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四川省广安市邻水县2025年中考二模数学试题
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上．本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．2025的相反数是（　　）
A． B． C． D．2025
【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据相反数的定义可知：2025的相反数是，
故答案为：A．
【分析】根据相反数的定义：符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
2．下列运算中，计算结果正确的是（　　）
A．x2·x3＝x6 B．x2n÷xn－2＝x n＋2
C．(2x3)2＝4x9 D．x3＋x3＝x6
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x2x3=x5，故选项错误；
B、x2nxn-2=xn+2，故选项正确；
C、（2x3）2=4x6，故选项错误；
D、x3+x3=2x3，故选项错误．
故选B．【分析】
根据同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法及幂的乘方，对各选项计算后利用排除法求解．
3．杭州亚运会已闭幕，中国代表团共收获201金、111银、71铜，总计383枚奖牌，创历史．图①是2023年10月2日乒乓球男单颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意知，
是主视图，
故选：B．
【分析】
主视图指的是从物体正面观察得到的视图，再对应做出判断即可.
4．若关于的方程的一个根是，则另一个根及的值分别是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-mx+3=0的一个根是x1=1，另一个根为x2，
∴，解得：x2=3，m=4.
故答案为：D.
【分析】由题意根据一元二次方程的根与系数的关系“x1+x2=，x1x2=”可得关于x2和m的方程组，解方程组即可求解.
5．下列说法中，正确的是（　　）
A．调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查
B．“太阳东升西落”是不可能事件
C．为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图
D．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查；统计图的选择；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、 调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查，故该选项正确，符合题意；
B、 “太阳东升西落”是必然事件，故该选项不正确，不符合题意；
C、 为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故该选项不正确，不符合题意；
D、 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数可能是13次，故该选项不正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此可判断A；“太阳东升西落”属于自然现象，据此判断B；条形统计图反映的是各部分的具体数据，扇形统计图反映的是各部分与整体的关系，据此判断C；抛掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，据此判断D.
6．若点P坐标可表示为，其中m为任意实数，点P不可能在（　　）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】若点P在第一象限，
则m+3>0且－m+1>0，
解得－3若点P在第二象限，
则m+3<0且－m+1>0，
解得m<-3，可能存在，不符合题意；
若点P在第三象限，
则m+3<0且－m+1<0，
解得m<-3且m>1，不可能存在，符合题意；
若点P在第四象限，
则m+3>0且－m+1<0，
解得m>1，可能存在，不符合题意．
故选：C
【分析】
根据各象限坐标特征，分析点P横纵坐标的正负情况，判断其可能所在象限，进而确定不可能的象限即可.
7．实验室需要配制的盐水溶液，现有100克的盐水、50克盐（浓度）和100克水。若需将原溶液浓度提升至，需加入多少克盐，列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设加入克盐，
原溶液中盐的质量为克，
则可得，
故选：A．
【分析】
先计算出原溶液中溶质的质量，根据浓度公式列方程即可.
8．如图，在平行四边形中（），直线经过其对角线的交点O，且分别交、于点M、N，交、的延长线于点E、F，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】证明：∵平行四边形中，，
∴平行四边形不是菱形，
∴，故①错误；
∵平行四边形中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，故②正确；
∵平行四边形中，，
∴，故③正确；
∵，
又∵在内部，
∴和不全等，
∴和不全等，故④错误．
故选：B．
【分析】
①根据平行四边形的对边相等的性质即可判断①；②证明，即可判断②；③根据相似三角形的判定即可判断③；④证明，而和不全等，根据全等三角形的传递性即可判定④．
9．如图，是半径为的的直径，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：作点关于的对称点，连接交于点，则，
此时，为最小值，
连接，，
∵，
∴，
∴的度数是，
∵为的中点，
∴的度数是，
根据垂径定理得的度数是，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】
利用轴对称将折线段PA+PB转化为直线段A'B，并结合圆的性质求出圆心角的度数，从而构造直角三角形求解.
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③a﹣b+c＝0；④5a＜b．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】①∵图象与x轴有交点，对称轴为x＝＝﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，故本选项正确，
②∵对称轴为x＝＝﹣1，
∴2a＝b，
∴2a-b＝0，
故本选项错误，
③由图象可知x＝﹣1时，y>0，∴a﹣b+c>0，故本选项错误，
④把x＝1，x＝﹣3代入解析式得a+b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，
两边相加整理得5a+c＝b，
∵c>0，
即5a＜b，故本选项正确．
故选B．
【分析】
利用对称轴公式、判别式及函数图象上点的坐标特征来判断代数式的符号或等量关系.
