资源简介

1.1.2　空间向量的数量积运算
A组 基础训练
1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.已知向量a,b满足条件:|a|=2,|b|=,且a与2b-a互相垂直,则等于(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
3.已知四面体ABCD的所有棱长都等于2,E是棱AB的中点,F是棱CD靠近C的四等分点,则等于(　　)
A.- B.
C.- D.
4.已知A,B,C,D是空间中不共面的四点,若(-2)·()=0,则△ABC一定是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
5.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,关于下列四个结论,正确的是(　　)
A.()2=3
B.·()=0
C.的夹角为60°
D.正方体的体积为||
6.已知空间向量a,b,|a|=3,|b|=5,m=a+b,n=a+λb(λ∈R),=135°,若m⊥n,则λ的值为　　　　　.
7.如图,四面体ABCD的每条棱长都等于2,点E,F分别为棱AB,AD的中点,则||=　　　　　,所成的角的大小为　　　　　.
8.已知空间向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且(a-2b)·(a+b)=5,则a+b在a上的投影向量为　　　　　.
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面ABB1A1的中心,F为A1D1的中点.试计算:
(1);
(2);
(3).
10.如图,在四面体OACB中,OB=OC,AB=AC,求证:OA⊥BC.
B组 拔高提升
1.已知两条异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-,则这两条异面直线所成的角的大小为(　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为1的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60°,且A1A=3,则A1C的长为(　　)
A. B.2
C. D.
3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1=,则上的投影向量为(　　)
A.- B.-
C.- D.-
4.如图,两条异面直线a,b所成的角为60°,在直线a,b上分别取点A',E和点A,F,使AA'⊥a且AA'⊥b.若A'E=2,AF=3,EF=,则线段AA'的长为　　　　　.
5.已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点,若CF上有一点N,使MN⊥AE,则=　　　　　.
6.在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则·()=　　　　　.
7.如图,在四面体ABCD中,AB=CD,AC=BD,E,F分别是AD,BC的中点,求证:EF⊥AD,且EF⊥BC.
8.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,∠BAA1=∠DAA1=,AC1=.
(1)求侧棱AA1的长;
(2)若M,N分别为D1C1,C1B1的中点,求及异面直线AC1和MN所成角的大小.
1.1.2　空间向量的数量积运算
A组 基础训练
1A
a·b=|a||b| cos=1 =0°,即a与b共线.反之不成立,当a与b反向共线时,a·b=-|a||b|.
2.B
由已知得,a·(2b-a)=0,即2a·b=|a|2=4,所以a·b=2,
所以cos=,
又0°≤≤180°,所以=45°.
3.D
由题意知,
因为=||·||cos<>=2,=||·||cos<>=2,=||·||cos<>=-2,所以×2+2+×(-2)=,故选D.
4.B
∵(-2)·()=()·()=()·()=||2-||2=0,∴||=||,即AB=AC.故△ABC为等腰三角形.
5．AB
如图所示,()2=()2==3,故A中结论正确;
·()==0,故B中结论正确;
的夹角是夹角的补角,而的夹角为60°,故的夹角为120°,故C中结论错误;正方体的体积为||||·||,故D中结论错误.
6. -
由题意知a·b=|a||b|cos=3×5×=-15.由m⊥n,得m·n=(a+b)·(a+λb)=0,即|a|2+(λ+1)a·b+λ|b|2=18-15(λ+1)+25λ=0,解得λ=-.
7.
因为=2×2×cos=2,
所以||2==||2-|2=4-2+×4=3.
所以||=.
因为),
所以·()=)=0.
又<>∈[0,π],所以<>=.
8.a
∵(a-2b)·(a+b)=5,
∴|a|2-a·b-2|b|2=5,∴a·b=-4.
∴a·(a+b)=|a|2+a·b=5,|a+b|=.
∴cos=,
∴a+b在a上的投影向量为|a+b|cos·a=a.
9.
设=a,=b,=c,
则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.
(1)∵c-a+b,=b,
∴=b·=|b|2=16.
(2)∵=c-a+b,=a+c,
∴·(a+c)=|c|2-|a|2=0.
(3)∵c-a+b,
b+a,
∴|b|2-|a|2=2.
10.
因为OB=OC,AB=AC,OA=OA,
所以△OAB≌△OAC,所以∠AOB=∠AOC.
所以·()==||||cos∠AOC-||||cos∠AOB=0,所以,即OA⊥BC.
B组 拔高提升
1.B
2.A
∵=-,
∴||2=(-)2=||2+||2+||2-2-2+2=9+1+1-2×3×1×cos 60°-2×3×1×cos 60°=5,
∴||=.
3.D
∵,
且=0,
∴=-=-1.
又||=,||=,
∴cos<>==-,
∴上的投影向量为||cos<>·=-=-.
4.4或2
由题意知,
所以=()2
=+2+2+2,
∵异面直线a,b所成的角为60°,A'E=2,AF=3,EF=,
∴23=9++4+0±2×2×3cos 60°+0,∴||=4或||=2.
5.
设=m.∵+m,
∴=()·×1×1×+4m=0.
∴m=.
6.
由已知得=0.
如图,取BC的中点D,连接OD,AD,则AD经过点G,且AG=AD,所以)=)=.
所以·()=)2=(||2+||2+||2)=×(1+4+9)=.
7.∵F是BC的中点,∴).
又E是AD的中点,∴.
∴)-).
∵||=||=||,
∴-2.
同理-2.
∴2-2-2=0,
即()·=0.
∴)·=0,
∴.同理.
∴EF⊥AD,且EF⊥BC.
8.
(1)设侧棱AA1=x,
由题意知,=1,=x2,=0,.
∵,∴=()2=+2+2+2=26,
即x2+2x-24=0.
∵x>0,∴x=4.
故侧棱AA1=4.
(2)∵),
∴)·()
=)=×(1-1+2-2)=0,
故异面直线AC1和MN所成角的大小为90°.

展开更多......

收起↑