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周测卷1　(范围:§1.1~§1.3)
(时间:50分钟　满分:100分)
一、单选题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.已知=(2,3,1),=(4,5,3),那么向量=(　　)
A.(-2,-2,-2) B.(2,2,2)
C.(6,8,4) D.(8,15,3)
2.已知空间向量a=(0,1,-1),b=(a,2,2),则a,b的位置关系是(　　)
A.垂直 B.平行
C.异面 D.根据a的取值而定
3.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b夹角的余弦值为,则λ=(　　)
A.2 B.-2 C. D.-
4.如果A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)三点在同一条直线上,那么(　　)
A.a=3,b=2 B.a=6,b=-1
C.a=3,b=-3 D.a=-2,b=1
5.已知在空间四边形OABC中,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为线段BC的中点.连接OB,设=a,=b,=c,则=(　　)
A.a+b-c B.-a+b+c
C.a-b+c D.a+b-c
6.已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与平面ACD垂直,则||=(　　)
A. B. C. D.2
二、多选题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知空间四边形ABCD的四条边和对角线长都为a,且E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列四个数量积中结果为-a2的有 (　　)
A.2· B.2·
C.2· D.2·
8.已知空间向量a=(1,2,3),2a+b=(0,3,7),c=(2,m,6),且a∥c,则下列说法正确的是(　　)
A.|b|=
B.m=4
C.(2b+c)⊥a
D.cos=-
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
9.已知点A(-1,3,1),B(-1,3,4),若=2,则点P的坐标是　　　　.
10.已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则向量e1+e2在向量e1上的投影向量为　　　　.
11.设向量u=(a,b,0),v=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1,则u与v夹角的最大值为　　　　.
四、解答题(本题共3小题,共43分)
12.(13分)如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且MN=ON,AP=AN.
(1)若∠AOB=60°,∠AOC=∠BOC=120°,OA=OB=OC=1,求·;
(2)试用向量,,表示.
13.(15分)已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:E,F,G,H四点共面;
(2)求证:BD∥平面EFGH;
(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有=(+++).
14.(15分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点.
(1)求BN的长;
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值;
(3)求证:BN⊥平面C1MN.
周测卷1　(范围:§1.1~§1.3)
(时间:50分钟　满分:100分)
一、单选题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.已知=(2,3,1),=(4,5,3),那么向量=(　　)
A.(-2,-2,-2) B.(2,2,2)
C.(6,8,4) D.(8,15,3)
答案　B
解析　向量=-=(4,5,3)-(2,3,1)=(2,2,2),故选B.
2.已知空间向量a=(0,1,-1),b=(a,2,2),则a,b的位置关系是(　　)
A.垂直 B.平行
C.异面 D.根据a的取值而定
答案　A
解析　由向量a=(0,1,-1),b=(a,2,2),
得a·b=0×a+1×2+(-1)×2=0,
故a⊥b.故选A.
3.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b夹角的余弦值为,则λ=(　　)
A.2 B.-2 C. D.-
答案　C
解析　因为向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),
所以cos===,
解得λ=.故选C.
4.如果A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)三点在同一条直线上,那么(　　)
A.a=3,b=2 B.a=6,b=-1
C.a=3,b=-3 D.a=-2,b=1
答案　A
解析　因为A,B,C三点共线,
所以向量,共线.
又因为=(1,-1,3),=(a-1,-2,b+4),
所以==,
解得a=3,b=2.故选A.
5.已知在空间四边形OABC中,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为线段BC的中点.连接OB,设=a,=b,=c,则=(　　)
A.a+b-c B.-a+b+c
C.a-b+c D.a+b-c
答案　B
解析　因为点M在线段OA上,且OM=2MA,
所以=a.
因为点N为线段BC的中点,
所以=b+c.
故=-=b+c-a=-a+b+c.故选B.
6.已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与平面ACD垂直,则||=(　　)
A. B. C. D.2
答案　A
解析　过点B,D分别向AC作垂线,垂足分别为M,N(图略),则可得AM=,BM=,CN=,DN=,MN=1.
由于=++,
所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2(·+·+·)
=+12++2×(0+0+0)=,所以||=.故选A.
二、多选题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知空间四边形ABCD的四条边和对角线长都为a,且E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列四个数量积中结果为-a2的有 (　　)
A.2· B.2·
C.2· D.2·
答案　AC
解析　2·=2||||cos 120°
=2a·acos 120°=-a2;
2·=2||||cos 60°=2a·acos 60°=a2;
2·=2||||cos 180°
=2··acos 180°=-a2;
2·=2||||cos 120°
=2··acos 120°=-.
