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四川省达州市渠县东安雄才学校2025年中考二模数学试题
一、单选题（本大题共10小题，总分40分）
1．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．中国是最早认识正数和负数的国家，魏晋时期的数学家刘徽就提出了负数的概念，如果零下记作，那么表示（　　）
A．零上 B．零下 C．零上 D．零下
3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（　　）
A． B．
C． D．
4．某校举办演讲比赛，评分规则是：10名评委为同一位选手评分，去掉1个最高分和1个最低分后得到8个有效评分，这8个有效评分与10个原始评分相比，一定不发生变化的统计量是（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
5．如图，中，，，是边上的中线，平分交于点E，交于点F．则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．12
7．为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包个粽子，可列出关于的方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．下列命题是真命题的是（　　）
A．四边都是相等的四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
9．如图，在边长为2的正方形中，E在对角线上，且，连接并延长，交边于H点，过D作于F，连接．G为上一点，且，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
10．抛物线的部分图像如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共5小题，总分20分）
11．已知，，则的值为　 　．
12．若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是　 　．
13．如图，在矩形中，点F是上一点，以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点E，再以点C为圆心，长为半径画弧，使得弧与恰好相切于点H，与交于点G．若，则图中阴影部分的面积为　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在y轴和x轴上，已知对角线，．F是边上一点，过点F的反比例函数（）的图象与边交于点E，若将沿翻折后，点C恰好落在上的点M处，则k的值为　 　．
15．如图，在矩形中，，，F是对角线上的动点，连接，将直线绕点F顺时针旋转使，且过B作，连接，则最小值为　 　．
三、解答题（本大题共10小题，总分90分）
16．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
17．某学校举办的歌唱比赛分为初赛和决赛两个阶段．初赛由8名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．教师评委打分：85 90 92 92 87 86 93 96
b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲 91 88 90 91 90
乙 89 90 90 90 90
丙 88 92 88 92 k
（1）根据以上信息，回答下列问题：
①教师评委打分数据的众数为___________，学生评委打分数据的中位数在第___________组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为___________；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如上表．若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是___________，表中k（k为整数）的值为___________．
18．如图，在中，、、．
（1）是关于轴的对称图形，则点的对称点的坐标是_____；
（2）将绕点逆时针旋转得到，则点的对应点的坐标是_____；
（3）与是否关于某条直线成轴对称？若成轴对称，写出对称轴解析式_____．
19．高空走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”，东汉张衡在《西京赋》中就有“跳丸剑之挥霍，走索上而相逢”的描写．古代的走索用的不是钢丝而是绳子，绳子由于柔软，更加容易晃动，难度不小．十一假期，阳光马戏团正在表演高空走钢丝（图1），杂技演员所在位置点到所在直线的距离，，此时（如图2），当杂技演员走至钢丝中点时，恰好．（如图3）运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
（1）求的长；
（2）求杂技演员从点走到点，下降的高度（结果精确到）．
20．如图，在中，，为延长线上一点，且，．
（1）尺规作图：作出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若的直径为6，求的长．
21．如图，是的直径，是的弦，连接是的切线，交的延长线于点，半径交于点．
（1）写出图中任意一组相等的角：___________；
（2）求证：；
（3）若，求图中阴影部分的面积．
22．某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套．
（1）设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝ ．（用含x的代数式表示）
（2）设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？
（3）临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值m元的小零食（），要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日销售最大利润是2112元，求m的值．
23．【问题提出】在数学兴趣小组的研讨中，小蒙提出了自己遇到的问题：解不等式
【问题探究】数学老师启发小蒙从函数的角度解决这个问题：
如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数．和函数 的图象，从函数角度看，解不等式 相当于求抛物线．在双曲线 下方的点的横坐标的取值范围．
（1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______ ，所以 的解为______．
【类比探究】受此启发，小蒙尝试解不等式 经过分析，小蒙发现需要借助函数 和函数 的图象来求解．
