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周测卷2　(范围:§1.4)
(时间:50分钟　满分:100分)
一、单选题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.设直线l1的一个方向向量为a=(2,1,-2),直线l2的一个方向向量为b=(2,2,m),若l1⊥l2,则m=(　　)
A.1 B.-2 C.-3 D.3
2.设平面α内两向量a=(1,2,1),b=(-1,1,2),则下列向量中是平面α的法向量的是(　　)
A.(-1,-2,5) B.(-1,1,-1)
C.(1,1,1) D.(1,-1,-1)
3.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为(　　)
A.,-,4 B.,-,4
C.,-2,4 D.4,,-15
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与B1D所成的角大小为(　　)
A. B. C. D.
5.如图所示,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=1,BC=2,AA1=3,则点B到直线A1C的距离为(　　)
A. B.
C. D.1
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
二、多选题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
7.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则正确的选项为(　　)
A.EF至多与A1D,AC之一垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1平行
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1和C1D1的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.A1C1∥平面CEF
B.B1D⊥平面CEF
C.=+-
D.点D与点B1到平面CEF的距离相等
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF之和为　　　.
10.如图,在正方形ABCD中,EF∥AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后,AE∶ED∶AD=1∶1∶,则AF与CE所成角的余弦值为　　　　.
11.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,AB=1,AD=2,PA=2,点M在线段PC上运动,则点M到AB距离的最小值为　　　　.
四、解答题(本题共3小题,共43分)
12.(13分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=,D是棱AC的中点,且AB=BC=BB1=2.
(1)求证:AB1∥平面BC1D;
(2)求异面直线AB1与BC1所成的角.
13.(15分)如图,已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=AF=2,∠ADC=60°.
(1)求直线BF与平面ABCD所成的角;
(2)求点A到平面FBD的距离.
14.(15分)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1D1和CC1的中点.
(1)求证:EF∥平面ACD1;
(2)求异面直线EF与AB所成的角的余弦值;
(3)在棱BB1上是否存在一点P,使得平面PAC与平面BAC的夹角为30° 若存在,求出BP的长;若不存在,请说明理由.
周测卷2　(范围:§1.4)
(时间:50分钟　满分:100分)
一、单选题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.设直线l1的一个方向向量为a=(2,1,-2),直线l2的一个方向向量为b=(2,2,m),若l1⊥l2,则m=(　　)
A.1 B.-2 C.-3 D.3
答案　D
解析　∵l1⊥l2,
∴a⊥b,∴a·b=2×2+1×2+(-2)·m=0,
∴m=3.
2.设平面α内两向量a=(1,2,1),b=(-1,1,2),则下列向量中是平面α的法向量的是(　　)
A.(-1,-2,5) B.(-1,1,-1)
C.(1,1,1) D.(1,-1,-1)
答案　B
解析　平面α的法向量应当与a,b都垂直,可以检验知B选项适合.
3.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为(　　)
A.,-,4 B.,-,4
C.,-2,4 D.4,,-15
答案　B
解析　∵⊥,∴·=0,
即3+5-2z=0,得z=4,
又BP⊥平面ABC,
∴⊥,⊥,
则
解得
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与B1D所成的角大小为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0,1,0).
∴=(1,1,0),=(-1,1,-1),
∵·=1×(-1)+1×1+0×(-1)=0,
∴⊥,
∴AC与B1D所成的角为.
5.如图所示,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=1,BC=2,AA1=3,则点B到直线A1C的距离为(　　)
A. B.
C. D.1
答案　B
解析　∵AB=1,BC=2,AA1=3,
∴A1(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0),
∴直线A1C的方向向量=(1,2,-3).
=(0,2,0),对应的单位向量为u=,
所以点B到A1C的距离为d===.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
设正方体的棱长为1,
则A1(0,0,1),E,D(0,1,0),
∴=(0,1,-1),
=.
设平面A1ED的一个法向量为n1=(1,y,z),
∴
即解得
∴n1=(1,2,2).
∵平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),
∴|cos|==,即平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为.
二、多选题(本题共2小题,每小题6分,共12分)
7.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则正确的选项为(　　)
A.EF至多与A1D,AC之一垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1平行
答案　BD
解析　如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为3,
则E(1,0,1),F(2,1,0),A1(3,0,3),A(3,0,0),
C(0,3,0),D(0,0,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),
∴=(1,1,-1),=(-3,3,0),
=(-3,0,-3),
∵·=0,·=0,
∴EF⊥AC,EF⊥A1D,B正确,A错误.
由=(-3,-3,3),=-,
故选项D正确,C错误.
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1和C1D1的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.A1C1∥平面CEF
B.B1D⊥平面CEF
C.=+-
D.点D与点B1到平面CEF的距离相等
答案　AC
解析　对于A,因为E,F分别是A1D1和C1D1的中点,故EF∥A1C1,
又EF 平面CEF,A1C1 平面CEF,
故A1C1∥平面CEF成立.