二、填空题（本大题共4个小题，每题4分，满分16分，将答案填在答题卡相应位置）
11．已知x，y都是实数，且y＝，xy的值　 　．
【答案】8
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据二次根式的非负数性质，
要使有意义，，
∴x＝2，
∴y＝3.
∴xy＝8，
故答案为：8.
【分析】
先根据二次根式被开方数非负求出x的值，再代入求出y的值，最后计算即可.
12．两个角，它们的比是，其差为，则这两个角的关系是　 　．
【答案】互补
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：有两个角，它们的度数比是，其度数差为，
设这两个角分别为、，
，
解得，
，，
．
即这两个角的关系是互补．
故答案为：互补．
【分析】
根据已知条件，可以求得这两个角的度数，从而可以求得它们的关系．
13．如图，在△ABC中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，将△ABC绕点A逆时针旋转50°，得到△AB1C1，则阴影部分的面积为　 　.
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】∵将△ABC绕点A逆时针旋转50°，得到△AB1C1，
∴，
∴S阴影=S扇形==．
故答案为：．
【分析】
利用旋转前后图形全等的性质，将不规则阴影部分的面积转化为规则扇形的面积进行计算即可.
14．九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有　 　人．
【答案】25
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这两种实验都做对的有x人，
，
解得．
故都做对的有25人．
故答案为：25．
【分析】
先设两种实验都做对的人数为未知数，再根据总人数等于只做对物理、只做对化学、两种都做对及两种都做错的人数之和列方程求解.
三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（1）计算：
（2）解不等式：
【答案】解：（1）
；
（2）将，
去分母得，
去括号得，
解得：．
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式；实数的绝对值；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
（1）先分别计算三角函数值、负整数指数幂、立方根，绝对值及乘法，最后进行加减运算即可；
（2）先按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可．
16．某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有　名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是　度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
【答案】（1）120，99
（2）解：条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：（名），
则选修“园艺”的学生人数为：（名），
补全条形统计图如下：
（3）解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：参与了本次问卷调查的学生人数为：（名），
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，
故答案为：120，99；
【分析】
（1）利用“总人数 = 某选修课程的人数÷该课程人数占总人数的百分比”，先求出参与本次问卷调查的学生总人数，再据此完成对应问题的解答；
（2）先分别计算出选择“厨艺”、“园艺”两门课程的学生人数，再以此完成对应问题的解答；（3）通过画树状图列举出所有等可能的结果，可知共有25种等可能情况，再从中找出小刚和小强选中同一门课程的结果，共有5种，最后利用概率公式计算即可得到所求概率.
17．如图，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20千米，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路．
（1）求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号）
（2）问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）
【答案】解：（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，在Rt△ACD中，CD=AC sin∠CAD=20×=10（千米），AD=AC cos∠CAD=20×=（千米），在Rt△BCD中，BD===10（千米），
∴AB=AD+DB==（千米），则新铺设的输电线路AB的长度（千米）；
（2）在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC==（千米），∴AC+CB﹣AB==（千米），则整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了千米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）通过过点C作AB边上的高，构造出两个直角三角形，分别求出线段的长，最后求和得到AB的长；
（2）先求出原线路的总长度，即AC+BC的长，利用勾股定理或三角函数求出，然后用原线路长度减去新线路长度即可.
18．如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．
（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集．
【答案】（1）解：将点A ( 1，2 )代入y =，得m=2，
∴双曲线的表达式为： y=，
把A（1，2）和C（4，0）代入y=kx+b得：
y=，解得：，
∴直线的表达式为：y=x+；
（2）解：联立 ，
解得，或，
∵点A 的坐标为（1，2），
∴点B的坐标为（3，），
∵
=，
∴△AOB的面积为；
（3）1【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】
（3）解：观察图象可知：不等式kx+b>的解集是1【分析】
（1）把点A的坐标(1，2)代入反比例函数解析式就可以求出m=2，得到反比例函数的解析式后，再利用待定系数法，就能求出直线的解析式；
（2）联立直线与反比例函数的解析式组成方程组，解方程组就可以得到点B的坐标，之后根据面积关系，结合三角形的面积公式就可以计算出面积；
（3）观察函数图象，找出直线图象在反比例函数图象上方时，对应的自变量x的取值范围，就可以得到不等式的解集.