（2）请先完成上面的填空，再在图2中画出相应的函数图象，写出不等式 的解集并说明理由．
【拓展应用】小蒙想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组 并进行了一些准备，如图3所示．
（3）请根据小蒙的思路分析，直接写出该不等式组的解集．
24．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，且过点．
（1）求抛物线表达式；
（2）如图2，点P为抛物线在y轴左侧的一个动点，过点P作轴，交直线于点E，交x轴于点F，连接，若时，求点P的坐标；
（3）如图3，点M是抛物线的顶点，点P为抛物线对称轴上的一个动点，连接，求的最小值．
25．如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、．
（1）猜想：的值是 ，直线与直线相交所成的锐角度数是 ；
（2）探究：直线与垂直时，求线段的长；
（3）拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：3240万
故选：D．
【分析】科学记数法的表示形式，其中1≤|a|<10，为所有整数位的个数减1．
2．【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵零下记作，
∴表示零上，
故选：A．
【分析】根据正负数表示意义相反的量即可求解．
3．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：A、不能围成一个棱柱，不符合题意；
B、能围成一个圆柱；不符合题意；
C、能围成一个棱柱，符合题意；
D、由正方体展开图得，不能围成棱柱；不符合题意；
故选：C．
【分析】根据几何体的展开图即可解答．
4．【答案】A
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：∵10个数的中位数是中间两个数的平均数，
∴去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：A
【分析】本题以演讲比赛评分规则为背景，考查了平均数、中位数、众数、方差四个统计量在数据剔除极端值后的稳定性差异。解题时需理解：中位数取决于数据排序后中间位置的一个或两个数的平均值，去掉一个最大值和一个最小值通常不会改变中间位置的数值，因此中位数保持不变；而平均数和方差均受到极端值剔除的影响，众数也可能因数据增减而改变。
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
平分，
，
，是边上的中线，
，
，
，
故选：．
【分析】先根据等腰三角形性质求底角的度数，再由角平分线得度数，利用三线合一得到ADBC，最后通过三角形外角定理求度数即可.
6．【答案】A
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
故选：A．
【分析】首先先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后利用整体代入法求解即可．
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
故选：A．
【分析】
设乙组同学每小时平均包x个粽子，由题意可知，甲组同学每小时平均包的粽子数比乙组多20个，因此甲组同学平均每小时包个粽子，再利用“甲组包150个粽子的用时和乙组包120个粽子的用时相同”这一条件，就能列出对应的分式方程.
8．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、四边都相等的四边形是菱形，故错误；
B、矩形的对角线相等，故错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，
故选D．
【分析】根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论．
9．【答案】A
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理可得，
，
，
则，
，
，
，
故选：A．
【分析】利用相似三角形求出线段CF和DF的长度，进而发现GF=CF，最后通过证明将BF转化为CG，利用等腰直角三角形的性质求解比值.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线过点，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为，
∵，
∴，故③错误；
∵抛物线过点，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∴方程的两根为，故④正确；
，
∵，
∴当时，函数有最大值，
∵直线经过点，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，函数有最大值，故⑤错误；
∴正确的有3个．
故答案为：B
【分析】抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得，，故①正确；根据抛物线过点，可得，从而得到，进而得，故②正确；由抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为，可得到，故③错误；对称性求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，得到方程的两根为，，故④正确；根据二次函数的性质可得当时，函数有最大值，再由直线经过点，可得，从而得到，进而得到，故⑤错误，即可求解．
11．【答案】22
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：22．
【分析】利用完全平方公式求解即可得．
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】需先计算一元二次方程的判别式，再根据判别式非负列出不等式，解不等式得出m的取值范围.
13．【答案】
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，
由题意，，，，，
∴，，
∴，
∵弧与恰好相切于点H，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
．
故答案为：．
【分析】阴影部分的面积等于矩形ABCD的面积减去扇形ADE的面积，再减去扇形GCF的面积.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作交于点G，
∵矩形的对角线．．
∴，，即，
∵E，F分别在，上，且在反比例函数上，
∴，，
∵将沿翻折后，点恰好落在上的点处，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
又∵，
即，解得：．
故答案为：．
【分析】利用翻折的性质（对应边相等、对应角相等）构造相似三角形，并通过线段比例关系建立方程求解k的值.
