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习题课　空间向量的综合应用
一、基础巩固
1.已知两平面的法向量分别为m=(1,-1,0),n=(0,1,-1),则两平面的夹角为(　　)
A.60° B.120°
C.60°或120° D.90°
2.已知平面α的法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内,且点P(-2,1,4)到平面α的距离为,则实数x的值为(　　)
A.-1 B.-11
C.-1或-11 D.-21
3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为(　　)
A. B. C. D.
4.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为棱CC1的中点,则直线B1M与平面A1D1M所成角的正弦值是(　　)
A. B. C. D.
5.如图所示,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cos θ的最大值为(　　)
A. B. C. D.
6.如图①,将两个全等的等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD,将平行四边形ABCD沿对角线BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,如图②,则直线AC与BD所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
7.(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段AA1上的一个动点,F为线段B1C1上的一个动点,则平面EFB与底面ABCD夹角的余弦值可能为(　　)
A.0 B. C. D.
8.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C所成角的余弦值为　　　　.
9.设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点D到平面ABC的距离为　　　　.
10.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,点D是A1B1的中点,F是侧面AA1B1B(含边界)上的动点.要使AB1⊥平面C1DF,则线段C1F长的最大值为　　　　.
11.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,F是DD1的中点.
(1)求证:CF∥平面A1DE;
(2)求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值.
二、综合运用
12.如图所示,M,N是直角梯形ABCD两腰的中点,DE⊥AB于点E,现将△ADE沿DE折起,使二面角A-DE-B为45°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M,N的连线与AE所成角的大小为(　　)
A.45° B.90° C.135° D.180°
13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为线段AB的中点,点F在线段AD上移动,当异面直线B1C与EF所成角最小时,其余弦值为　　　　.
14.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
(1)求证:D1E⊥A1D;
(2)在棱AB上是否存在点E使得AD1与平面D1EC所成的角为 若存在,求出AE的长;若不存在,说明理由.
三、拓展提高
15.(多选)将正方形ABCD沿对角线BD翻折,使平面ABD与平面BCD的夹角为90°,下列结论正确的是(　　)
A.AC⊥BD
B.△ACD是等边三角形
C.直线AB与平面BCD所成的角为
D.AB与CD所成的角为
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,E,F分别为PC,CD的中点,DE=EC.
(1)求证:平面ABE⊥平面BEF;
(2)设PA=a,若平面EBD与平面ABCD所成的锐二面角θ∈,求a的取值范围.
习题课　空间向量的综合应用
一、基础巩固
1.已知两平面的法向量分别为m=(1,-1,0),n=(0,1,-1),则两平面的夹角为(　　)
A.60° B.120°
C.60°或120° D.90°
答案　A
解析　|cos|===,
∵两平面的夹角范围为[0°,90°],
∴两平面的夹角为60°.
2.已知平面α的法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内,且点P(-2,1,4)到平面α的距离为,则实数x的值为(　　)
A.-1 B.-11
C.-1或-11 D.-21
答案　C
解析　由题意得=(x+2,2,-4),
而点P到平面α的距离d==,
即=,
解得x=-1或x=-11.故选C.
3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　建立空间直角坐标系,如图.
则C(1,1,0),C1(1,1,1),E,
所以=,=(0,0,1),
所以点C1到直线CE的距离d===.
故选C.
4.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为棱CC1的中点,则直线B1M与平面A1D1M所成角的正弦值是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1(1,0,1),D1(0,0,1),M,B1(1,1,1),=(-1,0,0),
=,=,
设平面A1D1M的法向量为m=(x,y,z),
则
令y=1可得z=2,所以m=(0,1,2),
设直线B1M与平面A1D1M所成的角为θ,
sin θ===.
5.如图所示,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cos θ的最大值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AQ所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,不妨设AB=2,
则F(2,1,0),E(1,0,0),设M(0,m,2),m∈[0,2],
故=(2,1,0),=(-1,m,2),
故cos θ===f(m),
观察分子、分母的变化,可知当m∈[0,2]时,f(m)单调递减,f(m)max=f(0)=,
当m=2时,f(2)=0,
故cos θ的最大值为.