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．
【答案】解：（1）证明：∵∠C=∠P，∠1=∠C，
∴∠1=∠P.∴CB∥PD.
（2）连接AC，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°.
又∵CD⊥AB，∴.∴∠P=∠CAB.
∴sin∠CAB=sin∠P =，即.
又∵BC=3，∴AB=5.
∴⊙O的直径为5.
【知识点】解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）证明CB与PD平行，思路是证明同位角∠1和∠P相等。已知弧BD等于弧BC，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得∠C=∠P，又因为题目给出∠1=∠C，因此可以推出∠1=∠P，即可证明CB∥PD；
（2）结合已知条件和第一问的结论，可得∠P=∠CAB，因此sin∠CAB=五分之三，也就是BC和AB的比值等于五分之三，将BC=3代入后即可计算出圆O的直径AB的长度.
四、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题卡相应位置上）
20．如果，那么代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
，
，
，
原式，
故答案为：．
【分析】
按照先计算括号内运算、再计算括号外运算的顺序对原式化简，之后将的值代入化简后的结果计算，即可得到最终答案.
21．我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解　 　=　 　．
【答案】；
【知识点】因式分解﹣提公因式法；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：将图2看作三个长方体相加时，可得式子：
；
原式两边提取，可得原式．
故答案为：；．
【分析】图2可有两种计算方法：①三个长方体相加；②大正方体减去小正方体，按要求列出式子，即可解答．
22．如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，从四个点中找出符合条件的点的概率是　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；概率公式
【解析】【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P的位置可以是P1，P2两个，
∴从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是
故答案为：．
【分析】
找到符合条件的点P的个数，再根据概率公式计算可得．
23．无论取什么实数，点都在二次函数上，是二次函数上的点，则　 　．
【答案】3
【知识点】列二次函数关系式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得，当x=a-1时，y=2a2-4a+1=2（a-1）2-1，
∴可得：y=2x2-1，
∵Q（m，n）是二次函数y=2x2-1上的点，
∴2m2-1=n，
∴2m2-n=1，
所以4m2-2n+1=2（2m2-n）+1=3．
故答案为：3．
【分析】
先通过点P的坐标消去参数a得到二次函数解析式，再将点Q代入解析式得到m于n的关系，最后代入所求代数式计算结果.
24．电子跳蚤游戏盘为，，，，如果电子跳蚤开始时在边上的点，．第一步跳蚤跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第2015次落点为，则与之间的距离为　 　．
【答案】1
【知识点】探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
第一步：，
∵，
∴，
第二步：，
∵，
∴，
第三步：，
依此类推，第四步，，
第五步，，
第六步，，
此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点，
∵，没有余数，
∴与重合，
∵
与之间的距离为1，
故答案为：1．
【分析】
通过计算前几次跳跃的位置，发现点Pn在边BC上位置的循环规律，并利用周期性确定P2016的具体位置.
五、解答题（本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
25．（1）【阅读理解】
倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含、两款不同型号的垃圾分拣机器人．已知1台型机器人和1台型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台型机器人先工作5小时后，再加入1台型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾．问1台型机器人和1台型机器人每小时各处理垃圾多少吨？
分析 可以用线段图（如图）来分析本题中的数量关系．
由图可得如下的数量关系：
①1台型10小时的垃圾处理量台型10小时的垃圾处理量吨；
②________________吨．
（2）【问题解决】
请你通过列方程（组）解答（1）中的问题．
（3）【拓展提升】
据市场调研，机器人公司对、两款机器人的报价如下表：
型号 型 型
报价（万元／台） 20 14
若垃圾处理厂采购的这批机器人（、两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？
【答案】（1）1台型8小时的垃圾处理量，1台型13小时的垃圾处理量
（2）设1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾吨和吨，
则：，解之可得：，
经检验，是原方程组的解，且符合题意，
答：1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨；
（3）设采购型机器人t台，则采购型机器人（台），
则：，
解之可得：（为整数），
由题意可知，采购费用为：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，采购费用最低，为（万元），
此时台，即采购型机器人66台，型机器人1台，
答：当采购型机器人66台，型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的性质；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据第二个线段图可得：
1台型8小时的垃圾处理量台型13小时的垃圾处理量吨；
故答案为：1台型8小时的垃圾处理量，1台型13小时的垃圾处理量；
【分析】
（1）观察题目给出的第二个线段图，即可得到对应问题的答案；
（2）设1台型机器人和1台型机器人每小时分别可以处理吨和吨垃圾，结合题目给出的条件，就能列出关于、的二元一次方程组，求解该方程组就能得到两种机器人的每小时处理量；
（3）设采购型机器人台，结合总采购数量可以用表示出采购型机器人的数量，再根据每小时总处理量的要求，求出的取值范围，之后用表示出总的采购费用，最后结合一次函数的增减性，就能得到最低费用的采购方案.
