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25.1 一元二次方程的概念 暑假预习练
2026-2027学年初中数学人教版（2024）九年级上学期
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是(　　)
A． B． C． D．
2．关于x的方程：①，②，③，④，其中一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．方程化为一元二次方程的一般形式是（ ）
A． B．
C． D．
4．将一元二次方程化为一般形式后二次项系数为5，常数项为，则一次项系数是（ ）
A．5 B． C．4 D．
5．已知关于的一元二次方程．
①若，则该方程一定有一个根为；
②若方程的两个根为和2，则和的数量关系为．
下列判断正确的是（ ）
A．①②的说法都正确 B．①②的说法都错误
C．①的说法错误，②的说法正确 D．①的说法正确，②的说法错误
二、填空题
6．若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为________．
7．若是关于的一元二次方程，则的值为__________．
8．若a是方程的一个根，则的值为______．
9．根据下表可知，方程的一个近似解为________（结果精确到0.1）．
x … …
… 0.56 1.25 1.96 …
10．将一元二次方程化为一般式为______．
11．关于的一元二次方程有一个根为，则实数，之间的关系为________．
12．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________．
三、解答题
13．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
14．当为何值时，方程是关于的一元二次方程？
15．已知a是一元二次方程的一个根：
(1)求的值
(2)求的值．
16．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如．
(1)判断是否为一元二次方程．
(2)判断和是否是方程的根．
17．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程的“倒方程”是 ；
(2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值；
(3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ．
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 A A A B A
1．A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义(整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2)逐一判断选项．
【详解】解：选项A：，方程两边均为整式，仅含一个未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程的定义．
选项B：，方程中含分式项，不是整式方程，不符合要求．
选项C：， 含两个未知数和，不满足“一元”条件．
选项D：，当时是二次方程，但题目未明确的取值范围，若则变为一次方程，无法确定．
综上，只有选项A符合一元二次方程的定义．
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的概念是解题的关键．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：①，当时，该方程不是一元二次方程；
②属于分式方程；
③符合一元二次方程的定义；
④的次数是3次，不是一元二次方程，
综上所述，其中一元二次方程的个数是1个．
故选：A．
3．A
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先利用单项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为，再化简即可．解题的关键是掌握：任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式．
【详解】解：，
，即，
∴，
∴方程化为一元二次方程的一般形式是．
故选：A．
4．B
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程化成一般形式进行解答即可．
【详解】解：将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，一次项系数为，
故选：B．
5．A
【详解】解：①．∵将代入，可得，
又∵，
∴满足方程，即方程一定有一个根为，故①说法正确．
②．∵方程的两个根为和，两根都满足方程，代入得：
，
，得
，
∴，故②说法正确．
综上①②都正确．
6．
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意二次项系数不为零；根据二次项系数不为零即可求解．
【详解】解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程，
∴，
∴；
故答案为：．
7．3或
【分析】本题考查一元二次方程，只有一个未知数，且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程．
根据一元二次方程的定义，可知，由此即可求得m的值．
【详解】解：由题意可知，，
解得或．
故答案为：3或．
8．2024
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键．
根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入计算，即可求解．
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，，
∴
故答案为：2024．
9．
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解.
看在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间,哪个离比较近就取哪个值.
【详解】解：根据表格得，
当从增大到时，从下降到．
距近一些，
∴方程的一个近似根是．
故答案为：．
10．
【分析】先根据单项式乘多项式法则展开方程左边，再通过移项整理得到一元二次方程的一般式．
【详解】解： ，
，
移项，得
．
11．
【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，化简整理即可得到与的关系．
【详解】∵是一元二次方程的根，
∴将代入方程得，
，
整理得．
12．
【分析】将代入方程求解判断即可．
【详解】解：将代入得，，
此方程必有一根为．
13．(1)，二次项系数为，一次项系数为，常数项；
(2)，二次项系数为，一次项系数为，常数项；
(3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项；
(4)，二次项系数为，一次项系数为，常数项．
【分析】（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可；
（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可；
（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可；
（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可．
【详解】（1）解：，
，
∴二次项系数为，一次项系数为，常数项；
（2）解：，
，
∴二次项系数为，一次项系数为，常数项；
（3）解：
，
∴二次项系数为，一次项系数为，常数项；
（4）解：
，
∴二次项系数为，一次项系数为，常数项．
14．
【分析】本题主要考查了一元二次方程，一元二次方程的一般形式下，注意二次项系数不等于零是解题的关键．
直接根据一元二次方程的定义列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，得且．
解，得，
解，得，
所以．
所以当时，原方程是关于的一元二次方程．
15．(1)2
(2)2025
【分析】（1）根据a是一元二次方程的一个根，得到，整体代入法求值即可；
（2）利用降幂和整体代入法进行计算即可.
【详解】（1）解：∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
.
16．(1)是
(2)不是 是
【分析】本题考查了新定义运算、一元二次方程的定义以及方程根的检验方法，掌握新运算的转化规则和方程根的验证方法是解题的关键．
（1）根据新运算的法则，将展开并整理成整式方程形式，再根据一元二次方程的定义进行判断；
（2）先根据新运算将转化为整式方程，再将和分别代入方程，通过检验等式是否成立来判断是否为方程的根．
【详解】（1）解：由题意可得，
整理，得，
是一元二次方程．
（2）解：由题意可得，
整理，得．
当时，，
不是方程的根．
当时，，
是方程的根．
17．(1)
(2)
(3)2025
【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键．
（1）根据新定义的含义可得答案；
（2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值；
（3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可．
【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：；
（2）解： 由题知，方程的倒方程为，
将代入此方程得，，
解得；
（3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是，
∵是此方程的一个实数根，
∴，
∴，
∴．
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