6.如图①,将两个全等的等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD,将平行四边形ABCD沿对角线BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,如图②,则直线AC与BD所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由平面ABD⊥平面BCD,AB⊥BD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB 平面ABD,
所以AB⊥平面BCD.
又DC 平面BCD,
所以AB⊥DC,又DB⊥DC,
过点D作z轴∥AB,建立空间直角坐标系,如图所示.
设AB=1,所以BD=1,DC=1,BC=,
则A(0,1,1),B(0,1,0),C(1,0,0),D(0,0,0),
所以=(1,-1,-1),=(0,-1,0),
所以|cos<,>|===.
7.(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段AA1上的一个动点,F为线段B1C1上的一个动点,则平面EFB与底面ABCD夹角的余弦值可能为(　　)
A.0 B. C. D.
答案　ABC
解析　设平面EFB与底面ABCD的夹角为θ,如图所示,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,
AE=m,FC1=n,
则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),E(1,0,m),
F(n,1,1),=(0,-1,m),=(n-1,0,1),
设平面EFB的法向量为n=(x,y,z),
则
取x=-1,则平面EFB的法向量为(-1,m(n-1),n-1),而底面ABCD的一个法向量为(0,0,1),
则cos θ=,
结合选项,当n=1时,cos θ=0,当n≠1时,
cos θ=∈,
故cos θ∈.结合选项,故选ABC.
8.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C所成角的余弦值为　　　　.
答案　
解析　设正三棱柱的棱长为1,以B为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,
则C1(0,1,1),A,
∴=.
平面BB1C1C的一个法向量为n=(1,0,0),
设AC1与平面BB1C1C所成的角为θ,
则sin θ=|cos|==,
又∵θ∈,
∴cos θ==.
9.设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点D到平面ABC的距离为　　　　.
答案　
解析　设平面ABC的法向量为n=(x,y,z).
∴n·=0,n·=0,
∴
即∴
令z=-2,则n=(3,2,-2).
又∵=(-7,-7,7),
∴点D到平面ABC的距离为d====.
10.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,点D是A1B1的中点,F是侧面AA1B1B(含边界)上的动点.要使AB1⊥平面C1DF,则线段C1F长的最大值为　　　　.
答案　
解析　取BB1上靠近B1的四等分点为E,连接DE(图略),
当点F在DE上时,AB1⊥平面C1DF,证明如下:
因为直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,点D是A1B1的中点,
所以C1D⊥平面AA1B1B,所以C1D⊥AB1.
以C1为坐标原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴,z轴建立空间直角坐标系(图略).
所以A(1,0,2),B1(0,1,0),D,E,
即=(-1,1,-2),=,
此时·=0,即AB1⊥DE,
所以AB1⊥平面C1DE,
故当F在DE上时,AB1⊥平面C1DF,很明显,当E,F重合时,线段C1F最长,此时C1F=.
11.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,F是DD1的中点.
(1)求证:CF∥平面A1DE;
(2)求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值.
(1)证明　以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1(2,0,2),E(1,2,0),D(0,0,0),C(0,2,0),F(0,0,1),
则=(2,0,2),=(1,2,0),=(0,-2,1),
设平面A1DE的法向量n=(a,b,c),
则
取n=(-2,1,2),
∴·n=(0,-2,1)·(-2,1,2)=0,
又CF 平面A1DE,∴CF∥平面A1DE.
(2)解　=(0,2,0)是平面A1DA的法向量,
∴|cos|==,即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值为.
二、综合运用
12.如图所示,M,N是直角梯形ABCD两腰的中点,DE⊥AB于点E,现将△ADE沿DE折起,使二面角A-DE-B为45°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M,N的连线与AE所成角的大小为(　　)
A.45° B.90° C.135° D.180°
答案　B
解析　建立空间直角坐标系,如图所示.
由题意知△ABE为等腰直角三角形.
设CD=1,则BE=1,
AB=1,AE=.