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；旋转的性质；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，过点B作于点H，连接，
∵，
∴E，B，F，H四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴定值，
∴点E在射线上运动，
∴当时，的值最小，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值．
故答案为：．
【分析】通过作图，由，推出E，B，F，H四点共圆，证明定值，推出点E在射线上运动，当时，的值最小，求出，可得结论．
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：原式
，
当时，代入上式得：
原式
【知识点】二次根式的乘除混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
（1）先分别计算出绝对值，负整数指数幂，二次根式，然后进行运算即可；
（2）先对代数式进行化简，然后再求值．
17．【答案】（1）①92，4；②90
（2）甲，90
【知识点】频数（率）分布表；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：① 从教师评委打分的情况看，92分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为92，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第23个，从频数分布直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，
故答案为：92，4；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：90，92，92，87，86，93，
平均数为：，
故答案为：90；
（2）
解：，
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
，
，
解得，
当时，，
此时，，
，
乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意；
当时，，
此时，，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲，
故答案为：甲，90．
【分析】（1）①根据众数和中位数的确定方法进行求解即可；②利用平均数的公式进行计算即可；
（2）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可．
（1）解：① 从教师评委打分的情况看，92分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为92，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第23个，从频数分布直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，
故答案为：92，4；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：90，92，92，87，86，93，
平均数为：，
故答案为：90；
（2）解：，
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
，
，
解得，
当时，，
此时，，
，
乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意；
当时，，
此时，，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲，
故答案为：甲，90．
18．【答案】（1）
（2）
（3）是，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】（1）解：由图可知，点的对称点的坐标是，
故答案为：；
（2）
解：由图可知，点的对应点的坐标是，
故答案为：；
（3）解：由图可知，对称轴经过点和点
假设对称轴的解析式为
将两个点的坐标代入解析式得：
解得
∴对称轴的解析式为：
故答案为：．
【分析】（1）根据轴对称的性质和关于轴对称的点的坐标即可求出点的坐标；
（2）利用网格将图形逆时针绕点逆时针旋转即可得到点的坐标；
（3）连接与对应点的线段，线段的垂直平分线即为对称轴解析式．
（1）解：由图可知，点的对称点的坐标是，
故答案为：；
（2）解：由图可知，点的对应点的坐标是，
故答案为：；
（3）解：由图可知，对称轴经过点和点
假设对称轴的解析式为
将两个点的坐标代入解析式得：
解得
∴对称轴的解析式为：
故答案为：．
19．【答案】（1）解：如图，过点作于点，
在中，，，，
，
∴的长为5m；
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）得，
点为钢丝中点，，
，
在中，，，
，
在中，，，，
，
∴，
∴下降的高度约为1m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作于点，在中，直接解直角三角形得的长即可；
（2）过点作于点，由（1）得，从而得，然后在中，解直角三角形得出，在中，解直角三角形得出，进而求的值即可.
（1）解：如图，过点作于点，
在中，，，
，
则的长为5m．
（2）解：过点作于点，
点为钢丝中点，
在中，
，
，
在中，，，
，
则下降的高度约为．
20．【答案】（1）解：如图所示，
（2）由题意可知，，
为的直径，
．
，
．
，
．
设，则．
，即，解得．
的长为
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用直角三角形外接圆圆心为斜边中点性质，通过作斜边AB的垂直平分线确定圆心；
（2）通过证明，结合的值建立线段间的比例关系，利用AD=AB+BD列方程求解.
（1）解：如图所示，
（2）由题意可知，，
为的直径，
．
，
．
，
．
设，则．
，即，解得．
的长为．
21．【答案】（1）（答案不唯一）
（2）证明：为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：，，
，
，
，
，
【知识点】等腰三角形的判定；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】（1）解：为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：（）（答案不唯一）．
【分析】（1）利用圆的半径相等构造等腰三角形，根据”等边对等角“找出相等的角；
（2）利用切线的性质（切线垂直于过切点的半径）和垂直定义，结合等腰三角形性质及顶角相等，通过角的互余关系证明=，从而利用”等角对等边“证得DC=DF；
（3）先根据已知角度求出的度数，最后代入面积公式计算即可.
（1）解：为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：（）（答案不唯一）．
（2）证明：为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
，
，
．
22．【答案】（1）
（2）解：由题意，∵日销售量为，
∴销售该文具的日利润为，
∵，
∴当时，w取最大值，最大值为2250．
答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元；
（3）解：∵该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套，
∴，
∴，
又此时日销量利润，
∴对称轴为直线．
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w有最大值，
∴，
∴．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：∵销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套，
∴日销售量为，即，
故答案为：；
【分析】（1）根据“销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套”可得每天少销售的数量为10（x-25）套，根据实际日销售量=原来每天的销售量减去因为涨价而减少的销售量，即可列出函数关系式；
（2）根据销量×每件利润=总利润，建立出w关于x的函数关系式，进而根据所得函数解析式的性质，求出最大函数值即可；
（3）根据“该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套”列出不等式组，得到x的范围；根据销量×每件利润=总利润，建立出w关于x的函数关系式，进而根据所得函数解析式的性质得出当x=34时，W最大，再根据销量×每件利润=总利润并结合总利润为2112列出方程，求解即可得出答案.