故结果为-a2的有AC.
8.已知空间向量a=(1,2,3),2a+b=(0,3,7),c=(2,m,6),且a∥c,则下列说法正确的是(　　)
A.|b|=
B.m=4
C.(2b+c)⊥a
D.cos=-
答案　ABD
解析　设b=(x,y,z),
因为a=(1,2,3),
则2a+b=(2+x,4+y,6+z)=(0,3,7),
所以解得
所以b=(-2,-1,1),
则|b|==,所以选项A正确;
因为a=(1,2,3),c=(2,m,6),a∥c,
所以==,得m=4,所以选项B正确;
因为b=(-2,-1,1),c=(2,4,6),
所以2b+c=(-2,2,8),
又a=(1,2,3),
则(2b+c)·a=-2+4+24=26≠0,
所以选项C错误;
因为b=(-2,-1,1),c=(2,4,6),
则cos==-,所以选项D正确.
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
9.已知点A(-1,3,1),B(-1,3,4),若=2,则点P的坐标是　　　　.
答案　(-1,3,3)
解析　设点P(x,y,z),
则由=2,
得(x+1,y-3,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),
则解得
即P(-1,3,3).
10.已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则向量e1+e2在向量e1上的投影向量为　　　　.
答案　e1
解析　(e1+e2)·e1=|e1|2+e2·e1
=1+1×1×=,向量e1+e2在向量e1上的投影向量为e1=e1.
11.设向量u=(a,b,0),v=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1,则u与v夹角的最大值为　　　　.
答案　
解析　使u和v的起点在原点,
记它们的终点分别为U和V.
因为a2+b2=c2+d2=1,
所以向量u的终点U在以O(0,0,0)为圆心,1为半径的圆上,向量v的终点V在以O1(0,0,1)为圆心,1为半径的圆上.
显然O与O1的距离为1,如图所示,两向量夹角的最大值为.
四、解答题(本题共3小题,共43分)
12.(13分)如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且MN=ON,AP=AN.
(1)若∠AOB=60°,∠AOC=∠BOC=120°,OA=OB=OC=1,求·;
(2)试用向量,,表示.
解　(1)由题意得,=-.
因为∠AOB=60°,∠BOC=120°,OA=OB=OC=1,
所以·=(-)·
=·-·
=||·||cos∠BOC-||·||·
cos∠AOB=1×1×cos 120°-1×1×cos 60°
=--=-1.
(2)因为M是四面体OABC的棱BC的中点,
所以=(+).
因为MN=ON,所以=,
又因为AP=AN,所以=,
所以=+=+
=+(-)=+
=+×=+
=+×(+)
=++.
13.(15分)已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:E,F,G,H四点共面;
(2)求证:BD∥平面EFGH;
(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有=(+++).
证明　(1)如图,连接BG,则=+=+(+)=++=+.
由共面向量定理的推论知E,F,G,H四点共面.
(2)因为=-=-
=(-)=,
又E,H,B,D不在同一条直线上,所以EH∥BD.
又因为EH 平面EFGH,BD 平面EFGH,
所以BD∥平面EFGH.
(3)任选一点O,并连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,如图所示.
由(2)知=,同理=,
所以=,所以四边形EFGH是平行四边形.
所以EG,FH交于一点M且被M平分.
故=(+)=+=×+×
=(+++).
14.(15分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点.
(1)求BN的长;
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值;
(3)求证:BN⊥平面C1MN.
(1)解　如图所示,建立空间直角坐标系Cxyz.
依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),
∴||==,
∴线段BN的长为.
(2)解　由(1)中建立的坐标系得
A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2),
∴=(1,-1,2),
=(0,1,2),
∴·=1×0+(-1)×1+2×2=3.
又||=,||=,
∴cos<,>==.
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
(3)证明　由(1)中建立的坐标系得C1(0,0,2),
N(1,0,1),M,
∴=,=(1,0,-1),
=(1,-1,1),
∴·=×1+×(-1)+0×1=0,
·=1×1+0×(-1)+(-1)×1=0.
∴⊥,⊥,
∴BN⊥C1M,BN⊥C1N,
又∵C1M∩C1N=C1,C1M 平面C1MN,
C1N 平面C1MN,
∴BN⊥平面C1MN.

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