设BC=DE=2a,
则E(0,0,0),A(1,0,1),
N(1,a,0),D(0,2a,0),M,
所以=,=(-1,0,-1),
所以·=·(-1,0,-1)=0,故⊥,从而MN与AE所成角的大小为90°.
13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为线段AB的中点,点F在线段AD上移动,当异面直线B1C与EF所成角最小时,其余弦值为　　　　.
答案　
解析　以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为线段AB的中点,设正方体的棱长为2,
则D(0,0,0),E(2,1,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),=(-2,0,-2),
设F(m,0,0)(0≤m≤2),=(m-2,-1,0),
设异面直线B1C与EF所成的角为θ,
则cos θ===,
当异面直线B1C与EF所成角最小时,cos θ最大,即当m=0时,
cos θ===.
14.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
(1)求证:D1E⊥A1D;
(2)在棱AB上是否存在点E使得AD1与平面D1EC所成的角为 若存在,求出AE的长;若不存在,说明理由.
(1)证明　∵AE⊥平面AA1D1D,A1D 平面AA1D1D,∴AE⊥A1D.
∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
AD=AA1=1,
∴A1D⊥AD1.
∵AE∩AD1=A,AE,AD1 平面AED1,
∴A1D⊥平面AED1.
∵D1E 平面AED1,
∴D1E⊥A1D.
(2)解　以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
设棱AB上存在点E(1,t,0)(0≤t≤2),
使得AD1与平面D1EC所成的角为,
A(1,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0),
=(-1,0,1),=(0,-2,1),
=(1,t-2,0),
设平面D1EC的法向量为n=(x,y,z),
则
取y=1,得n=(2-t,1,2),
∴sin==,
整理得t2+4t-9=0,
解得t=-2或t=-2-(舍去),
∴在棱AB上存在点E使得AD1与平面D1EC所成的角为,此时AE=-2.
三、拓展提高
15.(多选)将正方形ABCD沿对角线BD翻折,使平面ABD与平面BCD的夹角为90°,下列结论正确的是(　　)
A.AC⊥BD
B.△ACD是等边三角形
C.直线AB与平面BCD所成的角为
D.AB与CD所成的角为
答案　ABD
解析　如图所示,以BD的中点O为坐标原点,分别以OD,OA,OC所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
设正方形ABCD的边长为,
则D(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),
所以=(0,-1,1),=(2,0,0),·=0,
故AC⊥BD,A正确;
又||=,||=,||=,
所以△ACD为等边三角形,B正确;
=(-1,-1,0),=(0,1,0),
易知为平面BCD的一个法向量,
设直线AB与平面BCD所成的角为θ,
则sin θ=|cos<,>|=
==,
所以直线AB与平面BCD所成的角为,C错误;
又=(1,0,-1),
所以|cos<,>|=
==,
AB与CD所成的角为,D正确.
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,E,F分别为PC,CD的中点,DE=EC.
(1)求证:平面ABE⊥平面BEF;
(2)设PA=a,若平面EBD与平面ABCD所成的锐二面角θ∈,求a的取值范围.
(1)证明　因为AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,F为CD的中点,所以四边形ABFD为矩形,AB⊥BF.
又DE=EC,F是CD的中点,所以CD⊥EF.
因为AB∥CD,所以AB⊥EF.
又因为BF∩EF=F,所以AB⊥平面BEF.
又AB 平面ABE,
所以平面ABE⊥平面BEF.
(2)解　由(1)得CD⊥EF.
又PD∥EF,AB∥CD,所以AB⊥PD.
又AB⊥AD,AD∩PD=D,所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥PA.
以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
则B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,a),C(2,2,0),E,
所以=(-1,2,0),=,且平面ABCD的一个法向量n1=(0,0,1).
设平面EBD的法向量为n2=(x,y,z),
则即
取y=1,得x=2,z=-.
则n2=,
所以cos θ===.
因为平面EBD与平面ABCD所成的锐二面角θ∈,
所以cos θ∈,
即∈.
由≥,得-≤a≤;
由≤,得a≤-或a≥.
因为a>0,所以a的取值范围是.

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