26．如图1，在平面直角坐标系中，点A是y轴负半轴上的一个动点，点B是x轴负半轴上的一个动点，连接，过点B作的垂线，使得，且点C在x轴的上方．
（1）求证：；
（2）如图2，点A、点B在滑动过程中，把沿y轴翻折使得刚好落在的边上，此时交y轴于点H，过点C作垂直y轴于点N，求证：．
【答案】（1）解：∵
∴
∴
（2）解：如图2，延长、交于点I，
由翻折可得
在和中
∴
∴
∴
∵轴
∴
∴
在和，
∴
∴
∴
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【分析】
（1）利用直角三角形两锐角互余的性质，结合同角的余角相等进行证明即可；
（2）延长、交于点，则，由折叠的性质得，证明，得出，延长，证明，得出，即可得出结论．
（1）解：∵
∴
∴
（2）解：如图2，延长、交于点I，
由翻折可得
在和中
∴
∴
∴
∵轴
∴
∴
在和，
∴
∴
∴
27．如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，设直线l过D且l⊥BD，分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N，求的值；
【答案】（1）解：∵二次函数y=ax2+x+c的图象经过点B（-3，0），M（0，-1），
∴， 解得a=，c=-1．
∴二次函数的解析式为：y=x2+x-1
（2）解：∵二次函数的解析式为：y=x2+x-1，
令y=0，得0=x2+x-1，
解得x1=-3，x2=2，
∴C（2，0），
∴BC=5；
令x=0，得y=-1，
∴M（0，-1），OM=1．
又AM=BC，
∴OA=AM-OM=4，
∴A（0，4）．
设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示，
则，
解得x1=5，x2=-6（位于第二象限，舍去）
∴D点坐标为（5，4）．
∴AD=BC=5，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形．
设直线BD解析式为：y=kx+b，
∵B（3，0），D（5，4），
∴， 解得：k=，b=，
∴直线BD解析式为：y=x+．
（3） 解：在Rt△AOB中，，
又AD=BC=5，
∴是菱形．
①若直线l∥BD，如图1所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC∥直线l，
∴，
∵BA=BC=5，
∴BP=BQ=10，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；菱形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将两点坐标代入求出二次函数的解析式；
（2）首先求出D点的坐标，可得AD=BC且AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形；再根据B、D点的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式；
（3）推出AC∥直线l，从而根据平行线间的比例线段关系，求出BP、CQ的长度，计算出的值.
