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永川区 2025—2026学年下期期末教学质量监测
八年级数学试题
（全卷共三个大题，满分 150分，时间 120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项．
一、选择题：（本大题 10个小题，每小题 4分，共 40分）在每个小题的下面，都
给出了代号为 A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题
号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，小张想估测被池塘隔开的 A，B两处景观之间的距离，他先在 外取一
点 C，然后步测出 AC的中点 D，BC的中点 E，并步测出 DE的长约为 18m，由此
估测 A，B之间的距离约为（ ）
A. 18m B. 24m C. 27m D. 36m
3. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1, 2, 3; B．3, 4, 5; C．4 ,5, 6; D．7, 8, 9.
4. 正比例函数 的图象经过第二、四象限，则 m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 甲、乙两位同学准备参加学校科普大赛，如图是他们 5次模拟测试成绩的折线统
计图，成绩的方差分别记作 和 ，则 与 的大小关系是（ ）
第 2题图 第 5题图 第 6题图
A. B. C. D. 无法确定
6. 如图，△ABC中， ，D为 AB的中点，以 CD为边作正方形 CDEF，
若正方形 CDEF的面积为 4，则 AB的长为（ ）
A. B. C. 4 D. 2
八年级数学试题 第 1 页 共 7 页
7. 五一节前，李老师通过举手方式了解全班同学最想去的网红景点，统计结果如下
表：
景点 李子坝轻轨站 洪崖洞 长江索道 磁器口
人数/个 12 20 7 7
根据以上信息，本次调查的景点中众数是（ ）
A. 20 B. 7 C. 洪崖洞 D. 长江索道或磁器口
8. 如图 1，正方体金属块在竖直向上的拉力作用下，向上做匀速直线运动，上升到
离水面一定高度．图 2是拉力 F与时间 t的关系图．下列判断：
①金属块在上升过程中受到的拉力 F随时间 t的增大而增大；
②当 时，金属块受到的拉力为 49N；
③ 金属块受到的浮力 ．
其中正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
图 1 图 2
第 8题图 第 9题图
9. 如图，△ABC中， ， 分别平分 和 ， 于
点 D，若 ， ，则△ABC的面积为（ ）
A. ab B. C. 2ab D.
10.在平面直角坐标系 xoy中，对于点 ，若 x，y均为整数，则称点 P为“整
点”，特别地，当 （其中 ）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已
知点 ，下列说法：
①若点 P为“整点”且在第二象限，则点 P的个数为 5个；
②若点 P为“整点”，则满足条件的所有“整点”均在直线 上；
③若点 P为“超整点”，则点 P的个数为 2个．
其中正确的个数是（ ）
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A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题：（本大题 6个小题，每小题 4分，共 24分）请将每小题的答案直接
填在答题卡中对应的横线上．
11. 若代数式 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是_________．
12. 古代三分损益相生律中，黄钟弦长为 81，三分损一得到的林钟弦长为_____.
13. 一个多边形的内角和比它的外角和的 3倍少 ，则这个多边形的边数是
_________．
14．已知一组数据按从小到大排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26.经计算，
该组数据的中位数是 16，上四分位数是 20，则 x+y=________．
15. 如图 1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材
于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图 1中大正方形 ABCD的面积为 40，小正方
形 EFGH的面积为 8．现将这四个直角三角形拼成图 2的形状，则图 2中大正方形
PQRS的面积为______．
第 15题图
16. 对于任意一个四位正整数 m，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字
与十位数字之差等于百位数字与个位数字之差等于 3.则称m 为“吉安数”，例如 ∵
m=5320,5≠3≠2≠0且 5－2 =3－0=3，∴5320是“吉安数”。若一个正整数 a是另外
一个正整数 b的平方，则称正整数 a为完全平方数，例如： ，则 4为完全平
方数。若一个“吉安数”为 ，则这个数为 ；若 m是“吉安数”，
记 f(m) = ，当 f(m) 是一个完全平方数时，则满足条件的“吉安数”m 的
最大值为 ．
三、解答题：（本大题 9个小题，第 17题、18题每小题 8分，其余各题每小题 10
分，共 86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图
形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
八年级数学试题 第 3 页 共 7 页
17. 计算：（1） ； （2） .
