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期末冲刺试题 2025-2026学年初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，2，2 B． C． D．2，3，4
3．正比例函数y= -2x的图象经过（ ）
A．第三、一象限 B．第二、四象限 C．第二、一象限 D．第三、四象限
4．为了解某初中八年级学生的数学作业完成时长（单位：分钟），随机抽取12名学生的时长数据如下：35，40，42，45，48，50，52，55，58，60，62，65，则该组数据的分位数为（ ）
A．43.5 B．44 C．45 D．46.5
5．如图，在数轴上找出表示的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题中，不正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直且平分
C．菱形的对角线互相垂直且平分 D．正方形的对角线相等且互相垂直平分
8．如图是甲、乙两名同学的5次引体向上练习成绩的折线统计图，下列判断正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．甲的最好成绩比乙的最好成绩高
C．甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大
D．甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大
9．在平面直角坐标系中，已知两点在直线上，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图是一次函数与的图象，则不等式的解集是（ ）

A． B． C． D．
11．如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．7.5 D．8.5
12．如图，正方形的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．计算：＝_______．
14．甲、乙两组数据的折线图如图所示，根据图形比较各组数据方差的大小关系：________（填“”、“”或“”）．
15．直线向下平移3个单位得到的直线解析式为________．
16．如图，在中，点D，E分别是边的中点．若，，则的长为________．
17．一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集为________．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线l与正方形交于A， B两点，与轴交于点D，若点，则的长为_________．
三、解答题
19．计算：．
20．如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，且，求证：．
21．如图，线段表示一棵树，上的点处有两只猴子，它们都要到处的池塘去喝水，其中一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段爬到点处；另一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段跳跃至点处，已知米，，且两只猴子经过的路线长度相等，请你求出这棵树的高度．
22．已知与x成正比例，且时，
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)在所给的直角坐标系（如图）中画出函数的图象；
(3)直接写出当时，自变量x的取值范围．
23．小华家有15个相同的碗，阅读以下信息，完成任务
信息一：图1是6个碗整齐叠放的示意图 信息二：图2是6个碗叠放的总高度和碗的数量（个）的函数图象
根据以上信息，完成以下任务：
(1)任务一：写出碗叠放的总高度和碗的数量的函数表达式：________．
(2)任务二：碗柜某隔层的内部净高为，底面足够大，能否将15个碗分成两摞叠放，并放入该隔层？并说明理由．
24．为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息．
【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分）
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95
【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差
统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分
甲 84.6 70 171.44
乙 86.3 90 73.41
【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分）
根据以上信息，回答下列问题：
(1)________，________；
(2)求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图；
(3)根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由．
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，垂足为E，点F是BC延长线上的点，且DF⊥DB．
(1)求证：AD＝CF；
(2)当点C为BF中点时，求证：四边形ABCD是菱形；
(3)在（2）的条件下，当△BDF满足什么条件时，四边形ABCD是正方形？（不必说明理由）
26．阅读理解：
【新定义】对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”．
【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点．
(1)已知4个点：、、、，以上这四个点中________不是线段的“等距点”，________是线段的“完美等距点”（填写大写字母）；
(2)若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标；
(3)若点是线段的“完美等距点”，则称为的“完美等距三角形”．点在第一象限，是轴上一个动点，是否存在这样的点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”．若存在，请直接写出点横坐标的取值范围__________．
27．综合与探究
问题情境：在矩形纸片中，，，点在边上，沿过点，的直线折叠该纸片，得到，然后把纸片展平．连接并延长交射线于点．
猜想证明：
(1)如图1，当点与点重合时，猜想线段与的数量关系，并说明理由；
数学思考：
(2)如图2，沿过点的直线继续折叠该纸片，折痕为，，且与交于点，然后展平．连接，判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
(3)隐去折痕，连接．当时，请直接写出线段的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A B D B A A C
题号 11 12
答案 C B
1．B
本题考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念判断即可．
解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
2．C
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可．
解：A.∵，∴不能构成直角三角形，故选项不合题意；
B. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
C. ∵，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不合题意．
故选：C．
3．B
根据正比例函数的图象和性质，k>0，图象过第一，三象限，k<0，图象过第二，四象限，即可判断．
∵正比例函数y= -2x，k<0，所以图象过第二，四象限，
故选:B．
考查了正比例函数的图象和性质，理解和掌握正比例函数的图象和性质是解题关键，注意系数的正负号决定了图象过的象限．
4．A
本题考查百分位数的计算方法，按照百分位数的计算步骤求解即可.
法一：∵题目中数据已经从小到大排列，样本容量，
∴计算位置得，为整数，
∴该组数据的分位数为第个数据和第个数据的平均数，
∵第3个数据为，第4个数据为，
∴分位数为；
法二：共12个数据，排序后，前一半数据为35，40，42，45，48，50，
位于中间位置的两个数据为42，45，
∴分位数为.