（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象经过点B（-3，0），M（0，-1），
∴， 解得a=，c=-1．
∴二次函数的解析式为：y=x2+x-1．
（2）∵二次函数的解析式为：y=x2+x-1，
令y=0，得0=x2+x-1，
解得x1=-3，x2=2，
∴C（2，0），
∴BC=5；
令x=0，得y=-1，
∴M（0，-1），OM=1．
又AM=BC，
∴OA=AM-OM=4，
∴A（0，4）．
设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示，
则，
解得x1=5，x2=-6（位于第二象限，舍去）
∴D点坐标为（5，4）．
∴AD=BC=5，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形．
设直线BD解析式为：y=kx+b，
∵B（3，0），D（5，4），
∴， 解得：k=，b=，
∴直线BD解析式为：y=x+．
（3）在Rt△AOB中，，
又AD=BC=5，
∴是菱形．
①若直线l∥BD，如图1所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC∥直线l，
∴，
∵BA=BC=5，
∴BP=BQ=10，
∴．
1 / 1四川省广安市邻水县2025年中考二模数学试题
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上．本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．2025的相反数是（　　）
A． B． C． D．2025
2．下列运算中，计算结果正确的是（　　）
A．x2·x3＝x6 B．x2n÷xn－2＝x n＋2
C．(2x3)2＝4x9 D．x3＋x3＝x6
3．杭州亚运会已闭幕，中国代表团共收获201金、111银、71铜，总计383枚奖牌，创历史．图①是2023年10月2日乒乓球男单颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台主视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．若关于的方程的一个根是，则另一个根及的值分别是（　　）
A． B． C． D．
5．下列说法中，正确的是（　　）
A．调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查
B．“太阳东升西落”是不可能事件
C．为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图
D．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次
6．若点P坐标可表示为，其中m为任意实数，点P不可能在（　　）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．实验室需要配制的盐水溶液，现有100克的盐水、50克盐（浓度）和100克水。若需将原溶液浓度提升至，需加入多少克盐，列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在平行四边形中（），直线经过其对角线的交点O，且分别交、于点M、N，交、的延长线于点E、F，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
9．如图，是半径为的的直径，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③a﹣b+c＝0；④5a＜b．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4个小题，每题4分，满分16分，将答案填在答题卡相应位置）
11．已知x，y都是实数，且y＝，xy的值　 　．
12．两个角，它们的比是，其差为，则这两个角的关系是　 　．
13．如图，在△ABC中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，将△ABC绕点A逆时针旋转50°，得到△AB1C1，则阴影部分的面积为　 　.
14．九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有　 　人．
三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（1）计算：
（2）解不等式：
16．某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有　名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是　度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
17．如图，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20千米，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路．
（1）求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号）
（2）问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）
18．如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．
（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．
四、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题卡相应位置上）
20．如果，那么代数式的值为　 　．
21．我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解　 　=　 　．
22．如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，从四个点中找出符合条件的点的概率是　 　．
23．无论取什么实数，点都在二次函数上，是二次函数上的点，则　 　．
24．电子跳蚤游戏盘为，，，，如果电子跳蚤开始时在边上的点，．第一步跳蚤跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第2015次落点为，则与之间的距离为　 　．
五、解答题（本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
25．（1）【阅读理解】
倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含、两款不同型号的垃圾分拣机器人．已知1台型机器人和1台型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台型机器人先工作5小时后，再加入1台型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾．问1台型机器人和1台型机器人每小时各处理垃圾多少吨？
分析 可以用线段图（如图）来分析本题中的数量关系．
由图可得如下的数量关系：
①1台型10小时的垃圾处理量台型10小时的垃圾处理量吨；
②________________吨．
（2）【问题解决】
请你通过列方程（组）解答（1）中的问题．
（3）【拓展提升】
据市场调研，机器人公司对、两款机器人的报价如下表：
型号 型 型
报价（万元／台） 20 14
若垃圾处理厂采购的这批机器人（、两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？
26．如图1，在平面直角坐标系中，点A是y轴负半轴上的一个动点，点B是x轴负半轴上的一个动点，连接，过点B作的垂线，使得，且点C在x轴的上方．
（1）求证：；
（2）如图2，点A、点B在滑动过程中，把沿y轴翻折使得刚好落在的边上，此时交y轴于点H，过点C作垂直y轴于点N，求证：．
27．如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，设直线l过D且l⊥BD，分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N，求的值；
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据相反数的定义可知：2025的相反数是，
故答案为：A．
【分析】根据相反数的定义：符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x2x3=x5，故选项错误；
B、x2nxn-2=xn+2，故选项正确；
C、（2x3）2=4x6，故选项错误；
D、x3+x3=2x3，故选项错误．
故选B．【分析】
根据同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法及幂的乘方，对各选项计算后利用排除法求解．
3．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意知，
是主视图，
故选：B．
【分析】
主视图指的是从物体正面观察得到的视图，再对应做出判断即可.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-mx+3=0的一个根是x1=1，另一个根为x2，
∴，解得：x2=3，m=4.
故答案为：D.
【分析】由题意根据一元二次方程的根与系数的关系“x1+x2=，x1x2=”可得关于x2和m的方程组，解方程组即可求解.