18. 在学习了菱形的判定后，数学兴趣小组研究发现：作三角形的一条角平分线的
垂直平分线与角的两边相交的两点和这条角平分线的两个端点构成的四边形是菱
形，可利用证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到此结论．
请根据以上信息完成以下作图与填空：
（1）如图，△ABC中， 平分 ，交 于点 D，用尺规作 的垂直平分
线与 ， 分别交于点 E，点 F， 与 交于点 O，连接 ， （不写作
法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，求证：四边形 是菱形．
证明：∵ 平分 ，∴ ① ．
∵ ，且 与 交于点 O，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ② ．
∵ 平分 ，
∴ ．
第 18题图
∴四边形 是 ③ ．
∴四边形 菱形．
进一步研究发现，直角三角形中作直角平分线的垂直平分线与角的两边相交的
两点和这条角平分线的两个端点构成的四边形是 ④ ．
19．如图，在 ABCD中,点 O是对角线 AC，
BD的交点，EF过点 O且垂直于 AD．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若 S ABCD＝63，OE＝3.5，求 AD的长．
第 19题图
20. 已知：如图，把矩形纸片 沿 折叠后，
点 与点 重合，点 落在点 的位置上．若
．
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第 20题图
（1）求 的度数；
（2）求矩形 纸片的面积 ．
21. AI技术已广泛应用于各领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组邀请了
200名使用者分别对甲、乙两款 AI软件使用情况进行评分．成绩（用 x表示）均高
于 90分，分为五组：A： ；B： ；C： ；D：
；E： ）．从这 200人中随机抽取了 20人的评分结果，进行
整理、分析和描述．下面给出了部分信息：
抽取的使用者对甲款软件评分表
分数 92 94 95 97 98 99 100
人数 1 3 2 3 1 3 7
抽取 使用者对乙款软件评分在 B等级的数据：97，97，98，98，98，98．
抽取的使用者对乙款软件评分统计图 抽取的使用者对甲、乙两款软件评分统计表
类型 平均数 众数 中位数 方差
甲 97.5 a 98.5 6.55
乙 97.5 99 b 5.38
第 21题图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中， ______， _____， _____；
（2）根据以上数据分析，你认为哪款 AI软件更好？请说明理由（写出一条理由即
可）；
（3）估计这 200人中，对两款软件 评分成绩为 A等的人数分别是多少？
22. 为了满足市民的需求，我区在一条小河 AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如
图；①A-D-C-B；②A-E-B．经勘测，点 B在点 A的正东方，点 C在点 B的正北方 5
千米处，点 D在点 C的正西方，点 D在点 A的北偏东 45°方向，点 E在点 A的正
南方 千米处，点 E在点 B的南偏西 60°方向．（参考数据：
）
（1）求 AD的长度；（结果精确到小数点后一
位）
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（2）由于时间原因，小刘决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选
择线路①还是线路②？
第 22题图
23. 某商场为了抓住热销衬衫的契机,决定用 235000元购进 A、B、C三种品牌的衬
衫共 500件，并且购进的三种衬衫都不少于 100件，设购进 A种品牌的衬衫 件，
B种品牌的衬衫 件，三种品牌的衬衫的进价和售价如下表所示．
型 号 Ａ Ｂ C
进价(元／件) 400 550 500
售价(元／件) 500 800 650
（1）用含 、 的代数式表示购进 C种品牌的衬衫的件数；
（2）求 与 之间的函数关系式；
（3）设所购进的这三种品牌的衬衫能全部卖出，且在购销该品牌衬衫的过程中需
要另外支出各种费用共 2000元．
① 求利润 P(元)与 (件)之间的函数关系式；
② 求最大利润，并写出此时购进三种品牌的衬衫各多少件．
24. 如图，直线 ： 与直线 交于点 直线 与 轴交于点 ，与
轴交于点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）若点 在直线 上,且△OAD的面积为△OBC面积的
2倍，求点 的坐标；
（3）点 在 轴上，点 在 上，且以 A、B、M、N为
顶点的四边形为平行四边形，请直接写出 点的坐标．
第 24题图
25. 如图，正方形 中，点 为边 的上一动点，作 交 、 分
别于 P、 点，连 ．
（1）若点 E为 的中点，求证：F点为 的中点；
（2）若点 E为 的中点， ， ，求 的长；
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第 25题图
（3）若正方形边长为 2，直接写出 的最小值．
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八年级数学参考答案及评分意见
一、选择题（本大题 10个小题，每小题 4分，共 40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B D B C C C A B
二、填空题（本大题 6个小题，每小题 4分，共 24分）
11． ； 12．54； 13．7；
14．33； 15．72 ； 16．6734；9461
三、解答题（本大题 9个小题，共 86分。每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。)
17．（1）解：原式= ………………………4分
（2）解：原式= …………………………8分
18．（1）如图所示：直线 EF，线段 ED、DF为所求作.