5．B
解：∵直线，，
∴
∴点C表示的数是．
6．D
解：，，，
∴，
∴.
7．B
根据特殊四边形的性质一一判断即可；
解：A、正确，平行四边形的对角线互相平分；
B、错误，应该是矩形的对角线相等且互相平分；
C、正确，菱形的对角线互相垂直且平分；
D、正确，正方形的对角线相等且互相垂直平分；
故选：B．
本题考查命题与定理、特殊四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质，属于中考常考题型．
8．A
本题考查了折线统计图，平均数、中位数与方差．从折线图中得到必要的信息是解决问题的关键．根据统计量的确定方法确定相应的统计量，再判断即可．
解：A、由折线统计图可以看出甲成绩的波动小于乙成绩的波动，即甲的成绩比乙的成绩稳定，故选项A正确，符合题意；
B、由折线统计图可以看，甲的最好成绩为9，乙的最好成绩为10，
所以甲的最好成绩比乙的最好成绩低，故选项B不正确，不符合题意；
C、甲的成绩的平均数为（个），乙的成绩的平均数为（个）
所以甲的成绩的平均数与乙的成绩的平均数相同，故选项C不正确，不符合题意；
D、甲的成绩的中位数与乙的成绩的中位数均为8个，故选项D不正确，不符合题意．
故选：A．
9．A
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．根据一次函数的性质，，随的增大而增大，进行判断即可．
解：∵，
∴随的增大而增大，
∵，
∴．
故选：A．
10．C
根据函数图象可以直接判断本题的答案．
解：结合图象，当时，
函数在函数的下方，
即不等式的解集是；
故选：C．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，一元一次不等式的解集就是确定直线在另一条直线（或者x轴）上（或下）方部分所有点的横坐标的集合；这是数形结合的典型考查．
11．C
连接，根据平行四边形的对边相等，对角线互相平分可得，，推得，根据三线合一可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
解：连接，如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
在中，为的中点，
∴．
12．B
本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质以及勾股定理，由折叠的性质得出，设，再根据勾股定理得出，代入数值求解得出x的值，进而即可得出的值．
解：∵正方形纸片的边长为3，
∴，
根据折叠的性质得：，
设，
则，，，
在中，，
即，
解得，
∴，
∴，
故选B
13．3
分析：．
14．
根据折线波动程度即可判断两组数据方差的大小．
解：由折线图知，甲组数据的波动程度大于乙组数据的波动程度，则甲组数据的方差大于乙组数据的方差．
15．/y=-2+3x
根据平面直角坐标系内直线平移的规律即可求解
解：向下平移3个单位，
得：
故答案为：．
本题考查了平面直角坐标系内直线的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
16．4
根据三角形中位线，等腰三角形的判定和性质求解即可；
解：∵点D，E分别是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．
根据一次函数与一元一次不等式的关系，不等式表示直线在直线上方（含交点）对应的的取值范围. 结合已知交点坐标即可求解．
解：∵的图象过点，
∴，
解得，
∴，
由题意得，不等式的几何意义是函数的图象位于函数的图象的上方（含交点）．
∵两个一次函数的图象交点为．
∴根据一次函数的图象性质可得，当时，满足．
∴不等式的解集为．
18．5
过点作轴于点，过作轴于点，，结合正方形的性质可证明，得到，，进而求出，再求出直线的解析式为，进而求出点坐标，连接，，根据正方形的性质，得到垂直平分，进而得到，即可得出结果.
解：如图，过点作轴于点，过作轴于点，
则，
，
，
，，
四边形是正方形，
，，，
，
在和中，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
点的坐标为，
∴，
连接，，则垂直平分，
∴.
19．
解：
．
20．证明见解析
先得出，再证出四边形是平行四边形即可．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∴．
21．
本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；设，则有，，然后根据勾股定理可建立方程进行求解．
解：∵，
∴，
∴，
设，则有，，
∵，
∴，即，
解得：；
即．
22．(1)
(2)见解析
(3)
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的作法，根据正比例的定义设出函数表达式是解题的关键．
（1）根据正比例的定义设，然后把已知数据代入进行计算求出k值，即可得解；
（2）求出与坐标轴的交点，然后利用两点法作出函数图象即可；
（3）根据图象可得结论．
（1）解：∵与x成正比例，
∴设，
把，代入，得，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时，，
当时，，解得，
∴函数图象经过点，，
函数图象如图：
（3）解：由图象得：当时，自变量x的取值范围是．
23．(1)
(2)不能，理由见解析
（1）由图1知：增加一个碗，总高度增加，由图2知：当时，，且与是一次函数，据此求解即可；
（2）把，分别代入（1）所求函数解析式，即可判断.