5．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查；统计图的选择；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、 调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查，故该选项正确，符合题意；
B、 “太阳东升西落”是必然事件，故该选项不正确，不符合题意；
C、 为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故该选项不正确，不符合题意；
D、 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数可能是13次，故该选项不正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此可判断A；“太阳东升西落”属于自然现象，据此判断B；条形统计图反映的是各部分的具体数据，扇形统计图反映的是各部分与整体的关系，据此判断C；抛掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，据此判断D.
6．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】若点P在第一象限，
则m+3>0且－m+1>0，
解得－3若点P在第二象限，
则m+3<0且－m+1>0，
解得m<-3，可能存在，不符合题意；
若点P在第三象限，
则m+3<0且－m+1<0，
解得m<-3且m>1，不可能存在，符合题意；
若点P在第四象限，
则m+3>0且－m+1<0，
解得m>1，可能存在，不符合题意．
故选：C
【分析】
根据各象限坐标特征，分析点P横纵坐标的正负情况，判断其可能所在象限，进而确定不可能的象限即可.
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设加入克盐，
原溶液中盐的质量为克，
则可得，
故选：A．
【分析】
先计算出原溶液中溶质的质量，根据浓度公式列方程即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】证明：∵平行四边形中，，
∴平行四边形不是菱形，
∴，故①错误；
∵平行四边形中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，故②正确；
∵平行四边形中，，
∴，故③正确；
∵，
又∵在内部，
∴和不全等，
∴和不全等，故④错误．
故选：B．
【分析】
①根据平行四边形的对边相等的性质即可判断①；②证明，即可判断②；③根据相似三角形的判定即可判断③；④证明，而和不全等，根据全等三角形的传递性即可判定④．
9．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：作点关于的对称点，连接交于点，则，
此时，为最小值，
连接，，
∵，
∴，
∴的度数是，
∵为的中点，
∴的度数是，
根据垂径定理得的度数是，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】
利用轴对称将折线段PA+PB转化为直线段A'B，并结合圆的性质求出圆心角的度数，从而构造直角三角形求解.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】①∵图象与x轴有交点，对称轴为x＝＝﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，故本选项正确，
②∵对称轴为x＝＝﹣1，
∴2a＝b，
∴2a-b＝0，
故本选项错误，
③由图象可知x＝﹣1时，y>0，∴a﹣b+c>0，故本选项错误，
④把x＝1，x＝﹣3代入解析式得a+b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，
两边相加整理得5a+c＝b，
∵c>0，
即5a＜b，故本选项正确．
故选B．
【分析】
利用对称轴公式、判别式及函数图象上点的坐标特征来判断代数式的符号或等量关系.
11．【答案】8
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据二次根式的非负数性质，
要使有意义，，
∴x＝2，
∴y＝3.
∴xy＝8，
故答案为：8.
【分析】
先根据二次根式被开方数非负求出x的值，再代入求出y的值，最后计算即可.
12．【答案】互补
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：有两个角，它们的度数比是，其度数差为，
设这两个角分别为、，
，
解得，
，，
．
即这两个角的关系是互补．
故答案为：互补．
【分析】
根据已知条件，可以求得这两个角的度数，从而可以求得它们的关系．
13．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】∵将△ABC绕点A逆时针旋转50°，得到△AB1C1，
∴，
∴S阴影=S扇形==．
故答案为：．
【分析】
利用旋转前后图形全等的性质，将不规则阴影部分的面积转化为规则扇形的面积进行计算即可.
14．【答案】25
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这两种实验都做对的有x人，
，
解得．
故都做对的有25人．
故答案为：25．
【分析】
先设两种实验都做对的人数为未知数，再根据总人数等于只做对物理、只做对化学、两种都做对及两种都做错的人数之和列方程求解.
15．【答案】解：（1）
；
（2）将，
去分母得，
去括号得，
解得：．
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式；实数的绝对值；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
（1）先分别计算三角函数值、负整数指数幂、立方根，绝对值及乘法，最后进行加减运算即可；
（2）先按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可．
16．【答案】（1）120，99
（2）解：条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：（名），
则选修“园艺”的学生人数为：（名），
补全条形统计图如下：
（3）解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：参与了本次问卷调查的学生人数为：（名），
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，
故答案为：120，99；
【分析】
（1）利用“总人数 = 某选修课程的人数÷该课程人数占总人数的百分比”，先求出参与本次问卷调查的学生总人数，再据此完成对应问题的解答；
（2）先分别计算出选择“厨艺”、“园艺”两门课程的学生人数，再以此完成对应问题的解答；（3）通过画树状图列举出所有等可能的结果，可知共有25种等可能情况，再从中找出小刚和小强选中同一门课程的结果，共有5种，最后利用概率公式计算即可得到所求概率.
