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空间平行垂直及夹角距离问题
知识点一 空间平行关系的向量表示
1．线线平行
设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2.
2．线面平行
设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α u⊥n u·n＝0.
3．面面平行
设n1，n2分别是不重合的平面α，β的法向量，则α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2.
练习：
1.若直线l1和l2的方向向量分别是a＝(1，－1,2)，b＝(－2,2，－4)，则(　　)
A．l1∥l2 B．l1与l2相交 C．l1与l2重合 D．l1∥l2或l1与l2重合
2.已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m·n＝0”是“l∥α”的(　　)
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
3．若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则(　　)
A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．
知识点二 空间垂直关系的向量表示
1．线线垂直
设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0.
2．线面垂直
设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn.
3．面面垂直
设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0.
练习：
1.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　)
A．－2 B．2 C．6 D．10
2．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2,0)，则α与β的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定
3.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD．
4.三棱锥被平行于底面ABC的平面截得的几何体如图所示，截面为△A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
5.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别为线段AB，A1A的中点，A1A＝AC＝BC，∠ACB＝90°.求证：EF⊥平面B1CE.
6．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD．证明：平面PQC⊥平面DCQ.
知识点三 点到直线的距离
如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．
设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝.
知识点四　点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．
过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且
点P到平面α的距离就是A在直线l上的投影向量Q的长度．
因此PQ＝＝＝.
练习：
1.已知空间中三点A(－1，0，0)，B(0，1，－1)，C(－2，－1，2)，则点C到直线AB的距离为(　　)
　　　　　　B． C． D．
2．已知向量n＝(2，0，1)为平面α的法向量，点A(－1，2，1)在α内，则点P(1，2，2)到平面α的距离为(　　)
A． B． C．2 D．
3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量
n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　)
A． B． C． D．3
4..如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　)
A．5 B．8
C． D．
知识点五 两条异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝＝.
知识点六 　直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
练习：
1.如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．
2.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点．求A1B与平面AEF所成角的正弦值．
3.如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
利用向量法求直线与平面所成角的步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求直线的方向向量.
(3)求平面的法向量n.
(4)计算：设线面角为θ，则sinθ＝.
知识点七　平面与平面的夹角
定义：如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，把这四个
二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
2．计算公式
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的
夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.
练习：
1.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求平面OC1B1与平面BDD1B1夹角的余弦值．
2.如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，
BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB夹角的余弦值．
3.如图，四边形是正方形，平面，，，，
为的中点.
（1）求证:
（2）求二面角的大小.
4.如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
利用向量法求两平面夹角的步骤
(1)建立适当的坐标系，写出相应点的坐标．
(2)求出两个平面的法向量n1，n2.
(3)设两平面的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.
专题训练
题型一 翻折问题
1.如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．
(1)求证：BC⊥平面ACD.
(2)求平面ACD与平面MCD的夹角的余弦值．
立体几何中翻折问题的求解策略
(1)确定翻折前后变与不变的关系：位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决．
(2)确定翻折后关键点的位置：关键点是指翻折过程中运动变化的点．要清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，从而进行有关的证明与计算．
【对点训练】
1．如图1，在直角梯形CEPD中，PD∥EC，PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形．将四边形PABE沿AB折叠，使得PA⊥AD，得到如图2所示的几何体．
(1)求直线PD与平面PCE所成角的正弦值；
(2)当F为线段AB的中点时，求二面角P－CE－F的余弦值．
题型二 最值(范围)问题
1.如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1.
(1)求证：平面FBC⊥平面ACFE；
(2)点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB的夹角为θ，试求cosθ的取值范围．
立体几何中最值(范围)问题的解题策略
在动态变化过程中产生的体积最大(小)、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解题思路是：(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解．
(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值．
【对点训练】
如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，则点P到直线CC1距离的最小值为________．
题型三 探索性问题、截面问题
1.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和CC1的中点．
(1)求证：EF∥平面ACD1；
(2)求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；
(3)在棱BB1上是否存在一点P，使得平面PAC与平面BAC的夹角为30°？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．
2.如图所示，已知三棱柱ABC - A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1 - ABC1的体积为（　　　）
A. B. C. D.
第2题 第3题
3..如图，在直四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1 - AEF的体积为2，则四棱柱ABCD - A1B1C1D1的体积为（　　　）
A.12 B.8 C.20 D.18
4.如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.
（1）求证：AB∥平面EFGH；
（2）若AB = 4，CD = 6，求四边形EFGH周长的取值范围.

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