（1）解：由题意，∵销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套，
∴日销售量为，即，
故答案为：，
（2）解：由题意，∵日销售量为，
∴销售该文具的日利润为，
∵，
∴当时，w取最大值，最大值为2250．
答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元．
（3）解：由题意，∵该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套，
∴，
∴，
又此时日销量利润，
∴对称轴为直线．
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w有最大值，
∴，
∴．
23．【答案】（1）；，[类比探究]；
（2）如图所示，
该不等式组的解集是或；
从函数角度看，解不等式 相当于求双曲线，
在直线 上方的点的横坐标的取值范围．
由图象可知， 与的交点分别为和，因此解集为或；
（3）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；反比例函数图象上点的坐标特征；通过函数图象获取信息；数形结合
【解析】【解答】解：[问题探究]
（1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为，所以的解为．
故答案为：，0＜x＜1；
[类比探究]
受此启发，小蒙尝试解不等式，经过分析，小蒙发现需要借助函数和函数的图象来求解．
故答案为：；
（3）在图3中画出的图象，
由图象可知，该不等式组的解集是．
【分析】
（1）通过观察图象即可得出对应结论；
（2）先画出对应函数的图象，再通过观察图象得出结论；
（3）直接通过观察图象得到对应结论即可．
24．【答案】（1）解：二次函数图象与轴交于点，．
二次函数图象经过点，即：过点，
∴，
．
故二次函数的表达式为．
（2）解：当，解得：，，
∵，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
直线表达式为．
设点的坐标为，
．
①如图1，当点在直线上方时，
，
，
，
，
，解得，
．
②如图2，当点在直线下方时，
，
，
，
，解得，
点P在y轴的左侧，
，
，
综上所述，P点坐标为或．
（3）解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，顶点，
，
构造一个以为斜边的等腰直角，如图，延长交轴于点，交轴于点，连接，则：，，
∴点在直线上运动，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，，
∵，
当三点共线时，取得最小值，即取得最小值，
又∵点在直线上运动，
∴当时，取得最小值，
此时为等腰直角三角形，
∴，
的最小值为．
的最小值为30．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标为，即可得到，分为点在直线上方和点在直线下方，表示三角形的面积，求出点P 的坐标即可；
（3）构造一个以为斜边的等腰直角，如图，延长交轴于点，交轴于点，连接，即可得到为，然后根据垂线段最短解答即可．
（1）解：二次函数图象与轴交于点，
．
二次函数图象经过点，即：过点，
∴，
．
故二次函数的表达式为．
（2）当，解得：，
，
∵，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
直线表达式为．
设点的坐标为，
．
①如图1，当点在直线上方时，
，
，
，
，
，解得，
．
②如图2，当点在直线下方时，
，
，
，
，解得，
点P在y轴的左侧，
，
，
综上所述，P点坐标为或．
（3）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点，
，
构造一个以为斜边的等腰直角，如图，延长交轴于点，交轴于点，连接，则：，，
∴点在直线上运动，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，，
∵，
当三点共线时，取得最小值，即取得最小值，
又∵点在直线上运动，
∴当时，取得最小值，
此时为等腰直角三角形，
∴，
的最小值为．
的最小值为30．
25．【答案】（1），
（2）解：∵是腰长为4的等腰直角三角形，四边形的边长为2的正方形，
∴，，，
∴，，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴当时，、、三点在一直线上时，
在中，∵，
∴，
如图2，当点在线段上时，
，
∴；
如图3，当点在线段延长线上时，
，
∴．
综上所述，当时，线段的长为或
（3）
【知识点】旋转的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：由题意得，，都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，可以看作绕点B逆时针旋转后放大得到，故直线与直线相交所成的锐角度数是；
（3）解：延长到G使得，连接，，
则为等腰直角三角形，
∴，
∵M为中点，F为中点，
∴为的中位线，
∴，
在中，∵，
∴，
∴．
【分析】（1）通过证明，利用相似比求线段比值，利用旋转相似性质求角度即可；
（2）根据垂直关系确定A、E、F三点共线，利用勾股定理求出AF的长，结合分类讨论（点E在线段AF上或延长线上）求出AE，进而结合第（1）问结论求出CD；
（3）利用倍长法构造三角形中位线，将FM转化为AG的一半，再利用三角形三边关系求出AG的取值范围，从而得到FM的范围.
