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13.1 三角形的概念 暑假预习练
2026-2027学年初中数学人教版（2024）八年级上学期
一、单选题
1．下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下面的三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型（按角分）的是（ ）
A． B．
C． D．
3．用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边的相等关系可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；③三角形按角的大小可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
二、填空题
6．数一数图中共有（ ）个三角形．
7．图中以为边的三角形共有______个．
8．如图在的边上取三个点，，，连接，，，则边上有_____条线段，以 为顶点的角有_____个，图中共有_____个三角形．

9．已知：如图，试回答下列问题：
（1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______．
（2）以线段为公共边的三角形是___________．
（3）线段所在的三角形是_______，边所对的角是________．
三、解答题
10．在下面一组图形中：
（1）各图形中分别有几个三角形？
（2）说出各个图形中以B为顶点的角所对的边.
11．如图，回答下列问题：

(1)写出以为顶点的三角形；
(2)写出为内角的三角形；
(3)写出以为边的三角形．
12．（1）如图1，D1是△ABC的边AB上的一点，则图中有哪几个三角形？
（2）如图2，D1，D2是△ABC的边AB上的两点，则图中有哪几个三角形？
（3）如图3，D1，D2，…，D10是△ABC的边AB上的10个点，则图中共有多少个三角形？
13．如图，在中，为AC边上不同的n个点，首先连接，图中出现了3个不同的三角形，再连接，图中便有6个不同的三角形……
(1)完成下表：
连接点的个数 1 2 3 4 5 6
出现三角形个数
(2)若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？
(3)若一直连接到，则图中共有多少个三角形？
14．【思路探究】
（1）上学期我们学习了线段，如图1，B，C，D是线段上异于点A，E的三个点，图中共有多少条线段？

（2）本学期我们又学习了角，如图2，从的顶点O引出3条射线，且在的内部，图中共有多少个大于且小于的角？

（3）图3是同学练习写字用的米字格，图3中含有多少个三角形？

【问题解决】
（4）若从的顶点O出发，在的内部引出条射线，则图中共有多少个大于而小于的角？
（5）图4是同学练习写字用的九宫格，图中含有多少个长方形（包括正方形）？

