1C1的中点,F是AE的三等分点,且AF=EF,则=(　　)
A. B.
C. D.
6.如图,已知四面体ABCD,E,F,G分别为BC,CD,DB的中点,则=　　　　　.
7.已知A,B,C三点不在同一条直线上,点P与点A,B,C共面,对于空间任意一点O,若点P满足+λ(λ∈R),则λ=　　　　　;若点P满足+t(t∈R),则t=　　　　　.
8.已知四边形ABCD为正方形,P是四边形ABCD所在平面外一点,P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点.求下列各式中x,y的值.
(1)+x+y;
(2)=x+y.
9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1求证:点C1在平面AEF内.
B组 拔高提升
1.(多选题)空间四边形ABCD中,若E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA边的中点,则下列各式中成立的是(　　)
A.=0
B.=0
C.=2
D.
2.(多选题)给出下列说法,其中正确的是(　　)
A.若A,B,C,D是空间任意四点,则有=0
B.若向量a,b所在直线是异面直线,则a,b不共面
C.若A,B,C,D四点不共面,则向量不共面
D.对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面
3.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,设=a,=b,=c,那么等于(　　)
A.a+c+2b B.c-a+2b
C.2a+c-b D.2a+b-c
4.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果有+7+6-4,那么点M必在(　　)
A.平面BAD1内 B.平面BA1D内
C.平面BA1D1内 D.平面AB1C1内
5.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,若=x(x,y,z∈R),则x+y+z=　　　　　.
6.设e1,e2是空间中不共线的向量,已知=2e1+ke2(k∈R),=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则k为　　　　　.
7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N在AC上,且AN∶NC=2∶1,E为BM的中点.求证:A1,E,N三点共线.
8.对于空间某一点O,空间四个点A,B,C,D(无三点共线)分别对应着向量a=,b=,c=,d=.求证:A,B,C,D四点共面的充要条件是存在四个不全为零的实数α,β,γ,δ,使αa+βb+γc+δd=0,且α+β+γ+δ=0.
1.1.1　空间向量及其线性运算
A 组 基础训练
1.BCD
2.C
3.A
因为m+n=1,所以m=1-n,
所以=(1-n)+n-n+n,
所以=n(),即=n.
因为≠0,所以共线,
又有公共点A,所以点A,P,B共线,即点P一定在直线AB上.故选A.
4.D
∵=x,且点M在平面ABC内,∴x+=1,∴x=.
故选D.
5.D
由题意可知,)=)=.
6.
∵E,F,G分别为BC,CD,DB的中点,∴,
∴.
7.　1
由题意可知,+λ=1,解得λ=.
因为+t+t=-+t,所以-1+1+t=1,解得t=1.
8.
:(1)∵+x+y,
∴=x+y,即=x+y.
又=-=-,
∴x=-,y=-.
(2)∵=x+y,
∴=x+y,即=x+y.
又=2-2=2=2-2,∴x=2,y=-2.
9.
∵,
∴.
由向量共面的充要条件可知,共面,
又过同一点A,所以点C1在平面AEF内.
B组 拔高提升
1.BCD
易知四边形EFGH为平行四边形,所以,故A不成立.
=0,故B成立.
=2,故C成立.
,故D成立.
2.AC
显然A中说法正确;因为任意两个向量都是共面的,故B中说法错误;C中说法正确;当=x+y+z,x+y+z=1时,P,A,B,C四点共面,故D中说法错误.故选AC.
3.B
在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,=2=2b-a,=c-a+2b,故选B.
4.C
因为+7+6-4+6-4+6-4+6()-4()=11-6-4,且11-6-4=1,所以M,A1,B,D1四点共面.故选C.
5.6
在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,因为,
又=x,所以=x,
所以(1-x)=0.
又不共面,
所以解得所以x+y+z=6.
6.-8
由已知得,=e1-4e2,
因为A,B,D三点共线,
所以=λ(λ∈R),即2e1+ke2=λe1-4λe2,
所以所以k=-8.
7.
连接A1N,AM,A1B,A1M,A1E(图略).
设=a,=b,=c,则(a+b)-c,
)=[()+()]
=a+b-c=,
所以.
又有公共点A1,
故A1,E,N三点共线.
8.
(充分性)∵α+β+γ+δ=0,
∴δ=-(α+β+γ),
∴αa+βb+γc+δd=αa+βb+γc-(α+β+γ)d=0,即α(a-d)+β(b-d)+γ(c-d)=0.
∵a-d=,b-d=,c-d=,
∴α+β+γ=0.
又α,β,γ是不全为零的实数,不妨设γ≠0,则=-.
∴共面,即A,B,C,D四点共面.
(必要性)∵A,B,C,D四点共面,且A,B,C三点不共线,∴不共线,
因而存在实数x,y,使=x+y,即d-a=x(b-a)+y(c-a),
∴(x+y-1)a-xb-yc+d=0.
令α=x+y-1,β=-x,γ=-y,δ=1,
则αa+βb+γc+δd=0,且α+β+γ+δ=0.

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