（1）解：由题意得，，都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，可以看作绕点B逆时针旋转后放大得到，故直线与直线相交所成的锐角度数是；
（2）解：∵是腰长为4的等腰直角三角形，四边形的边长为2的正方形，
∴，，，
∴，，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴当时，、、三点在一直线上时，
在中，∵，
∴，
如图2，当点在线段上时，
，
∴；
如图3，当点在线段延长线上时，
，
∴．
综上所述，当时，线段的长为或；
（3）解：延长到G使得，连接，，
则为等腰直角三角形，
∴，
∵M为中点，F为中点，
∴为的中位线，
∴，
在中，∵，
∴，
∴．
1 / 1四川省达州市渠县东安雄才学校2025年中考二模数学试题
一、单选题（本大题共10小题，总分40分）
1．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：3240万
故选：D．
【分析】科学记数法的表示形式，其中1≤|a|<10，为所有整数位的个数减1．
2．中国是最早认识正数和负数的国家，魏晋时期的数学家刘徽就提出了负数的概念，如果零下记作，那么表示（　　）
A．零上 B．零下 C．零上 D．零下
【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵零下记作，
∴表示零上，
故选：A．
【分析】根据正负数表示意义相反的量即可求解．
3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：A、不能围成一个棱柱，不符合题意；
B、能围成一个圆柱；不符合题意；
C、能围成一个棱柱，符合题意；
D、由正方体展开图得，不能围成棱柱；不符合题意；
故选：C．
【分析】根据几何体的展开图即可解答．
4．某校举办演讲比赛，评分规则是：10名评委为同一位选手评分，去掉1个最高分和1个最低分后得到8个有效评分，这8个有效评分与10个原始评分相比，一定不发生变化的统计量是（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【答案】A
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：∵10个数的中位数是中间两个数的平均数，
∴去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：A
【分析】本题以演讲比赛评分规则为背景，考查了平均数、中位数、众数、方差四个统计量在数据剔除极端值后的稳定性差异。解题时需理解：中位数取决于数据排序后中间位置的一个或两个数的平均值，去掉一个最大值和一个最小值通常不会改变中间位置的数值，因此中位数保持不变；而平均数和方差均受到极端值剔除的影响，众数也可能因数据增减而改变。
5．如图，中，，，是边上的中线，平分交于点E，交于点F．则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
平分，
，
，是边上的中线，
，
，
，
故选：．
【分析】先根据等腰三角形性质求底角的度数，再由角平分线得度数，利用三线合一得到ADBC，最后通过三角形外角定理求度数即可.
6．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．12
【答案】A
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
故选：A．
【分析】首先先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后利用整体代入法求解即可．
7．为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包个粽子，可列出关于的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
故选：A．
【分析】
设乙组同学每小时平均包x个粽子，由题意可知，甲组同学每小时平均包的粽子数比乙组多20个，因此甲组同学平均每小时包个粽子，再利用“甲组包150个粽子的用时和乙组包120个粽子的用时相同”这一条件，就能列出对应的分式方程.
8．下列命题是真命题的是（　　）
A．四边都是相等的四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、四边都相等的四边形是菱形，故错误；
B、矩形的对角线相等，故错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，
故选D．
【分析】根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论．
9．如图，在边长为2的正方形中，E在对角线上，且，连接并延长，交边于H点，过D作于F，连接．G为上一点，且，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理可得，
，
，
则，
，
，
，
故选：A．
【分析】利用相似三角形求出线段CF和DF的长度，进而发现GF=CF，最后通过证明将BF转化为CG，利用等腰直角三角形的性质求解比值.
10．抛物线的部分图像如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线过点，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为，
∵，
∴，故③错误；
∵抛物线过点，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∴方程的两根为，故④正确；
，
∵，
∴当时，函数有最大值，
∵直线经过点，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，函数有最大值，故⑤错误；
∴正确的有3个．
故答案为：B
【分析】抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得，，故①正确；根据抛物线过点，可得，从而得到，进而得，故②正确；由抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为，可得到，故③错误；对称性求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，得到方程的两根为，，故④正确；根据二次函数的性质可得当时，函数有最大值，再由直线经过点，可得，从而得到，进而得到，故⑤错误，即可求解．
二、填空题（本大题共5小题，总分20分）
11．已知，，则的值为　 　．
【答案】22
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：22．
【分析】利用完全平方公式求解即可得．
12．若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】需先计算一元二次方程的判别式，再根据判别式非负列出不等式，解不等式得出m的取值范围.
13．如图，在矩形中，点F是上一点，以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点E，再以点C为圆心，长为半径画弧，使得弧与恰好相切于点H，与交于点G．若，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，
由题意，，，，，
∴，，
∴，
∵弧与恰好相切于点H，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
．
故答案为：．
【分析】阴影部分的面积等于矩形ABCD的面积减去扇形ADE的面积，再减去扇形GCF的面积.