17．【答案】解：（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，在Rt△ACD中，CD=AC sin∠CAD=20×=10（千米），AD=AC cos∠CAD=20×=（千米），在Rt△BCD中，BD===10（千米），
∴AB=AD+DB==（千米），则新铺设的输电线路AB的长度（千米）；
（2）在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC==（千米），∴AC+CB﹣AB==（千米），则整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了千米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）通过过点C作AB边上的高，构造出两个直角三角形，分别求出线段的长，最后求和得到AB的长；
（2）先求出原线路的总长度，即AC+BC的长，利用勾股定理或三角函数求出，然后用原线路长度减去新线路长度即可.
18．【答案】（1）解：将点A ( 1，2 )代入y =，得m=2，
∴双曲线的表达式为： y=，
把A（1，2）和C（4，0）代入y=kx+b得：
y=，解得：，
∴直线的表达式为：y=x+；
（2）解：联立 ，
解得，或，
∵点A 的坐标为（1，2），
∴点B的坐标为（3，），
∵
=，
∴△AOB的面积为；
（3）1【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】
（3）解：观察图象可知：不等式kx+b>的解集是1【分析】
（1）把点A的坐标(1，2)代入反比例函数解析式就可以求出m=2，得到反比例函数的解析式后，再利用待定系数法，就能求出直线的解析式；
（2）联立直线与反比例函数的解析式组成方程组，解方程组就可以得到点B的坐标，之后根据面积关系，结合三角形的面积公式就可以计算出面积；
（3）观察函数图象，找出直线图象在反比例函数图象上方时，对应的自变量x的取值范围，就可以得到不等式的解集.
19．【答案】解：（1）证明：∵∠C=∠P，∠1=∠C，
∴∠1=∠P.∴CB∥PD.
（2）连接AC，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°.
又∵CD⊥AB，∴.∴∠P=∠CAB.
∴sin∠CAB=sin∠P =，即.
又∵BC=3，∴AB=5.
∴⊙O的直径为5.
【知识点】解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）证明CB与PD平行，思路是证明同位角∠1和∠P相等。已知弧BD等于弧BC，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得∠C=∠P，又因为题目给出∠1=∠C，因此可以推出∠1=∠P，即可证明CB∥PD；
（2）结合已知条件和第一问的结论，可得∠P=∠CAB，因此sin∠CAB=五分之三，也就是BC和AB的比值等于五分之三，将BC=3代入后即可计算出圆O的直径AB的长度.
20．【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
，
，
，
原式，
故答案为：．
【分析】
按照先计算括号内运算、再计算括号外运算的顺序对原式化简，之后将的值代入化简后的结果计算，即可得到最终答案.
21．【答案】；
【知识点】因式分解﹣提公因式法；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：将图2看作三个长方体相加时，可得式子：
；
原式两边提取，可得原式．
故答案为：；．
【分析】图2可有两种计算方法：①三个长方体相加；②大正方体减去小正方体，按要求列出式子，即可解答．
22．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；概率公式
【解析】【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P的位置可以是P1，P2两个，
∴从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是
故答案为：．
【分析】
找到符合条件的点P的个数，再根据概率公式计算可得．
23．【答案】3
【知识点】列二次函数关系式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得，当x=a-1时，y=2a2-4a+1=2（a-1）2-1，
∴可得：y=2x2-1，
∵Q（m，n）是二次函数y=2x2-1上的点，
∴2m2-1=n，
∴2m2-n=1，
所以4m2-2n+1=2（2m2-n）+1=3．
故答案为：3．
【分析】
先通过点P的坐标消去参数a得到二次函数解析式，再将点Q代入解析式得到m于n的关系，最后代入所求代数式计算结果.
24．【答案】1
【知识点】探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
第一步：，
∵，
∴，
第二步：，
∵，
∴，
第三步：，
依此类推，第四步，，
第五步，，
第六步，，
此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点，
∵，没有余数，
∴与重合，
∵
与之间的距离为1，
故答案为：1．
【分析】
通过计算前几次跳跃的位置，发现点Pn在边BC上位置的循环规律，并利用周期性确定P2016的具体位置.