对于B,建立如图所示的空间直角坐标系,
设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,
则=(-2,-2,-2),=(0,1,-2),
故·=0-2+4=2≠0,
故,不互相垂直.
又CF 平面CEF,
故B1D⊥平面CEF不成立.
对于C,=(1,-2,2),
+-=(2,0,0)+(0,0,2)-(0,2,0)=(1,-2,2),
故=+-成立.
对于D,点D与点B1到平面CEF的距离相等,则点D与点B1连线的中点O在平面CEF上.
连接AC,AE,易得平面CEF即平面CAEF.
又点D与点B1连线的中点O在平面A1ACC1上,故点O不在平面CEF上.故D不成立.
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF之和为　　　.
答案　1
解析　以D1为坐标原点,分别以D1A1,D1C1,D1D为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系(图略),设CE=x(0≤x≤1),DF=y(0≤y≤1),
则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1-y),B(1,1,1),
∴=(x-1,0,1),=(1,1,y),
由于B1E⊥平面ABF,
所以·=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0,
则x+y=1.
10.如图,在正方形ABCD中,EF∥AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后,AE∶ED∶AD=1∶1∶,则AF与CE所成角的余弦值为　　　　.
答案　
解析　因为AE∶ED∶AD=1∶1∶,所以AE⊥ED,即AE,DE,EF两两垂直,
建立如图所示的空间直角坐标系,
设AB=EF=CD=2,
则E(0,0,0),A(1,0,0),F(0,2,0),C(0,2,1),
所以=(-1,2,0),=(0,2,1),
所以|cos<,>|===,所以AF与CE所成角的余弦值为.
11.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,AB=1,AD=2,PA=2,点M在线段PC上运动,则点M到AB距离的最小值为　　　　.
答案　
解析　以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,2),C(1,2,0),
设=λ,M(x,y,z),λ∈[0,1],
则(x,y,z-2)=λ(1,2,-2),
∴即M(λ,2λ,2-2λ),
∴=(λ,2λ,2-2λ),
直线AB的单位方向向量为u=(1,0,0),
∴M到AB的距离为
==
=2,
∴当λ=时,上式取最小值.
四、解答题(本题共3小题,共43分)
12.(13分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=,D是棱AC的中点,且AB=BC=BB1=2.
(1)求证:AB1∥平面BC1D;
(2)求异面直线AB1与BC1所成的角.
(1)证明　如图,连接B1C交BC1于点O,连接OD.
因为O为B1C的中点,D为AC的中点,
所以OD∥AB1.
因为AB1 平面BC1D,OD 平面BC1D,
所以AB1∥平面BC1D.
(2)解　建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,
则B(0,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,2),B1(0,0,2),因此=(0,-2,2),=(2,0,2).
所以cos<,>===,
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ,
则cos θ=,
由于θ∈,
故θ=,
即异面直线AB1与BC1所成的角为.
13.(15分)如图,已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=AF=2,∠ADC=60°.
(1)求直线BF与平面ABCD所成的角;
(2)求点A到平面FBD的距离.
解　设AC∩BD=O,因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,所以易得AF⊥平面ABCD.以O点为坐标原点,以OD为x轴,OA为y轴,过O点且平行于AF的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系.
(1)由已知得A(0,1,0),B(-,0,0),
C(0,-1,0),D(,0,0),F(0,1,2),
因为z轴垂直于平面ABCD,
因此可令平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),
又=(,1,2),
设直线BF与平面ABCD所成的角为θ,
则有sin θ=|cos|===,即θ=,
所以直线BF与平面ABCD所成的角为.
(2)因为=(2,0,0),=(,1,2),
设平面FBD的法向量为n=(x,y,z),

令z=1得n=(0,-2,1),
又因为=(0,0,2),
所以点A到平面FBD的距离d===.
14.(15分)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1D1和CC1的中点.
(1)求证:EF∥平面ACD1;
(2)求异面直线EF与AB所成的角的余弦值;
(3)在棱BB1上是否存在一点P,使得平面PAC与平面BAC的夹角为30° 若存在,求出BP的长;若不存在,请说明理由.
(1)证明　如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz,
由已知得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(1,0,2),F(0,2,1).
连接DB1,易知平面ACD1的一个法向量为=(2,2,2).
∵=(-1,2,-1),
∴·=-2+4-2=0,∴⊥,
而EF 平面ACD1,∴EF∥平面ACD1.
(2)解　∵=(0,2,0),
由(1)知=(-1,2,-1),
∴cos<,>===.
∴异面直线EF与AB所成的角的余弦值为.
(3)解　设点P(2,2,t)(0则
∵=(-2,2,0),=(0,2,t),
∴即
取y=1,则n=为平面ACP的一个法向量.
易知平面BAC的一个法向量为=(0,0,2),
∴|cos<,n>|==,即=,解得t=.
∵∈(0,2],
∴在棱BB1上存在一点P,当BP的长为时,平面PAC与平面BAC的夹角为30°.

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