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在y轴和x轴上，已知对角线，．F是边上一点，过点F的反比例函数（）的图象与边交于点E，若将沿翻折后，点C恰好落在上的点M处，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作交于点G，
∵矩形的对角线．．
∴，，即，
∵E，F分别在，上，且在反比例函数上，
∴，，
∵将沿翻折后，点恰好落在上的点处，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
又∵，
即，解得：．
故答案为：．
【分析】利用翻折的性质（对应边相等、对应角相等）构造相似三角形，并通过线段比例关系建立方程求解k的值.
15．如图，在矩形中，，，F是对角线上的动点，连接，将直线绕点F顺时针旋转使，且过B作，连接，则最小值为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；旋转的性质；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，过点B作于点H，连接，
∵，
∴E，B，F，H四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴定值，
∴点E在射线上运动，
∴当时，的值最小，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值．
故答案为：．
【分析】通过作图，由，推出E，B，F，H四点共圆，证明定值，推出点E在射线上运动，当时，的值最小，求出，可得结论．
三、解答题（本大题共10小题，总分90分）
16．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：
；
（2）解：原式
，
当时，代入上式得：
原式
【知识点】二次根式的乘除混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
（1）先分别计算出绝对值，负整数指数幂，二次根式，然后进行运算即可；
（2）先对代数式进行化简，然后再求值．
17．某学校举办的歌唱比赛分为初赛和决赛两个阶段．初赛由8名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．教师评委打分：85 90 92 92 87 86 93 96
b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲 91 88 90 91 90
乙 89 90 90 90 90
丙 88 92 88 92 k
（1）根据以上信息，回答下列问题：
①教师评委打分数据的众数为___________，学生评委打分数据的中位数在第___________组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为___________；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如上表．若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是___________，表中k（k为整数）的值为___________．
【答案】（1）①92，4；②90
（2）甲，90
【知识点】频数（率）分布表；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：① 从教师评委打分的情况看，92分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为92，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第23个，从频数分布直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，
故答案为：92，4；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：90，92，92，87，86，93，
平均数为：，
故答案为：90；
（2）
解：，
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
，
，
解得，
当时，，
此时，，
，
乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意；
当时，，
此时，，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲，
故答案为：甲，90．
【分析】（1）①根据众数和中位数的确定方法进行求解即可；②利用平均数的公式进行计算即可；
（2）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可．
（1）解：① 从教师评委打分的情况看，92分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为92，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第23个，从频数分布直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，
故答案为：92，4；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：90，92，92，87，86，93，
平均数为：，
故答案为：90；
（2）解：，
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
，
，
解得，
当时，，
此时，，
，
乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意；
当时，，
此时，，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲，
故答案为：甲，90．
18．如图，在中，、、．
（1）是关于轴的对称图形，则点的对称点的坐标是_____；
（2）将绕点逆时针旋转得到，则点的对应点的坐标是_____；
（3）与是否关于某条直线成轴对称？若成轴对称，写出对称轴解析式_____．
【答案】（1）
（2）
（3）是，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】（1）解：由图可知，点的对称点的坐标是，
故答案为：；
（2）
解：由图可知，点的对应点的坐标是，
故答案为：；
（3）解：由图可知，对称轴经过点和点
假设对称轴的解析式为
将两个点的坐标代入解析式得：
解得
∴对称轴的解析式为：
故答案为：．
【分析】（1）根据轴对称的性质和关于轴对称的点的坐标即可求出点的坐标；
（2）利用网格将图形逆时针绕点逆时针旋转即可得到点的坐标；
（3）连接与对应点的线段，线段的垂直平分线即为对称轴解析式．
（1）解：由图可知，点的对称点的坐标是，
故答案为：；
（2）解：由图可知，点的对应点的坐标是，
故答案为：；
（3）解：由图可知，对称轴经过点和点
假设对称轴的解析式为
将两个点的坐标代入解析式得：
解得
∴对称轴的解析式为：
故答案为：．
19．高空走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”，东汉张衡在《西京赋》中就有“跳丸剑之挥霍，走索上而相逢”的描写．古代的走索用的不是钢丝而是绳子，绳子由于柔软，更加容易晃动，难度不小．十一假期，阳光马戏团正在表演高空走钢丝（图1），杂技演员所在位置点到所在直线的距离，，此时（如图2），当杂技演员走至钢丝中点时，恰好．（如图3）运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
（1）求的长；
（2）求杂技演员从点走到点，下降的高度（结果精确到）．
【答案】（1）解：如图，过点作于点，
在中，，，，
，
∴的长为5m；
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）得，
点为钢丝中点，，
，
在中，，，
，
在中，，，，
，
∴，
∴下降的高度约为1m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作于点，在中，直接解直角三角形得的长即可；
（2）过点作于点，由（1）得，从而得，然后在中，解直角三角形得出，在中，解直角三角形得出，进而求的值即可.