（1）解：由图1知：增加4个碗，总高度增加，
∴每增加一个碗，总高度增加，
由图2知：当时，，且与是一次函数，
∴；
（2）解：将15个碗分成两摞叠放，一摞7个碗，另一摞8个碗，
当时，，
当时，，
∴将15个碗分成两摞叠放，不能全部放入该隔层.
24．(1)90；92
(2)70；96；补图见解析
(3)乙组竞赛成绩较好．理由：平均分更高，成绩更稳定．（答案不唯一）
（）根据众数，中位数的定义即可求解．
（）根据数值计算前后各个数的中位数即可求出上四分为数和下四分位数即可．
（）根据表格给出的数值，根据平均数，方差进行比较即可．
（1）解：甲组个数，排序后第五和第六位分别是89 和91，
∴中位数 ，
众数是出现次数最多的，乙组排序后最多，
∴众数．
（2）解：前半部分为前个数（, , , , ），中位数是第个为，则下四分位数为，后半部分数据为（, , , , ），中位数是第个为，则上四分位数为，
所以，箱线图为：
（3）解：乙组竞赛成绩较好．
理由：∵乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差，
∴乙组平均分更高，成绩更稳定，
∴乙组竞赛成绩较好．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)当△BDF满足 时，四边形ABCD是正方形
（1）由已知可得 ，AD∥BC，通过证明四边形ACFD是平行四边形即可得到结论；
（2）先证明，再结合已知即可证明四边形ABCD是平行四边形，再由对角线互相垂直即可得到结论；
（3）先判断△BDF是等腰直角三角形，再由等边对等角得到，根据菱形的性质可得，即可得到结论．
（1） AC⊥BD，DF⊥DB
AD∥BC
四边形ACFD是平行四边形
AD＝CF
（2） 点C为BF中点
AD＝CF
AD∥BC
四边形ABCD是平行四边形
对角线AC⊥BD
四边形ABCD是菱形
（3）当△BDF满足 时，四边形ABCD是正方形；理由如下
DF⊥DB
由（2）得，四边形ABCD是菱形
四边形ABCD是正方形
本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
26．(1)D，B
(2)
(3)
（）先根据等距点定义，得出线段的等距点在的垂直平分线上，筛选出横坐标为的；再根据完美等距点需满足 的要求，用勾股定理逆定理验证，作出判断；
（）先根据点在直线上且在第三象限、的条件，代入直线方程和两点间距离公式求出点坐标；再根据在轴上且为线段的等距点，利用列方程，解出点的纵坐标，得到其坐标；
（）根据“完美等距点”定义，先设出直线上点的坐标，再结合同时为线段 的“完美等距点”的条件，利用垂直平分线的几何关系，根据数形结合可得．
（1）解：线段端点、，“等距点”满足 ，
因此等距点在的垂直平分线上，，
四个点中横坐标为的是、 、 ，
∴这三个是线段的等距点，D不是线段的等距点；
“完美等距点”还需要满足 ，
点： ，，
∴，，符合；
同理可得：
： ，不符合；
： ，不符合；
∴完美等距点只有；
（2）解：∵在上，
∴，
∵在第三象限，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
，
解得，
∴ ，即 ，
设 ，是的等距点，
∴，即：，
整理得 ，
解得，
∴坐标为；
（3）解：∵点是直线上，
∴ （，第一象限），
∵点是线段的“完美等距点”，
∴满足，，
此时四边形为正方形，
∵是轴上一个动点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”．
如图：是的垂直平分线，是的垂直平分线，交于点，
∴点在过且与轴成的两条互相垂直的直线上，
当点与点重合时，
∵，点的坐标为，
∴，，
∴
∴，
∴，
∴当正方形与过且与轴成的两条互相垂直的直线有交点时，
∴．
27．(1)，理由见解析
(2)四边形是菱形，理由见解析
(3)的长为，或
（1）根据折叠的性质得出，，进而得出，根据矩形的性质，即可求解；
（2）由（1）可知，，，进而证明得出四边形是平行四边形，根据折叠的性质可得，即可得证；
（3）设，分类讨论，分别画出图形，当时，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
（1）解：
理由如下：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由折叠，得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）四边形是菱形
证明：由（1）可知，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形．
（3）解：设，
如图，当时，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴
∵
∴
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵折叠，
∴
∵
∴
∴
∴
∵，则，
∴，
在中，
∴
解得：（舍去）或
∴
如图，当重合时，，解得：，即
如图，当是等腰梯形时，如图
∵，则，
∴，
在中，
∴
解得：
综上所述，的长为，或
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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