……4分
（2）①∠ABD=∠CBD ……………………………………5分
②EO=FO ………………………………………………6分
③平行四边形 …………………………………………7分
④正方形 ………………………………………………8分
19.（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形
∴AD//BC，OA=OC
∴∠EAO=∠FCO.
在△AEO和△CFO中
∵
∴△AEO △CFO(ASA)
∴AE=CF ………………………………………………5分
(2)解：∵OE=OF,OE=3.5
∴EF=2OE=7
又∵EF⊥AD
∴S ABCD=AD×EF=63
∴AD=9 …………………………………………………………10分
八年级数学答案 第 1页 共 4页
20. （1）∵四边形 ABCD是矩形
∴∠A=90°，AD∥BC.
∴∠1=∠2=60°
由折叠的性质可知：∠DEF=∠BEF
∴∠2=∠BEF=60°
∴∠AEB=180°－∠DEF－∠BEF=180°－60°－60°=60°
在 Rt△ABE中，∠3=∠ABE=90°－∠AEB=90°－60°=30°
故：∠2的度数为 60°，∠3的度数为 30° ………………………………5分
(2)在 Rt△ABE中，∠A=90°，∠ABE=30°，AE=4.
∴BE=2AE=8
由折叠的性质可知：DE=BE=8
∴AD=AE＋DE=4+8=12
在 Rt△ABE中，由勾股定理得：
∴长方形 ABCD的面积 S=AB×AD=
故：矩形纸片 ABCD的面积 S为 .……………………………………10分
21.（1）a=100，b=98，m=5 ................................3分
（2）答：因为甲、乙两款 AI软件的平均数 97.5相同，而甲款 AI软件的众数 100和中位数 98.5都大于乙
款 AI软件的众数 99和中位数 98，所以，我认为甲款 AI软件更优..............7分
（3） ..............9分
答：对甲乙两款软件的评分成绩为 A等的人数分别是 100人，80人..............10分
22.解：（1）如图，过点 D作 DH丄 AB于点 H
则四边形 DHBC为矩形
∴DH=BC=5km
在 Rt△AHD中，∠DAH=90°－45°=45°
∴AD= ≈7.1km
答：AD的长度约为 7.1千米 ...........5分
(2)如图，在 Rt△AHD中，AH=DH=5km，AD= km
在 Rt△ABE中，∠ABE=90°－60°=30°
∴BE=2AE= km，AB= =12km
∵四边形 DHBC为矩形，CD=BH=AB-AH=12-5=7km
∴路线①的长度为：AD+DC+CB= ≈19.1km
路线②的长度为：AE+EB= ≈20.8km
又∵19.1<20.8
∴小明应选择路线① ....................10分
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23.解：（1）由题得：购进 C种品牌的羽绒服件数为：500－x－y；..............2分
（2）由题意得：400x+550y+500 (500－x－y)=235000，整理得：y=2x－300 ..................................4分
（3）①P= (500 －400)x + (800 － 550)y +(650-500)(500－x－y)－2000,
又∵y=2x－300
∴整理得：P=150x+43000
② 购进 C种品牌的羽绒服的件数为：500－x－y=500－x－(2x－300)=800－3x
据题意列不等式组： 解得：200≤x≤
∴整数 x的最大值是 233
又∵在 P=150x+43000中，k=150>0
∴P随 x的增大而增大
∴当 x取最大值 233时，P有最大值，最大值为 77950元.
此时购进 A、B、C种品牌的衬衫分别为 233套、166套、101套................10分
24.解：(1)将解：将 代入 可得： ，即 ，设直线 的解析式为 ，分
别将 ， 代入 可得：
， 解得：
∴ 的解析式为： . ..................................................4分
(2)∵直线 与 轴交于点 C，
∴当 时， ，
∴
故：
∴
又∵
设
情况一：当 D在 A上方时， ,
∴ t=10
∴D的坐标为 ,
情况二：当 D在 A下方时，
∴ t=－6
八年级数学答案 第 3页 共 4页
∴D的坐标为 ,
综上所述，D的坐标为 或 . ..............................8分
（3）M(4,0) ..............................10分
25.（1）证明：如图， 四边形 是正方形，
， ，
， ，
， ， ，
在 和 中，
，
， ，
点 F为 的中点. ..................................................4分
(2)延长 到 ，使得 ，连接 ，
，
，
又 ， 分别是 ， 的中点，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
..................................................8分
(3) ................................................10分
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