（1）解：如图，过点作于点，
在中，，，
，
则的长为5m．
（2）解：过点作于点，
点为钢丝中点，
在中，
，
，
在中，，，
，
则下降的高度约为．
20．如图，在中，，为延长线上一点，且，．
（1）尺规作图：作出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若的直径为6，求的长．
【答案】（1）解：如图所示，
（2）由题意可知，，
为的直径，
．
，
．
，
．
设，则．
，即，解得．
的长为
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用直角三角形外接圆圆心为斜边中点性质，通过作斜边AB的垂直平分线确定圆心；
（2）通过证明，结合的值建立线段间的比例关系，利用AD=AB+BD列方程求解.
（1）解：如图所示，
（2）由题意可知，，
为的直径，
．
，
．
，
．
设，则．
，即，解得．
的长为．
21．如图，是的直径，是的弦，连接是的切线，交的延长线于点，半径交于点．
（1）写出图中任意一组相等的角：___________；
（2）求证：；
（3）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）证明：为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：，，
，
，
，
，
【知识点】等腰三角形的判定；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】（1）解：为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：（）（答案不唯一）．
【分析】（1）利用圆的半径相等构造等腰三角形，根据”等边对等角“找出相等的角；
（2）利用切线的性质（切线垂直于过切点的半径）和垂直定义，结合等腰三角形性质及顶角相等，通过角的互余关系证明=，从而利用”等角对等边“证得DC=DF；
（3）先根据已知角度求出的度数，最后代入面积公式计算即可.
（1）解：为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：（）（答案不唯一）．
（2）证明：为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
，
，
．
22．某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套．
（1）设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝ ．（用含x的代数式表示）
（2）设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？
（3）临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值m元的小零食（），要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日销售最大利润是2112元，求m的值．
【答案】（1）
（2）解：由题意，∵日销售量为，
∴销售该文具的日利润为，
∵，
∴当时，w取最大值，最大值为2250．
答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元；
（3）解：∵该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套，
∴，
∴，
又此时日销量利润，
∴对称轴为直线．
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w有最大值，
∴，
∴．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：∵销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套，
∴日销售量为，即，
故答案为：；
【分析】（1）根据“销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套”可得每天少销售的数量为10（x-25）套，根据实际日销售量=原来每天的销售量减去因为涨价而减少的销售量，即可列出函数关系式；
（2）根据销量×每件利润=总利润，建立出w关于x的函数关系式，进而根据所得函数解析式的性质，求出最大函数值即可；
（3）根据“该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套”列出不等式组，得到x的范围；根据销量×每件利润=总利润，建立出w关于x的函数关系式，进而根据所得函数解析式的性质得出当x=34时，W最大，再根据销量×每件利润=总利润并结合总利润为2112列出方程，求解即可得出答案.
（1）解：由题意，∵销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套，
∴日销售量为，即，
故答案为：，
（2）解：由题意，∵日销售量为，
∴销售该文具的日利润为，
∵，
∴当时，w取最大值，最大值为2250．
答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元．
（3）解：由题意，∵该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套，
∴，
∴，
又此时日销量利润，
∴对称轴为直线．
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w有最大值，
∴，
∴．
23．【问题提出】在数学兴趣小组的研讨中，小蒙提出了自己遇到的问题：解不等式
【问题探究】数学老师启发小蒙从函数的角度解决这个问题：
如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数．和函数 的图象，从函数角度看，解不等式 相当于求抛物线．在双曲线 下方的点的横坐标的取值范围．
（1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______ ，所以 的解为______．
【类比探究】受此启发，小蒙尝试解不等式 经过分析，小蒙发现需要借助函数 和函数 的图象来求解．
（2）请先完成上面的填空，再在图2中画出相应的函数图象，写出不等式 的解集并说明理由．
【拓展应用】小蒙想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组 并进行了一些准备，如图3所示．