15．问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共个点作为顶
点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？
问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：
探究一：以的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把分割成多少个互不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把分割成3个互不重叠的小三角形．
探究二：以的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把分割成多少个互不重叠的小三角形？
在探究一的基础上，我们可看作在图①的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：
一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在的内部，如图②；另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在上，如图③．显然，不管哪种情况，都可把分割成5个互不重叠的小三角形．
探究三：以的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把分割成 个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．
探究四：以的三个顶点和它内部的m个点，共个点为顶点，可把分割成 个互不重叠的小三角形．
探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共个点为顶点，可把四边形分割成 个互不重叠的小三角形．
问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共个点作为顶点，可把原n边形分割成 个互不重叠的小三角形．
实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？(要求列式计算)
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 C C B C B
1．C
【分析】本题考查了三角形的定义，解题的关键是熟练记住定义.
根据三角形的定义进行判断即可.
【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，
所以选项C符合题意.
故选： C．
2．C
【解析】略
3．B
【分析】本题考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系.
三条边均不相等的三角形是不等边三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；根据概念就可找到它们之间的关系.
【详解】解：根据各类三角形的概念可知，B可以表示它们彼此之间的包含关系.
故选：B ．
4．C
【解析】略
5．B
【解析】略
6．44
【分析】本题主要考查分类讨论的思想，根据三角形中包含的小三角形的个数进行分类求解，再求总数即可．
【详解】解：由一个小三角形组成的三角形数量为16个；
由二个小三角形组成的三角形数量为16个；
由四个小三角形组成的三角形数量为8个；
由八个小三角形组成的三角形数量为4个；
则共有个，
故答案为：44．
7．
【分析】根据三角形的定义得出三角形的个数即可．
【详解】解；图中以为边的三角形有，，共个．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的定义，数三角形时做到不重不漏是解答本题的关键．
8．
【分析】本题主要考查线段数量、角度的数量和三角形的个数，利用固定点可得到线段，上述线段都与点A组成角，即以 为顶点的角有10个；以 为顶点的角即组成对应的三角形．
【详解】解：根据题意得，线段有共10条线段；
以 为顶点的角
三角形有
上述线段都与点A组成交，即以 为顶点的角有10个；
以 为顶点的角即组成对应的三角形．
故答案为：10，10，10．
9． 6 ，， ，，
【分析】（1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形；
（2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形；
（3）观察图形可知线段所在的三角形以及边所对的角；
【详解】（1）由图可知，
图中三角形有、、、、、，
图中有6个三角形，
由图可知，直角三角形有，，；
故答案为：6，，，；
（2）由图可知，
以线段为公共边的三角形是，，；
故答案为：，，；
（3）由图可知，
线段所在的三角形是，
边所对的角是；
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键．
10．（1）①3个；②6个；③8个；（2）①AC和AD；②AC、AD、AE；③AE、AD、AC、CE、CD．
【分析】(1)根据三角形的定义解答即可；
(2)根据交于边的关系解答即可．
【详解】解：（1）①图中三角形的个数有3个；②图中三角形的个数有6个；③图中三角形的个数有8个；
（2）①图中以B为顶点的角所对的边是AC和AD；
②图中以B为顶点的角所对的边是AC、AD、AE；
③图中以B为顶点的角所对的边是AE、AD、AC、CE、CD．
【点睛】本题考查了三角形的概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两条边组成的角，叫做三角形的内角，简称为三角形的角．
11．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接写出以为顶点的三角形即可；
（2）直接写出以为内角的三角形即可；
（3）直接写出以为边的三角形即可．
【详解】（1）解：以为顶点的三角形有：．
（2）解：以为内角的三角形有：．
（3）解：以为边的三角形有：．
【点睛】本题主要考查了三角形的定义、三角形的顶点、内角、边等知识点，理解三角形的定义是解答本题的关键．
12．（1）3；（2）6；（3）66．
【分析】（1）根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进行分析即可；
（2）根据三角形的定义结合图形进行分析即可得；
（3）根据直线AB上有几条线段就有几个三角形，由线段的计数方法进行计算即可得答案.
【详解】（1）图中三角形有：△ABC、△AD1C、△AD1B共3个；
（2）图中三角形有：△ACD1、△ACD2、△ABC、△D1CD2、△D1CB、△D2CB共6个；
（3）∵直线AB上有12个点，
∴直线AB上的线段共有：=66（条），即图中共有66个三角形．
【点睛】本题考查了三角形，规律题，关键在数三角形个数时要做到不重不漏.
13．(1)3，6，10，15，21，28；(2)8；(3)
【分析】(1)根据图形，可以分析：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数．所以当上面有3个分点时，有6+4=10；4个分点时，有10+5=15；5个分点时，有15+6=21；6个分点时，有21+7=28；7个分点时，有28+8=36；
(2)若出现45个三角形，根据上述规律，则有8个分点；
(3)若有n个分点，则有()()．
【详解】(1)
连接点的个数 1 2 3 4 5 6
出现三角形个数 3 6 10 15 21 28
(2)由(1)中表格：7个分点时，有28+8=36；8个分点时，有36+9=45；
∴出现了45个三角形，则共连接了8个点；
(3)设连接到AAn时，图中有个三角形(n为正整数)．
观察图形和(1)中表格，可知：=2+1=3，=3+2+1=3，=4+3+2+1=10，，
∴
=()()，
∴若一直连接到，则图中共有()()个三角形．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律，注意数三角形的个数实际上就是数线段的条数．
14．（1）条；（2）个；（3）个；（4）个；（5）个
【分析】（1）数出线段的条数即可；
（2）数出角的个数即可；
（3）数出三角形的个数即可；
（4）根据角的定义，得到每相邻两条射线组成的角有个，每相隔1条射线的两条射线组成的角有个，，每相隔条射线的两条射线组成的角有2个，每相隔条射线的两条射线组成的角有1个，再进行相加即可；
（5）由一个格子组成的长方形有9个；由两个格子组成的长方形的个数有（个）；由3个格子组成的长方形的个数有6个；由4个格子组成的长方形的个数有4个；由6个格子组成的长方形的个数有4个；由9个格子组成的长方形的个数有1个；再进行相加即可．
【详解】解：（1）图中的线段有条：．
答：图中共有条线段．
（2）图中共有个大于且小于的角：
答：图中共有个大于且小于的角．
（3）由一个三角形组成的三角形个数有8个，由两个三角形组成的三角形个数有4个，由四个三角形组成的三角形个数有4个，所以共有：（个）．
答：图3中含有个三角形．
（4）若从一个角的顶点出发，在角的内部引出条射线，则大于且小于的角中，每相邻两条射线组成的角有个，每相隔1条射线的两条射线组成的角有个，，每相隔98条射线的两条射线组成的角有2个，每相隔条射线的两条射线组成的角有1个，
∴大于且小于的角共有：（个）；
（5）由一个格子组成的长方形有9个；由两个格子组成的长方形的个数有（个）；由3个格子组成的长方形的个数有6个；由4个格子组成的长方形的个数有4个；由6个格子组成的长方形的个数有4个；由9个格子组成的长方形的个数有1个；
∴共有（个）．
【点睛】本题考查了线段、角、三角形、长方形的个数，注意在数个数时要不重不漏．
15．探究三： 7，分割示意图见解析；探究四：；探究拓展；；问题解决：；实际应用：4030
【分析】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键．
探究三：分三角形内部三点共线与不共线两种情况作出分割示意图，查出分成的部分即可．
探究四：根据前三个探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，根据此规律写出个点分割的部分数即可．
探究拓展：类似于三角形的推理写出规律整理即可得解．
问题解决：根据规律，把相应的点数换成m、n整理即可得解．
实际应用：把公式中的相应的字母，换成具体的数据，然后计算即可得解．
【详解】解：探究三： 7．分割示意图如下（答案不唯一）：
探究四：三角形内部1个点时，共分割成3部分，，
三角形内部2个点时，共分割成5部分，，
三角形内部3个点时，共分割成7部分，，
…，
所以，三角形内部有m个点时，共分割成部分．
探究拓展：四边形的4个顶点和它内部的m个点，
则分割成的不重叠的三角形的个数为：=．
问题解决：=．
实际应用：把，代入上述代数式，得．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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