25．【答案】（1）1台型8小时的垃圾处理量，1台型13小时的垃圾处理量
（2）设1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾吨和吨，
则：，解之可得：，
经检验，是原方程组的解，且符合题意，
答：1台型机器人和1台型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨；
（3）设采购型机器人t台，则采购型机器人（台），
则：，
解之可得：（为整数），
由题意可知，采购费用为：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，采购费用最低，为（万元），
此时台，即采购型机器人66台，型机器人1台，
答：当采购型机器人66台，型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的性质；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据第二个线段图可得：
1台型8小时的垃圾处理量台型13小时的垃圾处理量吨；
故答案为：1台型8小时的垃圾处理量，1台型13小时的垃圾处理量；
【分析】
（1）观察题目给出的第二个线段图，即可得到对应问题的答案；
（2）设1台型机器人和1台型机器人每小时分别可以处理吨和吨垃圾，结合题目给出的条件，就能列出关于、的二元一次方程组，求解该方程组就能得到两种机器人的每小时处理量；
（3）设采购型机器人台，结合总采购数量可以用表示出采购型机器人的数量，再根据每小时总处理量的要求，求出的取值范围，之后用表示出总的采购费用，最后结合一次函数的增减性，就能得到最低费用的采购方案.
26．【答案】（1）解：∵
∴
∴
（2）解：如图2，延长、交于点I，
由翻折可得
在和中
∴
∴
∴
∵轴
∴
∴
在和，
∴
∴
∴
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【分析】
（1）利用直角三角形两锐角互余的性质，结合同角的余角相等进行证明即可；
（2）延长、交于点，则，由折叠的性质得，证明，得出，延长，证明，得出，即可得出结论．
（1）解：∵
∴
∴
（2）解：如图2，延长、交于点I，
由翻折可得
在和中
∴
∴
∴
∵轴
∴
∴
在和，
∴
∴
∴
27．【答案】（1）解：∵二次函数y=ax2+x+c的图象经过点B（-3，0），M（0，-1），
∴， 解得a=，c=-1．
∴二次函数的解析式为：y=x2+x-1
（2）解：∵二次函数的解析式为：y=x2+x-1，
令y=0，得0=x2+x-1，
解得x1=-3，x2=2，
∴C（2，0），
∴BC=5；
令x=0，得y=-1，
∴M（0，-1），OM=1．
又AM=BC，
∴OA=AM-OM=4，
∴A（0，4）．
设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示，
则，
解得x1=5，x2=-6（位于第二象限，舍去）
∴D点坐标为（5，4）．
∴AD=BC=5，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形．
设直线BD解析式为：y=kx+b，
∵B（3，0），D（5，4），
∴， 解得：k=，b=，
∴直线BD解析式为：y=x+．
（3） 解：在Rt△AOB中，，
又AD=BC=5，
∴是菱形．
①若直线l∥BD，如图1所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC∥直线l，
∴，
∵BA=BC=5，
∴BP=BQ=10，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；菱形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将两点坐标代入求出二次函数的解析式；
（2）首先求出D点的坐标，可得AD=BC且AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形；再根据B、D点的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式；
（3）推出AC∥直线l，从而根据平行线间的比例线段关系，求出BP、CQ的长度，计算出的值.
（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象经过点B（-3，0），M（0，-1），
∴， 解得a=，c=-1．
∴二次函数的解析式为：y=x2+x-1．
（2）∵二次函数的解析式为：y=x2+x-1，
令y=0，得0=x2+x-1，
解得x1=-3，x2=2，
∴C（2，0），
∴BC=5；
令x=0，得y=-1，
∴M（0，-1），OM=1．
又AM=BC，
∴OA=AM-OM=4，
∴A（0，4）．
设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示，
则，
解得x1=5，x2=-6（位于第二象限，舍去）
∴D点坐标为（5，4）．
∴AD=BC=5，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形．
设直线BD解析式为：y=kx+b，
∵B（3，0），D（5，4），
∴， 解得：k=，b=，
∴直线BD解析式为：y=x+．
（3）在Rt△AOB中，，
又AD=BC=5，
∴是菱形．
①若直线l∥BD，如图1所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC∥直线l，
∴，
∵BA=BC=5，
∴BP=BQ=10，
∴．
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