（3）请根据小蒙的思路分析，直接写出该不等式组的解集．
【答案】（1）；，[类比探究]；
（2）如图所示，
该不等式组的解集是或；
从函数角度看，解不等式 相当于求双曲线，
在直线 上方的点的横坐标的取值范围．
由图象可知， 与的交点分别为和，因此解集为或；
（3）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；反比例函数图象上点的坐标特征；通过函数图象获取信息；数形结合
【解析】【解答】解：[问题探究]
（1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为，所以的解为．
故答案为：，0＜x＜1；
[类比探究]
受此启发，小蒙尝试解不等式，经过分析，小蒙发现需要借助函数和函数的图象来求解．
故答案为：；
（3）在图3中画出的图象，
由图象可知，该不等式组的解集是．
【分析】
（1）通过观察图象即可得出对应结论；
（2）先画出对应函数的图象，再通过观察图象得出结论；
（3）直接通过观察图象得到对应结论即可．
24．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，且过点．
（1）求抛物线表达式；
（2）如图2，点P为抛物线在y轴左侧的一个动点，过点P作轴，交直线于点E，交x轴于点F，连接，若时，求点P的坐标；
（3）如图3，点M是抛物线的顶点，点P为抛物线对称轴上的一个动点，连接，求的最小值．
【答案】（1）解：二次函数图象与轴交于点，．
二次函数图象经过点，即：过点，
∴，
．
故二次函数的表达式为．
（2）解：当，解得：，，
∵，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
直线表达式为．
设点的坐标为，
．
①如图1，当点在直线上方时，
，
，
，
，
，解得，
．
②如图2，当点在直线下方时，
，
，
，
，解得，
点P在y轴的左侧，
，
，
综上所述，P点坐标为或．
（3）解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，顶点，
，
构造一个以为斜边的等腰直角，如图，延长交轴于点，交轴于点，连接，则：，，
∴点在直线上运动，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，，
∵，
当三点共线时，取得最小值，即取得最小值，
又∵点在直线上运动，
∴当时，取得最小值，
此时为等腰直角三角形，
∴，
的最小值为．
的最小值为30．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标为，即可得到，分为点在直线上方和点在直线下方，表示三角形的面积，求出点P 的坐标即可；
（3）构造一个以为斜边的等腰直角，如图，延长交轴于点，交轴于点，连接，即可得到为，然后根据垂线段最短解答即可．
（1）解：二次函数图象与轴交于点，
．
二次函数图象经过点，即：过点，
∴，
．
故二次函数的表达式为．
（2）当，解得：，
，
∵，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
直线表达式为．
设点的坐标为，
．
①如图1，当点在直线上方时，
，
，
，
，
，解得，
．
②如图2，当点在直线下方时，
，
，
，
，解得，
点P在y轴的左侧，
，
，
综上所述，P点坐标为或．
（3）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点，
，
构造一个以为斜边的等腰直角，如图，延长交轴于点，交轴于点，连接，则：，，
∴点在直线上运动，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，，
∵，
当三点共线时，取得最小值，即取得最小值，
又∵点在直线上运动，
∴当时，取得最小值，
此时为等腰直角三角形，
∴，
的最小值为．
的最小值为30．
25．如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、．
（1）猜想：的值是 ，直线与直线相交所成的锐角度数是 ；
（2）探究：直线与垂直时，求线段的长；
（3）拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围．
【答案】（1），
（2）解：∵是腰长为4的等腰直角三角形，四边形的边长为2的正方形，
∴，，，
∴，，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴当时，、、三点在一直线上时，
在中，∵，
∴，
如图2，当点在线段上时，
，
∴；
如图3，当点在线段延长线上时，
，
∴．
综上所述，当时，线段的长为或
（3）
【知识点】旋转的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：由题意得，，都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，可以看作绕点B逆时针旋转后放大得到，故直线与直线相交所成的锐角度数是；
（3）解：延长到G使得，连接，，
则为等腰直角三角形，
∴，
∵M为中点，F为中点，
∴为的中位线，
∴，
在中，∵，
∴，
∴．
【分析】（1）通过证明，利用相似比求线段比值，利用旋转相似性质求角度即可；
（2）根据垂直关系确定A、E、F三点共线，利用勾股定理求出AF的长，结合分类讨论（点E在线段AF上或延长线上）求出AE，进而结合第（1）问结论求出CD；
（3）利用倍长法构造三角形中位线，将FM转化为AG的一半，再利用三角形三边关系求出AG的取值范围，从而得到FM的范围.
（1）解：由题意得，，都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，可以看作绕点B逆时针旋转后放大得到，故直线与直线相交所成的锐角度数是；
（2）解：∵是腰长为4的等腰直角三角形，四边形的边长为2的正方形，
∴，，，
∴，，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴当时，、、三点在一直线上时，
在中，∵，
∴，
如图2，当点在线段上时，
，
∴；
如图3，当点在线段延长线上时，
，
∴．
综上所述，当时，线段的长为或；
（3）解：延长到G使得，连接，，
则为等腰直角三角形，
∴，
∵M为中点，F为中点，
∴为的中位线，
∴，
在中，∵，
∴，
∴．
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